Theoretische Optik

Institut für Theoretische Physik
Technische Universität Berlin
Theoretische Optik
Udo Scherz
Wintersemester 2010/11
1 Elektromagnetische Felder
Die Optik befasst sich im Wesentlichen mit der Wechselwirkung elektromagnetischer Felder mit Materie
in einem bestimmten Energiebereich. Wir untersuchen hier neben dem sichtbaren Licht mit Energien
von 2 – 4 eV auch den infraroten und ultravioletten Spektralbereich und betrachten Materie in Form von
freien oder gebundenen Atomen, also Festkörper, Flüssigkeiten und Gase. Bei einer Energieänderung
2π
h
∆E
und Schwingungsdauern T =
=
betroffen. Wir
∆E sind Kreisfrequenzen um ω =
h̄
ω
∆E
interessieren uns nur für Prozesse mit Beobachtungsdauern t ≫ T , d.h. ohne Berücksichtigung von
Einschwingvorgängen. Dann kann die quantenmechanische Goldene Regel für optische Übergänge angehc
groß sein gegenüber der Ausdehnung
wandt werden. Außerdem muss die Wellenlänge λ = cT =
∆E
eines Atoms, um eine einfache Kopplung zwischen Atomen und der elektromagnetischen Strahlung
anzusetzen.
Zudem werden die geometrische Optik, die Beugung und die Interferenz vom Verhältnis der
Wellenlänge zu den begrenzenden Gerätedimensionen bestimmt.
Aufgabe der Vorlesung ist es, aus der mikroskopischen Beschreibung der Materie die makroskopischen Beobachtungen zu berechnen.
1.1 Punktmechanik und elektromagnetische Felder
Klassische Mechanik eines Massenpunktes
ohne elektromagnetische Felder
mR̈(t) = F(R, t)
invariant gegen Galilei-Transformationen
nicht relativistisch
Klassische Feldtheorie der Felder E, B
im Vakuum ρ = 0, j = 0
∇ × E = −Ḃ, ∇ × B = µ0 ε0 Ė
∇ · B = 0, ∇ · E = 0
invariant gegen Lorentz-Transformationen
relativistisch
Elektromagnetische Felder verursachen
die Bahnkurve R(t) des Massenpunktes
der elektrischen Ladung e
mR̈(t) = FL (R, t)
mit der Lorentz-Kraft
FL R(t), Ṙ(t) = e E + Ṙ(t) × B .
Eine Punktladung auf einer Bahnkurve
ρ(r, t) = eδ r − R(t)
j(r, t) = eṘ(t)δ r − R(t)
ist Ursache elektromagnetischer Felder
Elektromagnetische Feldenergie wird in
mechanische Energie verwandelt.
Mechanische Energie wird in elektromagnetische Feldenergie verwandelt.
∇ · E = ρ/ε0 , ∇ × B = µ0 ε0 Ė + µ0 j
mit ρ̇ + ∇ · j = 0.
1.2 Feldgleichungen makroskopischer Felder
Bei makroskopischer Beobachtung kann die räumliche Ausdehnung von Atomen und Molekülen sowie
deren Abstände in Festkörpern und Flüssigkeiten nicht mehr aufgelöst werden. Ebenso lässt sich
die dynamische Bewegung innerhalb der quantenmechanischen Systeme nicht mehr zeitlich verfolgen.
Daher werden experimentell die räumlichen und zeitlichen Mittelwerte der Observablen beobachtet.
Die Feldgleichungen solcher makroskopischer Felder sind dann
1
∇ × E = −Ḃ ; ∇ · B = 0 ; ε0 µ0 = 2
c
1
B − M,
∇ × H = Ḋ + j ; ∇ · D = ρ ; D = ε0 E + P ; H =
µ0
mit den makroskopischen Observablen der Materie
ρ(r, t) :
j(r, t) :
P(r, t) :
M(r, t) :
elektrische Ladungsdichte
elektrische Stromdichte
elektrische Dipoldichte oder Polarisation
magnetische Dipoldichte oder Magnetisierung.
Im Vakuum gilt ρ = 0, j = 0, P = 0, M = 0 und wegen D = ε0 E und µ0 H = B erhält man
∇ × E = − Ḃ ;
∇·E=0
1
∇ × B = 2 Ė
c
∇·B=0
;
mit den Wellengleichungen
1
Ë = 0
c2
1
∆B − 2 B̈ = 0.
c
∆E −
Berechnung der makroskopischen Felder
Es existiert noch keine geschlossene Theorie der Wechselwirkung elektromagnetischer Felder mit der
Materie. Dies würde die Verknüpfung der relativistischen Quantenmechanik mit der quantisierten
Elektrodynamik erfordern. In vielen Fällen genügt es aber, auf spezielle experimentelle Fragestellungen
spezielle Lösungen für die Materialeigenschaften zu berechnen. Zum Beispiel kann man im stationären
Fall die makroskopische Ladungsdichte ρ(r) eines Systems gebundener Atome aus einer mikroskopischen
Elektronendichte nElektr (r) und Ionendichte nIon (r) durch eine räumliche Mittelung mit geeigneten
kleinen Volumenelementen ∆Vk erhalten
Z
D
E DX
3 ′E
1
Ion
′
Elektr
′
Ion
Elektr
e0 n (r − r ) − e0 n
(r − r ) d r ,
(r) =
ρ(r) = e0 n (r) − e0 n
∆Vk (r) ∆Vk (r)
k
wobei auf der rechten Seite noch eine Glättung der Stufenfunktion erfolgt. Dabei lässt sich die
mikroskopische Elektronendichte etwa mit Hilfe der quantenmechanischen Dichtefunktionaltheorie
berechnen.
Entsprechend findet man eine makroskopische Polarisation aus den atomaren elektrischen Dipolmomenten und die makroskopische Magnetisierung aus den atomaren magnetischen Dipolmomenten.
1.3 Energie elektromagnetischer Felder
Aus dem Induktionsgesetz ∇ × E = −Ḃ und dem Durchflutungsgesetz ∇ × H = Ḋ + j folgt mit dem
Poynting-Vektor s = E × H, der die Dimension einer Energiestromdichte (Jm−2 s−1 ) hat,
−∇ · s = −∇ · (E × H) = E · (∇ × H) − H · (∇ × E) = E · Ḋ + H · Ḃ + j · E.
Dann
gilt für ein
Z
Z endliches Volumen V mit der Oberfläche ∂V und mit dem Integralsatz von Gauß
∇ · s d3r =
s · d2f
V
∂V
Z
|V
E · Ḋ + H · Ḃ d3r +
{z
}
Änderung der in V enthaltenen
Feldenergie pro Sekunde
Z
s · d2f
| ∂V {z }
=
durch die Oberfläche
pro Sekunde nach außen
strömende Feldenergie
−
|
Z
V
j · E d3r
{z
}
Umwandlung von Feldenergie
pro Sekunde innerhalb V
in andere Energie
Dann ist
du = E · dD + H · dB
die infinitesimale Änderung der Feldenergie pro Volumeneinheit und lokal gilt die
inhomogene Kontinuitätsgleichung
∂u
+ ∇ · s = −j · E
∂t
Energiebilanzgleichung.
Einsetzen der Materialgleichungen D = ε0 E + P und B = µ0 H + µ0 M ergibt für die Feldenergie
du = ε0 E · dE + E · dP + µ0 H · dH + µ0 H · dM
1 2
=
ε0 d 21 E2
H
+
E
·
dP
+
µ
d
0
| {z }
| {z }
| {z2 }
Energie des
elektrischen Feldes
Polarisationsenergie
+
Energie des
magnetischen Feldes
µ0 H · dM.
| {z }
Magnetisierungsenergie
Das elektrische Feld E leistet im Medium die Polarisationsarbeit EP pro Volumeneinheit
und das Magnetfeld H die Magnetisierungsarbeit EM , die im Medium in Wärme umgewandelt wird
EP = −
Z
0
E
E · dP und EM = −µ0
Z
H
0
H · dM.
Gilt speziell
P = (εr − 1)ε0 E
M = χH
mit der Folge
D = εr ε0 E
B = µr µ0 H,
µr = 1 + χ
mit den konstanten Skalaren der relativen Dielektrizitätskonstanten εr , der relativen Permeabilität µr
und der magnetischen Suszeptibilität χ, so erhält man für die elektromagnetische Feldenergie
1
1
2
2
bzw.
u = 12 E · D + 12 H · B.
du = E · dD + H · dB = d 2 εr ε0 E + d 2 µr µ0 H
Damit ergibt sich für die an die Materie abgegebene elektromagnetische Feldenergie pro Volumeneinheit
1
EP = − (εr − 1)ε0 E2
2
1
und EM = − µ0 χH2 .
2
1.4 Elektrodynamische Potenziale
Die magnetische Induktion B(r, t) ist quellenfrei ∇ · B = 0, und lässt sich daher durch ein Vektorpotenzial A(r, t) ausdrücken: B = ∇ × A, wobei noch über die Quellen ∇ · A von A verfügt werden
kann. Das Induktionsgesetz lautet dann ∇ × E + Ḃ = ∇ × (E + Ȧ) = 0, sodass ein skalares Potenzial
φ(r, t) existiert mit der Eigenschaft E + Ȧ = −∇φ. Daher gilt
B = ∇ × A und E = −Ȧ − ∇φ.
Dann sind die beiden homogenen Feldgleichungen ∇ · B = 0 und ∇ × E = −Ḃ erfüllt, und die bei
gegebenen ρ(r, t) und j(r, t) inhomogenen Feldgleichungen ergeben sich für das Vakuum P = 0, M = 0,
B = µ0 H, D = ε0 E mit der Lorentz-Konvention
1
1
∇ · A + 2 φ̇ = 0 mit ε0 µ0 = 2
c
c
1 ∂2
zu Lorentz-invarianten inhomogenen Wellengleichungen mit dem Wellenoperator = 2 2 − ∆
c ∂t
1 ∂2
1 ∂2
1
ρ Potenzialgleichungen.
−
∆
A
=
−
∆
φ
=
A
=
µ
j
und
φ
=
0
c2 ∂t2
c2 ∂t2
ε0
Damit ist die Kontinuitätsgleichung ρ̇ + ∇ · j = 0 erfüllt, denn es gilt mit der Lorentz-Konvention für
1
∇ · A mit der Folge
die elektrische Ladung und Stromdichte ρ̇ = ε0 φ̇ und ∇ · j =
µ0
1
ρ̇ + ∇ · j =
ε0 µ0 φ̇ + ∇ · A = 0.
µ0
Die vier Felder A(r, t), φ(r, t) sind dadurch nur bis auf eine Eichtransformation mit f (r, t) bestimmt
A′ = A + ∇f
und φ′ = φ −
∂f
∂t
mit der Bedingung
f = 0,
wobei A′ und φ′ mit A und φ die Lorentz-Konvention erfüllen.
Zum Beweise berechnet
E′ = −Ȧ′ − ∇φ′
B′ = ∇ × A′
1
∇ · A + 2 φ̇ = 0
c
man
∂
∂f ⇒ − (A + ∇f ) − ∇ φ −
= −Ȧ − ∇φ = E
∂t
∂t
⇒ ∇ × (A + ∇f ) = ∇ × A = B
1 ∂
∂f 1
⇒ ∇ · (A + ∇f ) + 2
φ−
= ∇ · A + 2 φ̇ − f = 0.
c ∂t
∂t
c
1
ρ setzen sich aus
Die Lösungen der inhomogenen Wellengleichungen A = µ0 j und φ =
ε0
den Lösungen Ahom bzw. φhom der homogenen Wellengleichungen A = 0 und φ = 0 und den
partikulären integralen ApI bzw. φpI zusammen.
Letztere lassen sich mit Hilfe der retardierten (oder avancierten) Greenschen Funktion
′
′
2
δ
t
−
t
−
|r
−
r
|/c
1
∂
1
G(r, t; r′ , t′ ) =
mit
− ∆ G(r, t; r′ , t′ ) = δ(r − r′ )δ(t − t′ )
′
2
2
4π
|r − r |
c ∂t
berechnen
ρ r , t − |r − r |/c 3 ′
1
1
φpI (r, t) = G(r, t; r′ , t′ ) ρ(r′ , t′ ) d3r′ dt′ =
dr
ε0
4πε0
|r − r′ |
Z
Z
′
′
j
r
,
t
−
|r
−
r
|/c
µ
0
3 ′
d
r.
ApI (r, t) = G(r, t; r′ , t′ )µ0 j(r′ , t′ ) d3r′ dt′ =
4π
|r − r′ |
Z
Z
′
′
Anwendungsbeispiel Elektrostatik
Im stationären Fall erhält man entsprechend die allgemeine Lösung φ = φpI + φhom der Poisson1
Gleichung ∆φ = − ρ in der Elektrostatik.
ε0
Die Greensche Funktion ist bestimmt durch die Differenzialgleichung
1
1
.
∆G(r, r′ ) = δ(r − r′ ) mit der Lösung G(r, r′ ) = −
4π |r − r′ |
Damit erhält man das partikuläre Integral der Poisson-Gleichung
Z
Z
′
ρ(r
)
1
ρ(r′ ) 3 ′
3 ′
pI
′
φ (r) = G(r, r )
dr,
dr =
−ε0
4πε0
|r − r′ |
denn es ist
Z
Z
′
′
ρ(r
)
ρ(r)
3 ′
pI
′
′ ρ(r ) 3 ′
∆φ (r) = ∆G(r, r )
d r = δ(r − r )
dr =−
.
−ε0
−ε0
ε0
Die zugehörige Lösung der homogenen Differenzialgleichung ∆φ = 0 lautet in Kugelkoordinaten
r : r, ϑ, ϕ und entwickelt nach Kugelfunktionen Ylm (ϑ, ϕ)
hom
φ
(r) =
∞ X
l
X
l=0 m=−l
blm alm r + l+1 Ylm (ϑ, ϕ)
r
l
1
als
mit beliebigen Integrationskonstanten alm und blm . Speziell ergibt sich wegen Y00 (ϑ, ϕ) = √
4π
kugelsymmetrische Lösung das Coulomb-Potenzial
b
φhom (r) = a + .
r
1.5 Liénhard-Wiechert-Potenziale
Bei vorgegebener elektrischer Ladungsdichte ρ(r, t) hat die Potenzialgleichung
1 ∂2
1
ρ(r, t)
−
∆
φ(r,
t)
=
c2 ∂t2
ε0
als partikuläres Integral die retardierte Lösung
Z
1
1
ρ(r′ , t′ ) ′
′
φ(r, t) =
δ t − t + |r − r | d3r′ dt′ .
′
4πε0
|r − r |
c
Für einen Massenpunkt der Ladung q auf einer vorgegebenen Bahnkurve x(t) ist die Ladungdichte
′ ′
′
′
′
′
′
′ ρ(r , t ) = qδ r − x(t ) . Zur Abkürzung sei R(t ) = r − x(t ) mit R(t ) = R(t ) , dann ist
Z
′
1
1
q
′
′
1
′
δ
t
−
t
+
R(t
)
dt
φ(r, t) =
R(t′ )
u
=
t
−
t
+
′
4πε0
R(t )
c
c
Z
q
δ(u) du
du
R(t′ ) · ẋ(t′ )
1
′
=
= 1 + Ṙ(t ) = 1 −
mit
4πε0
dt′
c
cR(t′ )
R(t′ ) − 1c R(t′ ) · ẋ(t′ )
dt′
du
q
1
=
=
.
R(t′ )
4πε0 R(t′ ) − 1c R(t′ ) · ẋ(t′ ) t′ + 1 R(t′ )=t
R(t′ ) − 1c R(t′ ) · ẋ(t′ )
c
Entsprechend ist die retardierte Lösung des Vektorpotenzials A(r, t) mit der elektrischen Stromdichte
j(r′ , t′ ) = q ẋ(t′ )δ r′ − x(t′ ) der Punktladung q auf der Bahnkurve x(t′ )
µ0
ẋ(t′ )
A(r, t) =
q
.
4π R(t′ ) − 1c R(t′ ) · ẋ(t′ ) t′ + 1 R(t′ )=t
c
2 Elektromagnetische Wellen
2.1 Materialgleichungen
Die makroskopischen Feldgleichungen enthalten die Polarisation oder elektrische Dipoldichte P(r, t)
D = ε0 E + P mit [ε0 ] =
C
Vm
;
V
E =
m
und
C
Cm
elektr. Dipolmoment
P = 2 = 3 =
m
m
Volumen
A
und die Magnetisierung oder magnetische Dipoldichte M(r, t) mit H = m
1
M=
B−H
µ0
Vs
mit [µ0 ] =
Am
Vs
; B =T= 2
m
die den Einfluss der Materie auf die Felder beschreiben.
und
Am2
magn. Dipolmoment
,
=
M =
m3
Volumen
Wird an einen Festkörper ein elektrisches Feld E(r, t) angelegt, so ist bei Vernachlässigung von
B die induzierte Polarisation allgemein ein Funktional der elektrischen Feldstärke P = P E (r, t). In
den hier interessierenden Fällen sind die äußeren Felder nur klein im Vergleich zu den inneren Feldern
der Atome, und in der linearen Optik hat P = (P1 , P2 , P3 ) mit E = (E1 , E2 , E3 ) die Form
3 Z
X
χejk (r, r′ , t, t′ )Ek (r′ , t′ ) d3r′ dt′ mit Gedächtniseffekt und Fernwirkung.
Pj (r, t) = ε0
k=1
Ist der Festkörper speziell homogen und isotrop, hängt die elektrische Suszeptibilität χejk = δjk χe
nur von |r − r′ | ab, und im stationären Fall nur von t − t′ .
Im einfachsten Fall ohne Fernwirkung und Gedächtniseffekt gilt bei dielektrischen und parelektrischen
Stoffen P = ε0 χe E mit skalarem und konstantem χe . Mit der relativen Dielektrizitätskonstanten εr ist
D = ε0 E + P = ε0 εr E
mit εr = 1 + χe
und 1 ≤ εr ≤ 102 .
In der nichtlinearen Optik kann man für die Polarisation P = (P1 , P2 , P3 ) genähert setzen
Pν (r, t) = ε0
3
X
χeνµ Eµ (r, t)
µ=1
+ ε0
1,2,3
X
χ(2)
νµρ Eµ (r, t)Eρ (r, t)
+ ε0
1,2,3
X
χ(3)
νµρτ Eµ (r, t)Eρ (r, t)Eτ (r, t).
µ,ρ,τ
µ,ρ
Entsprechend erhält man im einfachsten Fall bei dia- und paramagnetischen Stoffen
M = χH
und B = µ0 H + µ0 M = µ0 µr H
mit µr = 1 + χ,
und man beobachtet χ < 0 mit |χ| = 10−5 − 10−6 bei diamagnetischen Stoffen
χ > 0 mit
χ = 10−4 − 10−5 bei paramagnetischen Stoffen.
Bei ferromagnetischen Stoffen
wird M = M(H) vom Wege abhängig und nichtlinear (Hysteresis∂M
schleife). Man setzt χ =
mit χ = 10 − 103 .
∂H H=0
Bei der elektrischen Stromdichte gilt nur im einfachsten Fall das Ohmsche Gesetz j = σE mit
einer skalaren elektrischen Leitfähigkeit σ. Allgemeiner hat man bei Kristallen mit j = (j1 , j2 , j3 )
jk =
3
X
l=1
σkl El +
1,2,3
X
l,m
σklm El Bm + . . . .
2.2 Ebene Wellen
Wir betrachten zunächst stationäre, homogene, isotrope, dielektrische oder parelektrische
und dia- oder paramagnetische Stoffe: D = ε0 εr E = εE und B = µ0 µr H = µH mit
εr µr
n2
1
εµ = ε0 µ0 εr µr = 2 = 2 = 2
c
c
v
und
n=
c √
= εr µr
v
ohne Ladungsdichte ρ = 0 und Stromdichte j = 0. Aus den elektromagnetischen Feldgleichungen
∇ × E = −Ḃ
; ∇ · D = 0 ; ∇ × H = Ḋ
; ∇·B=0
findet man ∇ × (∇ × E) = ∇(∇ · E) − ∆E = −∇ × Ḃ = −µ∇ × Ḣ = −εµË die Wellengleichungen
1 ∂2
−∆ E=0
v 2 ∂t2
und
1 ∂2
− ∆ B = 0.
v 2 ∂t2
1) Linear polarisierte ebene Wellen:
Der Lösungsansatz einer ebenen Welle: E(r, t) = E0 cos{k · r − ωt}
ω2
ergibt die Dispersionsbeziehung − 2 + k2 = 0 bzw. ω(k) = v|k| > 0
v
1
mit dem Ausbreitungsvektor k, der Kreisfrequenz ω und der Phasengeschwindigkeit v = √ .
εµ
k × E0
cos{k · r − ωt} + B1 (r). Setzt man
ω
eine konstante magnetische Induktion zu Null B1 (r) = 0, erhält man B(r, t) = B0 cos{k · r − ωt} und
es ergeben sich Transversalwellen
E0
∇·E=0
⇒
k · E0 = 0 ; E0 ⊥ k
k
∇·B=0
⇒
k · B0 = 0 ; B0 ⊥ k
k × E0
⇒ E0 · B0 = 0 ; E0 ⊥ B0
B0 =
B0
ω
Die Energiestromdichte ergibt sich aus dem Poynting-Vektor s = E × H
Aus ∇ × E = −k × E0 sin{k · r − ωt} = −Ḃ folgt B(r, t) =
E20
E0 × (k × E0 )
2
cos {k · r − ωt} = k
cos2 {k · r − ωt} mit s ↑↑ k
s=
µω
µω
und die Energiedichte ist u =
1
E·D=
2
1
H·B=
2
1
2E
·D+
1
2H
k2
=ε
· B = E · D, denn es ist wegen
µω 2
ε 2
ε
E = E20 cos2 {k · r − ωt}
2
2
1 2
(k × E0 )2
k2 E20
1
2
2
B =
E · D.
cos
{k
·
r
−
ωt}
=
cos
{k
·
r
−
ωt}
=
2µ
2µω 2
2µω 2
2
1
Der zeitliche und räumliche Mittelwert der Energiestromdichte ist wegen cos2 {k · r − ωt} =
2
k |k| 2
ε
k |k| 2
E0 cos2 {k · r − ωt} =
E0 und hui = hE · Di = E20 .
hsi =
|k| µω
|k| 2µω
2
1
= v 2 und der Dispersionsbeziehung
εµ
k |k|
|k|
ω
k
s=
=
= v und es folgt
u=
vu.
εµω
|k|
|k| εµω
|k|
Für die Energiestromdichte erhält man daraus wegen
k2
ω =
εµ
2
oder ω =
|k||k|
εµω
und
Bei der Messung der Intensität des Lichtes (z.B. mit einem Bolometer) wird die auf die Flächeneinheit
J
der Eintrittsöffnung pro s auftreffende Energie gemessen, [I] =
. Dabei ist die charakterism2 s
tische Länge der Öffnung groß gegen die Wellenlänge und die Beobachtungsdauer lang gegenüber
der Schwingungsdauer des Lichtes.
v dt
s
dA
Bei senkrechtem Einfall auf die Fläche dA des Volumens dV = dAv dt tritt die Energie u dV in der
Zeit dt durch die Fläche dA. Also ist die Intensität
I=
und durch die Mittelung erhält man
u dV
uv dA dt
=
= vu,
dA dt
dA dt
1
I = vhui = |s| = vε E2 = vεE20 .
2
2) Zirkular oder elliptisch polarisierte ebene Welle
Wir betrachten eine ebene Welle in z-Richtung mit k = (0, 0, k), E = (Ex , Ey , 0) und erhalten
Ex = E1 cos{kz − ωt}
wegen
Ey = E2 cos{kz − ωt + ϕ}
Ex
Ey
=
cos ϕ −
E2
E1
s
folgt
Ex2
1 − 2 sin ϕ
E1
⇒
Ey2
Ex2
Ex Ey
2
+
−
2
cos
ϕ
=
sin
ϕ.
E12
E22
E1 E2
cos{α + β} = cos α cos β − sin α sin β
cos{kz − ωt + ϕ} = cos{kz − ωt} cos ϕ − sin{kz − ωt} sin ϕ
Ey
Ex
cos ϕ −
E1
E2
± π2
Speziell für den Phasenwinkel ϕ =
Ey2
Ex2
gilt die Ellipsengleichung 2 + 2 = 1,
E1
E2
und die Welle ist für E1 = E2 zirkular polarisiert.
Mit ψ = kz − ωt findet man
Ey E1
= cos ϕ − tan ψ sin ϕ.
Ex E2
2
Ex2
= 1 − 2 sin2 ϕ
E1
y
E2
E
ψ
E1
x
Ey E1
π
gilt
= − tan ψ und die elliptische Welle ist links polarisiert.
2
Ex E2
π
Entsprechend für ϕ = − rechts polarisiert. Der Zeiger E dreht sich
2
links polarisiert: bezüglich t im mathematisch positiven Sinn und bezüglich z im Uhrzeigersinn,
rechts polarisiert: bezüglich t im Uhrzeigersinn und bezüglich z im mathematisch positiven Sinn.
Für ϕ =
3) Allgemeine Lösungen der Wellengleichung
Sei w(r, t) eine Komponente
der Vektoren E(r, t) oder B(r, t), dann ist die allgemeine Lösung der
2
∂
Wellengleichung v12 ∂t
w = 0 : w(r, t) = f (k · r − ωt) + g(k · r + ωt) mit ω 2 (k) = v 2 k2 ,
2 − ∆
2
denn es gilt für beliebige, zweimal differenzierbare f und g: ∂∂t2f = ω 2 f ′′ und ∆f = k2 f ′′ . Hier
beschreibt f den auslaufenden Teil in Richtung k und g den einlaufenden in Richtung −k. Ist etwa
w(r, 0) zur Zeit t = 0 gegeben, so erfüllt w(r ∓ nvt, 0) die Wellengleichung und die Anfangsbedingung,
k
wobei n = mit k = |k| die Ausbreitungsrichtung angibt.
k
Die beiden Lösungen der linearen und homogenen Wellengleichung mit Ausbreitung in Richtung k
cos{k · r − ωt} und sin{k · r − ωt} sind linear unabhängig und in exp i(k · r − ωt)
enthalten. Wegen ω(k) = vk = ω(k) setzt man ω(−k) = ω(k) und mit k = (k, 0, 0) stellen dann
w(x, t) = a(k) exp i(kx − ωt)
und w(x, t) = a(−k) exp i(−kx − ωt)
zwei linear unabhängige Lösungen mit beliebigen Amplituden a(k) und a(−k) dar. Die allgemeine
Lösung kann also mit der Realitätsbedingung A(k) = A∗ (−k) in der Form
Z ∞
Z ∞
w(x, t) =
A(k) exp i(kx − ω(k)t) dk =
A(k) exp ik(x − vt) dk = w(x − vt, 0)
−∞
−∞
geschrieben werden, wobei w(x, t) und A(k) unterschiedliche Dimensionen haben A(k) = m w(x, t) .
Das Integral kann als Fourier-Transformation des Anfangswertproblems aufgefasst werden
Z ∞
Z ∞
1
w(x, 0) =
A(k) exp{ikx} dk und A(k) =
w(x, 0) exp{−ikx} dx.
2π
−∞
−∞
2.3 Telegrafengleichung
Ein elektrisch leitendes Dielektrikum ohne Ladungen sei durch die Materialgleichungen
j = σE
;
ρ=0 ;
D = εE ;
B = µH
mit ε = εr ε0
und µ = µr µ0
mit den skalaren Konstanten ε, µ und σ beschrieben. Aus den Feldgleichungen
∇ × E = −Ḃ ;
∇ × H = Ḋ + j
; ∇·B =0 ; ∇·D=ρ=0
erhält man
∇ × (∇ × E) = ∇(∇ · E) − ∆E = −∆E = −∇ × Ḃ = −εµË − µσ Ė
die Telegrafengleichung
∆E − µσ Ė −
1
Ë = 0
v2
mit
1
εr µr
=
εµ
=
ε
µ
ε
µ
=
.
0
0
r
r
v2
c2
Wir betrachten zur Vereinfachung spezielle Lösungen in Form von ebenen Wellen in x-Richtung
∂Ex
= 0 und wir setzen Ex = 0: E = (0, Ey , Ez ).
E = E(x, t). Aus ∇ · E = 0 folgt dann
∂x
Der Lösungsansatz für Eν (x, t) mit ν = y, z sei
2
ω
− iµσω fν (x) = 0
Eν (x, t) = fν (x) exp {iωt} =⇒ fν′′ (x) +
v2
mit der Lösung
q
2
fν (x) = fν (0) exp ±ix ωv2 − iµσω .
Das elektrische Feld mit Ausbreitung in Richtung der positiven x-Achse lautet dann
(
ω
Eν (x, t) = E0ν exp iωt − ix
c
r
c2
µσc2
−i
v2
ω
)
.
c √
In Analogie zum Brechungsindex bei Isolatoren = εr µr führt man den komplexen Brechungsindex
v
∗
n ein mit
c2
µσc2
µr σ
c2
∗
∗2
= 2 −i
,
n = n − iκ und n = 2 − i
v
ω
v
ε0 ω
und dazu eine komplexe Dielektrizitätskonstante ε∗
c2
ε = n − κ = 2 = εr µr
v
µr σ
.
ε′′ = 2nκ =
ε0 ω
′
n∗2 = ε∗ = ε′ − iε′′
mit
2
2
Dann hat die spezielle Lösung der Telegrafengleichung
n
n
n ω o
ω ∗o
n o
E(x, t) = E0 exp iωt − ix n = E0 exp − κx exp iω t − x
c
c
c
die Form einer gedämpften ebenen Welle in x-Richtung, wobei für E der Realteil zu nehmen ist.
2.4 Optische Konstanten
Die in den Feldgleichungen verwendeten Materialkonstanten ε = εr ε0 , µ = µr µ0 und σ sind zunächst
mit den statischen Feldern oder im elektrischen Bereich bestimmt. In optischen Frequenzbereichen
wird stattdessen der Brechungsindex und der Absorptionskoeffizient gemessen. Den Zusammenhang
erhält man über die Messung der gemittelten Intensität des Lichtes, siehe Abschn. 2.2,
n ω o
1
2
2
I = |s| = vhui = vεhE i = vεE0 exp −2 κx
2
c
Ist I0 die Intensität der Welle beim Eintritt und I nach dem Hindurchtritt durch das Medium der
Dicke x, so wird eine Intensitätsabnahme nach dem Lambertschen Absorptionsgesetz I = I0 exp{−αx}
ω
mit dem Absorptionskoeffizienten α = 2 κ beobachtet. Dadurch sind die im optischen Bereich bec
stimmten Materialkonstanten Brechungsindex n und Absorptionskoeffizient α mit den Materialparametern ε = ε0 εr , µ = µ0 µr und der elektrischen Leitfähigkeit σ verknüpft,
αc
n =n−i
=
2ω
∗
s
c2
µr σ
−
i
v2
ε0 ω
c2
ε = n − κ = 2 = εr µr
v
µ
σ
r
ε′′ = 2nκ =
,
ε0 ω
′
und n∗2 = ε∗ = ε′ − iε′′
mit
2
2
nε0 µ0
nα
α2
2nε0 ω αc
n2
=
αc
=
und µr ≈ 1
sowie
σ
=
und es gilt εµ = 2 −
c
4ω 2
µr 2ω
µ
µc
!
!
r
r
2
2
εr µr
σ
σ
n2 =
1+ 1+
und α2 = 2εµω 2 −1 + 1 +
.
2
εω
εω
3 Dispersion
Die Wechselwirkung von Licht mit Festkörpern, Flüssigkeiten und Gasen wird von den gebundenen Atomen bestimmt. Die makroskopischen Beobachtungen entstehen dabei durch komplizierte
mikroskopische Prozesse, sodass man vielfach bei konkreten Messungen zu einfachen Beschreibungsmodellen übergeht. Wir behandeln hier die in der Spektroskopie an Materie beobachteten frequenzabhängigen dielektrischen Eigenschaften und vernachlässigen den Einfluss magnetische Felder, indem
wir M = 0 setzen, was bei dia- und paramagnetischen Stoffen mit M = χH wegen µr = 1 + χ und
|χ| = 10−4 − 10−6 gerechtfertigt ist.
3.1 Dielektrische Eigenschaften
Die Frequenzabhängigkeit der makroskopisch beobachteten optischen Konstanten wird dann durch die
Polarisation P = P[E](r, t) bestimmt, die allgemein ein Funktional der elektrischen Feldstärke E(r, t)
ist. Bei hinreichend schwachen elektrischen Feldern des Lichtes, das auf die Materie trifft, im Vergleich
zu den inneren Feldern der Atome, hängt die Polarisation P = (P1 , P2 , P3 ) linear von E = (E1 , E2 , E3 )
ab, und man setzt bei Festkörpern mit dem Tensor der elektrischen Suszeptibilität pro Volumen- und
Zeiteinheit χe = (χjk ), vergl. Abschn. 2.1,
D(r, t) = ε0 E(r, t) + P(r, t) mit Pj (r, t) = ε0
3 Z
X
k=1
χjk (r, r′ , t, t′ )Ek (r′ , t′ ) d3r′ dt′ .
Bei einem Festkörper im stationären Zustand, d.h. ohne zeitabhängige äußere Störungen, hängt der
Tensor χe nur von t − t′ ab. Wir betrachten ferner nur Wellenlängen λ = 2π/|q|, die groß sind
im Vergleich zur Gitterkonstanten a des Kristalles λ ≫ a, dann herrscht näherungsweise räumliche
Homogenität, was einer räumlichen Mittelung über eine Elementarzelle entspricht. Dadurch hängt der
Tensor χe nur von r − r′ ab: χjk = χjk (r − r′ , t − t′ ).
Für die dielektrische Verschiebung D = (D1 , D2 , D3 ) erhält man dann
Dj (r, t) = ε0 Ej (r, t) + ε0
3 Z
X
k=1
χjk (r − r′ , t − t′ )Ek (r′ , t′ ) d3r′ dt′ .
Der Einfachheit halber beschränken wir uns hier auf isotrope Festkörper und auf kubische Kristalle,
bei denen der Tensor der elektrischen Suszeptibilität ein Vielfaches der Einheitsmarix ist χjk = χδjk .
Dies gilt z.B. nicht bei hexagonalen Kristallen wie ZnO, CdS, GaN und anderen, bei denen es eine
ausgezeichnete optische Achse, die sogenannte c-Achse gibt, und es zur Doppelbrechung kommt. Bei
isotropen Festkörpern schreibt sich die dielektrische Verschiebung mit der Ortsintegration über das
Grundgebiet V
D(r, t) = ε0 E(r, t) + ε0
Z
V
χ(r − r′ , t − t′ )E(r′ , t′ ) d3r′ dt′ .
Wir nehmen für den Festkörper und die Felder räumliche Periodizität mit dem Grundgebiet V an, und
führen für D(r, t), E(r, t) und χ(r, t) die Fourier-Transformierten D(q, t), E(q, t) und χ(q, t) ein
Z
X
1
E(r, t) =
E(q, t) exp {iq · r} mit E(q, t) =
E(r, t) exp {−iq · r} d3r,
V V
q
wobei über alle Ausbreitungsvektoren q zu summieren ist
q=
m2
m3
m1
b1 +
b2 +
b3
N
N
N
mit ganzen Zahlen m1 , m2 , m3 ,
den Basisvektoren des reziproken Gitters b1 , b2 , b3 und der Zahl N 3 der Anzahl der Elementarzellen
im Grundgebiet V . Dann erhält man mit dem Faltungssatz der Fourier-Transformation
Z ∞
F f ∗ g)(x) = F
f (ξ)g(x − ξ) dξ = F(f )F(g)
−∞
die einfache Form für die dielektrische Verschiebung
Z ∞
D(q, t) = ε0 E(q, t) + ε0
χ(q, t − t′ )E(q, t′ ) dt′ .
−∞
Die dielektrischen Eigenschaften werden untersucht, indem eine elektrische ebene Welle mit der Kreisfrequenz ω in den Kristall gestrahlt wird, die im Innern auch durch Absorption gedämpft sein kann
E(r, t) = E(r, ω) exp {iωt}
bzw. E(q, t) = E(q, ω) exp {iωt} .
Damit erhält man
D(q, t) = ε0 E(q, t) + ε0 E(q, ω) exp {iωt}
oder
Z
∞
−∞
χ(q, t − t′ ) exp − iω(t − t′ ) dt′
D(q, ω) = ε0 ε̃(q, ω)E(q, ω),
mit der komplexen Dielektrizitätskonstanten mit der Realitätsbedingung ε̃(−q, −ω) = ε̃∗ (q, ω)
Z ∞
′
′
′
ε̃(q, ω) = 1 +
χ(q, t − t ) exp − iω(t − t ) dt .
−∞
Kann außerdem die räumliche Dispersion d.h. die Fernwirkung der Polarisation vernachlässigt werden,
sodass die elektrische Suszeptibilität vom Ort unabhängig ist χ(r− r′ , t− t′ ) = χ(t− t′ )δ(r− r′ ), so wird
die dielektrische Verschiebung von der elektrischen Suszeptibiltät pro Zeiteinheit χ(t − t′ ) bestimmt
Z t
D(r, t) = ε0 E(r, t) + ε0
χ(t − t′ )E(r, t′ ) dt′ ,
−∞
wobei wegen der Kausalität die Integration nur bis t ausgeführt ist. Dann erhält man
Z t
D(r, t) = ε0 E(r, ω) exp {iωt} + ε0 E(r, ω) exp {iωt}
χ(t − t′ ) exp {−iω(t − t′ )} dt′
−∞
oder mit D(r, t) = D(r, ω) exp {iωt}
D(r, ω) = ε0 E(r, ω) + ε0 E(r, ω)
Z
∞
0
χ(t′′ ) exp {−iωt′′ } dt′′ .
Dies schreibt man in der einfachen Form
D(r, ω) = ε0 ε̃(ω)E(r, ω)
mit der komplexen Dielektrizitätskonstanten ε̃(−ω) = ε̃∗ (ω)
ε̃(ω) = 1 +
Z
0
∞
χ(t′′ ) exp {−iωt′′ } dt′′ .
Wird also in einem Dielektrikum eine elektromagnetische Welle der Frequenz ω eingestrahlt, so wird
die Wirkung durch die Polarisation P bzw. durch die dielektrische Verschiebung D festgestellt, die
sich mit Hilfe einer frequenzabhängigen Dielektrizitätskonstante schreiben lässt. Das die Polarisation
bestimmende Integral berücksichtigt nicht nur das elektrische Feld zur Zeit t, sondern auch zu früheren
Zeiten, sodass Gedächtniseffekte im Medium eine Rolle spielen. Bei hohen Frequenzen verzögert sich die
Reaktion der Atome auf das E-Feld des Lichtes, wodurch die Dielektrizitätskonstante frequenzabhängig
wird. Die Elektronen des Mediums können dem sich zu schnell ändernden E-Feld des Lichtes nicht
mehr folgen, sodass es zu Verzögerungseffekten kommt.
Im Folgenden werden einzelne mikroskopische Modelle besprochen, die die Frequenzabhängigkeit
der Dielektrizitätskonstanten in verschiedenen Spektralbereichen erklären.
3.2 Dispersion im optischen Bereich
In einem einfachen klassischen Modell entsteht die durch das elektrische Feld der elektromagnetischen
Welle hervorgerufene Polarisation durch die Ausrichtung permanenter Dipole der Moleküle und durch
die induzierten elektrischen Dipole der Atome, sowie durch das Elektronengas der Halbleiter und
Metalle. Entsprechend setzt sich die elektrische Suszeptibilität
χe = χperm + χAtom + χGas
genähert aus den Anteilen
χperm
χAtom
χGas
durch permanente elektrische Dipole
durch induzierte elektrische Dipole
durch ein Elektronengas
zusammen.
1) Dispersion durch permanente Dipole
Befinden sich im Dielektrikum viele kleine elektrische Dipole, die ohne ein äußeres elektrisches Feld
ungeordnet alle möglichen Richtungen einnehmen, so dass die Polarisation oder Dipoldichte insgesamt
Null ist, so werden diese Dipole durch ein elektrisches Feld ausgerichtet.
In dem Modell von Debye folgen diese Dipole dem elektrischen Feld nur mit einer gewissen Verzögerung,
und für diesen Anteil der elektrischen Suszeptibilität χperm wird, bei nicht zu hohen Frequenzen unterhalb des optischen Bereiches, angenommen, dass eine Polarisation P nach Abschalten des äußeren
elektrischen Feldes E exponentiell mit einer Relaxationszeit τ abklingt, wobei ein gewisser Teil der
Polarisation dem elektrischen Feld ohne Verzögerung verlustfrei folgen kann. Mit P. Debye wird für
E(r, t) = E0 (r, ω) exp {iωt} mit reellen ε′0 = ε̃(0) und ε′∞ = ε̃(∞) gesetzt
D(r, t) = ε0 ε̃(ω)E(r, t)
Z
t
t − t′ o ′
=
+ ε0
E(r, t )a exp −
dt
τ
−∞
Z t
n t − t′ o
′
= ε0 ε∞ E(r, t) + ε0 E(r, t)
a exp −
exp − iω(t − t′ ) dt′
τ
−∞
Z ∞
n t′′ o
= ε0 E(r, t) ε′∞ + a
exp −
exp {−iωt′′ } dt′′ .
τ
0
ε0 ε′∞ E(r, t)
Das Integral liefert mit aτ = ε′0 − ε′∞ wegen
′
Z
∞
0
n
∞
τ
exp {−t /τ } exp {−iωt } ′′
=
. . . dt =
−(1/τ )(1 + iωτ )
1 + iωτ
0
′′
i
h
τ
τ
′
− iaωτ
D(r, t) = ε0 E(r, t) ε∞ + a
1 + ω2 τ 2
1 + ω2 τ 2
h
ε′0 − ε′∞ i
ε′0 − ε′∞
′
− iωτ
.
= ε0 E(r, t) ε∞ +
1 + ω2 τ 2
1 + ω2 τ 2
′′
Setzt man die komplexe Dielektrizitätskonstante
ε̃(ω) = ε′ (ω) − iε′′ (ω)
ein, so erhält man
′
ε (ω) =
ε′∞
ε′0 − ε′∞
+
1 + ω2 τ 2
ε′0 − ε′∞
und ε (ω) = ωτ
.
1 + ω2 τ 2
′′
Bei sehr niedrigen Frequenzen werden alle Dipole ausgerichtet sein, so dass ε′ (0) den größten Wert hat.
Bei sehr hohen Frequenzen können die Dipole nicht mehr folgen, so dass ε′ (∞) den kleinsten Wert
hat, und ε′ (ω) mit der Frequenz monoton abnimmt. Für den Imaginärteil ε′′ (ω) ist ε′′ (0) = 0 und
ε′′ (∞) = 0 mit einem Maximum bei ω = 1/τ , das meist im Mikrowellenbereich liegt.
ε′ (ω)
ε′′ (ω)
ε′0 +
ε′0 +
+
+
ε′∞+
ε′∞+
+
1/τ
+
+
+
+
5/τ
+
ω
+
1/τ
+
+
+
+
5/τ
+
ω
2) Dispersion durch induzierte atomare Dipole
Im optischen Bereich wird allgemein die normale Dispersion beobachtet, wonach der Brechungsindex
mit der Frequenz zunimmt. Es gibt aber auch bestimmte Frequenzbereiche mit anomaler Dispersion, in
denen der Brechungsindex, und damit bei geringer Dämpfung der Realteil der Dielektrititätskonstanten
mit der Frequenz abnimmt. Im klassischen Modell für die Suszeptibilität χAtom geht man von der
Vorstellung aus, dass es im Kristall elastisch gebundene Elektronen gibt, die durch das elektrische Feld
zu gedämpften Schwingungen angeregt werden. Befindet sich der Oszillator mit der Federkonstanten
mω02 und dem Reibungskoeffizienten mγ am Ort R, so lautet die Bewegungsgleichung für ein Elektron
der Ladung e, der Masse m und am Ort r im elektrischen Feld E(r, t) = E0 exp − i(q · r − ωt)
r̈ + γ ṙ + ω02 (r − R) ≈
e
E0 exp {−iq · R} exp {iωt} ,
m
wobei angenommen wurde, dass die Auslenkung der Elektronen klein ist im Vergleich zur Wellenlänge
|r − R| ≪ λ = 2π/|q| der elektrischen Welle. Der Lösungsansatz für die erzwungene Schwingung
e
1
r − R = A E0 exp {−iq · R} exp {iωt} ergibt A = 2
m
ω0 − ω 2 + iωγ
mit der komplexen Amplitude A. Die Summe der Dipolmomente e(r−R) der schwingenden Elektronen
pro Volumeneinheit ergeben die komplexe Dipoldichte oder Polarisation
N e2
e2
A,
P = N e(r − R) = N A E(r, t) = ε0 ε̃(ω) − 1 E(r, t) mit ε̃(ω) = 1 +
m
ε0 m
wobei N die Dichte des Oszillatoren bezeichnet.
Man setzt unterschiedliche Oszillatoren mit Frequenzen ωj , Dämpfungen γj und Konzentrationen N fj
P
mit j fj = 1 an, und erhält für die komplexe Dielektrizitätskonstante
N e2 X
fj
′
′′
ε̃(ω) = 1 +
=
ε
(ω)
−
iε
(ω),
2
ε0 m j ωj − ω 2 + iωγj
und bezeichnet fj als Oszillatorenstärke. Die Zerlegung in den Real- und Imaginärteil liefert
ωj2 − ω 2
N e2 X
2
2
fj 2
=
ε
=
n
−
κ
ε (ω) = 1 +
r
2
ε0 m j
(ωj − ω 2 )2 + ω 2 γj
′
ωγj
nc
N e2 X
fj 2
=
2nκ
=
α
ε (ω) =
ε0 m j
(ωj − ω 2 )2 + ω 2 γj2
ω
′′
wegen α =
2ω
κ.
c
Daraus ergibt sich eine Zunahme des Brechungsindex mit der Frequenz, also normale Dispersion im optischen Bereich, für alle Frequenzen bis auf Bereiche in einer Umgebung der Resonanzstellen ωj . Unter
der Annahme schwacher Dämpfung findet man aus dem Imaginärteil der Dielektrizitätskonstanten
ε′′ (ω) den Absorptionskoeffizienten α = (ω/nc)ε′′ (ω) mit Absorptionsmaxima an den Stellen ωj . In
einer Umgebung dieser Stellen, die ungefähr der Halbwertsbreite der Absorptionslinien entspricht,
nimmt der Brechungsindex mit der Frequenz ab, sodass hier anomale Dispersion beobachtet wird.
Die Abbildung zeigt den berechneten Brechungsindex
n und den Absorptionskoeffizienten α als Funktion
der Kreisfrequenz ω in der Umgebung dreier Resonanzfrequenzen ωj und Dämpfungskonstanten γj in
beliebigen Einheiten sowie die Oszillatorenstärken fj
ωj
γj
fj
30
50
80
3
10
2
0.01
0.4
0.15
3) Dispersion durch ein Elektronengas
Im Drude-Modell des Elektronengases werden die Elektronen eines Metalles oder Halbleiters im elektrischen Feld E(r, t) = E(r) exp {iωt} beschleunigt, und ihre Geschwindigkeit v klingt beim Abschalten
von E mit der Relaxationszeit τ ab. Dann gilt im Rahmen der klassischen Mechanik
∂v
1
e0
1
e0 τ
= − v − E mit der Lösung v = −
E.
∂t
τ
m
m 1 + iωτ
Hier ist v weder die mikroskopische Geschwindigkeit der Elektronen, noch die Driftgeschwindigkeit,
die bei der elektrischen Leitung auftritt, sondern die Geschwindigkeit der oszillierenden Dipole. Bei
einer Elektronendichte n ergibt sich die elektrische Stromdichte mit der Plasmafrequenz ωp
ωp2 ε0 τ
1
e20 nτ
E=
E
j = −e0 nv =
m 1 + iωτ
1 + iωτ
mit
ωp2
e20 n
=
.
ε0 m
Diese elektrische Stromdichte j sei die Ursache der Polarisation oder Dipoldichte P. Der Verschiebungsvektor eines Elektrons r(t) erzeugt lokal ein Dipolmoment p = −e0 r mit ṗ = −e0 v. Daraus
ergibt sich für die Dipoldichte Ṗ = nṗ = −e0 nv = j mit der Elektronendichte n. Damit schreibt sich
die dielektrische Verschiebung D mit der komplexen Dielektrizitätskonstanten ε̃(ω) in der Form
ωp2 ε0 τ E = iωε0 ε̃(ω)E,
D = ε0 E + P mit Ḋ = ε0 ε̃(ω)Ė = ε0 Ė + j = iωε0 +
1 + iωτ
und es folgt
ωp2 τ
ωp2 τ 2
ωp2 τ
1
ε̃(ω) = 1 − i
=1−
= ε′ (ω) − iε′′ (ω).
−i
2
2
2
2
ω 1 + iωτ
1+ω τ
ω(1 + ω τ )
Bei Metallen gilt ωτ ≫ 1 für ω in der Größenordnung der Plasmafrequenz bei h̄ωp = 10 eV, sodass gilt
ωp2
ε (ω) ≈ 1 − 2
ω
′
und ε′′ (ω) ≪ 1.
Bei Halbleitern ist ωp2 ≪ ω 2 mit ω im optischen Bereich, sodass der Anteil des Elektronengases zur
Dispersion vernachlässigbar ist.
Aus dem Durchflutungsgesetz ∇ × H = Ḋ = ε0 Ė + j und dem Induktionsgesetz ∇ × E = −µ0 Ḣ
folgt
∂
ε0 Ė + j = ∇ × (∇ × E) = ∇∇ · E − ∆E,
−µ0 ∇ × Ḣ = −µ0
∂t
mit ∇ · E = 0, woraus sich wegen Ḋ = ε0 Ė + j und D = ε0 ε̃(ω)E die Telegrafengleichung ergibt
∆E = µ0
∂
∂
(ε0 Ė + j) = µ0 Ḋ = µ0 D̈ = µ0 ε0 ε̃(ω)Ë.
∂t
∂t
• Für ω < ωp gilt ε′ (ω) < 0, und wegen ε′′ (ω) > 0 gibt es nach der Telegrafengleichung nur
abklingende Lösungen für die elektrische Feldstärke E.
• Für ω > ωp verschwindet die Dämpfung praktisch, und die Metalle werden bei hinreichend hohen
Frequenzen durchsichtig.
3.3 Dispersionsrelationen
Es wird vorausgesetzt, dass die elektrische Suszeptibilität
f (ω) = ε̃(ω) − 1 = (n − iκ)2 − 1 = n2 − κ2 − 1 − i2nκ = ε′ (ω) − 1 − iε′′ (ω)
in der unteren komplexen ω-Halbbene einschließlich der reellen Achse holomorph ist. Ferner sei
|ωf (ω)| → 0 für |ω| → ∞. Dies ist bei der komplexen Dielektrizitätskonstanten ε̃(ω) nach Abschn. 3.2
der Fall, die die normale und die anomale Dispersion qualitativ richtig wiedergeben. Dann lässt sich
die Cauchy-Formel für jeden Punkt ω auf der reellen Achse anwenden
Z
Z ∞
1
f (z) dz
f (ω ′ ) dω ′
1
f (ω) =
=− P
,
′−ω
2πi Γ z − ω
πi
ω
−∞
mit einem Integrationsweg Γ, der auf der reellen Achse aber oberhalb der Polstelle bei ω und auf einem
Halbkreis unten herum im mathematisch positiven Sinn verläuft, wobei Letzterer verschwindet. Wegen
Z ∞
ε̃(ω) = 1 +
χ(t′ ) exp {−iωt′ } dt′ folgt ε̃(−ω) = ε̃∗ (ω),
0
und es gilt wegen f (−ω) = ε̃(−ω) − 1 = f ∗ (ω)
Z ∞
1
1
2ω ′ f (ω ′ ) dω ′
Re f (ω) = f (ω) + f (−ω) = −
P
2
2πi
ω ′2 − ω 2
−∞
Z ∞
ω
2f (ω ′ ) dω ′
1
f (ω) − f (−ω) =
Im f (ω) =
P
′2
2
2i
2π
−∞ ω − ω
mit
1
1
2ω ′
+
= ′2
ω′ − ω ω′ + ω
ω − ω2
1
2ω
1
−
=
.
ω′ − ω ω′ + ω
ω ′2 − ω 2
Wegen f (−ω) = f ∗ (ω) erhält man
Z ∞ ′
Z ∞ ′
′
∗
′
′
ω f (ω ) − f (ω )
ω Im f (ω )
1
2
′
′
Re f (ω) = − P
dω
=
−
dω
P
πi
ω ′2 − ω 2
π
ω ′2 − ω 2
0
0
Z ∞
Z ∞
′
ω
Re
f
(ω
)
f (ω ′ ) + f ∗ (ω ′ )
2ω
Im f (ω) = P
dω ′ =
dω ′
P
′2
2
′2
2
π
ω −ω
π
ω −ω
0
0
2
2
und mit Re f (ω) = n − κ − 1 und Im f (ω) = −2nκ ergeben sich die Kramers-Kronig-Relationen
Z ∞
2n(ω ′ )κ(ω ′ )ω ′
2
′
2
2
dω
n (ω) − κ (ω) = 1 + P
π
ω ′2 − ω 2
0
Z ∞ 2 ′
2ω
n (ω ) − κ2 (ω ′ ) − 1
′
2n(ω)κ(ω) = −
dω
,
P
′2 − ω 2
π
ω
0
wonach sich der Realteil der Dielektrizitätskonstanten berechnen lässt, wenn der Imaginärteil für alle
Frequenzen bekannt ist, und umgekehrt. Die zur numerischen Integration praktischere Form der
Kramers-Kronig-Relationen
Z ∞
2n(ω ′ )κ(ω ′ )ω ′ − 2n(ω)κ(ω)ω
2
2
2
n (ω) − κ (ω) = 1 +
dω ′
′2
2
π 0
ω −ω
Z
2ω ∞ n2 (ω ′ ) − κ2 (ω ′ ) − n2 (ω) + κ2 (ω)
dω ′
2n(ω)κ(ω) = −
′2
2
π 0
ω −ω
enthält keine Polstellen mehr, und wird mit Hilfe der Beziehung bewiesen:
Z ∞
dω ′
= 0.
P
′2 − ω 2
ω
0
4 Nichtlineare Optik
Experimentell kann man statische elektrische Felder E bis zu 106 V/m an Nichtleiter anlegen, und in
diesem Bereich hängt die Polarisation P linear von E ab. Innerhalb der Atome herrschen Feldstärken
|E| > 1011 V/m. Gitterschwingungen in Festkörpern führen zu Energien bis zu 1 eV bei atomaren
Verschiebungen von 1 Å = 10−10 m, wobei elektrische Felder von 1010 V/m auftreten. Hierbei hängt die
Polarisation nichtlinear von E ab. In diesen Bereich gelangt man auch mit Laserlicht hoher Intensität,
sodass nichtlineare optische Effekte beobachtet werden.
4.1 Nichtlineare elektrische Suszeptibilität
Unter den Voraussetzungen ρ = 0, j = 0, M = 0, B = µ0 H ergeben die elektromagnetischen
Feldgleichungen ∇ × E = −Ḃ und ∇ × B = µ0 Ḋ
∇ × (∇ × E) = ∇(∇ · E) − ∆E = −∇ × Ḃ = −µ0 D̈,
oder mit der Polarisation P
∆E − ∇∇ · E = µ0 D̈
und ∇ · D = 0 mit D = ε0 E + P.
Ohne räumliche Dispersion wird für nichtferroelektrische Stoffe für die Polarisation P = (P1 , P2 , P3 )
die Reihenentwicklung nach der elektrischen Feldstärke E = (E1 , E2 , E3 ) ohne Fernwirkung und mit
einem Gedächtniseffekt im linearen Term der elektrischen Suszeptibilität χ angesetzt
Pν (r, t) = ε0
Z
∞
0
3
X
µ=1
′
′
′
χνµ (t )Eµ (r, t − t ) dt + ε0
+ ε0
1,2,3
X
χ(2)
νµρ Eµ (r, t)Eρ (r, t)
µ,ρ
1,2,3
X
χ(3)
νµρσ Eµ (r, t)Eρ (r, t)Eσ (r, t) + . . . .
µ,ρ,σ
Wir trennen die Polarisation P in den linearen und nichtlinearen Teil mit ε(t′ ) = 1 δ(t − t′ ) + χ(t′ )
D = ε0
Z
∞
0
ε(t′ ) · E(r, t − t′ ) dt′ + PNL (r, t) mit PNL (r, t) = ε0 χ(2) : EE + ε0 χ(3) :̇EEE,
und die zweite Differenzialgleichung erhält die Form
∇ · D = 0 bzw.
Z
∞
0
∇ · ε(t′ ) · E(r, t − t′ ) dt′ = −
1
∇ · PNL (r, t).
ε0
1) Bei isotropen Medien ist ε(t′ ) = ε(t′ )1 . Dann transformieren E, D und P wie der Ortsvektor bei
einer Inversion r → −r, sodass χ(2) = 0 folgt, und PNL von dritter Ordnung in E, und somit sehr
klein ist.
2) Bei nichtisotropen Stoffen mit ε(t′ )·E(r, t−t′) = ε·E(r, t−t′ )δ(t−t′ ) lauten die Grundgleichungen
der nichtlinearen Optik mit dem Tensor der Dielektrizitätskonstanten ε wegen D = ε0 ε · E + PNL
∆E − ∇∇ · E −
1
ε · Ë = µ0 P̈NL
2
c
und ∇ · ε · E = −
1
∇ · PNL
ε0
mit µ0 ε0 =
1
.
c2
Berücksichtigt man nur Terme bis zweiter Ordnung in E, so erhält man für nichtisotrope Stoffe
1
1 (2) ∂ 2
∆E − ∇∇ · E − 2 ε · Ë = 2 χ : 2 EE
c
c
∂t
und ∇ · ε · E = −∇ · χ(2) : EE.
4.2 Erzeugung und Vernichtung von Photonen
Wir untersuchen Drei-Photonen-Prozesse, wie sie durch die Quantenoptik begründet werden
h̄ω1 , h̄k1
h̄ω3 , h̄k3
h̄ω2 , h̄k2
Energiesatz
Impulssatz
h̄ω1 + h̄ω2 = h̄ω3
h̄k1 + h̄k2 = h̄k3
Energiesatz
Impulssatz
h̄ω1 = h̄ω2 + h̄ω3
h̄k1 = h̄k2 + h̄k3
h̄ω2 , h̄k2
h̄ω1 , h̄k1
h̄ω3 , h̄k3
Dazu werden reelle Lösungen für die elektrische Feldstärke E mit drei verschiedenen Frequenzen gesucht
E1 (r, t) = E1 (r, ω1 ) exp {−iω1 t}
1
∗
∗
∗
E = E1 + E1 + E2 + E2 + E3 + E3
mit
2
E2 (r, t) = E2 (r, ω2 ) exp {−iω2 t}
E3 (r, t) = E3 (r, ω3 ) exp {−iω3 t} .
Setzt man E in die Differenzialgleichung ein, erhält man
∂2
1
∆ − ∇∇ · − 2 ε · 2
c
∂t
(E1 +
E∗1
+ E2 +
E∗2
+ E3 +
E∗3 )
1 (2) ∂ 2
= 2 χ : 2 (E1 + . . . E∗3 )(E1 + . . . E∗3 ).
2c
∂t
Weil die elektrischen Felder für verschiedene Frequenzen linear unabhängig sind, gilt diese Gleichung
für jede Frequenz einzeln und es folgt für den Prozess der Erzeugung eines Photons mit ω3 = ω1 + ω2 :
ω12
ω12 (2)
∆E1 − ∇∇ · E1 + 2 ε · E1 = − 2 χ : E3 E∗2
c
c
ω22
ω22 (2)
∆E2 − ∇∇ · E2 + 2 ε · E2 = − 2 χ : E3 E∗1
c
c
ω32
ω32 (2)
∆E3 − ∇∇ · E3 + 2 ε · E3 = − 2 χ : E1 E2
c
c
und ∇ · ε · E1 = −∇ · χ(2) : E3 E∗2
und ∇ · ε · E2 = −∇ · χ(2) : E3 E∗1
und ∇ · ε · E3 = −∇ · χ(2) : E1 E2 .
In den Gleichungen für E1 (r, t) bzw. E2 (r, t), E3 (r, t) läßt sich jeweils der Faktor exp {−iω1 t} bzw.
exp {−iω2 t}, exp {−iω3 t} kürzen, sodaß die Gleichungen auch für E1 (r, ω1 ) bzw. E2 (r, ω2 ), E3 (r, ω3 )
gelten.
Exkurs über lineare Abhängigkeit
Def.: Die N Funktionen f1 (x), f2 (x), . . . fN (x) sind linear unabhängig,
N
X
an fn (x) ≡ 0 folgt a1 = 0, a2 = 0, . . . an = 0, sonst linear abhängig.
wenn aus
n=1
Dies lässt sich mit der Wronski-Determinante entscheiden, denn es gilt
f2
···
fN f1
′
f2′
···
fN
f1′
= 0, falls f1 . . . fN linear abhängig sind,
W = ..
..
..
..
6= 0, falls f1 , . . . fN linear unabhängig sind.
.
.
.
.
(N −1)
(N −1) (N −1)
· · · fN
f2
f1
Bei der Anwendung auf f1 (t) = exp {iω1 t} und f3 (t) = exp {iω3 t} ergibt die Wronski-Determinante
f1
W = iω1 f1
f3 = i(ω3 − ω1 )f1 f3 6= 0 für
iω3 f3 und f1 und f3 sind für ω1 6= ω3 linear unabhängig.
ω1 6= ω3 ,
4.3 Bestimmung der zweiten Harmonischen
Bei Einstrahlung von zwei ebenen Transversalwellen E1 und E2 in z-Richtung ek = (0, 0, 1), die auch
die optische Achse sein soll, nimmt man für die zweite Harmonische |E3 | ≪ |E1 |, |E2 | an
E1 (z, t) = n1 E10 exp i(k1 z − ω1 t)
mit n1 · ek = 0
E2 (z, t) = n2 E20 exp i(k2 z − ω2 t)
mit n2 · ek = 0

ε⊥
und ε =  0
0
0
ε⊥
0

0
0 .
εk
Die elektrische Feldstärke der zweiten Harmonischen wird in einen longitudinalen Anteil in z-Richtung
und einen transversalen Anteil senkrecht dazu aufgespalten mit |n1 | = |n2 | = |ek | = |e⊥ | = 1 und
e⊥ = (e1 , e2 , 0), und der Folge e⊥ · ek = 0 sowie e⊥ · ε · ek = 0
E3 (z, ω3 ) = Ek (z, ω3 )ek + E⊥ (z, ω3 )e⊥
mit ε · E3 = εk Ek (z, ω3 )ek + ε⊥ E⊥ (z, ω3 )e⊥ .
Zur Lösung der Differenzialgleichung für E3 (z, ω3 )
ω32
ω32 (2)
∆E3 − ∇∇ · E3 + 2 ε · E3 = − 2 χ : E1 E2
c
c
und ∇ · ε · E3 = −∇ · χ(2) : E1 E2
multiplizieren wir für die Transversalkomponente mit e⊥ und erhalten zunächst
∂2
e⊥ · ∆E3 = 2 E⊥ (z, ω3 ) und e⊥ · ∇∇ · E3 = 0 sowie e⊥ · ε · E3 = ε⊥ E⊥ (z, ω3 ).
∂z
ω32 ε⊥
(2)
(2)
Daraus findet man mit den Abkürzungen k =
und
χ
=
e
·
χ
: n1 n2
⊥
⊥
c2
2
ω32 (2)
∂
2
+ k E⊥ (z, ω3 ) = − 2 χ⊥ E10 E20 exp i(k1 + k2 )z .
∂z 2
c
2
Entsprechend ergibt sich aus der Differenzialgleichung für E3
ω32
ω32 (2)
∆E3 − ∇∇ · E3 + 2 ε · E3 = − 2 χ : E1 E2
c
c
und ∇ · ε · E3 = −∇ · χ(2) : E1 E2
nach Multiplikation mit ek der longitudinale Anteil wegen
∂2
ek · ∆E3 = 2 Ek (z, ω3 )
∂z
∂2
und ek · ∇∇ · E3 = 2 Ek (z, ω3 ) und ek · ε · E3 = εk Ek
∂z
zu
1 (2)
(2)
mit χk = ek · χ(2) : n1 n2 .
Ek (z, ω3 ) = − χk E10 E20 exp i(k1 + k2 )z
εk
Die Poisson-Gleichung liefert das gleiche Ergebnis für die longitudinale Komponente
∂
∂ (2)
εk Ek (z, ω3 ) = − χk E10 E20 exp i(k1 + k2 )z .
∂z
∂z
Es zeigt sich, dass die Transversalkomponente E⊥ (z, ω3 ) mit der Eindringtiefe z zunimmt, und damit
die größere Strahlungsintensität liefert.
Zur Lösung der Differenzialgleichung für E⊥ (z, ω3 ) machen wir einen Ansatz einer ebenen Welle mit
schwach veränderlicher Amplitude F (z, ω3 ) im Bereich einer Wellenlänge λ = 2π/k
E⊥ (z, ω3 ) = F (z, ω3 ) exp {ikz}
mit
F (z, ω3 ) ∂F |∆F |
k
≈
≪
= F (z, ω3 ) .
∂z |∆z|
λ
2π
F (z, ω3 )
z
zo
exp {ikz} = exp i2π
λ
n
ω32 (2)
∂2
2
E
(z,
ω
)
=
−
E
E
exp
i(k
+
k
)z
+
k
χ
Einsetzen in
⊥
3
10 20
1
2
2 ⊥
∂z 2
c
2
∂ F
∂F
∂2
2
E
=
−
k
F + 2ik
liefert wegen
exp {ikz}
⊥
∂z 2
∂z 2
∂z
∂2
i
∂F
∂ h ∂F
2
+
2ikF
≈
2ik
exp {ikz}
+
k
E
=
exp
{ikz}
⊥
∂z 2
∂z ∂z
∂z
oder
ω32 (2)
∂F (z, ω3 )
= − 2 χ⊥ E10 E20 exp {iKz}
2ik
∂z
c
mit K = k1 + k2 − k.
Wir setzen z = 0 an der Oberfläche des Kristalles, an der die ebenen Wellen E1 und E2 in den Kristall
eintreten, sodass dort E3 (0, ω3 ) = 0 ist. Dann ergibt sich aus der Anfangsbedingung F (0, ω3 ) = 0 die
Lösung der Differenzialgleichung
z
(2)
ω32 χ⊥ E10 E20 exp {iKz} − 1
exp {iKz} F (z, ω3 ) =
=
K
c2 2k
K
0
(2)
ω32 χ⊥ E10 E20 sin Kz
Kz
2
=
2i
exp i
mit K = k1 + k2 − k.
c2 2k
K
2
(2)
ω32 χ⊥ E10 E20
c2 2k
Damit ergibt sich die Intensität der Strahlung der Transversalkomponente der elektrischen Feldstärke
der erzeugten zweiten Harmonischen E⊥ (z, ω3 ) mit der Frequenz ω3 senkrecht zur Ausbreitungsrichtung
c2
2
bzw. der z-Achse aufgrund der zeitlichen und räumlichen Mittelung wegen ε = n ε0 = 2 ε0 und
v
vk = ω3
"
Kz #2
2 2 2
2
c
1
ω3
(2)
2 sin
2
I⊥ = vε |E⊥ |2 = v 2 ε0
,
χ
E
E
z
10
20
⊥
Kz
v
2 2kc2
2
d.h. die Intensität der erzeugten Strahlung mit der Kreisfrequenz ω3 = ω1 + ω2
I⊥ =
nimmt für K = 0 wegen lim
x→0
ε0 ω33
8c2 k
sin x 2
x
(2)
χ⊥ E10 E20
2
z2
sin
Kz 2
2
Kz
2
= 1 mit der durchstrahlten Strecke z im Kristall zu.
Die Intensität der zweiten Harmonischen oszilliert mit der Eindringtiefe z in den Kristall, besitzt ein
Maximum bei K = k1 + k2 − k = 0 oder k = k1 + k2 und hat Nullstellen bezüglich K, was den
Impulssatz der Photonen wiederspiegelt.
Ist d die Dicke des durchstrahlten Kristalles und ϑ der Einfallswinkel bei schrägem Einfall zur
optischen oder z-Achse, so ist die durchstrahlte Strecke im Kristall z = d/ cos ϑ und die Intensität I⊥
hängt vom Einfallswinkel ab
I⊥ (ϑ) =
ε0 ω33
8c2 k
2 4
Kd
(2)
2
χ⊥ E10 E20
.
sin
K2
2 cos ϑ
sin x 2
x
1
ϑ
opt. Achse
z=
d
d
cos ϑ
−3π −2π
−π
0
π
2π
x
5 Optische Fasern
Moderne Hochgeschwindigkeitsleitungen der Telekommunikation arbeiten mit Trägerfrequenzen im optischen Bereich. Dazu betrachten wir unterschiedliche Glasfasertypen.
5.1 Stufenprofilfasern
Die Faser besteht aus einem inneren Kernbereich mit einem Brechungsindex n1 = 1.46, wobei
der Quarz SiO2 mit GeO2 oder P2 O5 (Phosphorpentoxid) dotiert ist, und einem äußeren Mantelbereich mit niedrigerem Brechungsindex n2 = 1.45, was durch eine Dotierung mit F erreicht wird. Für
die Totalreflexion an der Grenzfläche muss der Öffnungswinkel γ klein sein γ < 90◦ − ϑT mit dem
Grenzwinkel der Totalreflexion ϑT , der sich aus
sin ϑT =
1.45
n2
=
n1
1.46
zu 90◦ − ϑT = 6.7◦
ergibt. Für die verschiedenen Neigungswinkel eines eintretenden Strahles ergeben sich jedoch unterschiedliche Laufzeiten über eine feste Strecke, was auch als Modenlaufzeitdispersion bezeichnet wird.
n1
n2
Die Durchmesser 2a des inneren Teils der Faser reichen von 3 µm bis 50 µm bei einem Außenradius
von 80 µm, und die Wellenlängen des Lichtes an den Minima des Absorptionskoeffizienten betragen
λ = 1.3 µm oder λ = 1.55 µm.
Ist λ nicht mehr klein gegen a, müssen die optischen Randbedingungen der Lösungen der Wellengleichung berücksichtigt werden. Löst man die Wellengleichung für die elektrische Feldstärke E(r, t)
mit einem orts- und frequenzabhängigen Brechungsindex n(r, ω)
n2 (r, ω) ∂ 2
∆−
E(r, t) = 0
c2
∂t2
bzw. in Zylinderkoordinaten


2
x
=
r
cos
ϕ
∂
n2 (r, ω) ∂ 2
1 ∂2
1 ∂
∂2
+ 2
+
+ 2 E−
E = 0 mit r =  y = r sin ϕ 
2
2
2
2
∂r
r ∂r r ∂ϕ
∂z
c
∂t
z
mit dem Ansatz ebener Wellen in z- oder Faserrichtung und der Wellenzahl k = 2π/λ
< ∞ für r = 0;
E(r, t) = Rm (r) exp {imϕ} exp {ikz} exp {−iωt} mit Rm (r) =
0
für r = ∞,
mit der Randbedingung, so erhält man eine Eigenwertgleichung für die Radialfunktionen Rm (r) mit
den von m abhängigen Eigenwerten k 2 (siehe Besselsche Differenzialgleichung und Zylinderfunktionen
bzw. Bessel-Funktionen)
2
m2
1 ∂
n2 (r, ω) 2
∂
− 2 +
+
ω Rm (r) = k 2 Rm (r).
2
2
∂r
r ∂r
r
c
Die diskreten Eigenwerte kνm mit ν = 0, 1, 2, . . . hängen von n2 (r, ω) ab, hier also vom Radius a des
Innenbereiches. Ist k kleiner als der tiefste Eigenwert k < k00 gibt es keine solchen ungedämpften
Wellen.
• Ist bei kleinem Durchmesser des Innenbereiches bei a = 2.5 µm und λ = 1.5 µm nur die tiefste
Mode mit k00 möglich, spricht man von Einmodenfasern.
• Bei größeren Durchmessern a = 25µm sind dagegen mehrere Moden kνm möglich, und man spricht
von Vielmodenfasern.
5.2 Gradientenfasern
Bei Gradientenfasern nimmt der Brechungsindex im Kernbereich quadratisch mit dem Radius ab.
n(r)
In Zylinderkoordinaten mit z in Faserrichtung


n0
x = r cos ϕ
r :  y = r sin ϕ 
z
hat der Brechungsindex n(r) für r ≤ a die Gestalt
n(a)
r2
n0 − n(a)
mit b =
n(r) = n0 1 − b 2
.
a
n0
r
a
R
In der Praxis hat man z.B. mit einem Kernradius von a = 25 µm die Werte n0 = 1.475, n(a) = 1.457
und b = 0.0122. Hängt der Brechungsindex auf diese Weise vom Radius ab, haben die gekrümmten
Strahlen weiter außen eine höhere Geschwindigkeit und die Laufzeit hängt nicht mehr davon ab, wie
groß der Eintrittswinkel des Strahles zur Faserachse ist.
Die bei ortsabhängigem Brechungsindex n(r) gekrümmten Strahlen lassen sich in Abhängigkeit vom
Eintrittswinkel γ mit Hilfe der Strahlendifferenzialgleichung berechnen
d
ds
dr
n(r)
= ∇n(r),
ds
wobei r(s) die Strahlenkurve und s die Bogenlänge bezeichnen.
Zur Berechnung betrachten
wir achsennahe Strahlen mit kleinem Eintrittswinkel und ϕ = 0 in
p
dx der x-z-Ebene, sodass = | tan γ| ≪ 1 und ds =
dx2 + dz 2 ≈ dz gesetzt werden kann. Der
dz
Brechungsindex n(r) = n(r) ist unabhängig von z, und aus der Strahlendifferenzialgleichung folgt
dn ∂r
r x
x
d2 x
∂n
d2 r
=
= −2n0 b 2 = −2n0 b 2 .
n(r) 2 = ∇n bzw. n(r) 2 =
dz
dz
∂x
dr ∂x
a r
a
Setzt man auf der linken Seite n(r) ≈ n0 ein, erhält man die Differenzialgleichung
2
d x 2b
+ 2 x = 0 mit der Lösung x(z) = x0 sin
dz 2
a
√
2b
z
a
z
= x0 sin 2π ,
p
2πa
wobei p = √ die Periode der Sinusfunktion bezeichnet. Sie beträgt p = 1 mm bei a = 25 µm und
2b
2π
dx(z)
b = 0.0122. Verschiedene Eintrittswinkel γ ergeben dann wegen tan γ =
= x0
die
dz
p
z=0
gleiche Periode für unterschiedliche Amplituden x0 .
Zwei gekrümmte Bahnkurven mit verschiedenen Entrittswinkeln γ haben dann genähert die Form
a
Da alle Kurven mögliche Lichtstrahlen sind, benötigen sie nach dem Prinzip von Fermat die gleiche
Laufzeit, sodass in dieser Näherung keine Laufzeitdispersion entsteht. Dies liegt daran, dass in den
Außenbereichen die Lichtgeschwindigkeit größer ist als in den Nähe der Achse.
n(a)
1.457
Der maximale Eintrittswinkel γmax berechnet sich aus x0 = a und b = 1 −
= 0.0122
=1−
n0
1.475
tan γmax
a √
= 2π = 2b zu γmax = 8.9◦ .
p
Zum Vergleich beträgt der Öffnungswinkel ϑ eines Strahles vom Durchmesser d mit der Wellenlänge λ
λ 3.8
1
.
sin 2 ϑ =
d 2π
Für λ = 1 µm und dem Durchmesser der Glasfaser d = 2a = 50 µm ergibt das ϑ = 1.4◦ .
Zur Datenübertragung kann man die Phasenmodulation bzw. Frequenzmodulation verwenden, die mit
Lithiumniobat Kristallen Li3 NbO4 erreicht wird, bei denen eine Spannungsänderung von einigen Volt
zur Änderung der Dispersion führt.
5.3 Strahlendifferenzialgleichung
Für ein Dielektrikum ohne Ladungen ρ = 0 und Ströme j = 0, jedoch mit einer ortsabhängigen,
skalaren Dielektrizitätskonstanten ε(r) mit D = ε(r)E und Permeabilität µ(r) mit B = µ(r)H ergibt
sich ein ortsabhängiger und reeller Brechungsindex n(r)
1
n2 (r)
,
=
ε(r)µ(r) =
c2
v 2 (r)
der zu einer ortsabhängigen Lichtgeschwindigkeit v(r) im Medium führt. Die Feldgleichungen
∇ × E = −Ḃ
; ∇ × H = Ḋ
; ∇·B=0 ;
∇·D=0
1
ergeben wegen ∇ · D = ε∇ · E + E · ∇ε = 0 oder ∇ · E = −E · ∇ε sowie
ε
n2 (r)
Ė − H × ∇µ
∇ × B = µ∇ × H − H × ∇µ = µεĖ − H × ∇µ =
c2
und
1 n2 (r)
∇ × (∇ × E) = ∇(∇ · E) − ∆E = −∇ E · ∇ε − ∆E = − 2 Ë + Ḣ × ∇µ
ε
c
eine modifizierte Wellengleichung
n2 (r)
∆E − 2 Ë = −∇(E · e) − Ḣ × ∇µ
c
mit e =
1
∇ε(r).
ε(r)
Wegen der Kleinheit von µ/µ0 wird ∇µ ≈ 0 gesetzt. Zur Abschätzung der rechten Seite der Wellengleichung betrachten wir eine ebene Welle der Form E = E0 (t) exp {ik · r} der Wellenlänge λ = 2π/|k|,
dann gilt ∇(E · e) = ikE · e + (∇e) · E und ∆E = −k 2 E mit k = |k|. Unter der Voraussetzung, dass
sich der Brechungsindex n(r) im Bereich einer Wellenlänge λ nur wenig ändert
λ|∇n| ≪ n,
denn es ist
gilt k|e| ≪ k 2 ,
1
2
1 2 2n
2
k
|e| = |∇ε| = 2 ∇n = |∇n| ≪
= = .
ε
n
n
nλ
λ
π
Daher kann der Term ∇(E·e) gegen ∆E in der Wellengleichung vernachlässigt werden, und man erhält
wegen der Kleinheit von ∇e genähert die Wellengleichung mit ortsabhängigem Brechungsindex
n2 (r)
∆E − 2 Ë = 0.
c
Der Lösungsansatz mit einer sich nur schwach ändernden Amplitude E0 (r) ist mit k0 =
E(r, t) = E0 (r) exp − ik0 S(r) exp {iωt}
ω
= konst.
c
mit dem reellen Eikonal S(r).
Dabei beschreibt S(r) = konst. die Flächen gleicher Phase im Ortsraum, die im Falle n = konst. wegen
k
ωc
S(r) = n
· r, |k| =
= k0 n und k · r = k0 S(r) Ebenen senkrecht zum geradlinigen Strahl sind.
|k|
cv
Zum Einsetzen des Ansatzes in die Wellengleichung berechnen wir zunächst die erste Ortsableitung
einer beliebigen Komponente E = E0 (r) exp − ik0 S(r) exp {iωt} nach dem Ort r = (x, y, z)
∂S
1 ∂E0
∂E
= −ik0
E+
E=
∂x
∂x
E0 ∂x
∂S
1 ∂E0
−ik0
+
E,
∂x
E0 ∂x
und die zweite Ableitung ergibt
∂2E
∂S
∂S 2
∂ 1 ∂E0 1 ∂E0
1 ∂E0
∂S
E + −ik0
+
+
= −ik0 2 E +
−ik0
E
∂x2
∂x
∂x E0 ∂x
∂x
E0 ∂x
∂x
E0 ∂x
2
∂S 2
∂S
1 ∂E0 ∂S
≈ −ik0 2 E − k02
E,
E − i2k0
∂x
∂x
E0 ∂x ∂x
wobei zwei Terme vernachlässigt werden, die bei nur schwach veränderlicher Amplitude E0 klein sind.
Damit erhält man aus der Wellengleichung mit reellem S(r)
n2 (r) 2
n2 (r)
∆E − 2 Ë = ∆E + 2 ω E = ∆E + k02 n2 (r)E = 0
c
" c #
2 2
2
∂S
1
∂S
∂S
1
0 = −k02
+
+
− n2 (r) E − i2k0 ∆S +
∇E0 · ∇S E
∂x
∂y
∂z
2
E0
Da Real- und Imaginärteil getrennt verschwinden müssen, ergeben sich die Eikonalgleichungen
(∇S)2 = n2 (r)
und
1
1
∇E0 · ∇S = − ∆S.
E0
2
Während die zweite Differenzialgleichung zur Bestimmung der Amplitude E0 dient, lässt sich die
erste in die Strahlendifferenzialgleichung umformen. Sei t der Kurvenparameter der Kurve r(t) des
Lichtstrahles bei ortsabhängigem Brechungsindex n(r), so gilt für die Bogenlänge s(t)
s(t) =
Z
t
t0
dr(t′ ) =
Z t
dr(t′ ) ′
dt′ dt
t0
ds(t) dr(t) =
.
dt
dt mit
dr(s) = 1 mit dr = t und
Wird als Kurvenparameter die Bogenlänge s verwendet r = r(s), so gilt ds ds
|t| = 1 mit dem Tangentenvektor t an die Strahlkurve.
Betrachtet man die Fläche eines konstanten Eikonals S(r) = konstant, die die Fläche gleicher
Phase des Lichtstrahles ist, so ist ∇S(r) ↑↑ t und |∇S(r)| = n(r) nach der Eikonalgleichung. Also gilt
dr
∇S(r) = n(r)t = n(r) .
ds
t
r(s)
Differenziert man diese Gleichung nach der Bogenlänge s als Kurvenparameter
dr
1
1
1
d
∇S =
· ∇∇S =
∇S · ∇∇S =
∇(∇S)2 =
∇n2 (r) = ∇n(r),
ds
ds
n(r)
2n(r)
2n(r)
S(r) = konst.
so folgt die Strahlendifferenzialgleichung
d
ds
dr
n(r)
ds
= ∇n(r).
z
x
y
5.4 Solitonen
Stufenprofilfasern mit einem konstanten isotropen Brechungsindex im Innern können als Einmodenfasern für einen engen Frequenzbereich ausgelegt werden, indem der innere Durchmesser z.B. a = 2.5µm
und die Wellenlänge des Lichtstrahls z.B. λ = 1.5 µm betragen, sodass keine anderen Moden hindurchtreten können. In solchen Fasern gibt es neben der besprochenen Wellenausbreitung mit einer
Pulsverbreiterung durch Laufzeitdispersion bei hohen Lichtintensitäten noch eine andere Ausbreitungsform durch Solitonen, wobei nichtlineare optische Effekte die dispersive Pulsverbreiterung kompensieren, was größere Übertragungsstrecken ermöglicht. Die Entstehung der Solitonen hängt mit dem
elektro-optischen Kerr-Effekt zusammen, wonach elektrische Felder auch in isotropen dispersiven Medien eine Doppelbrechung verursachen können, was auf nichtlinearen optischen Effekten beruht.
Ein Soliton ist ein stabiler, nichtlinearer optischer Puls, der nahezu unverändert die Faser durchwandert, falls die Eingangsintensität des Lichtes über einer gewissen Mindestintensität liegt.
Zur Herleitung in isotropen Medien ohne Ladungen ρ = 0 und Ströme j = 0 und ohne Magnetisierung M = 0 und B = µ0 H, geht man von der nichtlinearen dielektrischen Verschiebung
D = ε0
Z
∞
0
ε1 (t′ )E(r, t − t′ ) dt′ + PNL (r, t) mit PNL (r, t) = ε0 χ(3) :̇EEE = ε0 ε2 |E|2 E
aus, vergl. Abschn. 4.1. Mit ∇ · PNL ≈ 0 folgt aus ∇ · D = 0 auch ∇ · E = 0 und damit ergibt sich aus
den Feldgleichungen ∇ × E = −Ḃ und ∇ × H = Ḋ
∇ × (∇ × E) = −∆E = −µ0 ∇ × Ḣ = −µ0 D̈.
Die nichtlineare Wellengleichung ist die Ausgangsgleichung der nichtlinearen Optik in isotropen Medien
1 ∂2
∆E − 2 2
c ∂t
Z
0
∞
ε2 ∂ 2
ε1 (t )E(r, t − t ) dt = 2 2 |E|2 E.
c ∂t
′
′
′
Wir verwenden einen Lösungsansatz in Zylinderkoordinaten r : ρ, ϕ, z mit |E0 | = 1 unabhängig von ϕ
E(ρ, z, t) = E0 R(ρ)A(z, t) exp i(kz − ωt)


x = ρ cos ϕ
mit r =  y = ρ sin ϕ 
z
mit nur schwacher zeitlicher und örtlicher Abhängigkeit der Solitonenamplitude A(z, t) innerhalb einer
Schwingungsdauer T = 2π/ω bzw. Wellenlänge λ = 2π/k
2 2 2π
∂ A ≪ 2π ∂A ≪ |A| und
∂t2 ω
ω ∂t A(z, t)
2 2 2π
∂ A ≪ 2π ∂A ≪ |A|.
∂z 2 k
k ∂z z
exp i(kz − ωt)
Unter der Voraussetzung eines nur geringen Gedächtniseffektes der Dispersion wird die Solitonenamplitude in eine Potenzreihe nach der Vergangenheit t′ entwickelt, wobei t′ = 0 kein Gedächtniseffekt
bedeuten würde
1
A(z, t − t′ ) = A(z, t) − t′ Ȧ(z, t) + t′2 Ä(z, t).
2
Wir verwenden die Abkürzungen
∂2A
; A =
,
∂z 2
und erhalten für den Solitonenansatz E(ρ, z, t) = E0 R(ρ)A(z, t) exp i(kz − ωt) wegen
∂A
Ȧ =
∂t
∂2A
; Ä =
∂t2
∂A
; A =
∂z
′
′′
1 ∂2
∂2
1 ∂
∂2
+
∆=
+
+ 2
∂ρ2
ρ ∂ρ ρ2 ∂ϕ2
∂z
für die Ortsableitung
∂2
1 ∂
′′
2
′
mit ∆ρ = 2 +
∆E = E0 exp i(kz − ωt) A∆ρ R + RA − k RA + i2kRA
.
∂ρ
ρ ∂ρ
Für den nichtlinearen Term in der Wellengleichung findet man unter Vernachlässigung von
2
ε2 ∂ 2
ε2 2
2
2
R(ρ)
R(ρ)
exp
i(kz
−
ωt)
−
ω
|A|
A
.
|E|
E
=
E
0
c2 ∂t2
c2
∂
|A|2 A
∂t
Zur Berechnung des linearen Integralterms benützen wir die Abkürzungen
Z ∞
∂ε(ω)
ε′ (ω) =
=i
t′ ε1 (t′ ) exp {iωt′ } dt′
Z ∞
∂ω
0
ε(ω) =
ε1 (t′ ) exp {iωt′ } dt′ ;
Z ∞
2
∂
ε(ω)
0
′2
′
′
′
ε′′ (ω) =
t
ε
(t
)
exp
{iωt
}
dt
=
−
1
∂ω 2
0
∂4A
∂3A
und
und erhalten bei Vernachlässigung von Termen mit
∂t3
∂t4
Z ∞
∂2
′
′
′
ε
(t
)E(r,
t
−
t
)
dt
=
1
∂t2 0
i
h
∂2
1 ′′
′
= 2 E0 R(ρ) exp i(kz − ωt) ε(ω)A + iε (ω)Ȧ − ε (ω)Ä)
∂t
2
i
h
ω 2 ′′
′
2
2 ′
ε Ä − i2ωεȦ + 2ωε Ä + εÄ .
= E0 R(ρ) exp i(kz − ωt) − ω εA − iω ε Ȧ +
2
Zusammen erhält man aus der nichtlinearen Wellengleichung mit dem Solitonenansatz
1
1 2 ′′ ω2
ω
′
′
A∆ρ R + RA − k RA + i2kRA + 2 εRA + i 2 (2ε + ωε )RȦ − 2 ε + 2ωε + ω ε RÄ
c
c
c
2
ε2 2 2
= − 2 ω |R| R|A|2 A,
c
′′
2
′
wobei sich die in A linearen Terme in der linearen Näherung zu Null addieren, vergl. Abschn. 5.1
ω2 A ∆ρ − k + 2 ε R = 0.
c
2
Also erhält man aus dem Ansatz die von der linearen Lösung unabhängige Solitonenlösung der nichtlinearen Optik der restlichen Terme
ω
ε2
1
1 2 ′′ ′
′
RA + i2kRA + i 2 (2ε + ωε )RȦ − 2 ε + 2ωε + ω ε RÄ = − 2 ω 2 |R|2 R|A|2 A.
c
c
2
c
′′
′
Wir eliminieren die Radialfunktion R(ρ) durch Mittelung über den Faserquerschnitt und verwenden
die Abkürzungen
Z 2π
Z ρmax
Z ρmax
|R(ρ)|4 ρ
2
2
2 2
mit
|R(ρ)|
|R(ρ)|
ρ dρ
dϕ
|R(ρ)|
d
ρ
=
=
α= ρ
|R(ρ)|2 ρ
0
0
0
und erhalten
A′′ + i2kA′ + i
ω
ε2 2
1
1 2 ′′
′
′
2
ω
ε
)
Ä
=
−
(2ε
+
ωε
)
Ȧ
−
(ε
+
2ωε
+
ω
α|A|
A.
c2
c2
2
c2
Im Falle der tiefsten Mode der linearen Lösung, d.h. der Besselschen Differenzialgleichung, erhält man
die Dispersionsbeziehung mit der Gruppengeschwindigkeit v
1
dk
ω2
=
k = 2 ε(ω) und k ′ =
c
dω
v
2
c2
mit ε = 2
v
und ω = vk,
und man findet
ω
dk 2
= 2kk ′ = 2 (2ε + ωε′ ) und
dω
c
1
d
1
(kk ′ ) = k ′2 + kk ′′ = 2 (ε + 2ωε′ + ω 2 ε′′ ).
dω
c
2
Die Differenzialgleichung lautet dann bei schwach veränderlicher Solitonenamplitude A(z, t)
1 ′′
1 ε2 ω 2
1 1 ′′
′
α|A|2 A ≈ 0,
A − 2 Ä = k Ä − i A + Ȧ − 2
2k
v
2
v
c 2k
denn es ist aufgrund der eingeführten Näherungsannahmen
Ȧ 1 ∂A′ 1 ∂ Ȧ 1 ∂ Ȧ ′
≪ |A | und
≈ ≪ .
k ∂z
vk ∂t v
ω ∂t v
v
Bei Einführung dimensionsloser Variabler A(z, t) = |A0 |B(ζ, τ ), sowie
τ=
z
t
−
t0
vt0
und ζ =
z
z0
mit t20 = −k ′′ z0
und
ε2
1
= kα|A0 |2
z0
2ε
erhält man für die rechte Seite eine Differenzialgleichung ähnlich der Schrödinger-Gleichung
1 ∂2B
∂B
+
+ |B|2 B = 0.
i
2
∂ζ
2 ∂τ
Die Lösung lautet mit einer dimensionslosen Amplitude q0 und sech x =
1
2
=
cosh x
exp {x} + exp {−x}
1 2
,
B(ζ, τ ) = q0 sech q0 (τ − ϑ) exp i q0 ζ + δ
2
mit den dimensionslosen freien Parametern ϑ und δ.
Also erhält man die Solitonenlösung
E(r, t) = E0 R(ρ)|A0 |q0 sech
2
q0
z
q0 exp i
t − − t0 ϑ
z+δ
exp i(kz − ωt) .
t0
v
2z0
z
q0
= φ einen festen Wert und
t−
Die Solitonenlösung hat an den Stellen gleicher Phase q0 τ =
t0
v
n q2
o
0
ist im Ortsraum periodisch cos
z + δ , aber ungedämpft, und q0 bestimmt die Amplitude der
2z0
Solitonenlösung. Die Halbwertsbreite der Pulskurve sech x beträgt 2.63 und bestimmt die Pulsdauer
t0
tPD = 2.63 an einem festen Ort. Die Pulsdauer ist umso kleiner, je größer die Amplitude q0 ist, was
q0
die Selbstphasenmodulation der Solitonen bei hohennIntensitäten
verursacht.
q0 o
t
sech
t0
q0
t
t0
Das Soliton bewegt sich also ungedämpft mit der Gruppengeschwindigkeit v durch das nichtlineare
isotrope Medium, ist im Ortsraum periodisch, und hat an einem festen Ort den zeitlichen Verlauf eines
q0 t exp {−iωt}, und entsteht erst bei einer Mindestintensität der in die Faser eintetenden
Pulses sech
t0
Strahlung. Die Wellenlänge im Ortsraum wird durch q02 /z0 und die Phase durch δ bestimmt.
2π
= 1.5 µm, z0 = 1 km, t0 = 3 ps und
Die Daten für Quarz SiO2 für die Solitonen sind λ =
k
|A0 |q0 = 2 · 106 Vm−1 .
6 Teilchenzahlformalismus
Quantenmechanische Systeme aus N identischen Massenpunkten, z.B. Elektronen, werden in einem
N -Teilchen-Hilbert-Raum als Produktraum aus N Einteilchen-Hilbert-Räumen beschrieben
H(N ) = H1 ⊗ H2 ⊗ . . . ⊗ HN .
Ist dann ψν1 (x1 ) ∈ H1 eine Basis in H1 mit hψν |ψµ i = δνµ und x1 = (r1 , s1 ) die Konfigurationskoordinate für ein Teilchen, so bilden die Produkte aus N Einteilchen-Basisfunktionen
Ψν1 ν2 ...νN (x1 , x2 , . . . xN ) = ψν1 (x1 )ψν2 (x2 ) . . . ψνN (xN )
eine Basis in H(N ) .
Nach dem Pauli-Prinzip sind jedoch als Zustände nur solche Elemente von H(N ) erlaubt, die bei
Bosonen symmetrisch und bei Fermionen antisymmetrisch bezüglich der Vertauschung zweier Teilchen
sind. Beschreibt man also die Zustände aus Produkten von Einteilchenfunktionen, sind aufwendige
Symmetrisierungen bzw. Antisymmetrisierungen erforderlich, weil die nach dem Pauli-Prinzip ununterscheidbaren Teilchen zunächst nummeriert werden, was anschließend korrigiert werden muss.
Eine andere Darstellungsmöglichkeit, nämlich die der Teilchenzahlzustände, besteht darin, nur die
Anzahl der Teilchen anzugeben, die sich in einem bestimmten Einteilchenzustand befinden.
6.1 Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
Sei nν die Anzahl der Teilchen, die sich im gegebenen Einteilchenzustand ψν (x) befinden, so ist ein
N -Teilchen-Zustand durch Angabe aller nν vollständig beschrieben |n1 n2 n3 . . .i, und es gilt
|n1 n2 . . .i =
N!
∞
Y
ρ=1
nρ !
!−1/2
X
P ∈S
(±1)p TP ψν1 (1) . . . ψνN (N )
mit
∞
X
nν = N.
ν=1
Hier bezeichnet TP den Permutationsoperator im Hilbert-Raum H(N ) , der eine bestimmte Permutation P der Teilchenummern erzeugt, und an Stelle von xν wurde vereinfacht nur ν geschrieben. Die
Summe läuft über alle N ! Permutationen P der Permutationsgruppe S und p bezeichnet die Anzahl
der Zweiervertauschungen, die P in das Einselement überführen.
Bei Fermionen ist nach dem Pauli-Prinzip nν = 0 oder 1, und bei Bosonen eine natürliche Zahl
oder Null.
Mit dem Normierungsfaktor gilt die Orthonormalitätsrelation der Teilchenzahlzustände
hn1 n2 . . . |n′1 n′2 . . .i = δn1 n′1 δn2 n′2 . . . ,
die den irreduziblen Teilraum von H(N ) aufspannen, der alle möglichen physikalischen Zustände enthält.
Um quantenmechanische Systeme mit Teilchenzahlzuständen berechnen zu können, ist es erforderlich,
die Anwendung von Operatoren auf die Teilchenzahlzustände zu kennen. Die selbstadjungierten N Teilchen-Operatoren, die physikalischen Observablen zugeordnet sind, lassen sich aus einer Summe von
Einteilchen- und Zweiteilchen-Operatoren zusammensetzen:
N
X
1...N
1 X
A(j) +
H(1, 2, . . . N ) =
B(i, j)
2
j=1
i,j
i6=j
mit B(i, j) = B(j, i) und es gilt
N
X
A(j)|n1 n2 . . .i =
j=1
1...∞
X
λ,µ
Aλµ a+
λ aµ |n1 n2 . . .i mit Aλµ = hψλ |A|ψµ i.
Dabei bezeichnen a+
λ und aλ sogenannte Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, die durch
√
aλ |n1 n2 . . . nλ . . .i = nλ |n1 n2 . . . nλ − 1 . . .i
√
nλ + 1 |n1 n2 . . . nλ + 1 . . .i
a+
|n
n
.
.
.
n
.
.
.i
=
1 2
λ
λ
+
+ +
= aλ und wegen
definiert sind. Hierbei ist aλ der zu aλ adjungierte Operator mit aλ
a+
λ aλ |n1 n2 . . . nλ . . .i = nλ |n1 n2 . . . nλ . . .i
liefert der Teilchenzahloperator N̂ die Anzahl der Teilchen N jedes Zustandes
N̂ =
∞
X
λ=1
a+
λ aλ
mit N̂ |n1 n2 . . .i =
∞
X
λ=1
nλ |n1 n2 . . .i = N |n1 n2 . . .i.
Es gelten ferner die Vertauschungsrelationen für Bosonen mit dem Kommutator [A, B] = AB − BA
[aλ , a+
µ ] = δλµ 1
+
; [aλ , aµ ] = 0 = [a+
λ , aµ ].
Im Falle von Fermionen gilt entsprechend mit dem Antikommutator {A, B} = AB + BA
+ +
+ 2
+
{aλ , aµ } = δλµ 1 ; {aλ , aµ } = 0 = {aλ , aµ } mit der Folge aλ = 0 und nλ = 0, 1.
Der Zweiteilchenoperator, ausgedrückt durch die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, lautet
1...N
1...∞
1 X
1 X
+
B(i, j)|n1 n2 . . .i =
Bλµνρ a+
λ aµ aν aρ |n1 n2 . . .i
2 i,j
2
λ,µ,ν,ρ
i6=j
mit den Matrixelementen der Zweiteilchenwechselwirkung
Bλµνρ = ψλ (1)ψµ (2) B(1, 2)ψν (2)ψρ (1) .
Wählt man speziell die Eigenfunktionen von A als Basis im Einteilchen-Hilbert-Raum, so gilt
A(1)ψν (1) = εν ψν (1) mit Aλµ = hψλ |A|ψµ i = ελ δλµ ,
und der Hamilton-Operator hat die einfachere Form
Ĥ =
∞
X
λ=1
1...∞
X
1
+
+
Bλµνρ a+
ε λ aλ aλ +
λ aµ aν aρ .
2
λ,µ,ν,ρ
Der Zustand |0i = |00 . . .i für die Teilchenzahl N = 0 wird Vakuum-Zustand genannt und es gilt
speziell für Bosonen (und auch für Photonen)
√
+
+
aλ |0i = |00 . . . 10 . . .i
aλ |00 . . . 10 . . .i = 2|00 . . . 20 . . .i
;
aλ |0i = 0|0i
aλ |00 . . . 10 . . .i = |0i.
Die Teilchenzahlzustände kann man durch Erzeugungsoperatoren und das Vakuum ausdrücken
|n1 n2 . . .i = √
1
n1 + n2
(a+
. . . |0i.
1 ) (a2 )
n1 !n2 ! . . .
Wenn die Anzahl N der Teilchen erhalten bleiben soll, müssen die Operatoren der Observablen
eine gleiche Anzahl von Erzeugungs- wie Vernichtungsoperatoren aufweisen, wie das bei dem HamiltonOperator der Fall ist. Die Anwendung einzelner Erzeugungs- oder Vernichtungsoperatoren bildet jedoch
einen Teilchenzahlzustand mit N Teilchen auf einen mit veränderter Teilchenzahl ab. Die Erzeugungsund Vernichtungsoperatoren sind deshalb in einem verallgemeinerten Hilbert-Raum, dem Fock-Raum
HF definiert, der aus der orthogonalen Summe aller N -Teilchen-Hilbert-Räume besteht
HF = H(0) ⊕ H(1) ⊕ H(2) ⊕ . . . ⊕ H(N ) ⊕ . . . .
Die Operatoren physikalischer Observabler sind unabhängig von der Teilchenzahl und somit im ganzen
Fock-Raum definiert. Dieser enthält auch den Vakuum-Zustand |0i mit h0|0i = 1, der den eindimen-
sionalen Hilbert-Raum H0 aufspannt.
6.2 Feldoperatoren
Der im vorigen Abschnitt eingeführte Teilchenzahlformalismus gestattet die Berechnung quantenmechanischer Systeme mit N -Teilchen-Zuständen aus diskreten Einteilchenzuständen. Der Formalismus lässt
sich weiter verallgemeinern und vereinfachen, indem Operatoren zu beliebigen Einteilchenzuständen
betrachtet werden.
Geht man von einer Basis, also einem vollständigen Orthonormalsystem ψν (x) ∈ H(1)
im Einteilchen-Hilbert-Raum H(1) aus, so lässt sich jedes Element ψ(x) ∈ H(1) danach entwickeln
ψ(x) =
X
ψν (x)hν|ψi
ν
mit hν|ψi =
Z
ψν∗ (x)ψ(x) dτ,
wobei dτ ein Volumenelement im Konfigurationsraum eines Teilchens ist und x einen Vektor in diesem
Konfigurationsraum bezeichnet. Mit Hilfe der Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren aν , a+
ν für ein
Teilchen im Zustand ψν (x) werden Feldoperatoren in Form von Vernichtungs-und Erzeugungsoperatoren ψ̂(x), ψ̂ + (x) für ein Teilchen in einem beliebigen Zustand ψ(x) ∈ H(1) definiert
ψ̂(x) =
X
ψν (x)aν
mit aν =
ν
ψ̂ + (x) =
X
ν
ψν∗ (x)a+
ν
mit a+
ν =
Z
Z
ψν∗ (x)ψ̂(x) dτ
ψν (x)ψ̂ + (x) dτ,
wobei die Feldoperatoren im Fock-Raum zur Unterscheidung mit einem Dach versehen wurden.
Die Vertauschungsrelationen der Feldoperatoren ergeben sich direkt aus denen der Vernichtungs- und
Erzeugungsoperatoren für Bosonen:
+ ′
ψ̂(x), ψ̂ (x ) = δ(x − x′ )1
Für den Teilchenzahloperator N̂ erhält man
N̂ =
∞
X
λ=1
a+
λ aλ =
Z
;
′
+
+
′
ψ̂(x), ψ̂(x ) = 0 = ψ̂ (x), ψ̂ (x ) .
ψ̂ + (x)ψ̂(x) dτ =
Z
n̂(x) dτ
mit n̂(x) = ψ̂ + (x)ψ̂(x),
wobei n̂(x) den Teilchendichteoperator bezeichnet. Das Umschreiben des Hamilton-Operators in Feldoperatoren ergibt
Z
Z
1
ψ̂ + (x′ )ψ̂ + (x)B(x, x′ )ψ̂(x)ψ̂(x′ ) dτ dτ ′ ,
Ĥ = ψ̂ + (x)A(x)ψ̂(x) dτ +
2
wobei A(x) den Einteilchen- und B(x, x′ ) den Zweiteilchenoperator bezeichnet. Die mit einem Dach
markierten Feldoperatoren im Fock-Raum beziehen sich nicht auf eine bestimmte Teilchenzahl, die
Teilchenzahl ist vielmehr durch die Zustände des Fock-Raumes gegeben. Die Anwendung des Teilchenzahloperators N̂ auf einen solchen Zustand liefert die Anzahl N der Teilchen als Eigenwert.
Die Teilchenzahlzustände lassen sich auch aus Erzeugungsoperatoren und dem Vakuum-Zustand
ausdrücken und |x1 i = ψ̂ + (x1 )|0i bezeichnet z.B. einen Zustand mit einem Teilchen an der Stelle x1
des Konfigurationsraumes.
6.3 Zeitabhängige Feldoperatoren
Zur Beschreibung zeitabhängiger Prozesse mit zeitabhängigem Einteilchenoperator A(x, t) und zeitunabhängigem Zweiteilchenoperator, lassen sich die zeitunabhängigen Operatoren leicht verallgemeinern.
Wir gehen von der zeitabhängigen Einteilchen-Schrödinger-Gleichung aus
−
h̄ ∂
ψ(x, t) = A(x, t)ψ(x, t),
i ∂t
und definieren die Zeitabhängigkeit der Feldoperatoren entsprechend als Heisenberg-Operatoren
h̄ ∂
−
ψ̂(x, t) = ψ̂(x, t), Â(t)
i ∂t
h̄ ∂ +
−
ψ̂ (x, t) = ψ̂ + (x, t), Â(t)
i ∂t
mit Â(t) =
Z
ψ̂ + (x′ , t)A(x′ , t)ψ̂(x′ , t) dτ ′ .
Die Vertauschungsrelationen der Vernichtungs- und Erzeugungs-Feldoperatoren werden zu einer festen
Zeit t festgelegt und lauten für Bosonen
+ ′
ψ̂(x, t), ψ̂ (x , t) = δ(x − x′ )1
ψ̂(x, t), ψ̂(x′ , t) = 0 = ψ̂ + (x, t), ψ̂ + (x′ , t) ,
sodass die Feldoperatoren die gewünschte Zeitabhängigkeit erhalten
−
h̄ ∂
ψ̂(x, t) = A(x, t)ψ̂(x, t) und
i ∂t
−
h̄ ∂ +
ψ̂ (x, t) = A(x, t)ψ̂ + (x, t).
i ∂t
Der Hamilton-Operator wechselwirkender Teilchen im Fock-Raum hat die Form
Ĥ(t) = Â(t) + B̂(t)
mit Â(t) und dem Zweiteilchenoperator
1
B̂(t) =
2
Z
ψ̂ + (x, t)ψ̂ + (x′ , t)B(x, x′ )ψ̂(x′ , t)ψ̂(x, t) dτ dτ ′ ,
dessen Zeitabhängigkeit vom Hamilton-Operator bestimmt wird
−
Für den Einteilchenoperator gilt dagegen
h̄ dB̂
= B̂, Ĥ(t) .
i dt
h̄ ∂ Â
h̄ dÂ(t) = Â(t), Ĥ(t) −
−
i dt
i ∂t
mit
∂ Â
=
∂t
Z
ψ̂ + (x, t)
∂A(x, t)
ψ̂(x, t) dτ.
∂t
Exkurs über Heisenberg-Operatoren
Die Erwartungswerte der Observablen A(x, t) findet man im Schrödinger-Bild und die Zeitabhängigkeit
des statistischen Operators ρ(x, t) wird bestimmt durch die von-Neumann-Gleichung
M (A) = Sp{ρA} mit
∂ρ
i
= [ρ, H]
∂t
h̄
mit dem zeitunabhängigen Hamilton-Operator H(x). Eine Lösung der Gleichung erhält man mit dem
unitären Zeitschiebeoperator U (x, t, t0 ) mit U U + = 1
ρ(x, t) = U ρ(x, t0 )U
+
mit
∂U
i
= − HU
∂t
h̄
und U (x, t, t0 ) = exp
n
o
i
− H(x)(t − t0 ) .
h̄
Dann hat der Erwartungswert die Form
+
M (A) = Sp ρ(x, t)A = Sp U ρ(x, t0 )U A = Sp ρ(x, t0 )AH
mit dem Heisenberg-Operator AH = U + (x, t, t0 )A(x, t)U (x, t, t0 ), dessen Zeitabhängigkeit bestimmt
wird durch
∂A
i
∂AH
= [H, AH ] + U +
U,
∂t
h̄
∂t
wobei der letzte Term verschwindet, wenn der Operator A der Observablen nicht explizit von der Zeit
∂A
= 0.
abhängt
∂t
6.4 Quantenfeldtheorie
Zur Beschreibung der optischen Eigenschaften von Festkörpern, Flüssigkeiten, Atomen und Molekülen
hat man es mit geladenen Massenpunkten d.h. Elektronen und Atomkernen zu tun, die mit elektromagnetischen Feldern in Wechselwirkung stehen. Zum Verständnis vieler optischer Eigenschaften
wird es nötig, auch die elektromagnetischen Felder zu quantisieren. Die Vorgehensweise ist dabei
die gleiche wie bei der Quantisierung der Punktmechanik, indem neben der Lagrange-Funktion eine
Hamilton-Funktion gebildet wird, und zu den kanonisch konjugierten Koordinaten selbstadjungierte
Operatoren eingeführt werden, die bestimmten Vertauschungsrelationen gehorchen. Dieser Weg sei
deshalb hier kurz skizziert. Hat man in der klassischen Mechanik ein System von Massenpunkten,
welches durch generalisierte Lagekoordinaten qk und Geschwindigkeitskoordinaten q̇k bestimmt ist, so
ergibt sich die Bewegungsgleichung nach dem Variationsprinzip aus der Variation des Wirkungsintegrals mit der Lagrange-Funktion L(qk , q̇k , t) = T (qk , q̇k , t) − V (qk , t) aus kinetischer Energie T und
potenzieller Energie V
Z
t2
L(qk , q̇k , t′ ) dt′ = 0,
δ
t1
wobei die qk (t) mit den Nebenbedingungen δqk (t1 ) = 0 = δqk (t2 ) zu variieren sind. Die Variationsableitung oder Funktionalableitung dieses Funktionals ergibt dann die Euler-Lagrange-Gleichungen:
δ
δqk (t)
Z
t2
t1
L(qk , q̇k , t′ ) dt′ = 0
=⇒
∂L
d ∂L
−
= 0.
∂qk
dt ∂ q̇k
Funktionalableitung oder Variationsableitung
F
Sei r ∈ R3 , ϕ(r) ∈ RN , F ∈ C, dann heißt ϕ(r)−→C bzw. F[ϕ] ein Funktional von ϕ.
Wenn für η(r) ∈ RN und α ∈ R für ein gegebenes Funktional F[ϕ + αη]
die Ableitung nach α existiert und sich in der Form
Z X
N
δF[ϕ]
d
F[ϕ + αη]
=
ηk (r) d3r
dα
δϕk (r)
α=0
V
k=1
schreiben läßt, dann heißt
δF[ϕ]
Funktionalableitung des Funktionals F[ϕ].
δϕk (r)
Definiert man die kanonisch konjugierten Impulskoordinaten pk =
Hamilton-Funktion mihilfe einer Legendre-Transformation
H(qk , pk , t) =
X
k
und den Hamilton-Gleichungen
q̇k =
∂H
∂pk
die Bewegungsgleichung ebenfalls bestimmen.
pk q̇k − L(qk , q̇k , t)
und ṗk = −
∂H
∂qk
∂L
, so kann man aus der
∂ q̇k
Der Übergang zur Quantenmechanik besteht nun darin, zu den kanonisch konjugierten Koordianten qk ,
pk selbstadjungierte Operatoren in einem Hilbert-Raum einzuführen, die den Vertauschungsrelationen
[pk , ql ] =
h̄
δkl 1
i
; [qk , ql ] = 0 = [pk , pl ]
genügen. Die Zeitabhängigkeit der Operatoren A(qk , pk ), die Observablen zugeordnet sind, ist dann
gegeben durch
−
h̄ dA
= [A, H].
i dt
Zur Quantisierung von Feldern gehen wir von einem System von endlich vielen Feldern ψν (r, t)
mit ν = 1, 2, . . . n aus, mit den unabhängigen Variablen des Ortsraumes r = (x1 , x2 , x3 ) und der
Zeit t. Diese Felder mögen die Lösungen eines Systems von Differenzialgleichungen sein, die sich
aus einem Funktional der Lagrange-Funktion mit einem Variationsprinzip ergeben. Die Variation des
Wirkungsintegrals muss hier bezüglich der Felder ψν (r, t) mit vier unabhängigen Variablen geschehen,
so dass die Lagrange-Funktion L aus einer Lagrange-Dichte L gemäß
δ
Z
t2
L dt = 0
t1
mit L =
Z
L d3r
und L = L(ψν , ψν|k , ψ̇ν , t)
zu bestimmen ist, die von den ψν , den ψ̇ν und außerdem noch von den partiellen Ableitungen nach
∂ψν
den Ortskoordinaten ψν|k =
abhängen kann.
∂xk
Die Variation der ψν (r, t) soll dabei an den Integrationsgrenzen |r| → ∞ und t = t1 , t2 verschwinden.
Dann ergibt die Variation des Wirkungsintegrals
δ
δψν (r, t)
Z
t2
dt′
t1
Z
d3r′ L(ψν , ψν|k , ψ̇ν , t′ ) = 0
die Euler-Lagrange-Gleichungen für Felder ψν (r, t) für ν = 1, 2, . . . n
3
X ∂ ∂L
∂L
∂ ∂L
−
= 0,
−
∂ψν
∂xk ∂ψν|k
∂t ∂ ψ̇ν
k=1
die zu den Ausgangsgleichungen führen.
Zur Quantisierung werden zunächst kanonisch konjugierte Impulsfelder πν (r, t) und eine von den
ψ̇ν unabhängige Energiedichte D mithilfe einer Legendre-Transformation eingeführt
∂L
πν (r, t) =
∂ ψ̇ν
und D(ψν , ψν|k , πν , πν|k , t) =
n
X
ν=1
πν ψ̇ν − L
und das von den ψ̇ν unabhängige Energiefunktional
Z
H = D(ψν , ψν|k , πν , πν|k , t) d3r.
mit
∂D
= 0,
∂ ψ̇ν
Aus der Variation des Energiefunktionals H(ψν , πν ) =
Z hX
ν
n X
δH
ν=1
δH
δψν +
δπν
δψν
δπν
erhält man wegen −
n X
δL
−
=
δψν + ψ̇ν δπν
δψ
ν
ν=1
i
πν ψ̇ν − L(ψν , ψν|k , ψ̇ν , t) d3r
3
und
X ∂ ∂L
δL
∂L
∂ ∂L
=
−
=
δψν
∂ψν
∂xk ψν|k
∂t ∂ ψ̇ν
k=1
δH
∂
δL
∂ δL
= πν die Hamiltonschen Gleichungen für Felder
=
=
δψν
δψν
∂t δ ψ̇ν
∂t
3
X ∂ ∂D
δH
∂D
∂ψν
=
=
−
∂t
δπν
∂πν
∂xk ∂πν|k
3
X ∂ ∂D
δH
∂πν
∂D
=
−
.
=
−
∂t
δψν
∂ψν
∂xk ∂ψν|k
und
k=1
k=1
Der Übergang von der klassischen Feldtheorie zu einer Quantenfeldtheorie wird dadurch vorgenommen,
dass die kanonisch konjugierten Felder zu Feldoperatoren
ψν (r, t) −→ ψ̂ν (r, t) und πν (r, t) −→ π̂ν (r, t) und H −→ Ĥ
werden, die den Vertauschungsrelationen für Bosonen
h̄
π̂ν (r, t), ψ̂µ (r′ , t) = δνµ δ(r − r′ )1
i
und
π̂ν (r, t), π̂µ (r′ , t) = 0 = ψ̂ν (r, t), ψ̂µ (r′ , t)
genügen sollen. Die zeitliche Änderung der Feldoperatoren ergibt sich bei Heisenberg-Operatoren
−
h̄ ∂ ψ̂ν
= [ψ̂ν , Ĥ] und
i ∂t
−
h̄ ∂ π̂ν
= [π̂ν , Ĥ].
i ∂t
7 Quantenoptik
Die dielektrische Verschiebung sei gegeben durch D = εE mit ε = εr ε0 , wobei E die elektrische
Feldstärke, ε0 die elektrische Feldkonstante und εr eine Konstante bezeichnen. Die magnetische Induktion sei gegeben durch B = µH mit µ = µr µ0 , wobei H die magnetische Feldstärke, µ0 die
magnetische Feldkonstante und µr eine Konstante bezeichnen. Ist dann ρ die Ladungsdichte und j die
elektrische Stromdichte, so lassen sich die Feldgleichungen
∇ × E = −Ḃ ;
∇ × H = Ḋ + j
; ∇·D=ρ
; ∇·B=0
mit Hilfe des Vektorpotenzials A und des skalaren Potenzials φ mit der Lorentz-Konvention
B = ∇ × A ; E = −Ȧ − ∇φ
mit
1
φ̇ + ∇ · A = 0
εµ
wegen ε0 µ0 = 1/c2 mit der Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum und der Brechzahl n
1
n2
= εµ = εr µr ε0 µ0 = 2
v2
c
1 ∂φ
∇·A+ 2
= 0 mit
v ∂t
und n =
c √
= εr µr
v
auf vier inhomogene Wellengleichungen zurückführen, vergl. Abschn. 1.4
A=
2
1 ∂
− ∆ A = µj
v 2 ∂t2
und
φ=
2
1 ∂
1
ρ.
−
∆
φ
=
v 2 ∂t2
ε
Die Potenzialgleichungen ergeben sich mit Hilfe der Lagrange-Dichte
1 1
L = εE2 − B2 + j · A − ρφ
2
µ
2
2
2
ε ∂A
∂A
ε
1
=
· ∇φ + ∇φ −
∇ × A + j · A − ρφ
+ε
2 ∂t
∂t
2
2µ
und den Euler-Lagrange-Gleichungen mit ψν|k =
∂ψν
∂ψν
und ψ̇ν =
∂xk
∂t
3
X ∂ ∂L
∂L
∂ ∂L
= 0,
−
−
∂ψν
∂xk ∂ψν|k
∂t ∂ ψ̇ν
k=1
indem ψk = Ak , für k = 1, 2, 3 und ψ4 = φ gesetzt, und die Lorentz-Konvention beachtet wird.
Zum Beweise beachten wir mit A(r, t) = (A1 , A2 , A3 ), r = (x1 , x2 , x3 )
2 2 2
∂A
∂A
∂A
∂A
∂A
∂A
2
3
1
1
2
3
−
+
−
+
−
(∇ × A)2 =
∂x2
∂x3
∂x3
∂x1
∂x1
∂x2
und berechnen zunächst den mittleren Term der Euler-Lagrange-Gleichungen mit ψ1 = A1
3
3
X
∂ ∂L
1 X ∂
∂
=−
(∇ × A)2
∂xk ∂A1|k
2µ
∂xk ∂A1|k
k=1
k=2
∂A2 ∂ ∂A1
∂A3 ∂ ∂A1
1 ∂ ∂A1
−
+
−
±
=−
µ ∂x2 ∂x2
∂x1
∂x3 ∂x3
∂x1
∂x1 ∂x1
i
∂
1h
∇·A .
= − ∆A1 −
µ
∂x1
Damit erhält man aus den Euler-Lagrange-Gleichungen
3
X ∂ ∂L
∂L
∂ ∂L
−
= 0,
−
∂ψν
∂xk ∂ψν|k
∂t ∂ ψ̇ν
k=1
und der Lagrange-Funktion
L=
ε
2
∂A
∂t
2
+ε
2
2
ε
1
∂A
· ∇φ + ∇φ −
∇ × A + j · A − ρφ
∂t
2
2µ
für ψ1 = A1 mit j = (j1 , j2 , j3 )
i
∂
∂ 2 A1
∂φ
1h
∆A1 −
∇·A −ε 2 −ε
= 0,
j1 +
µ
∂x1
∂t
∂t∂x1
und wegen der Lorentz-Konvention
∂φ
1
∇·A+ε
=0
µ
∂t
addieren sich der dritte und fünfte Term zu Null, so dass die inhomogene Wellengleichung
∂ 2 A1 µj1 + ∆A1 − εµ 2 = 0 oder
∂t
A1 = µj1
für A1 resultiert. Entsprechend erhält man mit ψν = φ aus der Euler-Lagrange-Gleichung ebenfalls
die inhomogene Wellengleichung für φ.
7.1 Quantisierung freier elektromagnetischer Felder
Bei der zu behandelnden Wechselwirkung der elektromagnetischen Strahlung mit Festkörpern befinden
sich die die Strahlungsfelder erzeugenden Ladungen ρ und Ströme j entfernt vom Festkörper und
werden hier zu Null gesetzt, um die Potenziale A und φ der freien elektromagnetischen Strahlung zu
bestimmen. Da beide Potenziale Lösungen der homogenen Wellengleichung A = 0 und φ = 0 sind,
lassen sich die beobachtbaren Felder E und B aus A alleine bestimmen, indem eine Eichtransformation
A′ = A + ∇f , φ′ = φ − f˙ mit f = 0 und f˙ = φ vorgenommen wird, sodass φ′ = 0 wird. Dadurch
erhält man aus der Lorentz-Konvention ∇ · A = 0, was auch als Strahlungseichung bezeichnet wird.
Das zum Vektorpotenzial A(r, t) = (A1 , A2 , A3 ) gehörige kanonisch konjugierte Impulsfeld ist
πk (r, t) =
∂L
= εȦk
∂ Ȧk
mit L(A, Ȧ) =
1
ε 2
(∇ × A)2 ,
Ȧ −
2
2µ
und die Energiedichte ergibt sich wegen B = ∇ × A und E = −Ȧ zu
D=
3
X
k=1
πk Ȧk − L =
1 2
1
1
1
εȦ +
(∇ × A)2 = E · D + H · B.
2
2µ
2
2
Die Energie der freien elektromagnetischen Strahlung ist damit, vgl. Abschn. 1.3,
H=
Z
1
D d3r =
2
Z Z
1
1
εȦ2 + (∇ × A)2 d3r =
(E · D + H · B) d3r.
µ
2
Zur Quantisierung des elektromagnetischen Strahlungsfeldes werden für die kanonisch konjugierten
Felder Ak (r, t) und πk (r, t) Feldoperatoren Âk bzw. π̂k mit den Vertauschungsrelationen angesetzt:
h̄
π̂k (r, t), Âl (r′ , t) = δkl δ(r − r′ )1
i
und
π̂k (r, t), π̂l (r′ , t) = 0 = Âk (r, t), Âl (r′ , t) .
Wir schreiben die Lösungen der homogenen Wellengleichung A = 0 als Linearkombination von
ebenen Wellen
2
1
1 XX
uj (q) √ exp {iq · r} exp {−i2πνj (q)t} + k.k. .
A(r, t) = √
2 j=1 q
V
Die Basisvektoren des Gitters a1 , a2 , a3 spannen die Elementarzelle bzw. das Periodizitätsgebiet
Ω = (a1 , a2 , a3 ) auf und die Vektoren N a1 , N a2 , N a3 das Grundgebiet V = N 3 Ω mit 1 ≪ N . Die
periodischen Randbedingungen für die ebenen Wellen exp iq · (r + N aj ) = exp {iq · r} erfordern die
Bedingung exp {iq · aj N } = 1, woraus sich die diskreten Ausbreitungsvektoren
m1
m2
m3
q=
b1 +
b2 +
b3 mit ganzen Zahlen m1 , m2 , m3
N
N
N
2π
ak × al mit zyklischen (j, k, l) die
ergeben. Dabei erfüllen die reziproken Gittervektoren bj =
Ω
Bedingungen aj · bk = 2πδjk .
Ferner bezeichnen uj (q) den Polarisationsvektor für zwei verchiedene Polarisationsrichtungen,
νj (q) = v|q|/2π die Frequenz der Welle mit dem Dispersionsgesetz, und k.k.” den konjugiert kom”
plexen Term. Wegen ∇ · A = 0 erfüllen die reellen Polarisationsvektoren die Bedingung q · uj (q) = 0,
so dass es nur zwei transversale linear unabhängige Polarisationsrichtungen j = 1, 2 gibt.
Beim Übergang zu den Feldoperatoren A(r, t) −→ Â(r, t) ist die Reihenentwicklung von der Form
P
wie in Abschn. 6.2 ψ̂(x) = ν ψν (x)aν mit dem Vernichtungsoperator aν für ein Teilchen bzw. hier
cj (q, t) und dem Erzeugungsoperator c+
j (q, t)
s
2
1 XX
h̄
1
1
Â(r, t) = √
uj (q) √ exp {iq · r} cj (q, t) + uj (q) √ exp {−iq · r} c+
j (q, t) .
2πενj (q)
2 j=1 q
V
V
Die zeitabhängigen Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren für die Photonen
r
r
2πενj (q)
2πενj (q)
(q,
t)
=
exp − i2πνj (q)t
bzw. c+
exp
i2πν
(q)t
cj (q, t) =
j
j
h̄
h̄
erfüllen die Schwingungsgleichung
2
∂cj (q, t)
∂ 2 cj (q, t)
= −i2πνj (q)cj (q, t) oder
+ 2πνj (q) cj (q, t) = 0.
∂t
∂t2
ˆ (r, t) = (π1 , π2 , π3 ) ist dann
Das zu A(r, t) = (A1 , A2 , A3 ) gehörige Impulsfeld ~π
s
2
XX
1
1
∂
Â
h̄
ˆ (r, t) = ε
= √
− iε2πνj (q)uj (q) √ exp {iq · r} cj (q, t)
~π
∂t
2πενj (q)
2 j=1 q
V
1
+ iε2πνj (q)uj (q) √ exp {−iq · r} c+
j (q, t) .
V
ˆ führen dann zu den Vertauschungsrelationen
Die Vertauschungsrelationen der Feldoperatoren  und ~π
für die Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren cj (q, t) und c+
j (q, t) für ein Photon der Polarisation
j, der Wellenzahl |q| und der Energie hνj (q) = vh̄|q|
+
+
′
′
′
′
′
′
cj (q, t), c+
(q,
t),
c
(q
,
t)
=
0
=
c
1
;
c
(q,
t),
c
δ
(q
,
t)
=
δ
(q
,
t)
.
j
j
jj qq
j
j′
j′
Zum Beweis sei darauf hingewiesen, dass die Operatoren cj (q, t) und c+
j (q, t) jeweils einem Photon
der beiden unabhängigen Polarisationsrichtungen j = 1, 2 zugeordnet sind, sodass u2kj (q) = 1 und
1 X
′
ukj ulj = 0 zu setzen ist. Ferner gilt die Vollständigkeitsbeziehung
exp iq · (r − r ) = δ(r − r′ ).
V q
Beim Einsetzen der Feldoperatoren Â(r, t) und π̂(r, t) in den Energieoperator
1
Ĥ =
2
Z h Z h
i
2 i 3
∂ Â 2 1
1 ˆ2
1
1
3
2
∇ × Â(r, t)
~π (r, t) +
ε
dr
+ (∇ × Â) d r =
∂t
µ
2
ε
µ
ergibt sich bei Verwendung der Vertauschungsrelationen für die Erzeugungs- und Vernichtungsopera3
toren c+
j (q, t) und cj (q, t) die Form einer Summe aus 2N ungekoppelter harmonischer Oszillatoren,
die durch die beiden Indizes j und q abgezählt werden,
Ĥ =
2 X
X
j=1 q
1 +
hνj (q) cj (q, t)cj (q, t) + 1 .
2
1
2
Jeder einzelne Oszillator hat die äquidistanten Energieeigenwerte hνj (q) nj (q) +
mit den Besetzungszahlen nj (q) = 0, 1, 2, . . . die angeben, wieviele Photonen der Energie hνj (q) = vh̄|q| und mit
dem Impuls h̄q im Grundgebiet V vorhanden sind.
Der Energieoperator ist mit dem Feldoperator Â(r, t) und damit ebenfalls mit der elektrischen
Feldstärke und der magnetischen Induktion nicht vertauschbar. Die elektromagnetischen Felder und
die Anzahl der Photonen
2 X
2 X
X
X
+
n̂j (q)
cj (q, t)cj (q, t) =
j=1 q
j=1 q
sind wegen [c+ c, c] = −c und [c+ c, c+ ] = c+ nicht gleichzeitig scharf meßbar.
Der Beweis für den Feldoperator Ĥ, wie er sich aus der Form der Operatoren Ȧ und ∇ × A ergibt,
wird einfach, wenn man die folgendenZ Zusammenhänge
berücksichtigt.
Z
1
1 ˆ2 3
(∇ × A)2 d3r.
~π d r =
⊲ Die beiden Integrale sind gleich
ε
µ
1
⊲ Für die ebenen Wellen ϕq (r) = √ exp {iq · r}
V
gelten die Orthonormalitäts- und Vollständigkeitsbeziehungen
Z
X
′
3
1
ϕq (r)ϕ∗q (r′ ) = δ(r − r′ ).
exp i(q − q) · r d r = δqq′ und
hϕq |ϕq′ i =
V V
q
⊲
q2
Es gilt die Dispersionsbeziehung 2πνj (q) = v|q| bzw.
= v 2 q2 = 4π 2 νj2 (q).
εµ
⊲ Zu berücksichtigen sind nur Terme mit der gleichen Anzahl von Erzeugungsoperatoren c+
j (q, t)
⊲
und Vernichtungsoperatoren cj (q, t).
Wegen ∇ · A = 0 handelt es sich um Transversalwellen mit q · uj (q) = 0 mit der Folge
q × uj (q) · q × uj (q) = q2 u2j (q) = q2 .
7.2 Elektron-Photon-Wechselwirkung
Bei der Wechselwirkung der quantisierten elektromagnetischen Wellen, also der Photonen, mit freien
oder gebundenen Atomen geht man von der Lorentz-Kraft aus, die die elektromagnetischen Felder E
und B auf die als geladene Massenpunkte idealisierten Elektronen und Atomkerne ausüben.
Im Rahmen der klassischen Mechanik bewegt sich eine Punktladung der Masse m und der Ladung
e auf einer Bahnkurve r(t), die bei gegebenen E und B durch die Lorentz-Kraft
mr̈ = e(E + ṙ × B)
bestimmt ist. Die Ladungen und Ströme, die die Felder E und B erzeugen, seien vom Ort der untersuchten Materie weit entfernt, sodass hier nur die Ladungen und Ströme der betrachteten Punktladungen eine Rolle spielen. Wir verwenden die elektrodynamischen Potenziale A und φ mit B = ∇ × A
und E = −Ȧ − ∇φ in Strahlungseichung mit φ = 0 und ∇ · A = 0, vergl. Abschn. 7.1, also
B = ∇ × A und E = −Ȧ.
Im nichtrelativistischen Fall ergibt sich dann die Bahnkurve r(t) aus der Lagrange-Funktion
L(r, ṙ) =
m 2
ṙ + eṙ · A und den Euler-Lagrange-Gleichungen
2
d ∂L ∂L
−
= 0.
dt ∂ ṙ
∂r
∂L
= mṙ + eA und die Hamilton-Funktion ist
∂ ṙ
2
m
1
m
p − eA .
H(r, p) = ṙ · p − L(r, ṙ) = mṙ2 + eṙ · A − ṙ2 − eṙ · A = ṙ2 =
2
2
2m
Geht man davon aus, dass sich die Elektronen bzw. die Atomkerne in einem effektiven Einteilchenpotenzial v(r) bewegen, das von der umgebenden Materie verursacht wird, so lautet die EinelektronenHamilton-Funktion mit der Elektronenmasse me
2
1
H=
p − eA + v(r).
2me
Der zu r kanonisch konjugierte Impuls ist p =
h̄
Beim Übergang zur Quantenmechanik ist der Impulsoperator p = ∇ einzusetzen und die Energie
i
der freien elektromagnetischen Felder nach Abschn. 7.1 hinzuzufügen. Der Energieoperator beschreibt
dann das Elektron, die elektromagnetische Strahlung und die Wechselwirkung zwischen beiden
2
1 h̄
∇ − eA + v(r) +
H=
2me i
2
1 h̄
∇ − eA + v(r) +
=
2me i
Z
1 ε0 E2 +
2
Z
1 h
ε0 Ȧ2 +
2
1 2 3
B dr
µ0
i
1
2
(∇ × A) d3r.
µ0
Vernachlässigt man den kleinen Term mit A2 , so erhält man wegen ∇ · A = 0 für den gemischten Term
↓
1 h̄ 1 h̄ eh̄
− e (∇ · A + A · ∇) =
− e (A · ∇ + ∇· A +A · ∇) = −
A · ∇,
2me
i
2me
i
ime
wobei der Pfeil auf dem Term ∇ · A anzeigt, dass der Operator ∇ nur das A differenziert, und es folgt
Z
i
1
h̄2
eh̄
1 h
2
2
∆ + v(r) −
A·∇
ε0 Ȧ +
(∇ × A) d3r
H =−
+
2me
im
2
µ0
|
| e{z }
{z
}
{z
}
|
Kristallelektron
Elektron-Licht-WW
freies Strahlungsfeld
ein Einelektronen-Energieoperator aus drei Teilen, mit einem Teil HKE des Kristallelektrons, einem
Teil HEL der Elektron-Licht-Wechselwirkung und einem Teil HL des freien Strahlungsfeldes.
Der Übergang zu dem Vielelektronensystem und einem quantisierten Strahlungsfeld ist nun mit
dem Teilchenzahlformalismus denkbar einfach. Wir schreiben den Operator im Fock-Raum der Elektronen und Photonen
Ĥ = ĤKE + ĤEL + ĤL
mit dem Operator der Kristallelektronen und dem Teilchenzahloperator ank der Bloch-Zustände
ĤKE =
BZ
XX
n
En (k)a+
nk ank
k
1
mit |nki = ψn (k, r) = √
exp {ik · r} un (k, r),
3
N
dem Operator des freien Strahlungsfeldes mit dem Teilchenzahloperator der Photonen cj (q)
ĤL =
2 X
X
j=1 q
1 +
hνj (q) cj (q, t)cj (q, t) + 1
2
und dem Operator der Elektron-Photon-Wechselwirkung und dem Operator  des Vektorpotenzials
HEL
2
eh̄ 1 X X
√
=−
ime 2 j=1 q
s
h 1
h̄
√ exp {iq · r} uj (q) · ∇cj (q, t)
2πε0 νj (q)
V
i
1
+
+ √ exp {−iq · r} uj (q) · ∇cj (q, t) .
V
Dieser Operator ist zunächst nur für die Photonen ein Teilchenzahloperator, in Bezug auf die Elektronen
aber ein Einelektronenoperator. Er lässt sich jedoch nach Abschn. 6.1 direkt in einen Fock-Operator
mit den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren der Bloch-Zustände a+
nk , ank umschreiben
XX
Elekt
Ĥ
=
hnk|H Elekt |n′ k′ ia+
nk an′ k′ ,
n,k n′ ,k′
und man erhält
ĤEL
i
X X Xh
+
+
+
′
′
′
′
=
M (n, k; n , k ; j, q)ank an′ k′ cj (q, t) + M (n, k; n , k ; j, −q)ank an′ k′ cj (q, t)
n,k n′ ,k′ j,q
mit dem Übergangsmatrixelement zwischen den Bloch-Zuständen |nki = ψn (k, r)
eh̄ 1
√
M (n, k; n , k ; j, q) = −
ime 2
′
′
s
′ ′
1
h̄
nk √ exp {iq · r} uj (q) · ∇n k .
2πε0 νj (q)
V
Hier bezeichnen also a+
nk und ank die Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren für ein Elektron im
Bloch-Zustand ψn (k, r) mit der Energie En (k) und c+
j (q, t) bzw. cj (q, t) die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für ein Photon der Energie hνj (q) mit dem Impuls h̄q und der Dispersionsbeziehung
νj (q) = c|q|/2π, wobei c die Lichtgeschwindigleit bezeichnet. Die Vektoren uj (q) mit q · uj (q) = 0
geben die Amplituden und die Polarisation senkrecht zum Wellenvektor q an.
Zur Veranschaulichung betrachten wir einen Laserstrahl, der von einem Resonator erzeugt wird,
und der aus einzelnen diskreten Linien, den sogenannten Moden besteht. Seien n1 , n2 , . . . die Besetzungszahlen der Bloch-Zustände und l1 , l2 . . . die der Photonenzustände, so sind die Teilchenzahlzustände für den Operator Ĥ = ĤKE + ĤEL + ĤL durch |nli = |n1 n2 . . . l1 l2 . . .i gegeben mit
P +
P
a
|nli
=
Anzahl
der
Elektronen
und
hnl|
hnl| n a+
n n
l cl cl |nli = Anzahl der Photonen.
˙
ˆ zu
gegeben. Der Erwartungswert der elektrischen Feldstärke berechnet sich wegen Ê = −Â = − 1ε ~π
1 ˆ nli = 0,
hÊi = hnl|Ê|nli = hnl − ε ~π
ˆ nur einzelne Photonenzahloperatoren mit hnl|c (q, t)|nli = 0 = hnl|c+ (q, t)|nli
weil der Operator ~π
j
j
enthält. Jedoch ergibt sich für die Streuung bei der Messung der elektrischen Feldstärke
2 2
2
2
2
(∆Ê) = nl (Ê − hÊi1 ) nl = nl hÊ i − hÊi nl = nlhÊ inl .
Der Ausdruck ist für jede einzelne Mode proportional zu 2lν + 1 mit lν = 0, 1, 2, . . ., also von Null
verschieden.
Anwendungsbeispiel: Elektronische Interbandübergänge
Bei der Interpretation der Energiebänder En (k) der Kristalle als Einelektronenenergieniveaus muss
man verschiedene Anregungsprozesse unterscheiden. Bei quasistatischen elektrischen Feldern E, die
zur Beschleunigung von Elektronen und zur elektrischen Leitung führen, ändert sich der Bloch-Zustand
quasistetig von ψn (k, r) nach ψn (k′ , r). Bei der Absorption eines Photons hinreichender Energie, wird
aber ein Elektron im Zustand ψV (k, r) aus dem Valenzband entfernt und in einen Zustand ψL (k, r) im
Leitungsband angeregt, wobei ein Loch im Valenzband zurückbleibt.
Bei der Photoemission wird andererseits ein Elektron aus einem Zustand ψV (k, r) im Valenzband
entfernt und befindet sich anschließend außerhalb des Kristalles. Die drei Vorgänge haben unterschiedliche Endzustände und entsprechende Experimente zur Bestimmung der Energiebänder sind nicht
unmittelbar vergleichbar.
So gibt es z.B. bei der elektrischen Leitfähigkeit auch Streuprozesse der Leitungselektronen untereinander, und bei der Absorption eines Photons entsteht ein Elektron-Loch-Paar, wobei zwischen
Elektron und Loch eine anziehende Wechselwirkung existiert. Beides hängt mit dem KoopmansTheorem zusammen, wonach die Energiebänder zwar die Photoemission bis auf die Austrittsarbeit an
der Oberfläche beschreiben, für die inneren Anregungen im Festkörper aber Korrekturen erforderlich
sind.
Wir setzen voraus, dass der Operator der Wechselwirkung zwischen Elektronen und dem Licht ĤEL nur
eine kleine Störung des durch den Operator Ĥ0 = ĤKE + ĤL beschriebenen ungestörten Systems verursacht. Die elektromagnetische Welle kann dann mit der zeitabhängigen Störungsthoerie berücksichtigt
werden, und die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit für einen Übergang vom Anfangszustand
|ai in einen Endzustand |ei von Ĥ0 lässt sich mit der Goldenen Regel der Quantenmechanik berechnen
Wae
2
2π ′
′
=
. . . Nnk . . . ; . . . Mjq . . . ĤEL . . . Nnk . . . ; . . . Mjq . . . δ |Ea − Ee | ,
h̄
′
′
. . . ; . . . Mjq
. . .i den
wobei Ea den Anfangszustand |ai = | . . . Nnk . . . ; . . . Mjq . . .i und |ei = | . . . Nnk
Endzustand von Ĥ0 bezeichnen, mit den Besetzungszahlen Nnk für die Bloch-Zustände und Mjq für
die Photonen. Wir gehen davon aus, dass reichlich Licht eingestrahlt wird, so dass sich das Photonenreservoir durch einen Absorptions- oder Emissionsprozess praktisch nicht verändert.
Beim Einsetzen des Elektron-Licht Wechselwirkungsoperators ĤEL betrachten wir nur den einen
Summanden mit a+
n′ k′ ank cj (q), der die Absorption eines Photons der Energie hνj (q) beschreibt, und erhalten für die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit für ein Elektron vom Bloch-Zustand ψn (k, r)
in einen Zustand ψn′ (k′ , r) mit dem Übergangsmatrixelement
Wnk,n′ k′
2
h̄
2π X e2 h̄2
′ ′ 1
=
n k √ exp {iq · r} uj (q) · ∇nk 2
h̄ j,q 2me 2πε0 νj (q)
V
× δ |En′ (k ) − En (k)| − hνj (q) .
′
Setzt man in das Integral die Bloch-Funktionen |nki = ψn (k, r) ein,
I=
Z
V
1
ψn+′ (k′ , r) √ exp {iq · r} uj (q) · ∇ψn (k, r) d3r,
V
so kann man die Integration über das Grundgebiet V = N 3 Ω zerlegen in eine Integration r1 über die
Elementarzelle Ω und in eine Summe über die durch einen Gittervektor R abgezählten Elementarzellen,
indem man r = R + r1 setzt und die Bloch-Bedingung
ψn (k, r) = ψn (k, r1 + R) = exp {ik · R} ψn (k, r1 )
beachtet. Dann lässt sich die Summe über die N 3 Gittervektoren R in V separat ausführen
I=
V Z
X
R
∗ ′
1
′
exp i(k − k + q) · R ψn′ (k , r1 ) √ exp {iq · r1 } uj (q) · ∇ψn (k, r1 ) d3r,
V
Ω
die wegen
V
1 X
′
exp
i(k
−
k
+
q)
·
R
= δk′ −k,q
N3
R
nur für k′ − k = q + G nicht verschwindet, wobei G einen reziproken Gittervektor bezeichnet.
Nun sind die Ausbreitungsvektoren der Elektronen am Rande der Brillouin-Zone etwa |k| = 2π/a,
mit der Gitterkonstanten a in der Größenordnung einiger Å, z.B. a = 5, 43 Å bei Silicium. Photonen
haben bei Energien von weniger als 10 eV viel größere Wellenlängen λ > 1 µm = 104 Å ≫ a und
Wellenvektoren |q| = 2π/λ ≪ |k| außer in einer kleinen Umgebung des Γ-Punktex bei k = 0. Deshalb
finden optische Übergänge zwischen verschiedenen Bändern in erster Näherung der Störungstheorie
nur bei k′ = k statt, was auch als k-Auswahlregel bezeichnet wird. Intrabandübergänge innerhalb
eines Energiebandes sind in dieser Näherung verboten. Betrachtet man den zweiten Term von ĤEL , so
findet man die gleiche Auswahlregel auch für Emissionsvorgänge.
Die Elementarprozesse der Absorption bzw. Emission eines Photons sind also
hνj (q)
′
EV (k)
e−
e−
EL (k )
hνj (q)
EL (k)
e−
e
−
Energiesatz
Impulssatz
EV (k) + hνj (q) = EL (k′ )
h̄k + h̄q = h̄k′ ≈ h̄k
Energiesatz
Impulssatz
EL (k) = EV (k′ ) + hνj (q)
h̄k = h̄k′ + h̄q ≈ h̄k′ ,
EV (k′ )
und es gelten die Erhaltungssätze von Energie und Impuls.
7.3 Phonon-Photon-Wechselwirkung
In einem einfachen Modell des Festkörpers geht man davon aus, dass die thermischen Gitterschwingungen die Atome aus ihren Ruhelagen auslenken. Die dadurch entstehenden Abweichungen im periodischen Elektronenpotenzial führen zu der in Festkörpern wirksamen Elektron-Phonon-Kopplung, die die
Ursache ist für die Umwandlung elektrischer Energie in Wärme nach dem Ohmschen Gesetz. Andererseits bilden sich durch die Auslenkungen auch atomare elektrische Dipole, sodass eine Dipoldichte oder
Polarisation entsteht. Diese Dipolmomente sind bei gegeneinander schwingenden Nachbaratomen, also
bei optischen Phononen, und bei polaren Halbleitern besonders groß und in einfacher Näherung proportional zu Auslenkung des Atoms aus seiner Ruhelage. Im elektrischen Feld der elektromagnetischen
Strahlung E = −Ȧ ist dann als Polarisationsarbeit die Energie
Z
E = − P(r, t) · E(r, t) d3r
von der Strahlung aufzuwenden, die dem Energie-Operator des Lichtes hinzuzufügen ist, und die
Phonon-Photon-Wechselwirkung beschreibt. Dazu wird die Polaristion P durch die
Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren b+
l (p) bzw. bl (p) der Phononen,
mit der Energie h̄ωl (p) und dem Impuls h̄p, ausgedrückt, und die elektrische Feldstärke E durch die
Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren c+
j (q) bzw. cj (q) der Photonen.
In dem Ausdruck der Phonon-Photon-Wechselwirkung treten dann Terme der Art c+
j (q)bl (p) und
b+
l (p)cj (q) mit
hνj (q) = h̄ωl (p) (Energiesatz) und h̄q = h̄p (Impulssatz)
auf, die die Emission eines Photons bzw. die Absorption eines Photons beschreiben. Hierbei wird die
Energie des Photons unmittelbar in die Energie eines Phonons umgewandelt, und der Impulssatz kann
nur mit einem optischen Phonon mit p am Γ-Punkt, also bei h̄p ≈ 0 erfüllt werden.
Außerdem gibt es Terme, die Zweiphononenprozesse mit akustischen Phononen darstellen
hνj (q) = h̄ωl1 (p1 ) + h̄ωl2 (p2 ) mit h̄q = h̄p1 + h̄p2 ≈ 0,
bei denen die Impulse der beiden Phononen entgegengesetzt gleich sein müssen.
Die Absorption bzw. Emission eines Photons beschreiben dann die Diagramme:
hνj (q)
h̄ωl1 (p1 )
h̄ωl1 (p1 )
h̄ωl2 (p2 )
h̄ωl2 (p2 )
hνj (q)
b
Die optischen Eigenschaften von Halbleitern und Metallen werden hauptsächlich durch die ElektronPhoton-Phonon-Kopplung bestimmt.
7.4 Kohärente Zustände
A) Zeitliche Kohärenz
Betrachtet man die Emission eines Lichtquantes durch ein Atom, so beträgt eine typische Lebensdauer
eines angeregten Zustandes etwa τc = 10−8 s, sodass die Länge des Wellenpaketes lc = cτc = 3 m und
1
= 5 · 107 s−1
die Streuung der Kreisfrequenz aufgrund der Energie-Zeit-Unschärferelation ∆ω =
2τc
15 −1
betragen (zum Vergleich: bei grünem Licht der Wellenlänge λ = 500nm ist ω = 4·10 s ). Bei gebundenen Atomen sind Kohärenzzeit τc und Kohärenzlänge lc deutlich kleiner. Teilt man ein Wellenpaket
in zwei Strahlen und überlagert sie, nachdem sie unterschiedliche Wegstrecken zurückgelegt haben, so kann man
Interferenzerscheinungen nur beobachten, wenn der Wegunterschied nicht größer ist als die Länge des Wellenpaketes lc , d.h. wenn zeitliche Kohäherenz besteht.
B) Räumliche Kohärenz
Betrachtet man gewöhnliche Lichtquellen, bei denen eine Vielzahl von Atomen unabhängig voneinander
emittieren, so weisen die einzelnen Wellenpakete im Detektor keine Phasenkorrelation auf.
Allerdings wird bei der Beobachtung von Licht ausgedehnter Körper (z.B. eines Sternes) meist
eine räumliche Kohärenz der Phase festgestellt.
D
d
Stern
Detektor
R
Räumliche Kohärenz ist gegeben, wenn der Wegunterschied zwischen verschiedenen Stellen der
Lichtquelle zu verschiedenen Stellen des Detektors klein ist im Vergleich zur Wellenlänge der Strahlung.
Sei D der Durchmesser des Strahlers und d der der Eintrittsöffnung der Messapparatur im Abstand
R, so ist die für Interferenzexperimente erforderliche räumliche Kohärenz gegeben, falls Dd < λR ist,
wobei λ = 2πc/ω die Wellenlänge des Lichtes bezeichnet. Führt man den Winkel α = D/R ein, unter
dem der Strahler vom Beobachter aus erscheint, so ist die räumliche Kohäherenz für d < λ/α gegeben,
und bei Flächenstrahlern beträgt die Kohärenzlänge senkrecht zur Beobachtungsrichtung l⊥ = λ/α
und in Beobachtungsrichtung lc = cτc . Für den hellsten Fixstern Beteigeuze z.B. ist α = 2 · 10−7 und
bei Beobachtung mit grünem Licht der Wellenlänge λ = 500 nm ergibt sich l⊥ = 2 m.
C) Kohärenter Laserstrahl
Bei Experimenten mit monochromatischem Licht hat man es bei gewöhnlichen Lichtquellen in der
Regel mit vielen Photonen unterschiedlicher Phasen zu tun, die durch Teilchenzahlzustände |ni mit
n = 0, 1, 2, . . . beschrieben werden, und die inkohärentes Licht genannt werden. Im Unterschied dazu
emittieren Laser monochromatisches und kohärentes Licht, wobei die einzelnen Photonen als ebene
Wellen E = E0 exp i(q · r − ωt + ϕ) am Ort r0 und zur Zeit t0 die gleiche Phase φ = q · r0 − ωt0 + ϕ
besitzen. Dies wird im Laser mithilfe zweier Spiegel durch induzierte Emission erreicht, wenn das
Medium bis zur Inversion angeregt ist.
Der Operator des Vektorpotenzials der Photonen lautet nach Abschn. 7.1
2
1 XX
 = √
2 j=1 q
s
h̄
1
1
uj (q) √ exp {iq · r} cj (q, t) + uj (q) √ exp {−iq · r} c+
j (q, t)
2πενj (q)
V
V
mit den Kreisfrequenzen 2πνj (q), den Polarisationsvektoren uj (q) und den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für ein Photon c+
j (q, t) bzw. cj (q, t), die nach Abschn. 7.1 durch j und q abgezählt
werden. Zur Beschreibung des Laserlichtes betrachten wir ebene Wellen mit einer festen Kreisfrequenz
√
ω und dem Ausbreitungsvektor |q| = ω/v, wobei v = c/ ε die Lichtgeschwindigkeit im Medium
bezeichnet, in das das Laserlicht eingestrahlt wird. Wir setzen dann
2πνj (q) = ω
; uj (q) = u
; cj (q, t) = c exp {−iωt}
+
; c+
j (q, t) = c exp {iωt}
mit zeitunabhängigen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für ein Photon c+ bzw. c.
Mit den Photonenzahlzuständen |ni gilt dann
√
√
c |ni = n + 1 |n + 1i ; c|ni = n |n − 1i ; [c, c+ ] = 1
+
und hn|mi = δnm .
Der zugehörige Operator des Vektorpotenzials lautet also
r
+i
1
h̄
1 h
 = √
exp i(q · r − ωt) c + exp − i(q · r − ωt) c
u√
εω
2
V
und der Operator der elektrischen Feldstärke ist
r
+i
h̄ω h
i
ˆ
Ê = −Ȧ = √
u exp i(q · r − ωt) c − exp − i(q · r − ωt) c .
2 εV
Die einzelnen Photonen eines n-Photonenzustandes |ni sind nicht korreliert, d.h. haben keine feste
Phasenbeziehung untereinander, sodass der Erwartungswert der elektrischen Feldstärke verschwindet
hn|Ê|ni = 0,
denn es gilt hn|c|ni = 0 = hn|c+ |ni.
Die Operatoren der elektrischen Feldstärke Ê und der der Photonenzahl n̂ = c+ c sind wegen
[n̂, c] = [c+ c, c] = −c und [n̂, c+ ] = [c+ c, c+ ] = c+
nicht vertauschbar, und daher nicht gleichzeitig scharf messbar.
Dazu berechnen wir die Streuung ∆n bei der Messung der Photonenzahl mit dem Erwartungswert
hn|n̂|ni = n
2
2
∆n = n (n̂ − n1 ) n = hn|n̂2 − 2nn̂ + n2 1 |ni = 0.
Die Streuung ∆E bei der Messung der elektrischen Feldstärke berechnen wir mit der Abkürzung
a = exp i(q · r − ωt) zu
2
2
∆E = n (Ê − hn|Ê|ni) n = hn|Ê2 |ni
1 h̄ω
1 h̄ω ∗ + 2
=−
n (ac − a c ) n =
hn|aa∗ cc+ + a∗ ac+ c|ni
2 εV
2 εV
h̄ω
1
1 h̄ω
+
hn|2c c + 1 |ni =
n+
.
=
2 εV
εV
2
Da n streuungsfrei gemessen wird, streuen die Messwerte für E.
Wir betrachten jetzt kohärentes Laserlicht, wobei die einzelnen ebenen Wellen die gleiche Phase
besitzen sollen, und konstruieren einen kohärenten Zustand |αi = D(α)|0i mit α ∈ C und dem
Vakuumzustand |0i, und den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren c+ , c, durch den Operator
n 1
n 1
o
o
+
∗
2
2
∗
+
+
D(α) = exp αc exp {−α c} exp − |α|
; D (α) = exp −αc exp {α c} exp − |α| .
2
2
Für nicht vertauschbare Operatoren a, b mit [a, b] = x und [a, x] = 0 = [b, x] berechnet man für
n = 0, 1, 2, . . .
n
[a, b ] = nb
n−1
x und
a, exp {b} = x exp {b}
oder
exp {b} a = (a − x) exp {b} ,
denn es ist
∞
∞
∞
∞
X
X
X
1 ni X 1
1 n−1
bn−1
n
[a, exp {b}] = a,
b =
[a, b ] =
nb
x=
x = x exp {b} .
n!
n!
n!
(n
−
1)!
n=0
n=0
n=1
n=1
h
Durch vollständige Induktion beweist man exp {b} an = (a − x)n exp {b} mit der Folge
exp {b} exp {a} = exp {a − x} exp {b} = exp {a} exp {−x} exp {b} = exp {a} exp {b} exp {−x} .
Daraus ergibt sich für a = −α∗ c, b = −αc+ und x = [a, b] = |α|2 1
+
∗
2
∗
+
+
D(α)D (α) = exp αc exp {−α c} exp −αc exp {α c} exp −|α|
2
+
2
∗
∗
+
= exp αc exp −αc exp {−α c} exp {α c} exp |α| exp −|α| = 1 .
Also ist der Operator D(α) unitär und der Zustand |αi ist normiert
hα|αi = D(α)|0i D(α)0 = h0|D+ (α)D(α)|0i = h0|0i = 1.
Setzt man nun a = c, b = αc+ mit x = [a, b] = α1 , so erhält man nach obiger Formel
exp {b} a = (a − x) exp {b}
⇒
exp αc
Der Zustand |αi schreibt sich somit in der Form
+
|αi = D(α)|0i = exp αc
∗
exp {−α c} exp
+
n
+
c = (c − α1 ) exp αc
.
n 1
o
+
1 2o
2
− |α| |0i = exp αc exp − |α| |0i
2
2
und es folgt
+
+
+
+
exp αc c exp −αc |αi = (c − α1 ) exp αc exp −αc |αi = (c − α1 )|αi
n 1
o
+
+
+
2
= exp αc c exp −αc exp αc exp − |α| |0i
2
n
o
+
1
= exp αc exp − |α|2 c|0i = 0 .
2
Also ist |αi eine Eigenfunktion von c zum Eigenwert α
c|αi = α|αi mit hα|c|αi = α
und hα|c+ |αi = α∗
oder c+ |αi = α∗ |αi.
Damit findet man den Erwartungswert der elektrischen Feldstärke E im Zustand |αi
mit α = |α| exp {iϕ}
D i r h̄ω h
+ i E
hα|Ê|αi = α √
u exp i(q · r − ωt) c − exp − i(q · r − ωt) c α
εV
2
r
∗i
i
h̄ω h
u exp i(q · r − ωt) α − exp − i(q · r − ωt) α
=√
2 εV
r
h
i
i
h̄ω
u|α| exp i(q · r − ωt + ϕ) − exp − i(q · r − ωt + ϕ)
=√
2 εV
r
√
h̄ω
=− 2
u|α| sin{q · r − ωt + ϕ}.
εV
Der Zustand |αi =
∞
X
n=0
|nihn|αi ist eine Linearkombination verschiedener Photonenzahlzustände, die
sich zu einer einzigen ebenen Welle überlagern, was als kohärenter Zustand bezeichnet wird, und bei
Lasern oberhalb der Anregungsschwelle auftritt.
Zur Veranschaulichung der kohärenten Zustände |αi entwickeln wir sie nach den Basisfunktionen
der Photonenzahlzustände |ni, die wir durch Erzeugungsoperatoren c+ und den Vakuumzustand |0i
ausdrücken
1
|ni = √ c+n |0i mit hn|mi = δnm .
n!
Es ergibt sich wegen exp {−α∗ c} |0i = |0i
n 1
o
2
|αi = D(α)|0i = exp − |α| exp αc+ exp {−α∗ c} |0i
2
n 1
o
+
2
= exp − |α| exp αc |0i
2
∞
∞
n 1
oX
oX
n 1
n
α
αn
2
+n
2
√ |ni.
c |0i = exp − |α|
= exp − |α|
2
n!
2
n!
n=0
n=0
Aus der Reihenentwicklung nach den Photonenzahlzuständen |αi =
scheinlichkeit dafür, im Zustand |αi n Photonen zu finden
2
|α|2n
exp − |α|2
Wn (α) = hn|αi =
n!
mit
∞
X
n=0
∞
X
n=0
|nihn|αi ergibt sich die Wahr-
Wn (α) = 1.
Diese Wahrscheinlichkeit ist eine Poisson-Verteilung Wn (α) = Pn |α|
xn
Pn (x) =
exp {−x}
n!
4
×10
3
∞
X
mit
Pn (x) = 1
und
n=0
Z
mit
∞
Pn (x) dx = 1.
0
Wn (2)
2
W1 (α)
2
×10
W5 (α)
2
1
W9 (α)
1
0
0
1
2
3
4
5
6α
n
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
Die mittlere Photonenzahl im kohärenten Zustand |αi ist
hα|n̂|αi =
0,1,...∞
X
n,m
hα|nihn|n̂|mihm|αi =
0,1,...∞
X
n,m
∞
∞
X
2 X
hα|nimδnm hm|αi =
nhα|ni =
nWn (α)
n=0
∞
∞
2X
X
|α|2(n−1)
|α|2n
2
= exp − |α| |α|
= |α|2 ,
n
= exp − |α|
n!
(n − 1)!
n=1
n=0
2
n=0
und für die Streuung bei der Messung der Photonenzahl erhält man ∆n = |α|:
0,1,...∞
X
2 2
2
hα|ni n n̂ − |α|2 m hm|αi
∆n = α n̂ − hα|n̂|αi α =
=
=
=
∞
X
n=0
∞
X
n=0
∞
X
n=0
2
2 n − |α|2 hn|αi =
n2 Wn (α) − 2|α|2
∞
X
n=0
n,m
∞
X
n=0
n − |α|2
2
nWn (α) + |α|4
Wn (α)
∞
X
Wn (α)
n=0
n2 Wn (α) − |α|4 = |α|2 ,
denn es ist
∞
X
∞
X
|α|2n
2
n(n − 1)
n(n − 1)Wn (α) =
exp − |α|
n!
n=0
n=0
∞
X
|α|2(n−2)
4
2
= |α|
exp − |α| = |α|4
(n − 2)!
n=2
=
∞
X
n=0
2
n Wn (α) −
∞
X
n=0
nWn (α) =
∞
X
n=0
n2 Wn (α) − |α|2 .