Vorlesung Physik II

Vorlesung Physik II
FH Pforzheim, SG ET / IT
Prof. Dr. Karlheinz Blankenbach
Inhalte:
Kapitel
Unterteilung
Beispiel
Wärmelehre
Wärme
Mischung
Wärmedurchgang
Kühlkörper
Thermodynamik
Einführung
Temperatur
Wellenlehre
Wellen
Temperatur
Optik
Linsen
Lupe
Beugung
Spalt
Die Vorlesung befindet sich im Internet (Homepage Blankenbach, www.fh-pforzheim.de)
Um jedem etwas bieten zu können, findet man bestimmt einige Druckfehler.
Ferner ist's wie im richtigen Leben - ohne Gewähr
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1
Empfohlene Physikbücher
Bohrmann et al.: Physik für Ingenieure, Verlag Harri Deutsch
Hering et al: Physik für Ingenieure, VDI Verlag
Kuypers: Physik für Ingenieure, VCH
Lindner: Physik für Ingenieure, Fachbuchverlag Leipzig-Köln
Stroppe: Physik für Studenten der Naturwissenschaften, Hanser Verlag
Schulz et al.: Experimentalphysik für Ingenieure, Vieweg
Formel- und Tabellensammlung
Kuchling: Taschenbuch der Physik, Verlag Harri Deutsch
Stöcker: Taschenbuch der Physik, Verlag Harri Deutsch
ergänzend: Vogel: Vorkurs Physik, Springer
(leider keine Neuauflage - Bibliothek)
(Dies stellt nur eine Auswahl dar)
Übungsaufgaben sind im Internet unter ‚Klausuren’ zu finden.
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2
1. Wärmelehre (Thermodynamics)
Das menschliches Temperaturempfinden ‚warm – kalt‘
ist im Vergleich zum Sehen nur ungenau
→ physikalische Beschreibung der Temperatur notwendig
1.1 Temperatur (Temperature)
Temperatur ist eine der 7 Basisgrößen
Vergleich Kelvin - °C
[T] = K
K
absoluter Nullpunkt
°C
0
-273
77
-196
Schmelzpunkt H2O
273
0
Siedepunkt H2O
373
100
Siedpunkt N2
Schmelzpunkt Eisen
Sonne innen
Sonne außen
1.800 K
107 K
3
6 * 10 K (siehe Kap. Wärmestrahlung)
Temperaturangaben in technischen Spezifikationen (Specification)
•
Betriebstemperatur (Operating Temperature)
Temperaturbereich, bei dem das Gerät ohne Schaden zu nehmen betrieben werden kann
•
Lagertemperatur (Storage Temperature)
Temperaturbereich, bei dem das Gerät ohne Schaden zu nehmen gelagert werden kann,
es ist hierbei nicht eingeschaltet und muß vor dem Einschalten in den
Betriebstemperaturbereich gebracht werden.
Unter Temperatur versteht man hier typischerweise die Temperatur der Umgebungsluft, die
Temperatur im Inneren liegt höher.
Beispiel aus der PC-Welt : Betrieb +10°C ... +35°C , Lagerung -40°C ... +65°C
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3
Typische Betriebstemperaturen :
Bezeichnung
Bereich /°C
Commercial
+5 ... + 50
Industrial (indoor)
0 ... +70
Industrial (outdoor)
25 ... +75
Automotive
-35 ... +85
Military
-55 ... + 125
Messung durch temperaturabhängige Zustandsgrößen:
Zustandsgröße
Anwendung (Beispiel)
Volumen
Flüssigkeits-, Gasthermometer
Längenaus-
Bimetall-Thermostat
dehnung
(Kaffeemaschine)
ungleiche
Thermoelement
Metalle
(Verfahrenstechnik)
Widerstand
Pt100 – Meßtechnik (Industrie)
'Farbe' des
Pyrometer (rotglühender Stahl),
emittierten
siehe Diagramm
Ausführung (Beispiel)
Lichtes
physikalisch –
Temperaturstreifen
chemisch
- Flüssigkristalle reversibel
- chemisch irreversibel
(max. Temperatur)
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4
1.2 Kalorimetrie (Calorimetry)
Wärmemenge (Heat Quantity)
Q = c m ∆T
[Q] = J ('Energie')
mit
(WL - 1)
C
m : Masse, [m] = kg
c : spezifische Wärmekapazität [c] = J / kg K , Werte s.u.
C : Wärmekapazität eines bestimmten Körpers (= c m)
∆T : Temperaturdifferenz, [T] = K
Anmerkungen
- eigentlich müßte die Formel ∆Q lauten
- Q nicht proportional ∆T falls Phasenübergänge !
Energieformen können ineinander umgewandelt werden.
Ausnahme: selbstständiges Abkühlen unter die Umgebungstemperatur
Bsp: Stein kühlt sich ab und hüpft mit der gewonnenen Energie hoch
(2. Hauptsatz Thermodynamik)
Mischungstemperatur
Bringt man verschiedene Stoffe mit unterschiedlicher Temperatur, spez. Wärmemenge etc.
miteinander in Kontakt, so stellt sich die sogenannte Mischungstemperatur aufgrund der
Energieerhaltung ein:
mit m : Masse
c : spez.Wärmekapazität
T : Temperatur vor Mischen
Beispiel
TMisch =
c 1 m1 T1 + c 2 m 2 T2 + ...
c 1 m1 + c 2 m 2 + ...
(WL - 1')
heißes (80°C) und kaltes (20°C) Wasser (je 1 kg) zusammengießen:
4,2
TMisch =
kJ
kJ
⋅ 1 kg ⋅ 353 K + 4,2
⋅ 1 kg ⋅ 293 K
646 K
kgK
kgK
=
= 323 K ≡ 50 °C
kJ
kJ
2
4,2
⋅ 1 kg + 4,2
⋅ 1 kg
kgK
kgK
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Bsp.: Elektrische Energie (Arbeit, Work) → Wärme (Heat)
z.B. Herd oder elektrische Geräte mit der Leistung Pel = U I : W el = U I t = Q
zu erwarten ist eine lineare Zunahme der Temperatur mit der Zeit:
U I t = c m ∆T → ∆T ~ t
Dies wird experimentell nicht beobachtet (s.u.) !
Gründe:
- Wärmeabgabe durch Wärmedurchgang durch Gehäusewand, Lüfter, Abstrahlung, ...
- mögliche Phasenübergänge
Die Meßkurve läßt sich sehr gut mit einer e-Funktion anfitten, d.h. vgl. Ladekurve RC-Glied
Aufheizen einer LCD-Anzeigetafel
T /°C
lineare Zunahme
50
Gleichgewichtstemperatur
45
Messung
40
35
exp - Fit
30
25
0
10
20
30
40
50
60
T nach Einschalten /min
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6
Bsp.: Kinetische Energie in Wärme
Auto bremst von 108 km/h auf 0 km/h mit ABS (nicht blockierend)
Ekin → Q
→
1
m v2 = Q
2
Folge: Bremsscheibe wird heiß, aber wie ändert sich hier T ?
aus (WL - 1)
Q = c m ∆T → ∆T =
Werte:
Q
cm
mauto = 1000 kg
mBremsscheibe = 2 kg
v = 30 m/s → 0 m/s (Achtung, siehe W kin)
ceisen = 500 J/kgK
→
∆T =
mAuto v 2
2 c mBremsscheibe
Einheiten:
→
Achtung:
kg2 m2 K
=K
s 2 J kg
J=
kg m2
s2
∆T ≈ 450 K
Dieser Effekt tritt auch bei langen Passabfahrten ohne Motorbremse auf, bzw.
bei Autorennen mit vielen Kurven !
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7
1.2.1 Spezifische Wärmekapazität (Specific Heat Capacity)
es gilt:
- cp (p = const)
- cV (V = const)
- c = c(T)
- c(0K) = 0
für Festkörper und Flüssigkeiten cp ≈ cV ≈ c
für Gase
cp > cV
Material
Eisen
c/
J
@ T ≈ 300 K
kg K
500
Holz
2.000
Wasser
4.200
Luft
cp
1.000
cV
720
Spezifische Wärmekapazität
bei Tiefen Temperaturen (T → 0)
T³
Isolatoren (elektr.)
T
Metalle
c~
(WL - 2)
Bestimmung (Messung) der spezifischen Wärmekapazität z.B. durch Mischungsexperimente
(siehe Formel WL-1’ mit Dewar-Gefäß)
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8
1.2.2 Weitere Wärmekapazitäten
Wärmekapazität eines Systemes, z.B. Gehäuse, Dewargefäß
C=cm
mit C = C1 + C2 + ...
=
∆Q
∆T
Anwendung bei Verbundgefäßen, z.B. Thermoskanne, dort wird C experimentell
bestimmt. Messung durch Mischversuch: Tgemessen < Tmisch errechnet
cmol =
molare Wärmekapazität
C
n
bzw. C = cmol n
n : Stoffmenge [n] = mol . Dies ist eine der 7 Basisgrößen !
Allgemeine Gaskonstante :
R = cpmol - cvmol
Dulong-Petitsche Regel für fast alle Festkörper bei 20 °C :
cmol = 3 NA kB ≈ 25
J
K mol
mit Avogadro-Konstante NA = 6 . 10
23
Boltzmann Konstante kB = 1,4 . 10
1
mol
-23
J
K
d.h. bei Raumtemperatur sind sich die Festkörper relativ ähnlich !
Beispiele : Eisen Fe :
.
0,056 kg/mol → 1 kg ≡ 18 mol
.
→ c 1kg = cmol 18 mol → c =
25
J
⋅ 18 mol
kJ
K mol
= 0,45
vgl. Tabelle !
1 kg
K kg
analog Aluminium (Al) 0,027 kg/mol → c = 0,9
kJ
K kg
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Materialien besitzen spezifische Eigenschaften, die bei Temperaturänderungen oder
anderen Wärmeeffekten zum Tragen kommen, siehe nachfolgende Tabelle.
1.2.3 Wärmeeigenschaften ausgewählter Materialien
Hier nur ungefähre Werte aufgeführt !
Spez. Wärmekapazität (300K) /
Luft : 1
kJ
kg K
Aluminium
Eisen
Gold
H20
0,90
0,45
0,13
4,2
650
1.500
1.060
0
400
280
70
967
946
205
2.500
2.700
2.700
100
11.000
6.300
1.700
2.250
23
12
14
kJ
kg K
Schmelztemperatur /°C
spez. Schmelzwärme q
/
kJ
kg
Wärmemenge, um 1 kg von
Zimmertemperatur zu schmelzen /kJ
Siedetemperatur /°C
spez. Verdampfungswärme r /
kJ
kg
linearer Ausdehnungskoeffizient α /
Volumenausdehnungskoeffizient
10 −6
K
γ /
330
1
K
Festkörper
10
-5
Flüssigkeiten
10
-4
Gase
10
-3
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10
Bsp.: Geräteerwärmung
Wie lange braucht ein elektrisches Gerät zum Aufheizen auf eine maximal erlaubte
Temperatur ?
Leistung am Transistor (TO-3, Metall): ∆U = 3V , I = 1A
Kunststoffgehäuse 1l Luft , ρ = 1,2 g/l
To = 25°C, Tmax = 75°C -> ∆T = 50K
W elektrisch
→
t=
=
QWärme
UIt
=
c m ∆T
∆T =
Q
cm
t=
c Luft mLuft ∆T
UI
1000 ⋅ 0,0012 ⋅ 50
s = 20 s
3⋅1
stimmt das ???
- Einheit: [ t ] =
Bem: -
J kg K 1
Ws
=
=s
kg K 1 1 V A
W
t gemäß Erfahrung größer: Aufheizen von Transistor (Metall) und Gehäuse
(Kunststoff) sowie Wärmeabstrahlung und Wärmeleitung des Gehäuses
vernachlässigt, es wurde nur Erwärmung der Luft im Gehäuse berechnet !
(siehe oben, Aufheizen LCD-Tafel)
-
Rechnung mit Metall (10 g) und Kunststoff (100 g):
t=
(c M mM + c K mK
+ c L mL ) ∆T
U ⋅I
=
(450 ⋅ 0,01 + 1000⋅ 0,1 + 1000 ⋅ 0,0012)⋅ 50 s
3
≈ 1800 s = 30 min .
(Ausklammern von ∆T erlaubt, da ‚Alles’ dieselbe Temperatur hat)
- Wärmeleitungsverluste (Thermisches Gleichgewicht) berücksichtigen
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11
1.3 Phasen
fest
flüssig
gasförmig
Form
definiert
Beliebig
bel.
Volumen
def
def.
bel.
Bsp
Metall
Wasser
Luft
Weitere Phasen : flüssigkristalline (s.u.) und Plasma - Phase (s.u.)
Flüssigkristalle
R
X
ε n
R'
ε n
Director n
Chemie und mechanisches
anisotrope Eigenschaften
Äquivalent
- Dielektrizitätskonstante
- Brechungsindex
- Viskosität
- elastische Konstanten
Die flüssigkristalline Phase vereint das
Orientierungsvermögen der festen Phase mit
der Beweglichkeit der flüssigen Phase.
Degree of order
High
Typische Werte :
Solid
(crystal)
Tmelting ### - 100 °C
Tclearing ### + 100 °C
Liquid crystal
phase
Liquid
(isotropic)
Low
Melting
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Clearing
T
12
Technische Anwendung:
Light
Polarizer
Glass 1 mm
ITO 50 nm
LC 10 µm
Alignment layer 50 nm
LCD
Aufbau eines Displays :
U
Spacer
Analyzer
Funktionsweise am Beispiel einer 90°-TN-Zelle (Twisted Nematic, Drillwinkel 90°)
Außen befinden sich Polari-
Light
sationsfilter, die nur eine
Schwingungsrichtung des
Lichtes durchlassen (Leuchtdichteverlust !). Sie sind auf
Glasplatten befestigt, die zur
Polarizer
Glass
ITO
Alignment
layer
Uon
mechanischen Stabilisierung
und als Trägermaterial für die
übrigen Schichten des Displays dienen. Eine dünne,
durchsichtige Halbleiter-
Alignment
direction
E
Orientation
of polarizer
schicht (ITO) steuert die
Anzeige. An der Orientierungsschicht
richten sich die stäbchenförmigen Flüssigkristalle aus. Die Polfilter sind parallel zueinander
angeordnet, die Orientierungsschichten jedoch um 90° gegeneinander verdreht; dies wird
durch Linien symbolisiert. Die Lichttransmission wird von der nur 10 µm dicken Flüssigkristallschicht gesteuert. Im spannungslosen Fall (links) wird die Polarisationsrichtung des
Lichtes durch die Helixstruktur der Flüssigkristalle so gedreht, daß der untere Polfilter den
Lichtdurchlaß verhindert. Das entsprechende Pixel erscheint dunkel. Legt man an beide ITOSchichten ein Spannung an, die größer ist als die Schwellspannung im Bereich von 2 V, so
richten sich die Flüssigkristalle parallel zum elektrischen Feld aus (links). Schon ca. 0,5 V
oberhalb der Schwellenspannung ist die maximale Ausrichtung erreicht. Die Polarisationsrichtung des Lichtes wird dann nicht mehr gedreht und es kann den unteren Polfilter
passieren: Das Pixel erscheint hell.
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Plasma
Unter 'Plasma' versteht man ein gasförmiges Gemisch von freien Elektronen, Ionen und
elektrisch neutralen Teilchen - Atomen, Molekülen und freien Radikalen. Alle Bestandteile
des Plasmas besitzen eine große kinetische Energie, sie sind miteinander jedoch nicht
unbedingt in thermischem Gleichgewicht. Die elektromagnetische Wechselwirkung zwischen
den einzelnen Teilchen trägt wesentlich zu den Eigenschaften des Systemes bei.
Ein Großteil der im Universum sichtbaren Masse befindet sich im Plasmazustand, z.B. die
Sonne.
Eigenschaften des Plasmas:
- gasähnlich
- Quasineutralität, d.h. im räumlichen und zeitlichen Mittel ist ein Plasma elektrisch neutral
- kinetische Energie >> potentielle Energie durch lokale Ladungsunterschiede
- elektrische ~ und Wärmeleitfähigkeit vorhanden
- Emission von Strahlung
Erzeugung von Plasmen durch äußere Energiezufuhr durch
- Aufheizen
- Zufuhr von Strahlung oder elektrischem Strom
Anwendung Fusionsreaktor
bei der Verschmelzung z.B. 12 D + 12D → 32He + 10n werden 3,3 MeV = 5,3 10
-13
J frei.
Probleme hierbei sind die Plasmaerzeugung (Culomb-Abstoßung der Reaktionspartner
überwinden) und das freiwerdende Neutron.
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Anwendung: Plasmadisplay
Die derzeit (2000) einzige kommerziell verfügbare Flachbildtechnologie mit großer
Bilddiagonale (42’’, Auflösung 16:9 VGA) basiert auf dem Plasmaprinzip. Ihre
Funktionsweise verbindet die Lichterzeugung durch den Plasmaeffekt, wie er von
Neonröhren her bekannt ist, mit der Farberzeugung durch Phosphore. Die Effizienz der
Plasmadisplays liegt aber um etwa 2 Größenordnungen unter der von Leuchtstoffröhren.
Das in Plasmadisplays benutzte Xenon besitzt ein Ionisierungspotential von ca. 10 - 20 eV.
Bei einem Druck von etwa 50 kPa erzeugt das Xenon-Plasma eine ultraviolette
Vakuumstrahlung mit Peaks bei Wellenlängen von 148 nm und 172 nm. Die UV-Strahlung
dringt ca. 1 µm tief in die Phosphorschicht ein - im Gegensatz zu ca. 5 µm für Elektronen in
der CRT. Im Phosphor regt die UV-Strahlung geeignete Aktivatoratome im Kristallgitter an.
Diese geben daraufhin sichtbares Licht ab, wobei die typische Abklingzeiten zwischen 1 und
10 ms liegen. Durch passende Materialwahl lassen sich somit RGB-Farben erzeugen.
Anders als bei der CRT muß das Licht der Plasmaanzeige die Phosphorschicht nicht
durchdringen, da es auf der Betrachterseite erzeugt wird. Die einzelnen Pixelspalten sind
durch Trennwände abgeteilt, um ein Übersprechen zu vermeiden.
Verglichen mit LCD besitzen Plasmabildschirme einen größeren Blickwinkel. Zudem sind sie
videotauglich, da sie eine höhere Schaltgeschwindigkeit haben. Nachteilig bei
Plasmadisplays sind ihr großes Gewicht und ihr hoher Stromverbrauch sowie eine RGBPixelgröße, die mit Abmessungen von etwa 1 mm rund dreimal so groß ist wie bei der LCD
und CRT. Für Anwendungen mit großen Betrachtungsabstand und geringer Pixelzahl, wie
etwa beim Fernseher, spielt dies nur eine untergeordnete Rolle. Für hochauflösende CADAnwendungen sind Plasmadisplays indes ungeeignet.
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Licht
Zeilen- Halteleitung
(ITO)
Glas
Isolator
MgO
Ne:Xe
Gas
'
Barrier Rib'
Phosphor
Spaltenleitung
~ 0,3 mm
Pixel eines Plasma-Displays: Zur Anteuerung von Großdisplays wird eine Wechselspannung
von etwa 500 V und 50 kHz verwendet. Zwischen Zeilen- und Halteleitung liegt ständig eine
subkritische Spannung, welche als Oberflächenladung wirksam wird. Um das Plasma zu
zünden, steuert man zusätzlich die Spaltenleitung an (Matrixprinzip). Ohne Haltespannung
würde das Plasma innerhalb von Mikrosekunden zusammenbrechen. Die UV-Strahlung des
Plasmas bringt die Phosphorschicht im sichtbaren Bereich zum Leuchten. Um das Pixel
wieder auszuschalten, wird ein entgegengerichteter Spannungspuls angelegt, der das
Plasma zusammenbrechen läßt.
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1.3.1 Phasenübergänge (Phase Change, ~ Transition)
Phasenübergang
T steigend
T fallend
Fest (solid)- flüssig
Schmelzen (melting)
Erstarren (solodify)
Flüssig (fluid) - gasförmig
Sieden (boil)
Kondensieren (condense)
fest – gasförmig (gaseous)
Sublimation (z.B. Schwefel)
Desublimation
Sublimationswärme = Schmelz- + Verdampfungswärme
Energetische Betrachtung der Phasenübergänge
T
konstante Wärmemenge pro
Zeiteinheit wird ständig
zugeführt
Verdampfungs T
Versuche: Eiswasser, Wasser
Schmelz T
kochen, T bleibt eine zeitlang
konstant !
Schmelzwärme
Phasenübergang
Verdampfungswärme
T steigend
Wärmemenge aufwenden
T fallend
Wärmemenge wird frei
Schmelz-, Erstarrungswärme
Qsm = q m
Siede-, Kondensationswärme
Qsd = r m
Q bzw. t
(WL - 3)
q : spez. Schmelzwärme [q] = J/kg Werte siehe Tabelle Wärmeeigenschaften (s.o.)
r:
"
Verdampfungswärme
m : Masse
Anwendung : Wärmepumpe
- ext. Wärmeaufnahme: niedrigverdampfende Flüssigkeit
- int. Wärmeabgabe : Kondensation an Heizflüssigkeit Kondensationswärme wird frei !
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Druck - Temperatur - Abhängigkeit
Bsp: H2O
p /Pa
Schmelzdruckkurve
10
Wasser
6
Dampfdruckkurve
" 1 at "
Wasserdampf
Eis
10
kritischer
Punkt
2
Tripelpunkt
Sublimationsdruckkurve
1
-100
0
100
300
T /°C
Anmerkungen:
Sublimationsdruckkurve
Eis ↔ Wasserdampf; Beispiel Trockeneis
Schmelzdruckkurve
nahezu druckunabhängig, Bsp Eislaufen
Dampfdruckkurve
T-abhängig: Wasser kocht im Gebirge bei niedrigerer T als am
Meer, Kavitation bei Schiffsschraube
Tripelpunkt
alle 3 Phasen existieren
H20 : T = 273,16 K (T-Def.); p = 610,6 Pa
kritischer Punkt
nur unterhalb der kritischen Temperatur lassen sich Gase durch
Druck verflüssigen
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1.4 Zustandsgleichungen (Constitutive Equitation)
3.4.1 Ideales Gas
Gilt nur für hohe Temperaturen,
pV=nRT
da T → 0 V = 0 bedingt
(WL - 4)
Mit - R = 8,3 J/Kmol Allgemeine Gaskonstante
- n : Stoffmenge, [n] = mol
- T : Temperatur in K
Messverfahren siehe rechts, im Schlauch
befindet sich eine Flüssigkeit
1.4.2 Flüssigkeiten und Festkörper
allgemein : V = V(T,p)
d.h. Fkt mehrerer Veränderlicher: Linearisierung als Näherung
Volumenveränderung
V(T,p) = Vo ( 1 + γ ∆T - κ ∆p)
(WL - 5)
mit :
Vo, To, po : Ausgangszustand laut DIN bei 20°C (293 K)
V, T, p : aktueller Zustand
∆T = T - To
∆p = p - po
Achtung: ∆ = Aktueller Wert - Ausgangswert
γ : Volumenausdehnungskoeffizient [γ] = 1/K, hier isotrop d.h. γ ≠ γ(x) angenommen !
κ : Kompressibilität [κ] = 1/Pa
Prinzipiell können diese Parameter richtungsabhängig sein, wie z.B. bei Verbundstoffen !
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Koeffizienten aus Volumenzuwachs: (Nomenklatur wie partielle Ableitung)
V (p ,T) = Vo + ∆V
totales Differential (in Differenzschreibweise): ∆V = VT ∆T + Vp ∆p
→ V = Vo 1 +
V
VT
∆T + p ∆p
Vo
Vo
→ V = Vo (1 + γ ∆T + κ ∆p )
1 ∂V
Vo ∂ T p=p o
Volumenausdehnungskoeffizient
γ( T ) =
Kompressibilität
κ(T ) = −
1 ∂V
Vo ∂ p T=To
Kompressionsmodul K = 1/κ
Typische Werte
Festkörper
Flüssigkeiten
Gase
γ
/1/K
κ
/1/MPa
10
-5
1
10
-4
100
10
-3
10.000
∆T und ∆p verursachen ∆V
Maschinenbau: Gehäuse: V = const: ∆T → ∆p → Kraft F : Spannungen
E-Technik: T-abhängige Parameter z.B. Widerstand
→ in 'einem Gerät / Schaltung' nur Materialien mit gleicher T-Abhängigkeit verwenden!
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20
Bei langgestreckten Gegenständen,
z.B. Stäben kann man vereinfachend
nur mit der Längenausdehung
rechnen oder falls nur eine Richtung
für die Aufgabenstellung relevant ist.
Längenausdehnungskoeffizient
(Thermal Coefficient of Expansion, TCE)
L(T) = Lo (1 + α ∆T)
(WL - 6)
[α] : / 1/K , üblich für T von 0 ... 100°C
Bem.:
- Concorde bei Mach 2,2:
∆L ≈ 30 cm
bei ca. 50m Länge
- Blackbird-Triebwerk (re.)
- α ist temperaturabhängig, z.B. Platin (siehe unten) → α = α(T)
Tabellen meist für 20°C, da WL - 6 lineare Näherung !
- Materialwerte siehe Tabelle
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- (WL - 6) ist eine lineare Näherung (Polynomentwicklung) !
- Längenausdehnung
L(T) = Lo (1 + α ∆T)
- Hookesches Gesetz
F(x) = (0 + Dx)
- E-Technik
R(T) = R25 (1 + α ∆T)
Polynome werden zum Anfitten an experimentelle Werte verwendet. Diese linearen
Gleichungen gelten nur für einen bestimmten und engen Bereich.
Will mans genauer wissen: höheres Polynom, z.B. αPlatin : 6. Grad !
für ∆T und α klein: Flächenausdehnung: A = Ao (1 + 2α ∆T)
Volumenausdehnung: V = Vo (1 + 3α ∆T)
→ γ = 3α
aus: V = Lxo Lyo Lzo ( 1 + α ∆T)³ ≈ Vo ( 1 + 3α ∆T) Übungsaufgabe
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Einfache Erklärung der Wärmeausdehnung von Festkörpern
mit nichtlinearer Molekülbindung (Modell Feder)
Kraft
Potential
Längenausdehnung durch
nichtlinearen Anteil
-> V erschiebung des Mittelw ertes
zu größeren x-Werten
Epot
Potential
aus Hooke ~ x²
Abweichungen von
Hooke für große
Dehnungen
x
Energieminimum
im undeformierten
Zustand
F = k 1 x + k 2 x ² + ...
linear
→
W =F x
nichtlinear
Epot = k 1 x ² + k 3 x ³ + ...
Unterschiedliche Ausdehunungskoeffizienten führen zum Bruch bzw. Materialermüdung:
Thermische Ausdehnung bei IC
(-65°C ... +150°C)
α
/ 10
-6
K
l
/ µm
Vergußmasse
20
43
Polyimid
Silizium
Kleber
40
3,5
40
86
7,5
86
Träger
17
37
10mm
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 13.10.04
23
Volumenveränderung (Fkt mehrerer Veränderlicher: Linearisierung)
Volumenveränderung
γ: Volumenausdehnungskoeffizient
[γ] = 1/K , üblich für T von 0 ... 100°C
V(T,p) = Vo ( 1 + γ ∆T )
≈ Vo ( 1 + 3α ∆T )
(WL - 7)
Dies ist (WL - 5) vereinfacht
γ, α > 0 für alle Materialien außer H2O : 0 ... 4°C: γ < 0
Ausnahme: Spezialkeramik schrumpft von 1 - 1500 K in 3D
Anomalie des Wassers
Wasser hat seine größte Dichte bei 4°C !
V
Folgerungen:
Festkörper
- Eis schwimmt auf Wasser
Flüssigkeit
- See friert von oben zu (Fischteich)
- Eis schmilzt unter Druck:
Eislaufen
Wasser kann unter Druck nicht gefrieren (Meer)
0
+4
T / °C
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 13.10.04
24
1.5 Wärmetransport (Heat Transport)
Art
Charaktristik
Bsp
Wärmestrahlung
em-Strahlung (meist IR)
Sonne, Mikrowelle, Lagerfeuer
Materialtransport
Konvektionsheizung (z.B. Luft), PC-
(thermal radiation)
Wärmeströmung
(thermal flow)
Lüfter, Meer: kaltes Wasser unten, oben
(Konvektion)
warm
Wärmeleitung
Energieübertragung
erwünscht
(thermal conduction)
: Kühlkörper
unerwünscht : Thermoskanne
Statt ‚thermal ...‘ wird im Englischen auch oft ‚heat ...‘ benutzt.
1.5.1 Wärmestrom (Thermal Flow)
auch Wärmeabgabe
Wärmestrom
mit Q = c m ∆T
Φ=
vgl. mit Strom und Ladung
[Φ]= J = W
s
∆Q dQ
=
=Q
∆t
dt
(WL - 8)
Φ = c m ∆T + c m ∆T + c m ∆T
≡ Leistung
Bsp.
|
Lüfter
|
Statisches
Abkühlen
|
z.B. Gase, c(T)
oder Phasenübergang
zeitliche Abhängigkeit analog Kinematik !
Bsp: - abkühlender Körper ( m = 0, c = 0 ) : ∆Q = 90 J in ∆t = 15 s → Φ = 6 W
- Gehäuselüfter mit permanentem Massenstrom 5 l/min, ∆T = 20 K ( T = 0 )
m=
dm ∆m
l
≈
=5
, Wärmekapazität konstant : c = 0
dt
∆t
min
Φ = c m ∆T = 1000
J
kg
⋅ 0,0012 ⋅ 5
⋅ 20 K = 2 W
kg K
60 s
Solarkonstante (Äquator, senkrechter Einfall): qsolar =
Φ
= 1,35 kW/m²
A
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 13.10.04
25
Analogie Wärmelehre - E-Technik
Transport von 'Wärmeteilchen' im Vergleich zu geladenen Teilchen
Die treibende Kraft für den Transport ist eine Potential- bzw. Temperaturdifferenz !
Wärmelehre
E-Technik
(Gleichstrom)
∆T
U
Potentialdifferenz
Φ
I
Strom
Rth
R
Widerstand
R th =
∆T
Φ
R=
U
I
Ohmsches Gesetz
λ=
1
R th
G=
1
R
Leitwert
T-Differenz
Wärmestrom
Wärmewiderstand
Wärmeleitwert
Mehrere
Rth ges = ΣRth
Rges = ΣR
Serienschaltung
1
1
1
=
+
+ ...
Rges R1 R2
Parallelschaltung
C
Kondensatorkapazität
Schichten
'Vergrößerung
1
eines Kühlkörpers'
R th ges
=
1
1
+
+ ...
R th1 R th 2
Wärmekapazität
C
(Serien- und
Parallelschaltung
entsprechend)
Gehäuse
Isolierscheibe
Kühlkörper
Luft
Betrachtung nur in diese Richtung
THL
TGeh.
TIso
TKk.
TLuft
Pel
RLast
C : Wärmekapazität, R : Wärmewiderstand
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 13.10.04
= Abgabe an
Umgebungsluft
26
2 Fälle des Wäremstroms :
•
permanente Wärmeentwicklung
‚leicht‘ zu berechnen, d.h. (Wärme-) Kapazitäten werden vernachlässigt, nur Widerstände
berücksichtigen
•
Einschalt- und Abschaltvorgänge
‚komplexer‘, meist nur interessant bei kurzen Betriebsdauern (‚Ladezeit‘, danach Fall
‚permanent‘), z.B. HF-Teil Handy, da typischerweise 5 min. in Betrieb. Vgl. RC-Verhalten
bzw. Einschalten LCD-Tafel
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 13.10.04
27
1.5.2 Wärmestrahlung (Thermal Radiation)
auf der Erde in Luft und Wasser für kleinere Körper meist vernachlässigbar
im All: Wärmeabgabe nur über Strahlung möglich
Bsp: Astronauten müssen mit Flüssigkeit gekühlt werden, da der Körper mehr Wärme
erzeugt als durch Strahlung abgeführt werden kann, also ‘Wärmetod’ nicht ‘Kältetod’ !
Plancksches Strahlungsgesetz
Φ = σ ε A T4
gilt genau genommen nur im All
(WL - 9)
mit
σ = 5,7 10
-8
W
m2 K 4
(Stefan-Boltzmann - Konstante)
ε = Emissionsvermögen : schwarzer Kühlkörper ε ≈ 0,9 ... 0,95 , weiße Fläche ε ≈ 0,5
A : Fläche des Schwarzen Körpers /m²
Die Formel bzw. das folgende Diagramm gibt die Fläche unter der Kurve des Spektrums
des Schwarzen Körper wieder !
Plancksches Strahlungsgesetz
Schwarzer Körper mit A = 1m², Emissionsvermögen = 1
Wärmestrom /W
50000
40000
30000
20000
10000
0
0
200
400
600
800
1000
T /K
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 13.10.04
28
Spektrum der Planckschen Strahlung (Black Body Radiation)
Schwarzer Körper
Glühbirnen emittieren ihre Strahlung nur zu einem kleinen Teil (10 %) im sichtbaren Bereich
Spektrum von Schwarzen Körper bei Zimmertemperatur und Sonnenlicht
Das Spektrum der Sonne (s.o.) ergibt eine Oberflächentemperatur von etwa 6000 K.
Die 'Farbe' eines heißen Körpers ist für das menschliche Auge sichtbar, wie obige Spektren
verdeutlichen !
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 13.10.04
29
Einen Zusammenhang zwischen Spektrum und menschlichem Farbeindruck liefert die
CIE 1931-Norm:
Die hufeisenförmige Kurve repräsentiert auf ihrem Rand scharfe Spektrallinien, wie z.B.
eines Lasers (s.o.) Im Inneren finden sich ausgedehnte Spektren. Die eingezeichnete Kurve
gibt den Äquivalenzwert der Temperatur eines Schwarzen Strahlers wieder.
Bei der Stahlerzeugung ist deutlich die
Abhängigkeit der Farbe mit zunehmender
Temperatur zu erkennen: Rot (600°C) - Gelb
(1100°C) - Weißglut (1300°C)
Das menschliche Sehen ‚passt‘ sich an die Farbe des Umgebungslichtes an, elektronische
Sensoren (CCD, Videokamera, Digitalkamera, ...) benötigen hier einen Weißabgleich, da
unterschiedliche Beleuchtungsquellen !
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 13.10.04
30
Wärmestrom durch Wärmestrahlung kleiner Körper in Gegenwart großer Wände
Vorraussetzungen:
(
4
4
Φ = σ ε A TKörper
− TUmgebung
AKörper << Aumgebende Wand
Der Wärmestrom des
)
(WL - 9')
Wärmestrahlung eines kleinen Körpers
emittiernden Körpers hängt
sehr stark von seiner eigenen
Schwarzer Körper mit A = 1m²
Wärmestrom /W
Temperatur ab und nur relativ
3000
T Umgebung = 0°C
gering von der Temperatur
T Umgebung = +20°C
T Umgebung = +80°C
der umgebenden Wand.
2000
Anhaltswert:
1000
TUmgebung = 300 K (27°C)
0
250
TKörper = 353 K (80°C)
300
350
400
450
500
T Körper /K
Φ ≈ 400 W pro m²
Fälle
Wärmeabgabe
TKörper > TUmgebung
(bezogen auf Körper)
Wärmeaufnahme
TKörper < TUmgebung
Für elektronische Bauteile ist die Abgabe von Wärme durch Strahlung praktisch
vernachlässigbar, da ihre Oberfläche im cm²-Bereich liegt, .d.h Φ ≈ 40 mW pro cm²
Beispiel aus Maschinenbau
Wieviel Leistung strahlt ein 200°C heißer, schwarzer (ε = 0,95) Kessel mit einer Oberfläche
von 6 m² an eine ihn umgebende, große Halle mit der Wandtemperatur 20°C ab ?
(
)
4
4
Φ = σ ε A TKörper
− TUmgebung
= σ ⋅ 0,95 ⋅ 6 m 2
( (473K )
4
− (293K )
4
) ≈ 14 kW
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 13.10.04
31
1.5.3 Wärmeströmung (Thermal Flow)
- Transport von Materie, d.h. Wärmetransport durch Teilchentransport !
- meist aktiv, z.B. mit Lüfter oder Pumpe betrieben.
- Konvektion: Strömung durch Dichteunterschiede, z.B. warme Luft steigt auf
Wärmeströmung
Φ=
m : Massenstrom (vgl. Impuls)
∆ Q dQ
=
= Q = c m ∆T
∆t
dt
(WL - 10)
Man kann mittels der transportierten Stoffmenge (z.B. Luft bei Lüfter, Angabe in m³/min) den
Wärmestrom berechenen:
Bsp: Wieviel Verlustleistung kann ein Lüfter aus einem elektrischen Gerät transportieren ?
m3
Lüfter mit 0,1
min
Luft : ∆T = 30 K
(ausgeblasene eingesaugte
Temperatur)
Dichte : 1,2 kg/m³
→ Φ = c m ∆T
= 1000 J
0,12 kg
30 K
K kg 60 s
= 60 W
Beispiel Lüfter-Spec
Bestellbezeichnung:
0410N-12
Abmessungen:
a x b (mm)
40 x 40
Bautiefe:c(mm)
25
d (mm)
32
e (mm)
4,5
Nennspannung
VDC
24
Volumenstrom m³/h
165
Luftdruck mm H2O
7,2
Stromaufnahme mA
340
Geräuschpegel dBA
44
Lagerungsart
Kugellager
Temperaturbereich
-10 ... + 70
°C
Lebensdauer
in h bei 25°C
51.000
Lebensdauer in h
bei 70°C
40.000
Zulassung
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 13.10.04
UL/CSA/TÜV
32
Anwendungen:
In Schaltschränken ist die Temperatur ‚oben‘ am höchsten (Bauteile-Belastung !). Deshalb
sollten oben (Abluft) und unten (Zuluft) Lüftungsschlitze angebracht sein. Zu beachten ist
aber eine ‚Verschmutzung (Staub) des Gerätes und eine erhöhte Wasserempfindlichkeit.
Achtung : Bei erhöhten Umweltanforderungen (z.B. wasserdicht) kommt eine Wärmeabfuhr
durch Lüftung (Massestrom) nicht in Betracht. Die Wärmeleitung und die maximal erlaubte
Bauteiltemperatur bestimmt dann maßgeblich die maximal erlaubte elektrische
Verbrauchsleistung !
IP Schutznormen - Systeme in schwierigen Umweltbedingungen*
Industriell genutzte Systeme sind anderen Belastungen ausgesetzt, als Desktop PC in einer Büroumgebung.
Staub, Dreck und Wasser sind Umwelteinflüße auf die ein Standard PC recht empfindlich reagiert, die ein
industriell eingesetztes PC Systeme jedoch typischerweise problemlos aushalten muss. (Nicht zuletzt erklärt das
den i.d.R. höheren Preis für Industrie PC gegenüber Standard PC.)
Für den Einsatz in einer Industrieumgebung sind Schutzklassen und Normen definiert, die angeben, welchen
Umweltbelastungen hinsichtlich Berührung, Fremdkörper- und Feuchtigkeitsschutz ein System ausgesetzt
werden kann, ohne Schaden zu nehmen. Definiert werden die Schutzklassen in der IP Norm, DIN EN 60529:
Schutzarten durch Gehäuse (IP Code).
Der IP Code besteht typischerweise aus einer zweistelligen Ziffernkombination, die den jeweiligen Schutzgrad
angibt, z.B. IPxy (oder IP54). Die erste Ziffer x spezifiziert die Schutzklasse für Berührungs- und
Fremdkörperschutz, die zweite Ziffer y den Wasser- und Feuchtigkeitsschutz,
Nachstehende Tabellen (ohne Gewähr) erläutern die Bedeutung der IP Codes:
Tabelle 1: Berührungs- und Fremdkörperschutz
1. Kennziffer
Benennung - Erklärung
0
Nicht geschützt
1
Geschützt gegen feste Fremdkörper 50mm Durchmesser und größer:
Die Objektsonde (Kugel 50mm) darf nicht voll eindringen
2
Geschützt gegen feste Fremdkörper 12.5mm Durchmesser und größer:
Die Objektsonde (Kugel 12.5mm) darf nicht voll eindringen
Hinweis: Typischerweise die Lüftungsschlitze in einem PC Netzteilgehäuse...
3
Geschützt gegen feste Fremdkörper 2.5mm Durchmesser:
Die Objektsonde (Kugel 2.5mm) darf überhaupt nicht eindringen
4
Geschützt gegen feste Fremdkörper 1mm und größer:
Die Objektsonde (Kugel 1mm) darf überhaupt nicht eindringen
5
Staubgeschützt:
Eindringen von Staub ist nicht vollständig verhindert, aber Staub darf nicht in einer solchen
Menge eindringen, daß das Arbeiten des Gerätes oder die Sicherheit beeinträchtigt wird
6
Staubdicht:
Kein Eindringen von Staub bei einem Unterdruck von 20mbar im Gehäuse
*: aus Internet
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 13.10.04
33
Tabelle 2: Wasserschutz
2. Kenn- Benennung - Erklärung
ziffer
0
Kein Schutz
1
Geschützt gegen Tropfwasser:
Senkrecht fallende Tropfen dürfen keine schädlichen Wirkungen haben
2
Geschützt gegen Tropfwasser wenn das Gehäuse bis zu 15° geneigt ist:
Senkrecht fallende Tropfen dürfen keine schädlichen Wirkungen haben, wenn das Gehäuse um einen
Winkel bis zu 15° beiderseits der Senkrechten geneigt ist
3
Geschützt gegen Sprühwasser : Wasser, das in einem Winkel bis zu 60° beiderseits der Senkrechten
gesprüht wird, darf keine schädlichen Wirkungen haben
4
Geschützt gegen Spritzwasser: Wasser, das aus jeder Richtung gegen das Gehäuse spritzt, darf
keine schädlichen Wirkungen haben
5
Geschützt gegen Strahlwasser: Wasser, das aus jeder Richtung als Strahl gegen das Gehäuse
gerichtet ist, darf keine schädlichen Wirkungen haben. Hinweis: Entspricht ca. 12.5 Liter/Minute
(Gartenschlauch). Testzeitraum ca. 5 Minuten. (Angabe ohne Gewähr.)
6
Geschützt gegen starkes Strahlwasser: Wasser, das aus jeder Richtung als starker Strahl gegen das
Gehäuse gerichtet ist, darf keine schädlichen Wirkungen haben
7
Geschützt gegen die Wirkungen beim zeitweiligen Untertauchen in Wasser:
Wasser darf nicht in einer Menge eintreten, die schädliche Wirkungen verursacht, wenn das Gehäuse
unter genormten Druck- und Zeitbedingungen zeitweilig im Wasser untergetaucht ist
8
Geschützt gegen die Wirkungen beim dauernden Untertauchen in Wasser:
Wasser darf nicht in einer Menge eintreten, die schädliche Wirkungen verursacht, wenn das Gehäuse
dauernd unter Wasser getaucht ist unter Bedingungen, die zwischen Hersteller und Anwender
vereinbart werden. Die Bedingungen müssen jedoch schwieriger sein als für Kennziffer 7
Übliche Schutzklassen in der Praxis und einige Hinweise:
Für "normale" Industriesysteme in geschlossenen Werkhallen wird üblicherweise der Schutz nach IP54
angeboten = Staubgeschützt + Geschützt gegen Spritzwasser. Für Systeme im Außeneinsatz (Fahrzeuge etc)
wird ein Schutz nach IP65 empfohlen (=Staubdicht + Geschützt gegen Strahlwasser). Schutzklassen <= IP40
bieten nur Schutz gegen Berührungen und sind nur dann sinnvoll, wenn das System seinerseits wieder in ein
Gehäuse (z.B. in einen Schaltschrank) eingebaut wird.
Bei der Verwendung industriell genutzter Systeme wird grundsätzlich empfohlen, auf die IP-Schutzklasse zu
achten. Ein mit IP20 geschütztes System ist z.B. auf einem Gabelstapler im Außenlager ausgesprochen
schlecht aufgehoben. Ein nach IP67 geschütztes System in der Zeiterfassung und Zugangskontrolle ist dagegen
in den meisten Fällen gleichermaßen fehl plaziert - wenn es nicht gerade in einem U-Boot eingesetzt wird.
(Kleiner Witz. Siehe hierzu auch besondere Hinweise zur IP68 Norm am Ende dieser Seite...)
Nicht jedes System kann problemlos mit einer hohen Schutzklasse ausgeliefert werden. Schutzklassen, die
gerade im Wasserschutz einen hohen Schutzgrad bieten sollen, bedingen in den meisten Fällen ein
geschlossenes (gekapseltes) Gehäuse. In einem derartigen Fall ist besonders auf die Wärmeableitung des
Systems zu achten, denn je höher die Prozessorleistung eines PC-Systemes, desto höher ist üblicherweise auch
die abgegebene Verlustleistung, die in Wärme abgegeben wird. In einem geschlossenen Gehäuse kann die
Wärme nicht entweichen - durch Hitzeschäden bedingte Systemausfälle sind dann die Folge. In einem solchen
Anwendungsfall ist der Kühlung besondere Aufmerksamkeit zu schenken, z.B. durch spezielle Wärmetauscher,
die Kühlmöglichkeiten auch in geschossenen Systemen bieten.
Beispiele
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 13.10.04
34
Bei den Phänomenen der Wärmelehre werden oft (auch unwissentlich) Fehler gemacht :
(aus Prospekt der Fa.
BAUHAUS, wurde trotz
mehrfacher telefonischer
‚Reklamation‘ auch in
neuen Auflagen
verwendet)
Der Ausdruck
‚Wärmewiedergewinnung‘
ist physikalisch falsch.
Was stimmt hier nicht ?
Saison
Winter
Winter
Sommer
Sommer
Sommer
Lüfter
Aus
Ein
Aus
Ein
Ein
Aussage
oben wärmer als unten
oben und unten etwa gleich warm
oben und unten etwa gleich warm
Luft wird um etwa 4°C abgekühlt
Heizkostenersparnis
Bewertung
Na ja
FALSCH
Na ja
Wie kann die ‚falsche‘ Aussagen physikalisch erklären ?
- Der Lüfter bewegt die Luft, kann sie aber nicht kühlen
- Die Temperatur erniedrigt sich ‚scheinbar‘ um 4°C
- Geringerer Wärmeverbrauch
Faßt man die Aussagen zusammen, erklärt sich die Beobachtung : Die an einem (menschlichen) Beobachter vorbeiströmende Luft ändert den thermischen Widerstand (der Haut) als
Folge der Wärmeleitung (s.u.). Dieser wird bei einem Übergang Festkörper (Haut) - Fluid
(Luft) mit dem von der Luftgeschwindigkeit abhängenden Wärmeübergangskoeffizient α
ausgedrückt. Erhöht sich die Luftgeschwindigkeit so wird mehr Wärme abgeführt, was ‚man‘
als ‚kühler‘ empfindet. Ein zusätzlicher Effekt ist die beschleunigte Verdunstung (Verdunstungswärme wird vom Körper 'abgezogen‘). Die Heizkostenersparnis ist relativ gering, da
sich an den thermischen Eigenschaften der Wände nichts ändert, lediglich die vertikale
Temperaturverteilung ist in einem kleineren Bereich ausgeglichener.
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 13.10.04
35
1.5.4 Wärmeleitung (Thermal Conduction)
Metall fühlt sich ‚kälter‘ als Holz in einem 20°C warmen Raum an obwohl beide Gegenstände
gleich warm sind. Grund: Metalle haben eine höhere Wärmeleitfähigkeit und transportieren
so die ‚Wärme‘ der Finger schneller ab, die (wärmeren) Finger kühlen sich also ab.
Hauptfälle :
- Wärmeleitung durch eine Wand sowie von Festkörper auf Fluid
- Wärmedurchgang durch eine Wand
- Wärmeabgabe eines Körpers durch Abkühlen bzw. bei 'ständiger' Heizung
1.5.4.1 Wärmeleitung durch Wand
Welcher Wärmestrom fließt durch eine Wand bzw.
TA
welche Leistung wird durch eine Wand in
Abhängigkeit vom Temperaturgefälle transportiert ?
s
A TB
T U
Achtung : Das folgende beschreibt nur einen
T
A
Teilaspekt der Wärmeübertragung durch eine
T
B
R
Analogie
s
Wand, vollständig s.u. !
Wärmestrom analog Ohmschen Gesetz :
x
U
∆T
=I ≡ Φ=
R
R th
Hieraus folgt
Wärmewiderstand
[Rth] =
K
W
Rth =
s : Wanddicke, A : Fläche
λ : Wärmeleitzahl, [λ] =
W
Km
s
1
=
λA kA
(WL - 11)
(Materialeigenschaft)
k : Wärmedurchgangszahl, k = λ ; Anwendung z.B: Baubranche
s
Wärmeleitung
Erhöhte Wärmeabgabe durch Vergrößerung der Oberfläche (Kühl-
Φ=
∆T
λ
= k A (TA − TB ) = k A ∆T = A ∆T
R th
s
(WL - 12)
körper, Rippen bei Elektromotoren)
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 13.10.04
36
Wärmedurchgangszahl „Normierung“ auf Dicke
[k] =
W
K m2
Wärmeleitzahl λ
Material
Werte für 300 K !
Eis
2,33
Wasser
0,6
Luft
/
W
Km
Wärmedurchgangszahl k
(WL - 13)
/
W
K m2
0,025
Stahl
14
PVC
0,16
Kork
0,05
Ziegel
Glas
Beispiel:
λ
s
k=
1
1,5 (30 cm Hohlziegel)
0,8
5,6 (1 cm) (Doppelglas)
Wie stark muß die Heizung einer Studentenbude sein ?
Werte : Länge Außenwand 10 m , 2,5 m hoch, 2 Außenwände, k = 1 W/Km²
Innenwände, Boden, Decke vernachlässigt, da Hochhaus
Temperatur 0°C außen, 20°C innen gewünscht
Φ = k A ∆T = 1 W/Km² 25 m² 20 K = 500 W
Bei einer Wand aus mehreren Schichten wird einfach die
Φ
'Serienschaltung' (vgl. ET) angewendet:
Rthges = Rth1 + Rth2 + ...
'Parallelschaltung' :
1
R th ges
=
1
1
+
+ ... (Vergrößerung der ‚Durchgangsfläche’)
R th 1 R th 2
Wärmeleitzahl von Metallen
e: Elementarladung
Wärmeleitfähigkeit λ ∼ elektrischer Leitfähigkeit κ *T
Wiedemann-Franzsches Gesetz
π² k B
λ Metall =
3 e
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 13.10.04
2
κT
37
1.5.4.2 Wärmeleitung von Festkörper auf Fluid (Flüssigkeit, Gas)
Welche Wärmeleistung wird von einem
Festkörper auf ein Fluid abgegeben ?
A
FK
hier geht nur der Wärmeübergangskoeffizient
Fluid
T
TFK
des Fluids ein !
∆T
TFluid
∆T = TFK - Tfluid
x
Wärmestrom durch Übergang FK - Fluid
α: Wärmeübergangskoeffizient, [α] = W / m² K
Φ = α A ∆T
(WL - 14)
α = α(vfließ, Medium)
Wärmeübergangswiderstand FK - Fluid
Rth =
s
1
vgl. Wärmedurchgangswiderstand Rth =
=
λA kA
Metall - Medium
(WL - 15)
α / W/m²K
Luft : ruhend
3 - 30
langsam
30 - 60
schnell
60 - 300
Wasser
1
αA
500 - 5000
Wärmeübergangskoeffizient
α=
6 + 4⋅ v
7 ⋅ (v )
0,78
für v ≤ 5 m s
für v > 5 m s
für strömende Luft längs einer ebener Wand
multiplizieren mit Einheiten
Bsp: - Motor: Wodurch unterscheiden sich Luft – Wasserkühlung ? Vorteile - Nachteile, ...
- PC mit Wasserkühlung
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 13.10.04
38
1.5.4.3 Wärmedurchgang durch Wand
Wärmeübertragung von Fluid durch Wand (hier Verbundwand) an Fluid
Wärmeübergangskoeffizient von Wand 1 auf Wand 2 wird vernachlässigt.
Innenwand 1 : Wärmeübergangskoeff. α1
T
A
A
λ1
λ
s1
s2
2
T
Wärmeleitung durch Wand 1 : Wärmeleitzahl λ1
B
Wärmeleitung durch Wand 2 : Wärmeleitzahl λ2
T
Φ
Außenwand 2 : Wärmeübergangskoeff. α2
innen
außen
x
I
Elektrisches Ersatzschaltbild mit Strom I ≡ Φ
Wärmewiderstand als Serienschaltung : Rth ges = Rth überA + Rth durch1 + Rth durch2 + Rth überB
Einzelwiderstände aus (WL - 15)
Wärmestrom innen → außen : Φ =
∆T
∆T
=
=
1
s1
s2
1
Rthges
+
+
+
α1 A λ1 A λ 2 A α2 A
A ∆T
1 1 1 1
+ + +
α1 k1 k 2 α 2
Bsp: Zimmerwand (1 m² mit α = 6 W/m²K ) mit 30 cm dicken Ziegeln, (k = λ/s = 1 W/m²K)
und 1 cm Gips (k = λ/s = 2 W/m²K) innen. Temperaturdifferenz von außen nach innen 20 °C.
Gesucht : Wärmestrom und Verlustwärme pro m² bzw. s ?
Wärmedurchgangswiderstand : Rthges =
→ Wärmestrom pro m²
1
1 1 1
1
1 1 1 1
m² K
K
+
+ +
⋅ =
+ + + ⋅1
= 1,83
α1 α2 k1 k 2 A
6 6 1 2
W m²
W
: Φ = ∆T / Rth = 20 W / 1,83 = 11 W
→ Verlustwärme pro m² und sec : Q = Φ t = 11 J
Bei 45 m² anrechenbarer Fläche und 2000 h p.a. Heizung einer Wohnung ergibt sich :
Φ = 500 W, Q = 1000 kWh, Heizkosten bei 0,4 €/kW : 400 € pro Jahr
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 13.10.04
39
1.5.4.4 Wärmeabgabe
Statisches Abkühlen
- es wird keine Wärme nachgeliefert
- T ≠ const, gesucht: T = T(t) ?
Bsp: Eisenwürfel (Fe)
- Anfangsbedingung : T(t = 0) = 70°C = 343 K
Fläche des Würfels zur Luft hin:
Fe
30 cm
Luft ruhend
20°C
70°C
A = 5 * (0,3 m)² = 0,45 m²
Näherung:
isoliert aufgeklebt
- TEisen im Würfel räumlich konstant
- Umgebungsluft erwärmt sich nicht
- keine Volumenschrumpfung
- keine Wäremstrahlung
- cFK >> cFluid
4
4
Abschätzung der Wärmestrahlung: Φ = k B ε A (TKörper
) ≈ 150 W
− TUmgebung
Wärmeverlust durch Strahlung (TKörper = const.) in der 1. Minute : Q = Φ * t ≈ 9 kJ
Die Wärmestrahlung wird im weiteren vernachlässigt, da sonst die Mathematik deutlich
schwerer wird - bei kleinen ET-Körpern ist dies 'erlaubt'.
Def.: Temperaturdifferenz : Tdiff = TEisen - TLuft
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 13.10.04
40
Φ = dQ / dt
einerseits:
Φ =
→
∆T
R th
differentielle Schreibweise
(Rth ist hier der Wärmeübergangswiderstand FK - Fluid)
dQ = α A Tdiff dt
(Wärmeleitung)
(i)
dQ : differentielle Änderung der Wärmemenge
Wärmeverlust in der 1. Minute für TKörper = const.
Q=5
W
⋅ 0,45 m² ⋅ 50 K ⋅ 60 s ≈ 7 kJ
m² K
(vgl. mit Wärmestrahlung ! )
andererseits:
dQ = c m dTdiff
mit
(im Eisenwürfel gespeicherte Wärmemenge)
(ii)
c = 0,55 J/gK
m = ρV
Energieerhaltung : - Wärme kann nicht verschwinden
- Wärmeaufnahme der Luft = Wärmeverlust (-abgabe) des Eisenwürfels
→ Summe aller Änderungen der Wärmemenge muß Null sein
ΣdQ = 0 →
mit (i) und (ii) folgt :
dQauf + dQab = 0
dQLuft = - dQEisen
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 13.10.04
41
Berechnung der Differenztemperatur:
α A Tdiff dt = − c m dTdiff
→
dTdiff
αA
=−
Tdiff
dt
cm
dTdiff
αA
=−
Tdiff
cm
→ ln Tdiff = −
→ Tdiff = k e
−
vernachlässigt : - TLuft = TLuft (t)
DGL 1. Ordnung
dt
αA
t + C
cm
|e
αA
t
cm
k aus Anfangsbedingung : Tdiff (t = 0) = TEisen(0) - TLuft
→
Tdiff
k = TEisen(0) - TLuft
TEisen(0)
→
Tdiff = (TEisen( 0 ) − TLuft ) e
−
αA
t
cm
TLuft
t → ∞ : Tdiff = 0 → TEisen = TLuft
t
dann herrscht thermisches
Gleichgewicht
Anwendung : Bestimmung von α (ggf. ln - Darstellung)
Vergleich mit Entladekurve RC-Glied
R : Abflußwiderstand (Rth)
C : Speicherelement (CEisen)
1/αA
cm
UC ≡ Tdiff
UC = U0 ⋅ e
T Eisen
R th
C Eisen
−
1
⋅t
RC
T Luft
RLuft
(klein,
Kurzschluß)
Benefit: Aufgaben aus der Wärmelehre
können mit Schaltungssimulations-Software
gelöst werden !
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 13.10.04
42
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 13.10.04
43
Praktisches Beispiel:
In welchem Fall ist heißer Kaffee, welcher frisch in einen Styroporbecher gegossen wird
nach 10 min. kälter ? Wenn die Milch sofort oder erst nach 10 min dazugegeben wird ?
Werte für t = 0:
Kaffee :
TK = 70°C , mK = 100 g
Milch :
TM = 10°C , mM = 10 g
TLuft = 20°C , cKaffee = cMilch = c
Wärmekapazität und -leitung der Styroportasse vernachlässigt
bzw. in TK enthalten (beim Eingießen war der Kaffee heißer)
a) Milch sofort hinein
Berechne TMisch
c mK ∆T = c mM ∆T , dann Abkühlen
cK mK (TK - TMisch) = cM mM (TMisch - TM) Kaffee wird kälter, Milch wärmer,
cK mK TK + cM mM TM = (cM mM + cK mK)TMisch
Mischtemperatur zweier Stoffe : TMisch =
→
TMisch =
cK mK TK + cM mM TM
cK mK + cM mM
(WL - 1')
0,1 kg ⋅ 343 K + 0,01 kg ⋅ 283 K
= 337,5 K = 65,5 °C
0,11 kg
W
; A = 0,003 m² ( Wasseroberfläche, da Kaffeetasse Styroporbecher demzufo lg e vernachlässigt)
m² K
J
c = 4200
; m = 0,11 kg
kg K
α = 10
mit
const =
1
αA
≈ 6 ⋅ 10− 5
cm
s
→
Tdiff = 45,5 K ⋅ e − const. ⋅ t
→
Tdiff = 45,5 K ⋅ e − 0,04 ≈ 44 K
→
TKaffee nach 10 min ≈ 64°C
b) Milch erst nach 10 min hinein
→
Tdiff = 50 K ⋅ e − 0,04 ≈ 48 K
Erst Abkühlen, dann Mischen berechnen
→ TK nach 10 min = 341 K = 68° C
Hier ist das Abkühlen während 10 min. schneller, da die Temperaturdifferenz größer ist !
TMisch nach10 min =
0,1 kg ⋅ 341K + 0,01 kg ⋅ 283 K
≈ 336 K = 63 °C
0,11 kg
Kaffee ist kälter, wenn man die Milch erst 'zum Schluß'dazugibt !
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 13.10.04
44
Dynamische Wärmeabgabe = permanente Wärmeentwicklung und -abgabe
Bsp: Kühlkörper mit Transistor und ständiger Verlustleistung
Gleichgewicht : TKühlkörper = const.
(erreicht bei Abschluß des Aufheizprozesses, vgl. LCD-Tafel, s.o.)
Nebenbedingung : - großes Reservoir der umgebenden Luft, d.h. TLuft = const.
- kein Lüfter
Ziel:
Berechnung des thermischen Widerstandes Rth des Kühlkörpers
in Abhängigkeit von der (erlaubten) Bauteile- und der Umgebungstemperatur
(andere Aufgabenstellung : Berechnung der Gleichgewichtstemperatur eines elektrischen
Gerätes bei gegebenem thermischen Widerstand und elektrischer Verlustleistung)
Einerseits:
Q = U I t → dQ = ∆U I dt → Φ = Q =
∆U ⋅I
(*)
Verlustleistung
mit ∆U : Spannungsabfall am Bauteil
andererseits:
Φ=
dQ
∆T
=Q=
dt
R th
(**)
mit ∆T = (erlaubte maximale bzw. gewünschte) Bauteiletemperatur - Lufttemperatur
→ (*) Φ = Φ (**) :
∆U ⋅I =
∆T
Rth
→ Thermischer Widerstand des Kühlkörpers in Abhängigkeit von Leistung und Temperatur
R th =
TBauelement − TLuft
T
− TLuft
= Bauelement
; R th = R th Bauteil + R th Isolierung, Wärmeleitpaste + R th Kühlkörper
∆U⋅I
Pelektrische Verlustleistung
Bemerkung:
- der Übergangswiderstand Kühlkörper - Luft 'steckt' in Rth
- Rth wird üblicherweise im Datenblatt angegeben (s.u.)
- Übergang Bauteil – Kühlkörper kann vernachlässigt werden, falls
(die dringend empfohlene) Wärmeleitpaste eingesetzt wird.
- TLuft stellt die maximal erlaubte Umgebungslufttemperatur dar,
danach ist der Kühlkörper auszulegen !
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 13.10.04
45
Bsp: TBE = 60°C (commercial 0 ... 70°C), TLuft = 40°C , ∆U = 1V , I = 1 A
→
R th =
TBauelement − TLuft
∆U ⋅I
=
20 K
K
= 20
1W
W
Praxis:
Rth (Kühlkörper) muß kleiner sein als Rth
(berechnet) wegen Kontaktwiderstand
(Rthcontact Reduktion durch Wärmeleitpaste)
etc.
Rth
/ K/W
30
1 mm Alu
10
5
2 mm Alu
1
hier: minimal 30 cm² Alu 2 mm dick
10
30
thermische Widerstand bei gleicher Fläche
A /cm²
Kühlkörperfläche
Rthcontact und PVerlust minimieren
Warum ist für 1 mm dickes Alu der
100
punktförmige
Wärmequelle
größer ?
Temperaturgefälle
Wegen der dünneren Materialstärke kann
die Wärme von einer punktförmigen Quelle
(z.b. Transistor) in der Mitte nicht 'so gut' in
Richtung Rand abgeleitet werden.
Die Temperaturverteilung der Fläche ist
inhomogen
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 13.10.04
46
Einfaches Kühlkörperdatenblatt
nichtlinearer Zusammenhang :
- doppelte Kühlkörpergröße ≠ halber thermischer Widerstand
Rth (50 mm) = 2,8 K/W aber Rth (100 mm) nicht Rth (50 mm)/2
- 'gilt auch für Preis'
Grund:
- Wärmeausbreitung von Punktquelle aus
- Luftströmungsverhalten des Kühlkörpers
(Einbauort und -lage beachten !)
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 13.10.04
47
Maximal erlaubte Verlustleistung eines kleinen IC-SMD-Gehäuses in Abhängigkeit von der
- a) Umgebungstemperatur
- b) Luftgeschwindigkeit und Platinenkühlfläche
a) linearer Zusammenhang zwischen maximaler Verlustleistung und
Umgebungslufttemperatur mit Gehäusetyp als Parameter
b) nichtlinearer Zusammenhang zwischen maximaler Verlustleistung und Kühlfläche
mit Parameter Strömungsgeschwindigkeit für 25 °C (wenig praxisrelevant, da T meist
höher)
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 13.10.04
48
Berechnungen und Simulationen zur Temperaturverteilung sind wegen der Vielzahl von
Parametern (Bauteile, Platine, Kühlkörper, Einbaulage, ...) und der dreidimensionalen
Verteilung (mechanischer Aufbau, ...) sehr aufwändig. Die Ergebnisse sind mit Vorsicht zu
genießen und sollten mit Messungen (z.B. IR bzw. Temperaturfühler oder –streifen)
untermauert werden.
Beispiel : Simulation einer DC/DC-Wandlerschaltung (http://power.national.com)
Die Schaltung ‚reduziert‘
eine Eingangsspannung
von 12 V auf 3,3 V und
liefert ca. 2,5 A
Ohne Kühlkörper
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 13.10.04
49
Mit Kühlköper
Die heißesten Teile sind die Diode und der IC. Durch den Kühlkörper sinkt die Temperatur
‚nur‘ um 3 – 6 °C. Die lateralen Abmessungen der Platine erhöhen sich um jeweils ca.
12 mm ! Der Aufwand scheint hoch, es gilt aber zu beachten, daß bei einer
Umgebungstemperatur von ‚nur‘ 30°C bereits Bauteile-Temperaturen von 60°C erreicht
werden.
Temperaturen /°C
Diode
Kühlkörper
IC
Ohne
Mit
Ohne
Mit
Umgebungs-
30
62
56
61
57
Temperatur
50
82
78
78
73
Zu beachten ist, daß die Simulation mit der Stromversogrung als einziges Bauteil
durchgeführt wurde – in einem abgeschlossenen Gehäuse mit Verbrauchern erhöht sich die
Temperatur, so daß hier mit einer ‚inneren‘ Umgebungstemperatur im Bereich 50°C zu
rechnen ist. Kommerzielle Bauteile (0 ... +70°C) kommen dann bereits nicht mehr in Frage !
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 13.10.04
50
Kleine Formelsammlung zur Elektronikkühlung (aus : www.flomerics.de)
Luftaustrittstemperatur aus einem zwangsbelüfteten Gehäuse
TAustritt = TE int ritt + 3,1
P
V
T : Lufttemperatur /°C
TAustritt
P : Elektrische Verlustleistung /W
V : Volumenstrom des Lüfters /m³/h
TEintritt
Mittlere Lufttemperatur in einem geschlossenen Gehäuse
TInnen = TAußen +
P
k Ak
T : Lufttemperatur /°C
P : Elektrische Verlustleistung /W
k : Wärmedurchgangszahl, typisch k = 5,5 W/m²K
Taußen
Tinnen
Ak : Wärmeübertragende Gehäusefläche (DIN 57660)
Homogen bestückte Leiterplatte in freier Konvektion
TPlatte = TUmgebung + 0,1
P
A
Ohne Strahlung : TPlatte = TUmgebung + 0,3
P
A
Mit Strahlung :
0,86
TPlatte
0,80
TPlatte : Durchschnittstemperatur der Platine /°C
TUmgebung : Lufttemperatur /°C
P : Elektrische Verlustleistung /W
A : Fläche der Platine /m²
T
Umgebung
Temperaturänderung bei Wärmedurchgang
TWarm − TKalt =
d
P
λA
T.. : Temperatur /°C
P
d : Schichtdicke /m
λ : Wärmeleitfähigkeit des Schichtmaterials /W/mK
P : Wärmestrom durch Fläche A /W
Twarm
d
Tkalt
A : Fläche des Wärmedurchganges /m²
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 13.10.04
51
2 Thermodynamik (Einführung) (Thermodynamics)
Aufgabe :
Beschreibung makroskopischer (c, α, λ, k, ...) Materieeigenschaften durch
physikalische Größen aus Kristallgitter, Atom- und Moleküleigenschaften.
Beispiele : spezifische Wäremleitfähigkeit, molare Wärmekapazität, …
Grundlage
Statistik, da sonst pro Mol ca. 10
25
Gleichungen zu lösen wären !
Bsp: Wärmekapazität c Gase pro Freiheitsgrad
1
2
k B T → c = c(T)
c1atomig =
3
2
kB T
:
3 x Translation, z.B. He
c2atomig =
5
2
kB T
:
3 x Translation + 2 x Rotation, z.B. H2
2.1 System-Definitionen
Thermodynamische Systeme sind Materieansammlung, deren Eigenschaften durch
Zustandsvariablen (z.B. V, E, T, p, z.B. p V = N R T Ideales Gas) beschrieben werden
können.
System
Ab-
Definition
keine Wechselwirkung (Ww)
oder Materieaustausch
geschlossenes (Teilchenzahl konstant) mit
System
Formel
- Eges = W = const
- n = const.
Beispiel
Technisch
angenähert durch
Dewar-Gefäß
der Umgebung;
(Thermoskanne)
Gesamtenergie (mechanisch,
kein Wärmetransport
elektrisch, ...) konstant
durch Strahlung oder
Wärmeleitung
Geschlossenes Energieaustausch mit der
System
Umgebung zugelassen,
jedoch kein Materieaustausch
Offenes
Energieaustausch und
System
Materieaustausch mit der
Umgebung zugelassen
- Eges = W ≠ const. Wärmebad,
- n = const
- Eges = W ≠ const
- n ≠ const
Kühlkörper
Gehäuse mit Lüfter
wie geschlossenes
System mit
Materialtransport
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 13.10.04
52
2.6.2 Zustands-Definitionen
•
Gleichgewichtszustand
- Zustand, welcher sich von selbst einstellt
- 'Hineinlaufen' in den Gleichgewichtszustand meist ‘komplex’ (s.u. *)
Bsp: Thermisches Gleichgewicht:
Zusammenbringen zweier Teilsysteme im energetischem Kontakt
(kein Materieaustausch), bis keine Energie mehr fließt
(Nullter Hauptsatz der Thermodynamik),
z.B. taktile Temperaturmessung (s.u. **)
•
Stationärer Zustand
wie Gleichgewichtszustand aber mit Energiefluß
Bsp: - Warmhalteplatte T = const, aber elektrische Energiezufuhr
- Aufheizen Elektronikgehäuse (s.o.)
Beispiel : Gleichgewichtszustand (Steady State, Equilibrum) und das Hineinlaufen (*)
In eine Wanne werden aus einem Bottich 50 l mit 20 °C kaltem Wasser hineingegossen. Es
werden dann mit einem anderen Bottich 50 l mit 40 °C dazugegeben. In der Badwanne
befinden sich nach Durchmischen 100 l Wasser mit einer Temperatur von 30 °C.
Der Anfangs- (2* 50 l, 20 bzw. 40°C) und Endzustand (100 l mit 30°C) ist leicht berechenbar.
Unberechenbar ist hingegen das Hineinlaufen in den Gleichgewichtszustand, d.h. die
zeitliche und räumliche Verteilung der Temperatur. Die Wasserströme können
beispielsweise mit gefärbten Wasser sichtbar gemacht werden (weiteres Beispiel: Milch in
Kaffee gießen ohne Umzurühren ergibt minutenlanges Strömen der Milch vor
Gleichgewichtsverteilung).
Ferner ist es nicht möglich, den ursprünglichen Zustand (2 Bottiche mit je 50 l und 20 bzw.
40 °C) aus dem Gemisch zu extrahieren. Das Zusammengießen stellt also einen
irreversiblen Prozeß (s.u.) dar.
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 13.10.04
53
Beispiel : Thermisches Gleichgewicht (**) (Thermal Equilibrum, - Balance)
Die Temperaturmessung mit einem Thermometer geschieht dadurch, daß das zu messende
Objekt in Kontakt mit dem Temperaturfühler gebracht wird. Nach einer gewissen Zeit stehen
Objekt und Fühler im thermischen Gleichgewicht, d.h. sie besitzen dieselbe Temperatur.
Dieser Prozeß, der einem Mischen entspricht, verfälscht das Meßergebnis :
Konkretes Beispiel : Die Temperatur von 1 l Luft mit 330 K (z.B. per Infrarot-Messung
bestimmt) soll mit einem Temperaturfühler aus Metall, der eine Temperatur von 300 K
aufweist, gemessen werden. Wie groß ist die gemessene Temperatur in diesem Extremfall:
c L mL TL + c F mF TF
c L mL + c F mF
aus (WL - 1')
TMisch =
hier : - Luft
mL = 1,2 g ; cL = 1 J/gK
- Fühler
→
mF = 10 g ; cF = 0,5 J/gK
TMisch =
1,2 ⋅ 330 + 5 ⋅ 300
K = 306 K
1,2 + 5
Damit der Fehler also klein bleibt, darf muß 'Beitrag' des Fühlers genügend klein sein !
Rein rechnerisch (theoretisch) könnte die wahre Lufttemperatur errechnet werden: nach TL
auflösen, Tmisch wurde gemessen, ‚Rest’ bekannt. Nachteile: Luft wird abgekühlt,
Messgenaiugkeit relativ gering.
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 13.10.04
54
2.6.3 Hauptsätze der Thermodynamik
•
Nullter Hauptsatz der Thermodynamik
Alle Systeme, die mit einem System im thermischen Gleichgewicht stehen, sind auch
untereinander im thermischen Gleichgewicht.
Zur Erlangung des thermischen Gleichgewichtes findet solange ein Wärmetausch
(-transport) statt, bis die Temperaturen der betroffenen Systeme gleich sind.
Das ist der Fall bei taktilen (berührenden) Temperaturmessungen !
Thermisches
Gleichgewicht
Dies gilt auch für
mehrere Körper
(Systeme).
Achtung : Die
Alle untereinander im thermischen Gleichgewicht
‚Umwelt’ ist hier
nicht betrachtet !
Zur Verdeutlichung als Ring
•
Erster Hauptsatz (law) der Thermodynamik
Die Änderung der Inneren Energie U eines Systemes bei einer beliebigen
Zustandsänderung ist die Summe der mit der Umgebung ausgetauschten Arbeit W und
der Wärme Q :
U = W + Q . Üblich ist die differentielle Formulierung :
Innere Energie
= 'Mechanische Arbeit + Wärmemenge'
dU = dW + dQ
(WL - 16)
dW < 0 : Arbeit, welche vom System geleistet wird
dW > 0 : Arbeit, welche am System geleistet wird, z.B. Luftpumpe wird warm
Folgerung: Es gibt kein Perpetuum mobile erster Art!
(Maschine, welche dauernd Arbeit leistet, ohne die Umgebung zu verändern)
Innere Energie gibt’s auch in der Elektrotechnik : Entladen Akku (reversibel),
Batterie (irreversibel)
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 13.10.04
55
•
Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik
Wärme kann nur dann in Arbeit umgewandelt werden, wenn ein Teil der Wärme von
einem wärmeren auf einen kälteres System übergeht (Wärmekraftmaschine).
Wärme kann von einem kälteren auf ein wärmeres System nur mittels mechanischer
Arbeit übertragen werden (Kältemaschine).
Folgerung:
Es gibt kein Perpetuum mobile 2. Art
Durch Abkühlung kann Wärme nicht zu 100% in Arbeit umgewandelt werden
('Ein Körper kann nicht durch selbsttätige Abkühlung in die Luft springen')
physikalische Formulierung über Entropie S (Maß für Ordnung)
Entropie (Entropy)
dS =
[S] = J
K
dQ
T
(WL - 17)
Je größer die Entropie S, desto größer die 'Unordnung'
Fälle: dS = 0 reversibler Prozeß, kann in beide Richtungen ablaufen
dS > 0 irreversibel, Prozeß läuft nur in eine Richtung ab, Unordnung nimmt zu
dS < 0 nur möglich, wenn von außen Energie zugeführt wird. Ordnung kann also nur
durch Energieaufwand erzeugt werden !
Abgeschlossene Systeme streben einen Gleichgewichtszustand an, der durch ein Maximum
der Entropie gekennzeichnet ist.
Mechanische und elektrische Systeme streben ein Minimum an potentielle Energie an (Stein
fällt zur Erde / Ladungsdifferenzen gleichen sich aus)
Alle Naturvorgänge verlaufen so, daß die gesamte Entropie aller beteiligten Systeme
zunimmt.
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 13.10.04
56
Beispiele :
- Durch Expansion des Weltalls wird dessen Ordnung kleiner, S nimmt also zu
- Zusammenmischen zweier Wassereimer erhöht die Unordnung, da zuvor zumindest
der Ort der Moleküle (Eimer 1 oder 2) festgelegt war, danach kann dies nicht mehr
'gesagt' werden (s.o.)
Alternative Formulierung 2. Hauptsatzes
•
dS ≥ 0
(WL - 18)
Dritter Hauptsatz der Thermodynamik
Die Entropie am absoluten Nullpunkt ist Null:
S(0K) = 0 J/K
Folgerungen:
- die spezifische Wärmekapazität im Nullpunkt ist Null
c (T=0) = 0
-6
- der absolute Nullpunkt ist experimentell nicht erreichbar, 'Rekord' ≈ 10 K
2.6.4 Zustandsänderungen
•
reversibel
Durch Umkehr der Ablaufrichtung wird der Ausgangszustand wieder erreicht, ohne daß
Energiezufuhr notwendig ist.
Beispiele: Mechanisches Pendel, Entladen Akku
•
irreversibel
Eine Umkehr des Ablaufes ist von alleine nicht möglich. Dies betrifft alle Übergänge vom
Nichtgleichgewicht ins Gleichgewicht.
Beispiele: - Temperaturausgleich zweier Systeme
2 Eimer werden zusammengeschüttet. Ein Trennen in den Ausgangszustand
ist nicht mehr möglich (s.o.) !
- Ein Akku lädt sich nicht von ‚alleine‘ auf. Durch elektrische Energiezufuhr
kann aber der ‚Ausgangszustand‘ wiederhergestellt werden
- Entladen Batterie
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 13.10.04
57
2.6.5 Thermodynamik Idealer Gase
reversible Arbeit beim 1. Hauptsatz
V2
Wrev = p dV
für p V = n R T
(WL - 19)
V1
Zustandsänderung
Gleichung
p - V - Diagramm
p
Isochor
p
= const.
T
V
p
Isobar
V
= const.
T
V
p
Isotherm
Hyperbel p ~ 1/V
p V = const.
Boyle Mariotte
V
p
Adiabatisch
κ
hier κ =
p V = const
cp
cv
einatomiges Gas: κ =
adiabatisch
isotherm
5
3
Blankenbach / PHYSIK Wärme + Thermodynamik / FH Pf / 13.10.04
V
58
Zustandsänderung
Isochor
isobar
isotherm
adiabatisch
polytrop
Bedingung
V = const
p = const
T = const
S = const
pVκ = const
dQ = 0
Beispiel für Ideales Gas:
Temperaturänderung in
'Luftpumpe'
einem Behälter
(frei) bei äußerer
schnelle Prozesse
Wärmebad
Dewar-Gefäß
T-Erhöhung
Wärmeenergie
Q = cv m ∆T
in nichtisolierten
Systemen
Q = cp m ∆T
Q=W
Q=0
W = p ∆V
W = p ∆V
W = - cv m ∆T
dU = dW + dQ
dQ = dW
dU = - dW
W=0
V2
Arbeit Wrev = p dV
V1
1. Hauptsatz
(keine mechanische
Arbeit, da V = const))
dU = dQ
κ: Adiabaten- bzw. Polytropenkoeffizient
dU = dW + dQ
κ = 0 isobare Prozesse
κ = 1 isotherme "
κ → ∞ isochore
"
sonst adiabatisch
Blankenbach / Wärme + Thermodynamik / 13.10.2004 11:28
59 / 139
2.6.6 Carnotscher Kreisprozeß (Carnot Cycle)
periodisch arbeitende Maschine mit Idealem Gas als Arbeitsmedium in einem Kreisprozeß als
Idealisierung realer Kreisprozesse z.B. Motor
p
Isotherm: T = const,
isotherme Expansion
d
a
adiabatische
Kompression
p∼
T hoch
b adiabatische
Expansion
c
isotherme Kompression
1
(Hyperbel)
V
adiabatisch: pVκ = const,
T ≠ const
T niedrig
V
Ziel: mechanische Energieerzeugung durch periodischen Wechsel zwischen warm und kalt !
Teilzyklen:
Beschreibung
a
Innere Energie konstant
Wärme wird zugeführt
(Isothermal heat supply)
b
Formel
∆U = 0
→ ∆ Q = N kB T ln
V2
V1
durch Expansion geleistete Arbeit wird aus U
entnommen, T sinkt
∆W = ∆U = cv m ∆T
(isentropic expansion)
c
wie a, nur Wärme wird abgegeben
(Isothermal heat rejection)
d
wie b, nur T steigt (isentropic compression)
nach einem Umlauf muß die Summe aller Parameter Null sein → ∆ S =
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
dQ
= 0
T
60
Definition : Entropie d S =
dQ
; ∆S =
T
b
dQ
T
a
Entropie ist die bei der Temperatur T ausgetauschte Wärmemenge
Energiebilanz
∆W = - ∆Q
im Prozeß erzeugt Wärme = umgesetzte Wärmemenge
Wärme(energie) wird in Arbeit umgewandelt
Wirkungsgrad
η =1 −
[T] = K
Tniedrig
Thoch
<1
(WL - 20)
Wirkungsgrad ist hoch für große T- Differenzen
reale Maschinen : ηreal < ηcarnot
Der Carnotscher Kreisprozeß ermöglicht die Erzeugung von Arbeit durch Wärmetausch zwischen
kalten und heißen Medien.
Anwendung: Wärmepumpe, Kältemaschine, Motor
Beispiel für Solarzellen bei Sonnentemperatur von 6.000 K :
- Solarzelle bei Raumtemperatur : η = 1 −
Tniedrig
300 K
= 1−
= 95 %
Thoch
6.000 K
- Durch Sonnestrahlung erwärmte Solarzelle : η = 1 −
400 K
= 93 %
6.000 K
Der theoretische Höchst-Wirkungsgrad verringert sich aufgrund der geringeren
Temperaturdifferenz – Hochleistungs-Solarzellen werden deshalb mit einer Wärmeabfuhr
versehen. Praktisch werden 10 – 20% erreicht.
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
61
Anwendung des Carnotschen Kreisprozesses : Otto – Motor
Beim Viertaktmotor werden vier Arbeitsgänge
Ansaugen - Verdichten - Arbeiten - Ausstoßen
in vier Bewegungen eines jeden Kolbens verrichtet. Bei allen Verbrennungsmotoren mit
Ausnahme des Wankelmotors treiben die aufwärts – und abwärtsgleitenden Kolben über Pleuel
eine Kurbelwelle an. Die Antriebskraft wird über die Kupplung, das Wechselgetriebe, die
Kardanwelle, das Ausgleichsgetriebe und die Antriebswellen auf die Räder übertragen.
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
62
Der Kreisprozeß im Otto – Motor soll durch folgenden Idealisierten Kreisprozeß angenähert
werden:
I
Adiabatische Kompression des idealen Arbeitsgases vom Volumen V1, der
Temperatur T1 und dem Druck p1 zum Volumen V2
II
isochore Druckerhöhung, wobei das Gas mit einem Wärmebad der konstanten
Temperatur T3 in Berührung gebracht und Temperaturausgleich abgewartet wird
III
adiabatische Expansion bis zum Anfangsvolumen V1
IV
isochore Druckerniedrigung bis zum Anfangsdruck p1, wobei das Gas mit einem
zweiten Wärmebad der konstanten Temperatur T1 in Berührung gebracht und
Temperaturausgleich abgewartet wird
p - V – Diagramm des Kreisprozesses
p
3
II
Die Ziffern 1 – 4 bezeichnen die
Anfangszustände der vier Teilprozesse
2
∆W
III
4
I
V2
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
1
IV
V1
V
63
Druck, Volumen und Temperatur für die Anfangspunkte der vier Teilprozesse
'Motorwerte' - Volumen aller Zylinder
V1 = 1,5 dm³
V1
=8
V2
- Kompressionsverhältnis
ε=
- Umgebungstemperatur der angesaugten Luft
T1 = 303 K
- Umgebungsdruck der angesaugten Luft
p1 = 1 bar
- Höchsttemperatur des gezündeten Gemisches
T3 = 1973 K , κ = 1,4
- cV konstant angenommen
Anfangszustand
1
2
3
4
V /dm³
1,5
0,1875
0,1875
1,5
p /bar
1,0
18,38
52,10
2,84
T /K
303
696,1
1973
858,9
Prozeß
I
Berechnung obiger Tabellendaten
p1 V1κ = p2 V2κ ; p2 = p1 ⋅ ε κ = 1 bar ⋅ 81,4 = 18,38 bar
T2 = T1
II
III
IV
p3 = p2
p 4 = p3
V1
V2
κ −1
= T1 ε κ − 1 = 303 K ⋅ 80,4 = 696,1 K
T3
1973,0 K
= 18,38 bar ⋅
= 52,1 bar
T2
696,1 K
V3
V4
T4 = T1
κ
=
p3
52,10 bar
=
= 2,84 bar
κ
ε
81,4
p4
2,84 bar
= 303 K ⋅
= 858,9 K
p1
1 bar
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
64
Gewonnene Arbeit pro Umlauf im p V – Diagramm
Arbeit
∆W = ∆Q 23 + ∆Q 41
Aufgenommene Wärmemenge
∆Q 23 = m c v (T3 − T2 ) > 0
Abgegebene Wärmemenge
∆Q 41 = m c v (T1 − T4 )< 0
Wärmekapazität des Arbeitsgases
Cv = m c v
Mit : m =
Cv =
p1 V1
p V c
p V
cv
p V 1
= 1 1⋅
; Cv = 1 1 ⋅ v = 1 1 ⋅
Rs T1
T1 Rs
T1 c p − c v
T1 κ − 1
105 1,5 103 N m3
J
= 1,238
2
303 (1,4 − 1) K m
K
Wärmemengen :
→
∆Q23 = 1,238
Nm
⋅ (1973 − 696,1) K = 1580,3 J
K
∆Q23 = 1,238
Nm
⋅ (303 − 858,9 ) K = 688 J
K
∆W = 1580,3 J − 688 J = 892,3 J
Leistung des Viertakt – Motores bei einer Drehfrequenz f = 4500 min−1
P = ∆W ⋅
f
4500
= 892,3 J
= 33,5 kW
2
60 ⋅ 2 s
denn ∆W wird während zweier Umdrehungen des Motors erzeugt !
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
65
Wirkungsgrad ηrev einer Carnot–Maschine, die mit den beiden Wärmebädern arbeitet :
Thermodynamischer Wirkungsgrad
ηrev =
(1973 − 303)K = 84,6 %
T3 − T1
=
T3
1973 K
Effektiver Wirkungsgrad des 'realen'Motors :
Effektiver Wirkungsgrad η = ∆W
∆Q23
= 1+
∆Q 41
T −T
= 1+ 1 4
∆Q23
T3 − T2
=
892,3 J
= 56,5 %
1580,3 J
aus den Formeln für die betreffenden Prozesse:
I
III
folgt
T1 = T2
V2
V1
T4 = T3
V2
V1
I – III T1 − T4 = V2
T2 − T3
V1
κ −1
κ −1
κ −1
= 1−
1
ε
κ −1
= 1−
1
= 56,5 %
8 0, 4
Der Wirkungsgrad η hängt nur vom Kompressionsverhältnis ε ab !
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
66
Entropieerzeugung pro Umlauf im p - V – Diagramm
geg.: Abgeschlossenes System aus Arbeitsgas und Wärmebehältern
Die Entropie des Gases ändert sich bei einem Umlauf im p – V – Diagramm nicht,
weil S eine Zustandsgröße ist.
Für die Wärmebehälter / - speicher gilt :
Abgabe bei T3 = konst.:
∆S3 = −
∆S1 = −
Aufnahme bei T1 = konst.:
Resultierende Entropie – Erzeugung:
→
∆Q23
1580,3 J
J
=−
= − 0,801
T3
1973 K
K
∆Q41 688 J
J
=
= 2,271
T1
303 K
K
∆S = ∆S1 + ∆S3 = (2,27 − 0,80)
J
J
= 1,47
K
K
∆S > 0 , weil die Prozesse II und IV irreversibel sind.
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
67
Entropieänderungen des Arbeitsgases bei den einzelnen Zustandsänderungen I – IV
Adiabatische Prozesse I und III
∆S = 0
Isochore Prozesse
∆SII = Cv ln
T1
= − ∆SII
T4
∆SIV = Cv ln
mit Division von
T1 = T2
V2
V1
κ −1
durch
T3
T2
V2
V1
T4 = T3
κ −1
siehe Wirkungsgrad
T1 T2
=
T4 T3
erhält man
→
∆SII = 1,238
J
1973 K
J
⋅ ln
= 1,29
K
696,1K
K
Entropie S(T) – Temperatur -
S
III
Diagramm
IV
II
Der Wert von S(T1) braucht nicht bekannt
zu sein. Die Kurven II und IV laufen
I
proportional zu ln(T)
T1
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
T2
T4
T3
68
T
Übungsblatt Wärmelehre
1. Zeigen Sie: V = Lxo Lyo Lzo ( 1 + α ∆T)³ ≈ Vo ( 1 + 3α ∆T)
2. Eine Brücke hat eine Länge von 35,0 m bei - 30°C. Wie groß ist die von den Fugen
‘aufzufangende’ Längenänderung bei +50°C
-6
(α = 10 10 1/K) ?
28 mm
3. Ein Schwimmbad hat eine unveränderliche angenommene Grundfläche von 20m * 50m . Es
wurde mit 10°C kaltes Wasser auf genau 10,0 m gefüllt. Um wieviel höher steht das Wasser
-3
nach dem Aufwärmen auf 30°C (γ = 0,18 10 1/K) ?
36 mm
4. Das Wasser in einer Badewanne (V = 600l = 600kg) wird von 20°C auf 50°C mit einem
Tauchsieder erwärmt.
a) Welche Energie muß dem Wasser zugeführt werden ?
75 MJ
b) Wieviel Kilowattstunden elektrischer Energie sind das ?
21 kWh
5. Thermisches Gleichgewicht als Ergänzung zu den Beispielen:
a) Wie groß ist der Fehler, wenn der Fühler auf 325 K vorgewärmt wurde ?
b) Wieviel Liter Luft muß mindestens vorhanden sein, damit der Meßfehler bei Bedingungen
wie im Skript (Fühler 10 g ; 300 K) kleiner als 0,5 K wird.
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
69
3. Wellen (Waves)
Wellen:
- "Schwingungen", welche sich ausbreiten
- räumliche und zeitliche Zustandsänderungen
- Energietransport
Versuche mit mechanischen und optischen Wellen im Internet :
- http://www-pluto.informatik.uni- oldenburg.de/~geo/unterrichtsprojekte/physik/Schwingungen%20und%20Wellen/Wellenmaschine.html,
-
http://wwwfk.physik.uni-ulm.de/www_fk/german/OptikLinks/Optilink.htm
Wer's genau wissen möchte:
z.B. Langkau, Lindström, Schobel: Physik kompakt: Elektromagnetische Wellen, vieweg
Anzahl der
Form
Ausbreitung
Bsp
wenige
Schwingung
ortsfest
Pendel
1 Körper
Eigenschwingung
im Körper
Stimmgabel, Hui-Maschine
Fortpflanzung
Schallwellen (Akustik)
Komponenten
'stehende Wellen'
viele
Wellen
Optik (em - Wellen)
Beschreibung:
Schwingung (Oscillation)
y
Welle
Darstellungsarten:
y
1 Ort x
t
t
y
Amplitude an einem Ort zu vielen
Zeitpunkten
1 Zeitpunkt t
Amplitude zu einem Zeitpunkt an
x
vielen Orten
Ausbreitungsrichtung
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
70
Mechanik, Akustik:
Deformation greift auf Nachbarbereich über → Fortschreiten der Deformation → Welle
benötigt Übertragungsmedium z.B. Luft oder Metall
Bsp.:
- Schallwellen, Oberflächenwellen (Wasser)
- Versuch: Stimmgabel Eigenschwingungen → Wellen
Elektrotechnik (Funk), Optik : Elektromagnetische Wellen - funktioniert auch im Vakuum
Grundlage
Wellengleichung
- aus den Maxwellgleichungen
- 3D mit Vektoren
d2 ξ
1 d2 ξ
=
dx2 c2 dt2
(WE - 1)
ξ (x ± ct )
(WE - 2)
- c: Ausbreitungsgeschwindigkeit
Problem: Randbedingungen
allgemeine Lösung
Gesucht: Funktion mit 2. Ableitung nach Zeit ~ 2. Ableitung nach Weg x
Fälle
(Wellenformen, s.u.):
- Kugelwellen (freie Ausbreitung, z.B. Böller in Luft)
- Ebene Wellen (z.B. Laserstrahl)
- Wellen in Hohlleitern
- ...
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
71
3.1 Ebene Harmonische Wellen
‘einfachste’ Wellen mit kleiner, sinusmodulierter Amplitude sowie einer Richtung und Frequenz
z.B. Laserpointer
Ebene Harmonische Wellen
1D
y = yo sin(ωt ± kx + ϕ)
vektoriell
y = yo sin ω t ± k ⋅ x + ϕ
(
(WE - 3)
)
mit
Maximalamplitude yo
Kreisfrequenz
ω=
2π
1
1
; ω = 2π f ; T = ; [ω]=
T
f
s
Periodendauer T ; [T] = s
[]
2π
1
; k=
λ
m
Wellenzahl
k=
Wellenlänge
λ ; [λ] = m
Phase
ϕ (Bogenmaß)
+ : nach links fortschreitend
y
yo
Periodendauer T
Wellenlänge λ
1
tx
Wellental -berg
(gem. DIN)
- : nach rechts fortschreitend
Bestimmung von Werten aus Skizze :
- Wellenlänge = 4 (cm) → k =
2π
1
≈ 157
0,04 m
m
- Periodendauer = 4 (s) → ω =
2π
1
≈ 1,57
4s
s
- Amplitude z.B. : yo = 4 cm (Unterschiedliche Einheiten für Mechanik, Akustik, HF, Licht)
- Wellengleichung : y(t) = 4 sin (1,57 t − 157 x ) (mit den entsprechenden Einheiten)
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
72
Herleitung des Zusammenhanges zwischen Frequenz und Wellenlänge
Frage: Erfüllt (WE - 3) die Wellengleichung (WE - 1) ?
(Notation wie partielle Ableitung y t =
(WE - 3) ableiten
dy
, 1D(), o.B.d.A, ϕ = 0)
dt
yt = ω yo cos(ωt - kx)
sowie
ytt = - ω² y0 sin(ωt - kx) = - ω² y
yx = - k yo cos(ωt - kx)
sowie
yxx = - k² yo sin(ωt - kx) = - k² y
in Wellengleichung (WE - 1) einsetzen:
− k² y = −
ω²
y
c²
→ k² =
ω²
c²
mit Definitionen von (WE - 3):
c
→ k=
ω
c
2π
= 2 π f → Ausbreitungsgeschwindigkeit: c = f λ
λ
ω
k
Frequenz und Wellenlänge sind über die Ausbreitungsgeschwindigkeit verknüpft:
Ausbreitungsgeschwindigkeit (velocity of propagation)
[c] = m/s
c hängt ab von
c=fλ
(WE - 4)
- Typ akustische- oder em-Wellen
- Medium (z.B. Luft, Wasser, ...)
- Frequenz (Dispersion, z.B. Spektralzerlegung Prisma)
- Wellenart (s.u.)
Bem.: - c ist Materialgröße
- em Welle im Vakuum c o =
1
εo µ o
≈ 300.000 km/s
- co entspricht max. Geschwindigkeit gem. Relativitätstheorie
- f bleibt konstant nach E = h ω , d.h. Wellenlänge 'passt' sich an
Ausbreitungsgeschwindigkeit
Beispiele
Akustik (Schallgeschwindigkeit)
Luft 330 m/s
Eisen 5000 m/s
Elektromagnetische Wellen
Luft 300.000 km/s
Glas 200.000 km/s
(Lichtgeschwindigkeit)
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
73
3.2 Wellenlänge und Frequenz (c = f λ)
(alle Angaben ca.-Werte)
3.2.1 Akustik
cLuft = 330 m/s
Bezeichnung
Frequenzbereich
Wellenlänge
Infraschall
< 20 Hz
> 15 m
Hörbereich
20 - 20.000 Hz
0,015 - 15 m
Ultraschall
> 20 kHz
< 0,015 m
3.2.2 EM-Wellen
Bezeichnung
cLuft = 300.000 km/s
Frequenz /Hz
Wellenlänge
γ - Strahlung
10
19
Röntgenstrahlung
10
17
3 nm
UV
10
16
30 nm
sichtbares Licht
5 * 10
14
3 10
-11
m
600 nm
Infrarot
10
13
30 µm
Mikrowellen
10
10
3 cm
UKW
10
8
3m
KW
10
7
30 m
MW
10
6
300 m
LW
10
5
3 km
sichtbares Licht
Frequenz /1012Hz
Wellenlänge /nm
Blau
630
475
Grün
550
550
Rot
460
650
Farbe
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
74
Typische Darstellungsweise von Wellen mit mehreren (vielen) Frequenzen: Spektrum
Spektrum :
Energie, Amplitude, Intensität, ... über der Frequenz bzw. Wellenlänge, ggf. logarithmisch
Akustik
Empfindlichkeit des menschlichen Ohres
Schallintensität /W/m²
Ohr: Kurven gleicher Lautstärke
1E+01
1E+00
1E-01
1E-02
1E-03
1E-04
1E-05
1E-06
1E-07
1E-08
1E-09
1E-10
1E-11
1E-12
1E-13
10
100
1000
Übertragungskennlinie Lautsprecher
100 Phon
50 Phon
Hörschwelle
10000
Frequenz /Hz
Elektrotechnik / Hochfrequenztechnik
Frequenzgang OP - Tiefpass
HF - Spektrum
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
75
Optik
Empfindlichkeit des menschlichen Auges und
LEDs und Laser
Sonnenspektrum
Glühlampe (A) und Normleuchtstoffröhre (D65)
LCD-CCFL
Problem des menschlichen Farbsehens: alle 3 Spektren werden als 'weiß' interpretiert !
Das bedeutet: Im Gegensatz zur 'deterministischen' Technik können hier unterschiedliche
Eingangssignale dasselbe Ausgangssignal, nämlich 'weiß' hervorrufen.
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
76
Definitionen bei Spektrallinien, Bandbreiten, ...
Ua
Grenzfrequenz Tiefpass (low pass filter)
Ue
Definition:
1
0,707
Abfall der Amplitude auf das
1
- fache (≈ 0,7)
2
bzw. um -3 dB des Maximalwertes
fg
Die zugehörige Frequenz wird als
f
Grenzfrequenz fg definiert.
Bandbreite (bandwidth) / Güte
rel. U a
1
Bandbreite B = fgo - fgu
0,707
Amplitudenabfall s.o.
'Güte' Q bei Schwingkreisen etc. mit
Resonanzfrequenz fr : Q =
fr
B
Halbwertsbreite
f gu
fr
f go
λm
λ go
f
rel. A
1
typisch in der Optik, hier auch Linienbreite
genannt
0,5
teilweise auch Definition mit 1/e bzw. halbe
Fläche der Gesamtkurve
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
λ gu
λ
77
3.3 Wellenformen
Kugelwellen
Geometrie
Ebene Wellen
→∞
Welle
(weit weg)
Theorie
Beugung
Welleneigenschaften
berücksichtigen
Bsp.
0
←
kleine Ab-
Strahlen (Geometrische Optik)
Wellencharakter vernachlässigt
messungen
- Sonne
- Laser
- China-Böller (in Luft)
- Sonnenlicht auf Erde
- Wasserwelle’
- Megaphon
- Spalt
Dies sind nur 2 ideale Fälle, es gibt viele weitere
Abstrahlcharakteristik
Formen
Bsp.: Richtfunkantenne
Antenne
Geometrische Dämpfung bei Kugelwellen
I (r ) ~
1
r²
Quellintensität breitet sich kugelförmig aus
Beispiel : I(x = 1m) = 1 ; I(x = 2m) = 0,25
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
78
Wellenausbreitung nach dem Huygensschen Prinzip
Jeder Punkt einer Welle ist Ausgangspunkt
einer Kugelwelle. Eine neue Wellenfront ergibt
sich aus der Überlagerung aller Kugelwellen.
Hiermit lassen sich viele Wellenphänomene wie
Reflexion, Brechung und Beugung in einfacher
Weise quantitativ beschreiben.
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
Wellenfront
bei
sehr
vielen
Kugelwellen
79
3.4 Wellenarten
Longitudinal (Longitudinal)
Transversal (Transversal)
Akustik (Schall) (acoustics)
- em-Wellen (Funk, Licht)
Bsp.
- Seil, Wasser
Ausbreitung
Auslenkung /
„Medium erforderlich“
„geht im Vakuum“
|| (parallel)
⊥ (senkrecht)
Fortpflanzungsrichtung
1 Zeitpunkt
y
niedriger
hoher Druck
y
x
N
∼
0
t
x
p
p
Seil 2D
Normaldruck
y
z
Licht 3D
y = po sin(ωt + kx) + pN
Longitudinalwellen breiten sich als
x
Ausbreitungsrichtung
'Deformation' aus, die Amplitude
hat dieselbe Richtung wie die
E-Feld synchron und
Ausbreitungsrichtung:
senkrecht zu B-Feld
- Stab nach Anschlagen
Schwingungsrichtung ≡ Polarisation
- Luft als Druckschwankungen
Bsp.: - Polfilter
- H bzw. V-Polarisation
bei SAT-Signalen
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
80
Polarisation (Polarisation)
P
Polarisation = Orientierung des Amplitudenvektors
zur Ausbreitungsrichtung k
z.B. Richtung des E-Feldes bei em-Welle
Polarisation
Bem.
k
Skizze
(Achtung k und P sind Vektoren)
linear polarisiert
nur eine Schwingungsrichtung
z.B. Polfilter
k
zirkular polarisiert
nur eine
Schwingungsrichtung, die sich
dreht
k
'
isotrop
bei Glühlampen, d.h. alle
Richtungen gleichverteilt
k
Polarisation kann durch Reflexion (Brewster-Winkel) erzeugt werden (s. ET-Beschreibung
Brechung) oder durch Doppelbrechung (s.u.) erzeugt werden.
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
81
Polarisation in der Elektrotechnik (1D)
Dielektrische Verschiebung :
D(ω) = εo εr(ω) E(ω) = εo E(ω) + P(ω)
Vakuum + Materie
Polarisation
P = εo χ (ω) E(ω)
Suszeptibilität
χ
Die Polarisation P kann nichtlinear sein, dies wird z.B. zur Laserfrequenzverdopplung ausgenutzt
→ Dielektrizitätskonstante εr(ω) = 1 + χ (ω)
(kann auch anisotrop sein)
Beispiel :
Elektrisch neutraler 'Stab' wird durch
äußeres E-Feld polarisiert, d.h. seine
Ladungsverteilung wird durch ein äußeres
Feld verändert
Anwendung der Polarisation bei LCDs :
Polarisation des Lichtes wird durch Flüssigkristalle gedreht :
Light
Polarizer
Glass
ITO
Alignment
layer
Alignment
direction
Uon
E
Orientation
of polarizer
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
82
3.5 Wichtige Begriffe und Definitionen der Wellenlehre
(hier vereinfacht für Ebene Wellen):
Intensität
I = y²
Quadrat der Amplitude (immer positiv) in der Optik
Achtung
rel. Wert
(WE - 5)
Intensität
1
Die Frequenz der Intensität ist
0,5
wegen des 'Gleichrichteffektes'
0
scheinbar doppelt so groß wie
0
2
4
die der Welle
6
Welle
-0,5
nur kleine Amplituden, sonst nichtlineare Effekte
sinx
sinx^2
-1
Superpositionsprinzip
8
yr = y1 + y2 + ... = Σ yi
10
x, t
(WE - 6)
Interferenz Phänomene bei der Überlagerung von Wellen (siehe auch Gangunterschied)
Gangunterschied ∆
∆=
ϕλ ϕ
=
2π
k
(WE - 7)
Bsp: 2 Wellen gleicher Frequenz und Richtung, 1D
y1 = sin(ωt - kx)
y
y2 = sin(ωt - kx + ϕ)
yr = y1 + y2 = ?
Rechenregel:
x
sinα + sinβ = 2 sin[(α+β)/2] cos[(α-β)/2]
→ yr = 2 cos[ϕ/2] * sin(ωt - kx + ϕ/2)
Amplitude
*
(ϕ hier 90°)
Interferenzterm
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
83
typische Werte
ϕ /°
ϕ /rad
yr
∆
0
0
2
0
90
π/2
1,4
λ/4
180
π
0
λ/2
Bei der Überlagerung gelten für Wellen bzgl. Wellenlänge dieselben Gesetzmäßigkeiten wie für
Schwingungen bzgl. ihrer Phase:
Schwingungen
Wellen m = 0, 1, 2, ...
Gleichphasig
konstruktive Interferenz
∆ ϕ = 0°
∆=mλ
Gegenphasig
destruktive Interferenz
Verstärkung
Auslöschung
∆ ϕ = 180°
∆=
(WE - 8)
2m +1
λ
2
Anwendung: - Beugung
- Interferometrie (Michelson - Morley, Relativitätstheorie)
- Lärmreduktion mit gegenphasiger Schallerzeugung
Bsp: Gangunterschied bei 2 Quellen in einer Ebene
ebene Wellen mit gleicher Frequenz und Wellenlänge ( ω1 = ω2 k1 = k 2 )
Ir = (y1 + y2)²
(binomische Formel)
r1
= y1² + y2² + 2 y1 y2
erst quadrieren, dann summieren !
P
Q1
(Erklärung auch mit Pythagoras s.u.)
Phasendifferenz
δ = (ωt -kr1) - (ωt -kr2 +ϕ)
= k(r2 - r1)
- ϕ = Gangunterschied
r2
Q2
unterschiedliche Länge von r1 und r2
→ Ir =I1 + I2 + 2 I1 I2 cos δ
y 12
y 22
Interferen zterm
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
84
Beispiele für Interferenz
Interferenz ebener Wellen
Interferenz zweier radialer Wellen (Wasser)
blau : Wellenberge
Erläuterung der Überlagerungsformel mit Pythogoras:
I² = {y1 cos(α1) + y2 cos(α2)}²
+ {y1 sin(α1) + y2 sin(α2)}²
= y²1 cos²(α1) + 2y1 y2 cos(α1) cos(α2) +y²2 cos²(α2)
rr
r2
+ y²1 sin²(α1) + 2y1 y2 sin(α1) sin(α2) +y²2 sin²(α2)
mit sin² + cos² = 1 und sinα sinβ und cosα cosβ
= y²1 + y²2 + 2y1 y2 cos(α1 - α2)
r
α2
1
α1
y1 sin(α1)
y1 cos(α1)
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
85
3.5.1 Überlagerung von Wellen (Superposition)
Parallele Überlagerung: Schwebung
Beachte Einhüllende mit niedrigerer Frequenz
Frequenzverhältnis 9:10
Amplitude
t
Frequenzverhältnis 1:10
Amplitude
Signalfrequenz
Überlagerung
t
Rundfunkübertragung :
- AM : Amplitudenmodulation (s.o.)
- FM : Frequenzmodulation (Sendefrequenz ist amplitudenabhängig)
Vorteil: Signalschwankungen beeinflussen Empfang nicht
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
86
Parallele Überlagerung von Wellen gleicher Frequenz
Amplitude
Gleiche Phase : Maximale Verstärkung
2
Überlagerung
1
0
0
5
10
15
-1
20
t
-2
Amplitude
Phase 180° (gegenphasig) : Auslöschung
2
Überlagerung
1
0
0
5
10
15
-1
20
t
-2
beliebige Phase
Amplitude
2
Überlagerung
1
0
0
5
10
-1
15
20
t
-2
Bei senkrechte Überlagerung : Lissajous-Figuren, z.B. Oszi im x-y-Betrieb (Normal y-t)
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
87
Wichtige Messgrößen für Strahlung
Unterschieden wird zwischen Physik (em Wellen) und Optik
Def.
Energie
Leistung
(Strom)
Formel
Strahlungsphysikalische Größen
Q
F=
Q
t
Lichttechnische Größen
Bez.
Einheit
Bez.
Einheit
Strahlungsenergie
J = Ws
Lichtmenge
lm s
Strahlungsleistung
W
Lichtstrom
lm
(luminous flux)
Senderseitige Größen
Leistung je
Raumwinkel
I=
Q
ω
Strahlstärke
W
sr
Lichtstärke
Strahldichte
W
m2 sr
Leuchtdichte
W
m2
Beleuchtungs-
Leistung je
Raumwinkel und
Flächeneinheit
(luminance)
cd =
lm
sr
cd
m2
Empfängerseitige Größen
Einfallende
Leistung je
Flächeneinheit
F
E=
A
Bestrahlungsstärke
stärke
lx =
lm
lx
m2
Candela (cd) ist eine der 7 Basisgrößen (andere : m, kg, s, ...)
sr : Steradiant = Raumwinkel z.B. Kugel : 4 π sr
Beispiele Lichttechnischer Größen
- Beleuchtungsstärke im Büro
- Lichtstrom eines Beamer
- Leuchtdichte eines LCDs
500 lx
1.000 lm (meist als American National Standards Institute )
250 cd/m²
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
88
3.6 Reflexion und Brechung (Reflection and Refraction)
Trifft eine Welle an der Grenze eines Medium auf ein anderes so wird sie völlig (z.B. Licht auf
Spiegel) oder teilweise (Licht auf Wasser) reflektiert; der übrige Teil wird gebrochen; oder alles
wird absorbiert (schwarze Oberfläche)
Versuche:
- Reflexion Laserstrahl Spiegel bzw. Leinwand
- Brechung an Plastikplatten
- Echo an Wand
- Laser auf doppelte Fensterglasscheibe ergibt 4 sichtbare Reflexionen
Bemerkungen:
- Die nachfolgenden Gesetze gelten für akustische und em-Wellen.
- Intensitätsverteilung Reflexion - Brechung kompliziert !
(z.B. Langkau, Lindström, Scobel: Physik kompakt: Elektromagnetische Wellen, vieweg)
einfallender
Strahl
Reflexion
α
c1 n1
α'
diffuse
Reflexion
ideal
Intensitätsverteilung
Reflexion
Bsp.: Luft
c 2 n2 > n1
Glas
Brechung
β
Reflexion und Brechung treten auf, wenn eine Welle auf einen Übergang von einem Medium in
ein anderes trifft. Die Intensitätsverteilung zwischen gebrochenem und reflektiertem Anteil ist nur
mittels exakter Rechnung mit em-Wellen zu erhalten. Die räumliche Verteilung des reflektierten
Anteils hängt von dem Material und der Oberfläche ab, wie z.B. bei Glas, Spiegel oder Leinwand.
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
89
3.6.1 Reflexion
Gerichtete Reflexion gilt nur Idealfall z.B. für Spiegel :
Einfallswinkel = Ausfallswinkel
α = α'
(WE - 9)
(Reflexion nur in einer einzigen Richtung sichtbar)
Problem: Intensitätsverteilung bei Reflexion und Brechung (s.u.)
Anwendung Reflexion: Parabolspiegel
Wellenrichtung umkehrbar
verstärkter Empfang von Wellen (em / akustisch)
z.B. Sat-Schüssel, Vogelstimmen-Mikro
Empfänger / Sender
1 m² Antennenfläche → 1 cm² Empfängerfläche
Aussenden "gerichteter" Strahlen:
Richtfunk (em), Megaphon,
Autoscheinwerfer, Taschenlampe
weitere:
- Nierenlithotripter (Ellipse)
- Funkwellen: Reflexion an oberen Luftschichten
→ Überreichweiten (‘round the world in 0,1s’)
- Katakaustik bei Reflexion an Kreis, z.B. Kaffeetasse
Diffuse Reflexion bei ‚unebenen‘ Grenzflächen
z.B. bei Leinwänden und Papier (Reflexion von
allen Seiten sichtbar) s.u.
Weiterer Reflexionseffekt : Bi-directional Reflection Distribution Function (BRDF) :
Tritt z.B. bei Mähen
(Fußballplatz) auf. Ist ein
größeres Problem bei
Weltraumgestützter
Landwirtschaft-Beobachtung.
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
90
Leinwandarten
3 Oberflächentypen sind in der DIN 19405 bzgl. ihrer Reflexionseigenschaften definiert:
Reflexionsverhalten
Anwendung
Ideal diffuse
Type D
Incident
light
(diffuse)
Screen
Homogene Reflexion
Für Tisch- und Deckenprojektion
Semiglossy
Typ S
Incident
light
(Glossy)
Screen
Glossy
Incident
light
Nur für Deckenprojektion geeignet
Screen
Metallartige Oberfläche
.
Retroreflecting
Typ B
Incident
light
(Retroreflective)
Screen
Glasperlen, welche das Licht in Richtung des
einfallenden Strahles reflektieren
Nur für Tischprojektion geeignet
Reflexion auf
Displayoberflächen
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
91
3.6.2 Brechung
Versuch:
Reflexion Laserstrahl
Beugung an Plastikplatten
Brechung: Übergang von einem Medium in ein anderes
Reflexion: α= α'
Lot
n2 > n1 (unten optisch dichter)
c1
c1 > c2 (oben schneller)
α
s2
Weg s 1 und s 2
in gleicher
Zeit zurückgelegt
in Medium 1 und 2
s1
Wellenfront
n 1 c1
Huygenssches Prinzip:
n2 c2
unterschiedlicher zurückgelegter
Weg in oberem und unteren
Medium in derselben Zeit
c2
wegen unterschiedlicher
β
Ausbreitungsgeschwindigkeit
Gilt sinngemäß auch für Reflexion !
Snelliussches Brechungsgesetz
sin α n2
c
=
= 1
sin β
n1
c2
n: Brechungsindex (Index of Refraction)
n≈
Optik
(WE - 10)
Akustik
ε (ε : Dielektrizitätskonstante) : Zusammenhang Optik - ET / hoch- niedrigfrequent
Wellenlängen- bzw. Frequenzabhängigkeit : Dispersion: n = n(λ) = n(f), z.B. Regenbogen
Dielektrizitätskonstante : εr = εr(f) in der ET
Bsp: Reflexion:
Brechung:
Bild im See, am Fenster, Echo, Reflexion an Fensterglas ca. 4%
Stab ins Wasser, "Knick"
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
92
Medium
Brechungsindex für λ = 600 nm
n = cvakuum / cmedium ; n = n(λ)
Glas
1,5
Luft
1,003 ≈ nVakuum = 1
Wasser
1,333
Diamant
2,4
Bsp: Luft → Wasser α = 30° → β = 22°
Doppelbrechung (Birefringence)
Aufteilung einer gebrochenen Welle in ordentlichen und außerordentlichen Strahl. Tritt auf, wenn
Brechungsindex anisotrop, d.h. richtungsabhängig ist.
Beispiel : Calcit
Der Brechungsindex für den ordinären Strahl ist bei Calcit no=1,6583 und für den extraordinären
Strahl ne=1,4864. Die Stärke der Doppelbrechung ergibt sich aus der Differenz no - ne: 1,4864 1,6583 = -0,1719 (optisch negativ). Die beiden Strahlen durchlaufen den Kristall mit
unterschiedlicher Geschwindigkeit.
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
93
Totalreflexion (Total Reflectance)
- tritt auf bei Übergang von optisch dichterem in optisch dünneres Medium
- bei einem bestimmten Winkel wird der einfallende Strahl nur noch in der Grenzschicht geleitet
- bei größeren Winkeln tritt der Strahl nicht ins dünnere Medium über → Totalreflexion
Anwendung: Prisma
αg
Totalreflexion
dichter n1
45°
dünner n2 < n1
sin αg =
n2
n1
Totalreflexion für alle α ≥ αg
Lotwinkel hier 45° > αg (38°)
nur Reflexion, keine Brechung, Erklärung: komplexe Wellenoptik
Medium
Grenzwinkel zu Luft
Diamant
23°
Glas
38°
Wasser
49°
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
94
Anwendung der Totalreflexion
Lichtleiter - Glasfaserkabel
nicht, da Totalreflexion
kann auch gebogen werden solange
Totalreflexionsbedingung erfüllt bleibt
10 µm
n1
n2 < n1
‚Sprung‘ des Brechungsindexes
Innen- ∅ typ. 62,5 µm
Achtung: Unterschiedliche Laufzeiten !
‚allmähliche‘ Änderung des Brechungsindexes
∅ typ. 62,5 µm
‚Sprung‘ des Brechungsindexes,
∅ typ. 9 µm, deshalb praktisch kein Reflexionseinfluß
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
95
3.6.3 Intensitätsverteilung
reflektierter
Anteil
einfallende
Intensität
Breite = Intensität
einfallender und transmittierter
Strahl sind parallel versetzt
0
gebrochener
Anteil
z.B. Platte
Absorption
Eindringtiefe d
Transmission
Energieerhaltung
Eein = Eref + Eabs + Etrans
(Conservation of Energy)
(WE - 11)
Bsp: Durchgang durch Glas
durch-
einfallend
tretend
reflektiert
I
1
Luft
Glas
Luft
reflektiert
absorbiert
reflektiert
(übertrieben dargestellt)
x
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
96
Absorptionsgrad
α (λ ) =
Egeb
Bsp: rotes Glas absorbiert 'alles' bis auf
Eein
rote Wellenlängen
α
Bsp: Schwarzer Strahler α = 1 für alle λ:
1
Sonnenkollektoren em Welle → Wärme
IR
Solarzellen: sollten schwarz sein
Kirchhoffsches Gesetz:
600 nm
3 - 15 µm
λ
Absorptionsgrad = Emissionsgrad (Abstrahlung)
Anwendung: schwarze Kühlkörper
Bsp: rotes Glas läßt 'rot' durch
Transmissionsgrad
τ
(durchgelassener Anteil)
τ (λ ) =
Etrans
Eein
Reflexionsgrad
- ρ (λ ) =
Eref
Eein
- ρ= ρ(λ, n, Oberfläche, ...)
Normierung
aus Energieerhaltung
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
ρ+α+τ=1
(WE - 12)
97
Beschreibung mit Ebener Welle (Richtung aus Reflexions- und Brechungsgesetz)
(
)
(
)
(
A ein e ein sin ωt − k ein x = A ref eref sin ωt − k ref x + ϕref + A geb e geb sin ωt − k geb x
)
A : Amplitude, e : Einheitsrichtungs-Vektor
I
Absorption durch Eindringen in Material
Intensitätsabnahme bei Ausbreitung in einem
Medium üblicherweise als e-Funktion
Vakuum
absorbierenden
Medium
d
Absorption
µ : Absorptionskoeffizient [µ] = 1/m
d : Eindringtiefe [d] = m
(WE - 13)
A geb = (A ein − Aref ) ) e− µd
Der Absorptionskoeffizient ist wellenlängenabhängig : µ = µ(λ)
Beispiel:
Der menschliche Körper ist für sichtbares Licht undurchdringbar, nicht aber für
Röntgenstrahlung !
Laserbearbeitung: Eref und Etrans minimieren, Eabsorbiert maximieren
Mehrschichtsysteme
thickness
komplexe optische Verhältnisse an
Mehrschichtsystemen mit konstruktiver und
glass
1 mm
destruktiver Interferenz
SiO2
175 nm
Bsp:
- Ölfilm auf Wasser (spektrale Auslöschung)
n
1
1.5
ITO
30 nm
2
protection
50 nm
1.5
aligning
50 nm
LC
6 µm
1.7
1.5 / 1.65
- ‘Farben dünner Plättchen’
- Seifenblase
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
(refraction omitted)
98
Effekte dünner Schichten auf die Transmission
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
99
Optisches Pendant zu elektrischen Filtern: Hoch- und Tiefpass
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
100
Reflexion in Abhängigkeit von der Polarisation und der 'Entspiegelung'
n' − n
senkrechter Einfall : Re flexionsgrad r =
n' + n
2
n' − 1
Oberfläche gegen Luft r =
n' + 1
2
typischer Wert Luft - Glas r ≈ 0,05 (5%)
schräger Einfall :
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
101
λ/4 λ/4
Wirkungsweise der Entspiegelung
Ambient
light
gegenphasige Wellen löschen sich aus:
Reflections
der Gangunterschied beträgt λ/2 bzw. λ
Σ
Glass
Multi-LayerCoating
Reflectivity /%
Glass (n = 1.52)
Senkrechter Einfall
4.5
Uncoated
4.0
3.5
Achtung:
Die Reflexionstärke ist
wellenlängenabhängig und 'erzeugt'
3.0
somit Farbeffekte !
2.5
Triple layer Entspiegelungsschichten sind relativ
Double layer
2.0
Single layer
1.5
'kritisch' in Ihrer Funktion.
Bsp: Fingerabdruck oder
1.0
Wassertropfen auf gut entspiegelter
0.5
Oberfläche 'schillert' !
0
400
500
600
700
Wavelength /nm
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
102
3.6.4 Wellenbetrachtung der Reflexion
Festes Ende (mechanisch) bzw. optisch
Loses Ende (mechanisch) bzw. optisch
dichteres Medium
dünneres Medium
t
t
Phasensprung um π
keine Phasensprung
Wellenknoten
Wellenbauch
Wellenknoten : Amplitude immer Null, auch Schwingungsknoten
Wellenbauch : hier tritt die Maximalamplitude auf, auch Schwingungsbauch genannt
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
103
Versuch: mechanische Transversal-Wellenmaschine (fest: unten festhalten bzw. lose)
hieraus ergeben sich die Gesetze für Wellen in begrenzten Medien.
Eine gute Simulation und Visulisierung in Internet findet sich unter :
http://www.muk.uni-hannover.de/~finke/physlet/waves/wave_refl.html
Zeitlicher Verlauf : Bei T = T/4 ist der Phasensprung um π bei festem Ende zu erkennen
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
104
Impulsübertragung auf Leitungen
R+Ri = Z0 ; RL = 0
R+Ri = 10 < Z0 ; RL = 0
R+Ri = Z0 ; RL = ∞
Reflexion am Kurzschluß mit
Die Leitungsimpedanz beträgt
Reflexion am Leitungsende am
Phasensprung (‚festes‘ Ende,
ca. 90 Ω, der ‚Innenwiderstand‘ ‚losen‘ Ende (Abschluß offen),
Vorzeichenumkehr) und
am ‚linken‘ Ende entspreicht
d.h. kein Phasensprung bzw.
Auslöschen. Restspannung
also einem ‚festen‘ Ende.
Vorzeichenwechsel. Somit
durch Kabeldämpfung
Reflexion an 2 ‚festen‘ Enden
ergibt sich eine konstruktive
mit Phasensprung. Die
Überlagerung (doppelte
Amplitude nimmt durch
Amplitude)
Kabeldämpfung ab.
Fazit : Bei Anpassung des Kabels (Z0) an den Innenwiderstand der Quelle tritt praktisch keine
Reflexion auf.
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
105
3.7 Wellen in begrenzten Medien
Def:
Wellen (hier 2) die gleichzeitig in entgegengesetzter Richtung das gleiche Medium
durchlaufen überlagern sich zu einer stehenden Welle.
Voraussetzung: Amplitude, Frequenz konstant und feste Phase
Am häufigsten geschieht dies durch Reflexion einer ebenen Welle an einer Grenzfläche; dies gilt
sowohl an dichteren/festen als auch an dünneren/losem Medium/Ende.
Beispielrechnung:
y1 = sin(ωt - kx)
nach rechts
y2 = sin(ωt + kx)
nach links
yr = y1 + y2 = 2 coskx sinωt
Das ist eine Sinusschwingung mit ortsabhängiger Maximal-Amplitude (k = 2π /λ)
y
sin(ω t) = 1
2
sin(ω t) = 0
x
cos(kx) = 0
Wellenknoten
Simulation im Web :
=1
λ
2
-bauch
- http://www.physiknetz.de/special/java/physik/phys/stlwellen.htm
- http://www.schulphysik.de/physik/mech/swell/
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
106
Was passiert, wenn man beispielsweise eine Saite anzupft ?
Die Phänomene der Eigenschwingung bei festem und losem Ende können sehr schön mit einem
Stab oder Lineal ausprobiert werden.
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
107
In einem Medium begrenzter Länge L kann sich eine Stehende Welle (zeitlich und örtlich
konstante Überlagerung einer Welle mit sich selbst) nur ausbilden, wenn nachfolgende
Bedingungen erfüllt sind:
'Enden'
Eigenschwingung
1. Oberwelle
Wellenlänge
(Eigenfrequency))
(Second Harmonic)
(Wave Length)
Wellenbauch
A
2 freie
2 feste
Bsp.: Gitarrensaite
λ o = 2L
(WE - 14)
x
L
Bsp.: Rohr
-knoten
fo =
c
2L
λ1 = L
f1 = 2 fo
Fest + frei
λn =
2L
n+1
fn =
c
λn
n = 0, 1 , 2
λn =
4L
2n +1
fn =
c
λn
Bsp.: Blasen über
Sprudelflasche
λ o = 4L
fo =
c
4L
λ1 =
4
L
3
f1 = 3 fo
Obige 'Bilder' erhält man durch Erfüllen der Randbedingungen (fest, lose) unter Berücksichtigung
von Wellenknoten (Intensitätsminimum) und -bäuchen (Intensitätsmaximum) sowie Einpassen der
Wellenlängen bzw. deren Bruchteilen.
Anwendung: - Musikinstrumente (z.B. Orgelpfeifen, Klavier, Gitarre)
- Optik : Resonator, Laser
- Antennen (z.B. UKW : 100 MHz ≡ 3 m → λ/4-Antenne l = 75 cm)
Warum singen Männer lieber in der Badewanne (L = 1,8 m) , Frauen im WC (L = 1 m) ?
Resonanz mit 2 festen Enden: Männer haben eine tiefere Stimme → größere Wellenlänge
f1 =
c ergibt Stehende Welle für Badewanne mit 180 Hz bzw. WC mit 330 Hz, etc.
L
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
108
Warum kann man Musikinstrumente unterscheiden, auch wenn sie alle
denselben Ton (z.B. Kammerton 440 Hz) spielen ?
Die unterschiedliche Verteilung der Oberwellenintensitäten 'macht' den Klang eines
Musikinstrumentes (Skizziert, real keine scharfen Peaks).
rel. Lautstärke
fo
Trompete
2fo
3fo
4fo
rel. Lautstärke
fo
5fo
Horn
2fo
3fo
4fo
Frequenz
Frequenz
rel. Lautstärke
fo
Oboe
2fo
3fo
rel. Lautstärke
4fo
5fo
5fo
Frequenz
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
fo
Clarinette
2fo
3fo
4fo
5fo
Frequenz
109
3.8 Doppler - Effekt (Doppler Effect)
tritt auf, wenn sich Wellenerreger (Quelle) und Beobachter relativ zueinander bewegen
Versuch: Simulation am PC, bewegte Stimmgabel auf Pendel
Web : - http://www.physik.uni-stuttgart.de/PINGPONG/gallery/kap48/2/index.html
- http://library.thinkquest.org/19537/java/Doppler.html
Es gibt 2 Fälle
a) Ruhende Quelle, bewegter Beobachter
fB = fQ 1±
+ : Beobachter nähert sich der Quelle
vB
c
- : Beobachter entfernt sich von Quelle
(WE - 15)
ruh en de Q ue lle
T : Z e i t zw is ch e n 2 W e ll e n b ä u c h e n
T =
T =
λ
c
λ
c + v
ruh en de r B eo ba ch ter
v
b ew e gte r B eo ba ch te r
Frequenz relativ zur ausgesandten
Frequenz
Doppler Effekt : Ruhende Quelle - Bewegter Beobachter (B)
2
B entfernt sich
B nähert sich
1,5
1
0,5
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Geschwindigkeit relativ zur Ausbreitungsgeschwindigkeit
Bsp: Zug - Übergangs-Glocke
fQ = 440 Hz (a) ; vB = 30 m/s , c = 330 m/s
→ Zug nähert sich: fB = 480 Hz ; Zug entfernt sich: fB = 400 Hz →
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
∆f = 80 Hz ≈ Terz
110
b) Bewegte Quelle, ruhender Beobachter
fB =
+ : Quelle entfernt sich vom Beobachter
- : Quelle nähert sich zum Beobachter
fQ
v
1± Q
c
(WE - 16)
b e w e g te Q u e lle
ru he n d er B e ob a c h te r
v
pro Zeiteinheit kommen mehr Wellen an als bei ruhender Quelle
Doppler Effekt bei bewegter Quelle ist nichtlinear :
2
Doppler Effekt : Bewegte Quelle (Q) - Ruhender Beobachter
Frequenz relativ zur ausgesandten
Frequenz
Frequenz relativ zur ausgesandten
Frequenz
Doppler Effekt : Bewegte Quelle (Q) - Ruhender Beobachter
Q entfernt sich
Q nähert sich
1,5
1
0,5
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Geschwindigkeit relativ zur Ausbreitungsgeschwindigkeit
20
Q entfernt sich
Q nähert sich
16
12
8
4
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
Geschwindigkeit relativ zur Ausbreitungsgeschwindigkeit
Bsp: Verkehrs-Radar
8
fQ = 10 GHz , vQ = 30 m/s , c = 3 10 m/s
Beispiel:
→
fB = 10,000001 GHz → ∆f = 1 kHz
- Durchbrechen der Schallmauer (s.u.)
- Einsatzfahrzeuge (Martinshorn)
Anwendung: - Geschw. Messung Radar
- Astronomie zur Bestimmung von Planetengeschwindigkeiten
Diese Gesetze für den Doppler Effekt gelten
- für akustische und em-Wellen
- nur Spezialfall : Quelle und Beobachter auf einer Geraden, einer ruht, anderer bewegt sich!
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
111
1
Machscher Kegel () / Schallmauer (Sonic Barrier)
Bei schnell fliegenden Flugzeugen entsteht der sog. Machsche Kegel, dessen Spitze beim
Durchbrechen der Schallmauer 'durchstoßen' wird, d.h. 'der Schall kommt nicht mehr nach !'
‚Klappt‘ auch im Wasser :
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
112
4. Optik (Optics)
4.1 Anwendung von Reflexion und Brechung in der Optik
Effekt: Reflexion und Brechung → Richtungsumlenkung
Spektralzerlegung durch Dispersion n = n(λ):
gilt auch für Linsen und das Auge → Unschärfe bei Farbbildern !
spektral
zerlegt
weiß
Dispersion
Prisma
Beispiel: 'virtuelle' 3D - Wirkung von Computerbildern
rote Buchstaben auf blauem bzw. grünen Hintergrund, teilweise 'unangenehme' Wirkung
3D - Test
3D - Test
3D - Test
3D - Test
rot vor schwarz
weiß vor rot
Der gleichmäßig graue Rahmen wirkt
abhängig von der Hintergrundfarbe
unterschiedlich
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
113
Reflexion an Spiegel
Brechung an planparallelen Platten in Luft
Strahlengang mit Reflexionen
Durchgehender Strahl mit Winkeln
α
d
Vakuum (Luft) n = 1
n> 1
β
γ
s
Vakuum (Luft)
austretender Strahl parallel zum einfallenden versetzt
oben:
sin α n
=
sin β
1
; unten: sin β = 1
sin γ
Parallelversetzung
(Näherung
nLuft = nVakuum)
s=
n
→
d
sin(α − β )
cos β
sinα = sinγ → γ = α (entspricht Parallelversatz)
=
Brechung β über n mit α
d sin α ⋅ 1−
cos α
n² − sin ²α
(OP - 1)
Probe: α = 0° → s = 0 √
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
114
4.1.1 Optische Effekte in der Atmosphäre
Prinzip: wellenlängenabhängige Brechung des Sonnenlichtes (Dispersion)
Himmelsblau
Sonnenauf- / untergang
weiß
Luft
weiß
Luft
Erde
Erde
Rayleigh - Streuung (vereinfachende Erklärung)
Regenbogen (Rainbow)
weiß
42°
weiß
Regentropfen
Sonne
rotationssymmetrisch
Nebenbogen 52°
Farbabfolge umgekehrt
Hauptregenbogen 42°
1 Reflexion
2 Reflexionen (intensitätsschwächer)
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
115
Regenbogen
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
116
Spektrum des weißen Sonnenlichtes inkl. Treibhausproblematik (CO2)
Spektralzerlegung von weißem Licht
Der rechte und linke Rand (li.) erscheint dunkel, da
das Auge dort relativ unempfindlich ist im
Gegensatz zu Photodioden (re).
Die Spektralzerlegung (d.h. Zerlegung nach 'Frequenzen' - Analogie zur Fouriertransformation)
geht auch mit (optischen) Spalten oder Gittern !
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
117
4.2 Geometrische Optik
Definition / Näherung:
- Licht breitet sich strahlenförmig und geradlinig aus,
- 'Licht' besitze keine Welleneigenschaften, d.h. λ → 0
Bsp: Laser und Sonnenlicht erfüllen die Näherung gut
Grenze der Geometrischen Optik:
kleine Abmessungen im Bereich der Wellenlänge, z.B. Spalte
Näherung dicke Linsen (real) → dünne Linsen
Prinzip von Linsen (lens):
durch geschickte Formgebung unter
Anwendung der Brechung (s.o.) werden
nutzbare Effekte erzielt !
Wichtigste Linsenformen
bikonvex
Bikonkav
Sammellinse
Zerstreuungslinse
Zerstreuungslinse
Sammellinse
Symbol
Funktion: (Normalfall)
Umgebung optisch dünner
"
Effekte an Linsen
"
dichter
Erwünscht
Entsteht durch
Abhilfe
Brechung
+
Versch. Brechungsindices
Reflexion
-
Vorder- und Rückseite
Vergütung
Absorption
-
molekulare Absorption
Spezialglas
Streuung
-
Verunreinigungen
Hochreines Glas
Dispersion
-
Material
Spezialglas
Thermische Ausdehnung
-
Material
Spezialglas
Optimierungsmöglichkeiten meist nicht gleichzeitig realisierbar
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
118
Allgemeine Regeln zur Linsenkonstruktion (DIN 1335)
- Lichtrichtung von links nach rechts
- Gegenstand: y (früher G)
- Bild y' (früher B)
- y-Achse nach oben positiv
- f Brennweite
- F Brennpunkt
- a Gegenstandsweite (früher g)
- a' Bildweite (früher b)
- Lichtweg umkehrbar
Abbildungsgleichung
nur je ein Brechungsindex
1 1 1
= −
f a' a
für Linse und Umgebung
(OP - 2)
Abbildungsmaßstab
β=
Abbildungsgleichung
y ' a'
=
y
a
Bildweite a'
10
8
6
Objektiv : Objekt reell,
Bild reell, umgekehrt
4
Objekt virtuell,
Bild reell, aufrecht
2
0
-10
-8
-6
-4
-2
0
-2
2
4
6
8
10
Gegenstandsweite a
-4
Lupe : Objekt reell,
Bild virtuell, aufrecht
-6
normiert auf f = +1
-8
-10
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
119
4.2.1 Sammellinse
Kennzeichen: Brennweite f > 0 ; z.B. + 30mm
- Parallelstrahl → F' - (Brennpunkts-) Strahl
Konstruktionsprinzip:
- Gegenstandsstrahl durch Optische Achse behält Richtung bei
Fall
Konstruktion
y'
a<f
optische
F
virtuell,
Lupe
a'
vergrößert
F'
f
a
y
2f
Beispiel
y
Achse
f < a < 2f
Bild
reell,
F'
Projektor
vergrößert
F
y'
f
a'
a
a > 2f
y
reell,
F'
F
2f
Fernrohr
verkleinert
y'
f
a
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
a'
120
4.2.2 Zerstreuungslinse
Kennzeichen f < 0 ; z.B. - 30 mm
Anwendung z.B. Galileisches Fernrohr
Aufrechtes virtuelles Bild ; verkleinert
y'
y
Konstruktionsprinzip:
F'
F
- Parallelstrahl mit Strahl von F (Brennpunkt)
ausgehend
f
a
- Gegenstandsstrahl durch Optische Achse
unverändert
a'
weiterer Linsentyp: Fresnel-Linsen (flach, z.B. Overhead-Projektor, Campingbus)
Links
Strahlengang : Entscheidend für die Wirkung einer Sammellinse ist nicht deren Dicke,
sondern die Oberflächenkrümmung. Im Prinzip stellt die Fresnel-Linse eine konvexe
Sammellinse dar, bei der außerhalb der Mittellinse nur dünne ‚Oberflächenteile‘
verwendet werden
Mitte
Draufsicht
Rechts
Anwendung bei Leuchttürmen als 360° Linse
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
121
4.2.3 Linsensysteme
Zweck Vergrößerung: Mikroskop, Lupe kleine Gegenstände ; Fernrohr kleine Winkel
Limitierung: Beugung (Wellencharakter kann nicht vernachlässigt werden, s.u.)
Lupe (Magnifier)
Vergrößerung der Lupe
v=
s
f
mit s als deutliche Sehweite des
unbewaffneten Auges
üblicher Wert : s = 25 cm
Die Lupe ist das einfachste optische Instrument zur Vergrößerung von Gegenständen, die sich
Endlichen befinden. Am einfachsten wird der Gegenstand in der Brennebene einer Sammellinse
positioniert. Diese Lupenlinse verwandelt dann die Lichtstrahlen von allen Gegenstandspunkten
zu Parallelstrahlen, die von der Augenlinse wieder auf ihre bildseitige Brennebene abgebildet
werden. Damit wir dieses Bild scharf sehen, muß die Augenlinse so akkomodiert sein, daß sich
diese Brennebene gerade auf der Ebene der Retina befindet. D.h. wir stellen unser Auge auf das
Sehen von Gegenstände im Unendlichen ein. Die ist die Ruhestellung des Auges und daher am
wenigsten anstrengend.
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
122
Mikroskop (Microscope)
Vergrößerung des Mikroskopes
v=
ts
fObjektiv fOkular
mit s als deutliche Sehweite des
unbewaffneten Auges
üblicher Wert : s = 25 cm
Bei einem Mikroskop (2* Sammellinse) ist ein Gegenstand sehr nahe am Brennpunkt der sog.
Objektivlinse, es wird ein stark vergrössertes Bild erzeugt. Dieses Bild (Zwischenbild) wird in einer
Ebene im Abstand t
vom zweiten Brennpunkt des Okulars
erzeugt. Dieses Zwischenbild wird von der zweiten Linse (Okular) weiterverarbeitet. Das Okular ist
so plaziert, dass das von der ersten Linse erzeugte Bild genau auf seinem Brennpunkt erzeugt
wird. Die Strahlen aus der er-sten Linse, dem Objektiv, werden nun so gebrochen, dass sie
divergent sind. Dies entspricht der Lupen - Funktion. Das Auge formt wieder ein reelles Bild, das
nun aber sehr stark vergrössert ist.
Fernrohr (Telescope)
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
123
Vergrößerung des Fernrohres
v=
fObjektiv
fOkular
Je größer die Objektivbrennweite und je
kleiner die Okularbrennweite desto
(Keplersches Fernrohr)
größer die Vergrößerung.
Annahme : Gegenstände befinden sich im Unendlichen, d.h. die Lichtstrahlen von diesen
Gegenständen erreichen das Fernrohr als Parallelstrahlen. Die Objektivlinse ist eine Sammellinse,
die ein reelles Bild des Gegenstands in ihrer bildseitigen Brennebene entwirft. Dieses
Zwischenbild liegt in der Brennebene der Okkukarlinse.
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
124
4.3 Beugung (Diffraction)
Geometrische Optik: : Wellenausbreitung mit geradlinigen Strahlen
4.3.1 Prinzip
Exp: Laser - Licht geradlinig - Geräteachse - kreisrunder Fleck auf Wand -Schirm
Spalt in Strahlengang
Geom. Optik: kleinerer Fleck aufgrund Abschattung
Spalt verkleinern: Aufweitung mit helle und dunkle Streifen
Beobachtung:
- Abweichungen von der geradlinigen Ausbreitung an Hindernissen
- Licht als Welle
Mathematische Behandlung komplex.
Qualitatives Verständnis: Überlagerungs- und Ausbreitungseigenschaften von Wellen mit
- Superpositionsprinzip
Überlagerung mehrerer Wellen an einem Ort
analog Überlagerung von Schwingungen
I = I1 + I2 + I3 + ...
-Interferenz:
Wechselwirkung einer Welle mit sich selbst
Extremfälle 2 Wellen gleicher Frequenz
- effektiver Gangunterschied ∆ = 0 in Phase → max. Verstärkung
- Einzelamplituden gegenphasig ∆ = λ/2 : Auslöschung
--Ausbreitung
von Lichtwellen - Huygensches Prinzip:
Bsp: Wasserwellen - hineingeworfener Stein
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
125
Abweichung von Geometrischer Optik
x
→ Licht als Welle
xmax
→ optischen Instrumente mit endlichen
Optik
Öffnungsweiten: Beugung beschränkt
0
Beugung
Auflösungsvermögen
a
Spalt
Beugungsart
a, b
Licht
Fresnel
klein
divergent
∞
parallel
a, b < ∞
ggf. Sammellinsen
Fraunhofer
geom.
α
b
Schirm
Beschreibung
Komplex
Winkel 'einfach'
4.3.3 Fraunhofersche Beugung
4.3.3.1 Einzelspalt
Beugungswinkel α
gebeugte
Wellenfront
A
einfallende
Wellenfront
d
∆ = BC = d * sinα
α
C
B
Gangunterschied der Randstrahlen
α
Näherung: Spaltbreite d << Spaltlänge l
nicht gebeugte Wellenfront
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
126
Erklärung für die dunklen Stellen
Auslöschung !
A
α
min
Auslöschung !
d/2
B
C
λ
Huygensches Prinzip:
Oberer und mittlerer sowie mittlerer und
Jeder Punkt im Spalt ist Quelle einer neuen
unterer Strahl sind gegenphasig und
Elementarwelle. Am Hindernis werden die
löschen sich somit aus !
Wellen abgelenkt
Auslöschung bei Abstand d/2 → BC = λ d.h. Gangunterschied ∆ = λ/2
BC: λ = d sinαmin = 1. Minimum
Bsp: d = 10 λ → αmin ≈ 6°
Geometrische Optik d >> λ oder λ → 0 Strahlen
weiteren Minima Gangunterschied ganzzahliges Vielfaches von λ
Minima (dunkel)
n λ = d sinαmin
(OP - 3)
Beugungsordnung n = ±1, ±2, ...
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
127
Beobachtung Versuch :
Zwischen Minima helle Stellen : Maxima
A
α
max
Verstärkung !
Auslöschung !
d/3
C
B
3
2
λ
Superpositionsprinzip: Gangunterschied zwischen max. Verstärkung und Auslöschung λ/2
Maxima (hell)
1
(n + /2)λ = d sinαmax
Beugungsordnung n = 0, ±1, ±2, ...
(OP - 4)
Die Intensität der Beugungsmaxima - noch deren Verlauf können aber (rein geometrisch) nicht
hergeleitet werden. Zu vermuten ist aber ein geringere Helligkeit des 1. Maximums, da sich die
beiden unteren Strahlen auslöschen !
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
128
Beispiel CCD - Digitalkamera
- Chip 5 mm breit = 1000 Pixel, d.h. 1 Pixel = 5 µm breit
- Linsendurchmesser d = 5 mm (als Spalt)
- Abstand Linse - CCD : b = 10 mm
- Annahme: Heller Spot in Pixelmitte
- Trifft das 1. Beugungsmaximum ein danebenliegendes Pixel ?
Entspricht der Ort für das erste Maximum (xmax) der Pixelbreite (5 µm) ?
- Geometrie : tanα = xmax/b
1. Maximum
1
1
/2 λ = d sinαmax =d tanα für kleine Winkel : /2 λ = d xmax / b
grünes Licht : 0,550 µm /2= 5mm xmax / 10mm
→ xmax = 0,55 µm
→ d.h. Pixelpitch liegt um einen Faktor von 10 über dem 1. Beugungmaximum !
selbst wenn gebeugtes Licht auf ein benachbartes fällt, wäre die Intensität
max. 5% des durchgehenden Strahles (s.u.). Dies wird relevant, wenn ein Pixel
100% 'hell' und das benachbarte ganz 'dunkel' sein soll, was üblicherweise nur
bei Testbildern vorkommt.
Beugung von polychromatischem Licht
polychromatisch: Licht mit 'vielen' verschiedenen Wellenlängen, z.B. Sonnenlicht
jede Wellenlänge wird an einen anderen Orte gebeugt, d.h. weißes Licht wird ‘farbig’
analog zur Spektralzerlegung durch Dispersion (s.o.)
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
129
Intensität
winkelabhängiger Intensitätsverlauf nicht ermittelbar aus den bisherigen Überlegungen
mathematische Herleitung aus Kirchhoffschen Formeln ist komplex, nachfolgend vereinfacht:
z
Berechne die in P ankommende Wellen
(auf '1' normierte Amplitude) :
P
r0
+ d/2
r1
α
0
∆ Gangunterschied
ro : yo = sin(ωt - kro)
r1 : y1 = sin(ωt - kr1)
Gangunterschied ∆ = z sinα
mit z als Koordinate
r1 mit r0 ausgedrückt
- d/2
r1 = sin(ωt - k{ro + ∆})
r1 = sin(ωt - kro – k z sinα)
Überlagerung aller Elementarwellen des Spaltes:
- Aufsummieren aller Wellen
- für 'sehr viele' Wellen Übergang Summe - Integral :
→
(Vgl. Herleitung Integral durch Ober- und Untersummen von Rechtecken)
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
130
+
d
2
−
d
2
y = sin(ωt − kro − k z sin α ) dz =
=
β
+
d
2
−
d
2
1
cos ωt − kro − k z sin α
ksin α
1
kd
kd
cos β −
sin α − cos β +
sin α
ksin α
2
2
mit cos(β-γ) - cos(β+γ) = 2 sinβ sinγ
y=
I
2
kd
sin (ωt − kro ) sin
sin α
ksin α
2
= sin(ωt − kro )⋅ d ⋅
sin x
y~ d
x
kd
sin α
2
kd
sin α
2
Geometrische
sin
~
Optik
1
x2
Beugung
5%
kd
πd
mit x =
sin α =
sin α
2
λ
xmax
0
x
Intensitätsverlauf Einzelspalt
I~
hyperbolische Abnahme der Helligkeitsmaxima mit 1/x²
x = 0 nach L'Hopitalscher Regel I = 1
x entspricht Formel für Minima * π wegen Sinus
sinx
x
2
πd
x=
sin α
λ
(OP - 6)
(I(0) ∼ 1)
Babinetsches Prinzip
Öffnungen und Hindernisse haben komplementäre Beugungsbilder
Versuch Spalt mit Draht vertauscht
→ es ergibt sich dasselbe Beugungsbild,
nur ist 'hell' und 'dunkel' vertauscht
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
131
4.3.3.2 Gitter (Grid)
Versuch:
Einzelspalt - breite Streifen
Gitter: scharfe Punkte, α groß = Hauptmaxima
Verstärkung :Gangunterschied = λ
analog Minimum Einzelspalt
A
g >> d : Spaltbreite << Spaltabstand
Verstärkung !
→ Spalte = Punktquellen
g
d
B
C
αmax
λ
Hauptmaxima beim Gitter m = 0, ±1, ±2, ...
(OP - 7)
m λ = g sinαmax
durchgehender Strahl m = 0 = Hauptmaximum 0. Ordnung
Anwendung :
- Messung von λ
- Strukturuntersuchungen mit Röntgenstrahlung Kristallgitter
Bsp: Gesucht: Beugungswinkel für Maximum 1. Ordnung bzw. Wellenlänge aus Ort
g = 1/500 mm, m = 1 , λ = 500 nm
xmax
→ λ = g sinαmax
-9
-3
→ αmax = arcsin(λ/g) = arcsin(500 10 500 10 )
α
0
= arcsin(0,25) ≈ 0,25
→ αmax ≈ 15°
b
Schirm
tanαmax = xmax / b und λ = g sinαmax
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
132
Moiré - Streifen
werden erzeugt durch zwei nicht deckungsgleich aufeinanderliegende Gitter
Teilungsmoiré
Die Gitterkonstanten sind leicht
unterschiedlich - also 'verstimmt'.
Wie bei einer niederfrequenten Schwebung
(s.o.) im Zeitbereich tritt hier eine
'niedrigere' Ortsfrequenz auf.
Moiré-Streifenabstand: aM =
g2 ⋅ g1
g2 − g1
am
δ
Verdrehungsmoiré
entstehen, wenn 2 Gitter mit gleicher
Gitterkonstante um den Winkel δ
gegeneinander verdreht sind.
Moiré-Streifenabstand: aM ≈
g
δ
am
Auftreten der Moiré-Streifen bei Bildschirmen mit 'festen' Pixelraster (= Gitter) und Darstellung von
Bildinhalten mit gitterähnlicher Struktur
- 'Pepita' - Anzüge im Fernsehen
- schlechter Abgleich / Einstellung bei LCD-Videobeamern mit Analogeingang
- Digitale Bildaufnahme (Foto, Scanner [Pixel per Inch]) und Wiedergabe (Pixelraster)
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
133
Moire bei sw-Bildern aufgrund
von Rasterung.
Beispiel: Eingescanntes Bild
bei hoher Scan-Auflösung
(links) und bei ScanAuflösung im Bereich der
Druckauflösung (rechts)
Moiré verursacht bei Farbbildern außerdem Farbrauschen
Vergrößert
Original
←
Bilder mit Digitalkamera von
Bildschirm
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
Streifenmuster
134
Zusammenfassung
Fraunhofersche
Einzelspalt
Gitter
(viele Spalte / mm)
Beugung
I
I
Intensitätsverlauf
geometrische
Optik
geometrische
Optik
Beugung
xmax
0
sin x
I~
x
Formel für Maxima
α = arc tan
sin α = ± n +
x max
b
n = 1, 2, 3, ...
0
x
xmax
x
2
; ( I(0) ≡ 1 )
1
2
λ
d
(OP - 2)
scharfe, diskrete Maxima
sin α = ± n
λ
g
(OP - 3)
g: Abstand Gitterlinien
d: Spaltbreite
b : Abstand Spalt Schirm
Fouriertransformation als Analogie zur optischen Beugung
mathematische Transformation eines
y(t)
Rechtecksignales im Zeitbereich →
| F(f) |
Fouriertransformation
Spaltfunktion im Frequenzbereich
t
f
Beugungsbild eines Spaltes entspricht Fouriertransformation eines Rechteckes mit der
Durchlässigkeit (0 1 0)
Die geometrische Optik erzeugt ein schmales und scharfes Rechteck, hier als Linie dargestellt
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
135
Gegenüberstellung von Fouriertransformation und Beugung
Fourier / Beugung
Zeit- / Ortsbereich
Frequenz- / Wellenlängenbereich
A
Rechtecksignal
Gitter
A
...
...
t, x
A
Frequenz, Wellenlänge
A
2 Reckeckimpulse
Doppeltspalt
t, x
A
Frequenz, Wellenlänge
A
1 Rechteckpuls
Einzelspalt
t, x
Frequenz, Wellenlänge
Hieraus ist ersichtlich, daß das zugrundeliegende physikalische Prinzip dasselbe ist !
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
136
Bsp: Beugung an Linsen begrenzt das Auflösungsvermögen
Fernrohr auf 2 dicht benachbarte Sterne (Lichtquellen) gerichtet
Beugung führt zur Verbreiterung der Bilder
im Grenzfall überlagern sich dicht benachbarte Zentral-Maxima
→ nur 1 hellen Fleck ; Analoges gilt für das Mikroskop
Intensität
Beugungsbild zweier
benachbarter Quellen
Überlagerung
Licht zweier
benachbarter
Objekte
z.B. Sterne
Überlagerung in einem verbreiterten
Linse
'Punkt'
Bildebene
praktisch nicht
unterscheidbar !
Fernrohr 2 dicht benachbarte Sterne 2 Lichtquellen
Beugung Verbreiterung der Bilder
Grenzfall überlagern sich dicht benachbarte ZentralMaxima
→ nur 1 hellen Fleck (Mikroskop analog)
Beugungsbild einer Linse
mit 2 Lichtquellen (z.B. Sterne)
‚Rutschen‘ die Lichtquellen enger
zusammen (unten links und rechts)
können Sie nicht mehr
unterschieden (‚aufgelöst‘) werden !
Anwendung der Beugung
Meßtechnik, Röntgenuntersuchung (Werkstoffkunde), DNA (Watson-Crick)
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
137
Materialuntersuchungen mit Röntgenstrahlen
Voraussetzung: Beugung am Punktgitter
θ
Bragg-Bedingung für konstruktive Interferenz
muß erfüllt sein:
n λ = 2 d sinθ
θ
d
mit n = 1, 2, 3, ...
Laue-Aufnahme von NaCl
schwarze Punkte = Interferenzen
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
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Beispiel für Untersuchungen mit Beugung: Muskel
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
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Übungsblatt Wellen/Optik
1. Berechnen Sie die erhöhte Eingangsleistung eines Parabolspiegels (A = 1m²) für einen 1cm²
großen Empfänger bei parallel einfallender Strahlung. Wie hoch ist der Gewinn (dB) bei 1W
Leistung. Versuchen Sie die geometrischen Verhältnisse mittels Computer nachzubilden (y=x²,
Tangentensteigung - Reflexionsbedingung).
60dB
2. Zeichnen Sie das Reflexionsbild für einen Halbkreis für senkrecht einfallende parallele
Strahlen (Katakaustik). Gut zu erkennen bei seitlich beleuchteter Kaffetasse.
3. Zeichnen Sie die Winkel für das 1. Maximum eines Einzelspaltes für die Wellenlänge 300nm
500nm und 700nm in Abhängigkeit von der Spaltbreite (0-30mm) auf. Warum wird bei der
Waferbelichtung möglichst kurzwelliges Licht verwendet? Berechnen Sie dies für eine
Leiterbahnbreite = Leiterbahnabstand von 0,5µm und einen „Schirm“abstand (Masken Waferabstand) von 1mm in Abhängigkeit von λ. Optimierungsmöglichkeiten ?
4. Sie wollen die Wellenlänge von monochromatischem Licht mit einem Gitter bestimmen. Bei
einer Gitterkonstanten von 10000 (Linien/cm) messen Sie im Abstand von 1m hinter dem
Gitter einen Abstand von 0,5m zwischen dem Hauptmaximum und dem 1. Maximum. λ ?
477nm
5. Vergegenwärtigen Sie sich die Beugungserscheinungen an einem Doppelspalt ausgehend von
dem Huygensschen Prinzip.
6. Skizzieren Sie einzeln die 3 Fälle für die Sammellinse und vergleichen Sie.
7. Welche Extremfälle treten beim Auftreffen von Licht auf eine keilförmige Platte auf
a) monochromatisch
Licht
b) polychromatisch
(Beugung und Keilwinkel vernachlässigen)
Luft
idealer Spiegel
Blankenbach / FH Pf / Wärme - Einführung / 13.10.04
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