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5. Dunkle Materie
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Dunkle Materie – ein Klebstoff für Galaxien
Matthias Borchardt, Bonn
Die dunkle Materie stellt eines der großen
Rätsel der modernen Astrophysik dar.
© David P. Bennet/University of Notre Dame, Indiana.
Dieser Beitrag beschreibt, wie Sie sich diesem spannenden Thema in Klasse 10/11
nähern. Drei Computersimulationen bieten
einen besonders handlungsorientierten und
anschaulichen Zugang zu den grundlegenden Ideen dieser Theorie.
T
H
C
I
S
N
A
R
O
V
I/G
Dunkle Materie – enorm
anziehend, aber unsichtbar!
Der Beitrag im Überblick
Klasse: 10/11
Dauer:
5 Stunden
Ihr Plus:
ü3 Computersimulationen
üEin Thema der aktuellen
astronomischen Forschung
Inhalt:
• Rotation im Planetensystem
• Basiswissen: Aufbau von
Spiralgalaxien
• Längenmessung astronomisch:
Lichtjahr und Parsec
• Geschwindigkeitsmessungen mit dem
Radioteleskop
• Die Idee der dunklen Materie
28 RAAbits Physik August 2012
5. Dunkle Materie
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Fachliche und didaktisch-methodische Hinweise
Hintergrundinformation
Das Problem der flachen Rotationskurven
Trägt man die Umlaufgeschwindigkeiten der Planeten unseres Sonnensystems gegen die
Entfernung von der Sonne in einem Diagramm auf, erhält man die typische Kurve einer
Kepler-Rotation: Je weiter ein Planet von der Zentralmasse entfernt ist, desto langsamer
umrundet er diese.
Bahngeschwindigkeit [in km/s]
Kepler-Rotation im Sonnensystem
T
H
C
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S
N
I/G
A
R
O
Entfernung zum Sonnenmittelpunkt [in Mill. km]
Die Kurve folgt der hyperbelartigen Funktion
V
v(r) =
G⋅M
r

m v2
m⋅M
M
=
⇔
= G ⋅ 2 ⇔ v2 = G  ,
Ansatz
:
F
F

Z
G
r
r
r

wenn wir die Planetenbahnen näherungsweise als kreisförmig annehmen und als Zentripetalkraft die Gravitationskraft einsetzen. Ein ähnliches Rotationsverhalten sollte man von
Spiralgalaxien erwarten, denn vor allem die weit außen liegenden Sterne und Gasmassen
spüren die Gravitationskraft der innen liegenden Galaxienmaterie so, als wäre sie im
Zentrum konzentriert.
© Marcel Schmeier/Onderwijsgek. Unter der C-Lizenz
(http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/nl/
deed.de)
Bereits in den 1970er-Jahren wiesen Messungen im sichtbaren Wellenlängenbereich
darauf hin, dass dies nicht so ist. Radioastronomische Messungen in den folgenden
Jahren bestätigten diese Ergebnisse eindrucksvoll. Mit dem damals neu errichteten
Radioteleskop WSRT (Westerbork-SyntheseRadioteleskop) in den Niederlanden, das aus
14 frei stehenden 25-Meter-Parabolantennen
besteht, wurden die Dopplerverschiebungen
der 21-cm-Wellenlänge des mitrotierenden
neutralen Wasserstoffgases zahlreicher Spiralgalaxien bestimmt.
Westerbork-Synthese-Radioteleskop
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© University of Virginia - Department of Astronomy
Dieses Gas ist in der Galaxienscheibe reichlich vorhanden und ragt weit über den Rand
des sichtbaren Teils hinaus. So war die Berechnung der Rotationsgeschwindigkeit der
Galaxie auch in ihrem nicht optischen Bereich möglich.
T
H
C
Die Galaxie erscheint im „Licht“ der 21-cm-Strahlung wesentlich größer als im optischen Bereich.
I
S
N
Typische radiointerferometrische Messergebnisse
Zwei typische Ergebnisse solcher radiointerferometrischer Messungen zeigen die Diagramme der Galaxien NGC3198 und NGC6503:
A
R
O
V
Auf der x-Achse ist die Entfernung des gemessenen Galaxienausschnitts vom Zentrum in der Einheit Kiloparsec aufgetragen (1 kpc = 3,0857 · 1019 m ≈ 3262 LJ). Die letzten Messpunkte erfassen den Bereich des
Doppelten bis Dreifachen des sichtbaren Scheibenradius. Die y-Achse zeigt die Geschwindigkeit in km/s.
Aus: K.G. Begeman, A.H. Broeils and R.H. Sanders: Extended rotation curves of spiral galaxies: dark haloes and modiied dynamics.
In: Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, vol. 249, April 1, 1991, S. 523-537 hier: S. 530. © Royal Astronomical Society/
John Wiley & Sons, Inc.
Der Verlauf dieser Kurven folgt offenbar nicht der typischen Kepler-Rotation, die bei der
umlaufenden Bewegung von Materie um eine Zentralmasse zu erwarten wäre. Die außen
liegenden Sterne und Gasmassen sind eigentlich viel zu schnell. Man sollte erwarten, dass
die dadurch entstehenden enormen Zentrifugalkräfte die Galaxie auseinanderreißen.
Was verhindert, dass dies geschieht?
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I/G
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Ein Lösungsansatz
Zusätzliche Masse könnte das Problem lösen, denn dadurch würde genügend gravitative
Wirkung entstehen, um die Galaxie zusammenzuhalten. Erste Überschlagsrechnungen
ergeben allerdings, dass diese Ergänzungsmaterie die Masse der Galaxienscheibe um das
Vier- bis Fünffache übersteigen müsste, um als „Galaxien-Klebstoff“ fungieren zu können.
Eine solche Materieansammlung sollte sich durch Strahlung deutlich bemerkbar machen.
Aber genau das scheint sie nicht zu tun, denn in keinem der bekannten Wellenlängenbereiche, in denen Materie im Weltall überhaupt strahlen kann, ist man bisher fündig
geworden. Dennoch – die Mehrzahl der Astronomen hält an der Hypothese der dunklen
Materie fest. Es gibt nämlich noch weitere Indizien, die auf ihre Existenz hinweisen.
Woraus die dunkle Materie bestehen könnte, wird zurzeit ebenfalls lebhaft diskutiert. Dies
soll aber nicht Thema der weiteren Ausführungen sein.
Modellgalaxie im Computer
Bereits einfache Computermodelle ermöglichen Rückschlüsse auf die Menge und die Verteilung der dunklen Materie innerhalb der Galaxie. Wie schnell Materie um das Galaxienzentrum kreist, hängt entscheidend davon ab, wie viel Masse gravitativ auf sie einwirkt.
Da diese in einer Galaxie nicht als Zentralmasse erscheint, muss die wirksame Masse
durch Addition (Integration) aller Anteile bis zum Radius r, bei dem sich das betrachtete
Materieteilchen beindet, ermittelt werden. Nach dem Schalentheorem von Newton gilt
nämlich, dass in einer rotationssymmetrischen Massenansammlung auf ein Teilchen die
kumulierte Masse bis zum Radius r gravitativ so einwirkt, als wäre sie im Zentrum punktförmig lokalisiert.
I
S
N
Des Weiteren müssen wir uns klarmachen, dass die Rotationsgeschwindigkeit einer
Galaxie nach außen hin nur dann konstant bleibt, wenn die kumulierte Gesamtmasse
M(r) in der Formel
v=
G ⋅ M(r)
r
A
R
O
nahezu linear mit dem Radius r wächst.
Die Dichteverteilung
V
Wie müsste die Dichteverteilung innerhalb der dunklen Materie aussehen, damit dies
erreicht wird? Zwei populäre Dichtefunktionen, die sich in der Vergangenheit gut bewährt
haben, seien an dieser Stelle genannt: zum einen das Dichteproil einer isothermen Kugel,
bei dem man annimmt, dass sich die dunkle Materie im Halo wie ein Gas konstanter
Temperatur in einer frei schwebenden Gaskugel verteilt (Iso-Modell), und zum anderen die
Dichtefunktion, die 1995 von den Astronomen Navarro, Frenk und White vorgeschlagen
und als NFW-Profil bekannt wurde. Die Abbildungen zeigen, dass beide Modelle zu einem
fast linearen Anstieg der kumulierten Masse führen.
kumulative Masse (1010 · MSonne)
I/G
T
H
C
Radius (kpc)
Kumulierte Massen nach dem Iso-Modell
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kumulative Masse (1010 · MSonne)
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Radius (kpc)
Kumulierte Massen nach dem NFG-Modell
Die dargestellten Kurvenverläufe lassen sich in mathematisierter Form Computersimulationen übergeben, mit denen man dann optimale Parameteranpassungen ausprobieren
kann. Ziel ist es dabei, die gemessenen Rotationskurven durch geeignete Modellkurven
anpassen zu können.
T
H
C
Hinweise zur Gestaltung des Unterrichts
Einordnung des Themas
I
S
N
Das Thema passt in den Mechanikunterricht der Einführungsphase zur Oberstufe (Klasse 10), wenn Sie die Gebiete Gravitation und Bewegung von Himmelskörpern besprechen.
Fragen Sie Ihre Schüler zu Beginn der Unterrichtsreihe, wie sie die Umlaufgeschwindigkeiten der Planeten beschreiben würden. Den meisten ist bewusst, dass die weiter außen
liegenden Planeten länger brauchen, um die Sonne zu umrunden. Dies führen sie dann
allerdings zumeist allein auf den längeren Weg zurück, den die äußeren Himmelskörper
zurücklegen müssen, während sie allen Planeten die gleiche Geschwindigkeit geben
möchten.
A
R
O
V
Aus fachlicher Sicht ist es daher wichtig, dass die Lernenden die typischen Merkmale
einer Kepler-Rotation herausarbeiten. Die Erkenntnis, dass sich eine Galaxie in ihrer
Dynamik völlig anders verhält und dass dies die Einführung der dunklen Materie motiviert, ist dann didaktisch besonders wertvoll. Ihre Schüler erfahren nämlich, wie Beobachtungsergebnisse, die bestimmten Annahmen zu widersprechen scheinen, zur Aufstellung
neuer Hypothesen führen, und erhalten Einblick in ein sehr aktuelles Forschungsgebiet
der modernen Astrophysik.
Ganz nebenbei erlernen und üben Ihre Schüler grundlegende Kompetenzen naturwissenschaftlichen Unterrichts, wie z. B. den Umgang mit großen Zahlen (Zehnerpotenzen),
das Umstellen von Formeln, die grafische Darstellung von Daten und deren Interpretation, den Gebrauch einer Tabellenkalkulation und nicht zuletzt die Versprachlichung
naturwissenschaftlicher Zusammenhänge. Darüber hinaus fördern Sie mit dieser Einheit
kommunikative Kompetenz, denn Ihre Schüler erarbeiten ihre Ergebnisse im Dialog mit
den Mitgliedern der jeweiligen Kleingruppe.
Die Lerntheke – Informationen und Arbeitsaufträge
Ihre Schüler erarbeiten sich die Kepler-Rotation des Planetensystems sowie den Aufbau
und die Rotationsdynamik von Spiralgalaxien mithilfe von sechs Materialien.
Einige Arbeitsblätter sind recht textlastig, geben den Lernenden aber gezielt fachliche
Informationen. Diese Textabschnitte sind für das Verständnis des Themas wichtig – weisen
Sie daher Ihre Schüler an, die Textpassagen aufmerksam zu lesen.
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I/G
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nentiellen Dichtefunktion innerhalb der Scheibe. Dann kann man mithilfe des Cursors jede
Stelle der Galaxienscheibe anklicken und bekommt die vektoriell aufaddierte Gravitationskraft angezeigt, die dort auf eine Masse m wirken würde. Mithilfe dieser Werte können
Ihre Schüler dann eine Rotationskurve der Galaxie ermitteln, wie sie sich ohne dunkle
Materie ergeben würde.
galaxrot_1.exe
Das Programm galaxrot_1.exe ermöglicht Ihren Schülern, die Messung des Frequenzspektrums und Berechnung der Rotationsgeschwindigkeiten von Galaxien mithilfe eines
Radioteleskops anschaulich nachzuempinden. Auch die Ermittlung der Geschwindigkeit
über die Dopplerverschiebung der 21-cm-Wasserstoflinie ist in dem Programm dargestellt. Sie müssen sie aber nicht thematisieren, weil die Geschwindigkeitswerte direkt
ausgegeben werden. Auch wenn das Programm lediglich eine „animierte Tabelle“
darstellt, vermittelt es den Schülern sehr anschaulich grundlegende Aspekte radioastronomischer Messverfahren. Als Ergebnis erhalten Ihre Schüler das wahre Rotationsverhalten einer Spiralgalaxie.
galaxrot_2.exe
Mithilfe der Computersimulation galaxrot_2.exe können Ihre Schüler dann selbst nachempinden, wie man durch „Hineinpumpen“ von zusätzlicher Masse in den Galaxienhalo
die Rotationskurve immer weiter anheben kann, bis sie die Messwerte optimal approximiert (Hochziehen des Reglers, der die Anfangsdichte des Galaxienhalos steuert).
T
H
C
I
S
N
Voreingestellte Beispiele helfen den Lernenden, realistische Einstellungen der wählbaren Parameterwerte zu inden. Die Computersimulation zeigt darüber hinaus auch das
Verhältnis von Scheibenmasse (überwiegend sichtbare Materie) zur dunklen Materie an.
A
R
O
Bezug zu den Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz
Wir haben hier die Bildungsstandards für die Sekundarstufe I sinngemäß auf die Oberstufe übertragen, für die Bildungsstandards noch nicht verabschiedet sind.
Allg. physikalische Kompetenz
V
Inhaltsbezogene Kompetenzen
Anforderungsbereich
Die Schüler …
… rechnen mithilfe des Gravitationsgesetzes und
der Zentripetalkraft die Kreisbahngeschwindigkeit von Satelliten aus (M 1),
I, II
F 1, F 2
… rechnen mit großen Zahlen (Zehnerpotenzen)
(M 1–M 6),
I
F 1, F 2
… fertigen aus Tabellen per Hand oder mithilfe
einer Tabellenkalkulation Diagramme (M 1, M 3,
M 5),
I
F 1–F 4
K 1, K 2, K 5
F 1, F 2, F 4
K 1, K 5
… rechnen astronomische Längeneinheiten
ineinander um (M 2),
I, II
F 2, F 4, E 2, K 1,
K 2, K 5, B 1
… erlernen grundlegende Aspekte der radioastronomischen Geschwindigkeitsmessung (M 3),
F 1, F 4, E 10,
K 1, K 2, K 5, B 1
… lernen die Anpassung von Modellfunktionen
an reale Messergebnisse kennen (M 6).
II
II, III
Für welche Kompetenzen und Anforderungsbereiche die Abkürzungen stehen, inden Sie
auf der beiliegenden CD-ROM 28.
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I/G
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Materialübersicht
· V = Vorbereitungszeit
· D = Durchführungszeit
M1
SV = Schülerversuch
LV = Lehrerversuch
Ab = Arbeitsblatt/Informationsblatt
Fo = Folie
Ab
Wie schnell umrunden unsere Planeten die Sonne?
· V: 5 min
· D: 45 min
Die Umlaufgeschwindigkeiten der Planeten berechnen und graisch
darstellen
rTaschenrechner
rComputer: Tabellenkalkulation Excel oder OpenOfice
M2
Ab
Spiralgalaxien – was ist das und wie sind sie aufgebaut?
· V: 5 min
· D: 45 min
Grundlegender Aufbau einer Galaxie
Umrechnung astronomischer Längeneinheiten
rInternetzugang
rTaschenrechner
M3
Ab
Wie müssten Spiralgalaxien rotieren? – Überlegungen
· V: 5 min
· D: 45 min
Dichtefunktion
T
H
C
Berechnung von Geschwindigkeiten aus Modelldaten
rComputersimulation galaxienscheibe.exe
rComputer: Tabellenkalkulation
rTaschenrechner
I
S
N
M4
Fo
Typische radiointerferometrische Messergebnisse
M5
Ab
Wie rotieren Spiralgalaxien in Wirklichkeit? – Ein Rätsel
· V: 5 min
· D: 45 min
Aspekte radioastronomischer Geschwindigkeitsmessungen
A
R
O
V
M6
Eine Tabelle und ein Diagramm anfertigen
Vergleich und Bewertung von Ergebnissen
rComputersimulation galaxrot_1.exe
rComputer: Tabellenkalkulation
rTaschenrechner
Ab
Dunkle Materie – des Rätsels Lösung?
· V: 5 min
· D: 45 min
Idee der dunklen Materie
Berechnungen von Geschwindigkeit und Gesamtmasse
Anpassung von Modelldaten an Messergebnisse
rComputersimulation galaxrot_2.exe
rTaschenrechner
Minimalplan
Lassen Sie die Schüler das Material M 1 als Hausaufgabe bearbeiten. Anschließend
erklären Sie in Form eines Lehrervortrages, was Spiralgalaxien sind, und ihren Aufbau.
Teilen Sie den Schülern dazu das Glossar aus.
Die Materialien M 3, M 5 und M 6 bearbeiten Ihre Schüler selbstständig im Computerraum. Dies dauert circa 3 Stunden.
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I/G
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M1
Wie schnell umrunden unsere Planeten die Sonne?
Ziel: Hier sollen Sie ausrechnen, wie groß
die Geschwindigkeiten sind, mit denen die
Planeten die Sonne umkreisen.
© Astrofoto/Shibuya
Wir nehmen vereinfachend an, dass
sich die Planeten auf Kreisbahnen um
die Sonne bewegen. Die Abweichungen der Ellipsenbahnen von einer Kreisbahn sind hier nämlich nicht sehr groß.
Die Gravitationskraft wirkt dann als kreisbildende Kraft, also als Zentripetalkraft.
Daher dürfen wir schreiben: FZ = FGrav .
Die Planeten
Aufgaben
1. Leiten Sie mithilfe dieses Ansatzes her:
Die Umlaufgeschwindigkeit im Abstand r vom Zentrum der Sonne beträgt:
v(r) =
I/G
T
H
C
G ⋅ MSonne
r
2. Die Masse der Sonne beträgt MSonne = 2 ⋅ 1030 kg und die Gravitationskonstante hat den
3
Wert G = 6,67 ⋅ 10−11 m 2 .
kg s
Die folgende Tabelle enthält die mittleren Abstände r der Planeten vom Zentrum der
Sonne. Berechnen Sie die Geschwindigkeiten der Planeten in km/s. Tragen Sie Ihre
Ergebnisse in die Tabelle ein.
I
S
N
A
R
O
Runden Sie Ihre Ergebnisse auf eine Stelle hinter dem Komma.
V
r [in 109 m]
Geschwindigkeit [in km/s]
r [in 109 m]
Merkur
59
Jupiter
778
Venus
108
Saturn
1427
Erde
150
Uranus
2870
Mars
228
Neptun
4497
Geschwindigkeit [in km/s]
3. Fertigen Sie ein Diagramm an, bei dem die x-Achse den Abstand r und die y-Achse die
Geschwindigkeit v darstellen. Tragen Sie die Tabellenwerte als Punkte ein.
Führen Sie dies mit einer Tabellenkalkulation durch und drucken Sie das Ergebnis aus.
4. Legen Sie eine glatte Kurve durch die Punkte. Beschreiben Sie in einem „Je …, desto“Satz, wie sich die Umlaufgeschwindigkeiten der Himmelskörper mit zunehmendem
Abstand von der Zentralmasse verhalten.
5. Um welchen Typ von mathematischer Funktion (Kurve) handelt es sich hierbei?
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M2
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Spiralgalaxien – was ist das und wie sind sie aufgebaut?
Aufgaben
1. Informieren Sie sich im Internet oder mithilfe astronomischer Fachbücher, was eine
Spiralgalaxie ist und wie sie typischerweise aufgebaut ist. Fassen Sie das Wesentliche in einigen Sätzen zusammen. Beschriften Sie die schematische Darstellung einer
Spiralgalaxie.
T
H
C
I
S
N
2. Entfernungen und Längen werden in der Astronomie häuig nicht in Metern angegeben,
sondern in Lichtjahren (LJ) oder in Parsec (pc).
A
R
O
Merke
Ein Parsec entspricht: 1 pc = 3,086 ⋅ 1016 m .
V
a) Beschreiben Sie in Worten: Was ist ein Lichtjahr?
b) Berechnen Sie:
– Wie viele Meter sind ein Lichtjahr (c = 2,998 · 108 m/s)?
– Wie viele Lichtjahre sind ein Parsec?
Im Folgenden sind einige typische Ausdehnungen einer Spiralgalaxie in Parsec (pc) oder
Kiloparsec (kpc) angegeben.
c) Wandeln Sie die Angaben in Lichtjahre um:
– Durchmesser der sichtbaren Galaxienscheibe:
16 kpc
– Dicke der Scheibe:
300 pc
– Die Galaxienscheibe ist eigentlich viel größer, als man sie sieht, denn sie enthält
enorm viel Wasserstoffgas, das weit über den sichtbaren Teil der Scheibe hinausgeht. Dieses Wasserstoffgas macht sich durch Abstrahlung sehr langwelliger Strahlung bemerkbar, die man mit Radioteleskopen empfangen kann. Wenn man auch
dieses mitrotierende Wasserstoffgas berücksichtigt, hat die Galaxienscheibe eine
Ausdehnung von
60 kpc.
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I/G
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M3
Wie müssten Spiralgalaxien rotieren? – Überlegungen
Wie rotiert eine Spiralgalaxie? Ähnlich einer starren Scheibe? Dann müssten die Rotationsgeschwindigkeiten der Bestandteile mit zunehmender Entfernung vom Zentrum wachsen.
Oder eher wie die Planeten um die Sonne? Dann müsste die Rotationsgeschwindigkeit
mit zunehmendem Abstand vom Zentrum abnehmen (Kepler-Rotation, vgl. Material M 1).
Aufgaben
I/G
1. Begründen Sie, warum die Annahme einer starren Scheibe nicht realistisch ist.
Die zweite Idee ist ebenfalls wenig brauchbar: eine große, fest deinierte Zentralmasse
anzunehmen, trifft die realen Verhältnisse einer Galaxie nicht. Je nachdem, wie weit ein
Objekt vom Zentrum der Galaxie entfernt ist, spürt es die Gravitation unterschiedlicher
Massenkonzentrationen um sich herum. Die Materie innerhalb der Scheibe einer Spiralgalaxie ist nämlich nicht gleichmäßig verteilt. Im Bereich des Zentrums ist die Materiedichte sehr hoch, weiter außen nimmt sie stark ab. Man nimmt an, dass die Dichte der
Materie vom Zentrum nach außen hin in Form einer Exponentialfunktion abnimmt.
Die Galaxie stellt man sich dabei als eine lache Scheibe vor. Einen optischen Eindruck
von diesem einfachen Galaxienmodell erhalten Sie mithilfe der Computersimulation
galaxienscheibe.exe. Dieses Programm ermöglicht Ihnen darüber hinaus, für jeden beliebigen Punkt der Galaxienscheibe die dort wirksame Gravitationskraft zu berechnen.
2. Starten Sie das Programm. Nutzen Sie die Möglichkeiten, die dargestellte Scheibe
aus verschiedenen Blickrichtungen zu betrachten. Die Form der exponentiellen Dichtefunktion, welche die Verteilung der Materie beschreibt, können Sie mithilfe der Schieberegler verändern. Probieren Sie verschiedene Einstellungen aus.
3. Lesen Sie nun die INFO-Box des Programms. Informieren Sie sich, wie die Simulation
die Gravitationskraft auf ein Objekt innerhalb der Galaxienscheibe ermittelt. Wenn man
die Gravitationskraft auf eine Masse (z. B. Probemasse 1 kg) im Abstand r kennt, kann
man ausrechnen, mit welcher Bahngeschwindigkeit die Masse um das Galaxienzentrum kreisen müsste, um nicht ins Zentrum zu stürzen. Dabei gilt: Die für eine Kreisbahn notwendige Zentripetalkraft ist die Gravitationskraft.
T
H
C
I
S
N
A
R
O
V
4. Leiten Sie mithilfe dieses Ansatzes her: Die Geschwindigkeit einer Masse m im Abstand r
FGrav (r) ⋅ r
vom Galaxienzentrum lässt sich mithilfe der Formel v =
berechnen.
m
Wenn Sie mit dem Cursor auf die Galaxienscheibe klicken (vorher den Button Gravitationskräfte innerhalb der Scheibe drücken!), werden die Gravitationskraft FGrav (r) und der
Abstand r vom Zentrum angezeigt und in eine Tabelle übertragen.
5. a) Wählen Sie realistische Werte für die Dichteparameter der Massenverteilung (z. B.
ρ0 = 7, 48 ⋅ 10−20 mkg und a = 2,92kpc ). Beginnen Sie im Zentrum der Scheibe und klicken
Sie Stück für Stück auf der Galaxienscheibe weiter bis zum Rand (10 bis 20 Werte). Die
Wertepaare werden automatisch in eine Tabelle übernommen.
b) Übergeben Sie die Tabelle an Excel. Sortieren Sie die Tabelle – falls notwendig – mithilfe
der ersten Spalte von kleinen zu großen Abständen. Fügen Sie in Excel eine dritte
Spalte ein, in der Sie mithilfe der obigen Funktion die Geschwindigkeiten der Masse an
den verschiedenen Orten ausrechnen lassen (setzen Sie m := 1 kg).
c) Stellen Sie nun diese Geschwindigkeiten in Abhängigkeit von den Abständen r (erste
Spalte) in einem Diagramm dar.
Verwenden Sie den Diagrammassistenten von Excel. Erstellen Sie einen
Linienchart.
Sie erhalten so eine Rotationskurve der Modellgalaxie, wie man sie eigentlich auch in
der Realität erwarten sollte.
6. Beschreiben Sie den Verlauf der Rotationskurve mit Worten.
3
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Tracey and Russ Birch/Flynn Haase/NOAO/AURA/NSF
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Typische radiointerferometrische Messergebnisse
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I/G
T
ICH
ANS
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Aus: K.G. Begeman, A.H. Broeils and R.H. Sanders: Extended rotation curves of
spiral galaxies: dark haloes and modified dynamics. In: Monthly Notices of the
Royal Astronomical Society, vol. 249, April 1, 1991, S. 523-537 hier: S. 530.
© Royal Astronomical Society/John Wiley & Sons, Inc.
M4
NGC 2903
NGC 3198
NGC 7331
VOR
John Vickery and Jim Matthes/Adam Block/
NOAO/AURA/NSF
Paul Mortfield and Dietmar Kupke/Flynn Haase/
NOAO/AURA/NSF
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M5
Wie rotieren Spiralgalaxien in Wirklichkeit? – Ein Rätsel
In M 1 hatten Sie die Umlaufgeschwindigkeiten der Planeten unseres Sonnensystems
ausgerechnet und aufgezeichnet. Dabei ergab sich die Kurve einer typischen Kepler-Rotation („je weiter weg, desto langsamer“). Die Ergebnisse von M 3 haben gezeigt, dass ein
ähnliches Verhalten vor allem für die Randbereiche einer Spiralgalaxie zu erwarten ist,
wenn man annimmt, dass die Massendichte innerhalb der Galaxienscheibe exponentiell
verteilt ist.
I/G
Die ersten umfangreichen Messungen der
Rotationsgeschwindigkeiten von Galaxien
wurden in den 1980er-Jahren mithilfe großer Radioteleskope durchgeführt. Diese
Teleskope können eine spezielle Strahlung
(21-cm-Strahlung)
des
Wasserstoffgases
nachweisen, das reichlich in der Galaxienscheibe vorhanden ist und weit über den
sichtbaren Rand der Scheibe hinausragt. Die
Geschwindigkeit des Gases lässt sich dabei
durch den Doppler-Effekt bestimmen: Ist das
Teleskop z. B. zum linken Rand der Galaxienscheibe gerichtet, kann es sein, dass die GasWesterbork-Synthese-Radioteleskop
massen aufgrund der Rotation der Scheibe
auf uns zukommen – die Strahlung hat dann
eine etwas höhere Frequenz. Am rechten Rand würden sich die Gasatome von uns wegbewegen und die Frequenz der Strahlung wäre erniedrigt. Aus solchen Frequenzverschiebungen lässt sich die Rotationsgeschwindigkeit berechnen.
© Marcel Schmeier/Onderwijsgek. Unter der C-Lizenz
(http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/nl/
deed.de)
Zur Erinnerung:
T
H
C
I
S
N
A
R
O
Die Spiralgalaxie NGC3198 ist über 30 Millionen Lichtjahre von der Erde entfernt. Ihre
Ausdehnung am Himmel entspricht etwa einem Viertel der Ausdehnung des Vollmondes.
Dennoch ist sie mit bloßem Auge nicht sichtbar, da ihre Helligkeit viel zu gering ist. Mit
guten optischen Teleskopen kann man sie aber fotograieren, und mit Radioteleskopen
lässt sich die 21-cm-Strahlung des Wasserstoffgases aufzeichnen.
V
Aufgaben
1. a) Starten Sie die Computersimulation galaxrot_1.exe. Lesen Sie die INFO-Box des
Programms.
b) Machen Sie sich nun mit den Funktionen des Programms vertraut.
2. Die Geschwindigkeiten des Wasserstoffgases, auf das das Teleskop gerichtet ist, brauchen Sie nicht aus der Dopplerverschiebung zu berechnen, denn das Programm gibt
die entsprechende Rotationsgeschwindigkeit bereits aus.
a) Fertigen Sie eine Tabelle an, in der sie die Geschwindigkeiten [in km/s] in Abhängigkeit
von der Entfernung vom Zentrum [in kpc] eintragen.
Es reicht, wenn Sie sich auf die linke Seite der Galaxie beschränken (positive
Geschwindigkeitswerte).
b) Übertragen Sie die Tabellenwerte in ein geeignetes Diagramm (x-Achse à Entfernung
und y-Achse à Geschwindigkeit).
3. Solche Diagramme sorgten vor etwa 30 Jahren bei den Astronomen für ungläubiges
Staunen – die Rotationskurven von Spiralgalaxien wurden zu einem der großen Rätsel
der Astrophysik.
Auf dem OHP liegen weitere typische Messungen aus der damaligen Zeit.
Erläutern Sie kurz, was so überraschend an diesen Kurven ist. Nehmen Sie Bezug zu
den Ergebnissen von Material M 3.
28 RAAbits Physik August 2012
5. Dunkle Materie
M6
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Dunkle Materie – des Rätsels Lösung?
Die Rotationskurven von Spiralgalaxien sind lach. Sie folgen nicht den Vorhersagen, die sich
aufgrund der Massenverteilung und der Kepler-Gesetze ergeben müssten. Besonders die
außen liegenden Sterne und Gasmassen haben eine viel zu hohe Umlaufgeschwindigkeit.
© Jori Liesenborgs
Was verhindert also, dass die Galaxie aufgrund der extremen Zentrifugalkräfte auseinandergerissen wird?
Eine einfache Antwort lautet:
T
H
C
I
S
N
A
R
O
V
© David P. Bennet/University of Notre Dame, Indiana.
Offenbar enthält die Galaxie deutlich mehr Masse, als man beobachtet. Diese zusätzliche
Masse erzeugt so starke Anziehungskräfte, dass die außen liegenden Bereiche der Galaxienscheibe das Zentrum mit hoher Geschwindigkeit umkreisen müssen.
Dunkle Materie
Da diese hypothetische Masse in keinem der zahllosen Wellenlängenbereiche, in denen
astronomische Objekte strahlen können, in irgendeiner Weise sichtbar ist, sondern sich
nur durch ihre gravitative Wirkung bemerkbar macht, entstand der Begriff der dunklen
Materie.
Dieses Material, von dem man bis heute nicht weiß, was es eigentlich ist, verteilt sich – so
die Theorie – in einem kugelförmigen Halo um die Galaxie herum.
28 RAAbits Physik August 2012
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5. Dunkle Materie
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Wie viel von der unsichtbaren Materie ist notwendig?
Mithilfe eines Computermodells probieren Sie hier aus, wie viel von dieser unsichtbaren
Materie notwendig ist, um die Rotationskurven von Galaxien so anzuheben, dass sie lach
werden.
Aufgaben
1. Starten Sie die Computersimulation galaxrot_2.exe.
Sie sehen Messpunkte, die die Rotationsgeschwindigkeit der Galaxie NGC3198 darstellen.
Drücken Sie nun den START-Button.
Es erscheint die Rotationskurve (schwarz), die sich aufgrund einer geschätzten Galaxienmasse von etwa 30 Milliarden Sonnenmassen ergeben müsste ( MSonne = 2 ⋅ 1030 kg ). Diese
Geschwindigkeitskurve liegt offenbar weit von den Messwerten entfernt.
Überprüfen Sie einen Punkt der Kurve durch Rechnung: Gehen Sie von einer Galaxienmasse von 30 Milliarden Sonnenmassen aus. Berechnen Sie die Rotationsgeschwindigkeit der Galaxie bei einem Abstand von 30 kpc vom Zentrum.
Verwenden Sie die Formel: v =
T
H
C
G ⋅ MSonne
.
r
Vergessen Sie nicht, die Einheit kpc in Meter umzurechnen ( 1 pc = 3,086 ⋅ 1016 m ).
I
S
N
Vergleichen Sie Ihren Wert mit dem, den die (durchgezogene) Kurve vermuten lässt.
I/G
2. Aus den eingetragenen Messpunkten der Rotationsgeschwindigkeit entnimmt man bei
30 kpc eine reale Geschwindigkeit von etwa 150 km/s.
A
R
O
Berechnen Sie, wie viel Masse (in Milliarden Sonnenmassen) für eine solche Rotationsgeschwindigkeit notwendig ist.
V
Stellen Sie die Formel v =
G⋅M
geschickt um, sodass Sie M erhalten.
r
Vergleichen Sie diese Gesamtmasse mit der Masse der Galaxienscheibe (30 Milliarden
Sonnenmassen).
3. Der Galaxienhalo enthält noch keine dunkle Materie, da die Anfangsdichte der Halomasse auf null gesetzt wurde. Mit dem Schieberegler „Anfangsdichte des Halos”
können Sie nun den Anteil der dunklen Materie stetig steigern – Sie „pumpen“ so
dunkle Materie in den Galaxienhalo hinein.
Beschreiben Sie mit Worten, wie sich die dargestellte Rotationskurve verändert.
4. Stellen Sie die Parameter nun so ein, dass Sie einen möglichst guten „Fit“ der
Messpunkte erhalten. Wie viel Mal mehr dunkle Materie als sichtbare Galaxienmaterie
benötigen Sie, um die Kurve an die Messpunkte anzupassen?
Probieren Sie auch die voreingestellten Beispiele aus.
Vergleichen Sie mit Ihrer Rechnung aus Aufgabe 2.
Mithilfe der dunklen Materie lässt sich das rätselhafte Rotationsverhalten von Galaxien
auf faszinierend einfache Art beschreiben. Dennoch weiß man bis heute nicht, ob es
die dunkle Materie wirklich gibt und woraus sie bestehen könnte.
5. Informieren Sie sich im Internet, welche Ideen zurzeit diskutiert werden, woraus die
dunkle Materie bestehen könnte. Fassen Sie einige Aspekte schriftlich zusammen.
28 RAAbits Physik August 2012
5. Dunkle Materie
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Erläuterungen und Lösungen
M1
Wie schnell umrunden unsere Planeten die Sonne?
1. Die Gravitationskraft wirkt als Zentripetalkraft:
FZ = FGrav
m MSonne
m v2
= G⋅
r
r2
⇔
Daraus ergibt sich durch Umformen (Multiplikation mit r und Division durch m ≠ 0):
v(r) =
G ⋅ MSonne
r
2.
r [in 109 m]
Geschwindigkeit [in km/s]
Merkur
59
47,6
Venus
108
35,1
Erde
150
29,8
Mars
228
24,2
778
13,1
1427
9,7
2870
6,8
4497
5,4
I
S
N
Jupiter
Saturn
Uranus
A
R
O
Neptun
3.
V
T
H
C
Geschwindigkeit [in km/s]
mittlere Umlaufgeschwindigkeit der Planeten
Entfernung von der Sonne [in Millionen km]
4. Kurvenverlauf in Worten:
Je weiter ein Planet von der Zentralmasse (Sonne) entfernt ist, desto geringer ist seine
Umlaufgeschwindigkeit.
5. Es handelt sich um eine Hyperbel.
28 RAAbits Physik August 2012
I/G