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Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Literatur zur Astrophysik A. Weigert, L. Wisotzki, Astronomie und Astrophysik, Ein Grundkurs (4. Auflage), Wiley – VCH, (2004) R. Klessen, Sternentstehung: Vom Urknall bis zur Sonne (Astrophysik aktuell), Spektrum Akademischer Verlag (2006) C. Grupen, Astroteilchenphysik: Das Universum im Licht der kosmischen Strahlung. Springer Berlin, (2001) T. Bührke, R. Wengenmayr, Geheimnisvoller Kosmos: Astrophysik und Kosmologie im 21. Jahrhundert, Wiley – VCH, (2008) D. Hooper, A. Schleize, Dunkle Materie: Die kosmische Energielücke, Spektrum Akademischer Verlag (2008) 410 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer 7 Astrophysik In der Astrophysik spielt die Gravitation wegen der extrem großen Massen die entscheidende Rolle: Zwei Massen ziehen sich gegenseitig an. r̂ m1 ρ ρ m1 m2 r F12 = γ 2 rˆ mit rˆ = r r ρ F12 ρ r m2 ρ F21 Die Newtonsche Gravitationskonstante ist ρ 2 Fr 2 N m γ= = 6.67 ⋅ 10−11 kg 2 m1m2 Trotz dieses kleinen Wertes entstehen große Kräfte wegen der extrem großen Massen. 411 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Beispiel: Ein Goldklumpen von der Masse mAu = 1 kg fällt aus großer Entfernung R senkrecht auf die Sonnenoberfläche im Abstand RΟ = 6,957·108 m. mAu R RΟ Sonne Die beim Aufprall erreichte Energie ist RO RO ⎛ 1 1⎞ dr E = ∫ F dr = γ mAu mO ∫ 2 = γ mAu mO ⎜ − ⎟ r ⎝ RO R ⎠ R R Nun nehmen wir an, daß der Goldklumpen aus extrem großer Entfernung kommt, d.h. R → ∞. Dann erhält man als Energie 412 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik mAu mO = 1,91 ⋅ 1011 J E∞ = γ RO SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Dabei ist die Masse der Sonne mΟ = 1,9884·1030 kg Wir nehmen an, daß diese Energie beim Aufprall vollständig in Wärme Q umgewandelt wird, d.h. der Goldklumpen heizt sich dabei auf. Es gilt also E∞ = Q Das ergibt mit der spezifischen Wärmekapazität von Gold von cAu = 130 J/(kg K) eine Temperaturerhöhung um Q ΔT = = 1,47 ⋅ 109 οK (!!!) cAu mAu Mit derartigen Temperaturen lassen sich Kernreaktionen starten. 413 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer 7.1 Das klassische und das moderne Weltbild Die Erde 414 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Für den Menschen scheint die Erde im Zentrum zu stehen. 415 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Das geozentrische Weltbild des Altertums Nach dieser Vorstellung stand die Erde im Zentrum der Universums 416 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Problem des geozentrischen Weltbildes: Aus der Sicht der Erde bewegen sich die Planeten wie hier der Mars teilweise zurück („Epizyklen“) 417 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Lösung des Problems durch Kopernikus: Die Sonne steht im Zentrum, alle Planeten bewegen sich um sie auf Kreisbahnen (genauer: Elypsen) 418 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Die Reihenfolge der Planeten im Planetensystem 419 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Bewegung der Planeten 420 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik Prof. Dr. Manfred Bayer SS 2011 7.2 Die Keplerschen Gesetze. Aus der Wirkung des Gravitationsgesetzes folgt die Bewegung der Planeten um die Sonne. Die drei „Keplerschen Gesetze“, beschreiben die wichtigsten Eigenschaften der Planetenbewegung. y A1 m1 b m2 u v A2 a Ellipse x Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Das 1. Keplersche Gesetz Alle Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen um die Sonne. Die Sonne steht dabei in einem Brennpunkt der Ellipse. Die Ellipse ist eine geschlossene Kurve der Beziehung x2 y 2 + 2 =1 2 a b Die Brennpunkte sind A1 und A2. Für die Vebindungslinien zu jedem Punkt der Ellipse gilt u + v = const. Im Grenzfall a = b geht die Ellipse in einen Kreis über. Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Das 2. Keplersche Gesetz Die Verbindungslinie zwischen der Sonne und einem Planeten überstreicht in gleicher Zeit gleiche Flächen. In der Nähe der Sonne läuft der Planet schneller und legt in der Zeit Δt eine größere Strecke zurück. Sonne A1 Δt Δt A2 A1 = A2 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Daher sind die in der Zeit Δt überstrichenen Flächen immer gleich, also A1 = A 2 Für die überstrichene Fläche gilt ρ dr dA ρ r Es folgt dA 1 ρ ρ = r × mv dt 2m Der konstante Drehimpuls ist 1ρ ρ 1 ρ ρ dA = r × dr = r × m dr 2 2m ρ dr 1 ρ r × m dt = dt 2m 1 ρ ρ = r × m v dt 2m ρ ρ ρ L = r × m v = const. dA 1 ρ L = const. ⇒ = dt 2m Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik Prof. Dr. Manfred Bayer SS 2011 Das 3. Keplersche Gesetz Das Quadrat der Umlaufdauer eines Planeten ist proportional zur dritten Potenz seiner mittleren Entfernung zur Sonne. Fz m2 Fg R also m1 T ∝R 2 3 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Dieses Gesetz soll hier nur für den einfachen Fall der Kreisbewegung gezeigt werden. Dabei wirken Gravitations- und Zentrifugalkraft (T = Umlaufdauer): m1m2 FG = γ 2 , R Fz = m2 R ω , 2 2π ω= T Aus dem Gleichgewicht der Kräfte folgt (2 π ) m1m2 γ 2 = m2 R 2 R T 2 Fz = FG ⇒ Damit erhält man sofort R 3 γ m1 = 2 = const. 2 T (2 π ) w.z.b.w Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer 7.3 Die Sonne wichtigste Daten der Sonne: Das zentrale und größte Gestirn unseres Planetensystems ist die Sonne. Durchmesser Masse Entfernung Rotationsperiode Alter Temperatur der Oberfläche Bestandteile 1,3914·106 km 1,989·1030 kg 149,6·106 km 25d, 9h, 7min ca. 4,6·109 a 5778 K H: He: O: C: Ne: N: 90,97% 8,89% 774 ppm 330 ppm 112 ppm 102 ppm 427 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer 7.3.1 Entstehung der Sonne Die Sonne ist kein primärer Stern, der unmittelbar nach der Entstehung des Universums gebildet wurde. Die Sonne ist hat sich durch Verdichtung eines protosolaren Nebels gebildet. Ein protosolarer Nebel besteht überwiegend aus Wasserstoff, Helium und Staub. Er ist der Rest einer Explosion eines oder mehrerer alter Sterne. Die Verdichtung ist die Folge von Super-Nova-Explosionen. Dadurch werden sehr starke Stoß- wellen erzeugt, die in bestimmten Bereichen die Nebel zusammendrücken. Hier werden durch Gravitation immer mehr Massen zusammengezogen. 428 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Aus den Resten des Staubs um die Sonne haben sich die Planeten gebildet 429 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Entstehung der Sonne 430 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik 7.3.2 Innerer Aufbau der Sonne Prof. Dr. Manfred Bayer SS 2011 Protuberanzen: T = 104 K Photosphäre T = 5770 K ρ = 10-6 g/cm³ Strahlungszone T = 3·106 K ρ ≈ 1 g/cm³ Kern T = 107 K ρ ≈ 150 g/cm³ p = 2,5 ·1011 atm 431 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Einige wichtige Fakten • Die Energie wird hauptsächlich durch Proton-Proton-Reaktion erzeugt. + 1 1 2 1 2 1 3 2 → H + 1H D + 11H → He + 32 He → D + e + νe He + γ He + 2 11H 1 3 2 4 2 • Pro Fusion von 4 Protonen zu einem He-Kern wird eine Energie von E ≈ 27 MeV umgewandelt. • Im Kern der Sonne werden pro Sekunde 5,64·1011 kg Wasserstoff in 5,6 ·1011 kg Helium verschmolzen. Die 4,3 ·109 kg Differenz werden als Licht und Neutrinos abgestrahlt. • Die im Kern erzeugten Photonen werden wegen der hohen Dichte von den Protonen absorbiert und danach in beliebiger Richtung wieder emittiert. Sie brauchen im statistischen Mittel etwa 10 Mio. Jahre, um die Sonnenoberfläche zu erreichen. 432 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Thermodynamik der Sonne Die Kraft, die ein Volumenelement der Sonne auf die darunter liegende Schale ausübt ist M (r ) dm M (r ) ρ(r ) dσ dr dF = − γ = −γ 2 2 r r p Sonne dr dm p+dp r dσ R Das bewirkt die Druckänderung M (r ) ρ(r ) dF dp = dr ⇒ = −γ 2 dσ r M (r ) ρ(r ) dp = −γ r2 dr 433 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Zur Vereinfachung benutzen wir eine lineare Näherung M (r ) ρ(r ) M Oρ dp p (r = 0 ) dp =− ⇒ = −γ ≈γ 2 2 dr R dr r R p M Oρ M Oρ =γ 2 ⇒ p=γ R R R Der Druck im Innern eines Sterns wie der Sonne steigt mit der Gesamtmasse MO an. Der im Kern arbeitende Fusionsreaktor wird also durch die Gravitation zusammengehalten. Wegen der hohen Temperatur ist die kinetische Energie der Teilchen sehr hoch gegen die potentielle Energie Ekin = 1keV >> Epot 2 e = = 10 eV rB Das Gas der Sonne ist also in guter Näherung ein ideales Gas. 434 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Das Magnetfeld der Sonne beträgt auf der Sonnenoberfläche etwa B ≈ 100 µT. Es polt alle 11 Jahre um. Das bewirkt den 11-Jahreszyklus der Sonneneinstrahlung und der Sonnenfleckenhäufigkeit. In der Sonne zirkulieren Ströme in der Größenordnung von 1012 A. 435 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer 7.3.3 Lebenszyklus der Sonne Wenn der Wasserstoff im Kern verbraucht ist, steigt die Temperatur und die Sonne beginnt, Helium zu schwereren Kernen zu verschmelzen. Dabei wächst der Durchmesser stark an („roter Riese“). Das wird in 4 – 5 Milliarden Jahren passieren. 436 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik Der Virialsatz v SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer In einem Gravitationsfeld wirkt die Kraft m1m2 Fg = − γ 2 r m2 m1 Die Zentrifugalkraft ist dann v2 Fz = m2 r Fz r ⇒ v = m2 2 m1 und weiter der Virialsatz Da Fz = -Fg folgt daraus v = γ r 2 Etot = Epot + Ekin 1 m1m2 1 2 2 = −γ + m2v = −m2v + m2v 2 2 2 r 1 = − m2v 2 = − Ekin < 0 2 437 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer • Da Etot < 0 haben wir einen gebundenes System. Das Gleichgewicht zwischen Fusionsdruck und Gravitation ist also stabil. • Aus dem Virialsatz folgt außerdem, daß mit abnehmender Gesamtenergie die kinetische Energie im Plasma zunimmt. Wenn dem System z.B. durch Abstrahlung von Licht Energie entzogen wird, nimmt die Temperatur des Plasmas zu. Der Plasmareaktor der Sonne hat also eine negative spezifische Wärme. Die Tatsache bestimmt die Stabilität des Systems. • Diese Eigenschaft bestimmt auch den Lebenszyklus der Sonne. Ist hinreichend Energie (= Materie) abgestrahlt, nimmt die Temperatur zu, der Stern bläht sich auf und wird zu einem „roten Riesen“. 438 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer 439 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer 7.4 Entfernungen im Universum 7.4.1 Wichtige Einheiten Die gebräuchlichsten Längeneinheiten sind Meter Astronomische Einheit 1m 1 AE = 1,4959787·1011 m (Entfernung Sonne-Erde) Lichtjahr Parsec Einige Beispiele 1 Lj = 9,454256·1015 m 1 pc = 30,857776·1015 m = 3,263901 Lj Abstand Erde-Mond Durchmesser der Sonne Durchmesser der Milchstaße Abstand Milchstraße-M31 Durchmesser des Universums 3,844·108 m 1,3914·109 m ca. 100 000 Lj 2,2·106 Lj 96·109 Lj 440 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer 7.4.2 Entfernungsbestimmungen (Paralaxe) Astronomisch nahegelegene Objekte (Mond, Planeten) lassen sich durch Anpeilen von zwei verschiedenen hinreichend weit entfernten Punkten auf der Erdoberfläche bestimmen. A Erde D b B α Objekt Es gilt b = tan α ⇒ 2D b D= 2 tan α 441 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik Stern α D SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Man kann als Basis auch den Durchmesser der Erdbahn um die Sonne nehmen. Dann peilt man den Stern aus zwei gegenüberliegenden Positionen der Erde im Zeitabstand von einem halben Jahr an und ermittelt so den Winkel α. Die Entfernung SonneStern ist dann 1AE D= tanα Sonne Erde (2) 1 AE Speziell: wenn α = 1‘‘ dann ist Erde (1) D = 1 ps 442 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer 7.4.3 Leuchtkraft (Luminosität) der Sterne Wenn die Luminosität L eines Sterns bekannt ist, kann man aus der auf der Erde gemessenen Leuchtstärke f die Entfernung zum Stern messen. f D Detektor zur Messung der Leuchtstärke Es gilt: L f = 4π D 2 L Stern L ⇒ D= 4π f Für die Sonne gilt am Ort der Erdbahn („Solarkonstante“) L⊕ kW = 1,39 2 2 4π R⊕ ms 443 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Das HertzsprungRussel Diagramm Die Luminosität L eines Sterns ist durch seine Farbe (Spektralklasse) 444 gut zu bestimmen. Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer 7.4.4 Rotverschiebung E.P. Hubble beobachtete, daß die Spektren entfernter Sterne unterschiedlich stark nach Rot verschoben sind. Edwin Powell Hubble Weitere Untersuchungen ergaben, daß die Fluchtgeschwindigkeit der Sterne um so höher ist, je weiter sie entfernt sind. Im statistischen Mittel aller vermessener Sterne ergab sich in guter Näherung ein linearer Zusammenhang von Entfernung und Geschwindigkeit. („Hubbles Gesetz“) 445 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer 446 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Wenn sich ein Stern mit hoher Geschwindigkeit v von uns wegbewegt, messen wir auf der Erde das von ihm emittierte Lichtspektrum zur roten Farbe hin verschoben („Rotverschiebung“). Ursache ist der „Dopplereffekt“. Hat eine Linie im ruhenden System die Wellenlänge λ0, mißt man auf der Erde Δλ 1 λ = λ0 (1 − v c ) Dann ist die Geschwindigkeit des Sterns v=0 v>0 λ − λ0 Δλ v=c ≈c λ λ0 447 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Spektren verschieden weit entfernter Galaxien weiteste Entfernung sehr große Entfernung fernere Galaxien nahe Galaxien Die am weitesten entfernten Galaxien bewegen sich mit Geschwindigkeiten von 200000 km/s . 448 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Die Geschwindigkeit der Sterne als Funktion des Abstandes Die Geschwindigkeit des Sterns ist v ≈ H0 ⋅ D mit der HubbleKonstanten H 0 = 2,3 ⋅ 10 −18 1 s km = 72 s Mpc 449 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Das Universum dehnt sich also stetig aus 450 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer 7.5 Der Urknall („Big Bang“) Wenn man die durch die Rotverschiebung der Spektren ermittelte Bewegungen der Galaxien zurückverfolgt, kommt man zu dem Schluß, daß das gesamte Universum vor etwa 13,7 Milliarden Jahren aus einem winzigen Punkt durch eine gigantische Explosion entstanden ist („Big Bang“). Die meisten Beobachtungen im Universum stützen diese Theorie. 451 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Der Urknall („Big Bang“) 3 Minuten T = 1 Mrd Grad Bildung von Atomkernen 1 Sekunde T = 10 Mrd Grad Strahlung 1 Milliarde Jahre T = -265 Grad erste Galaxien 300 000 Jahre T = 6000 Grad Bildung von Atomen heute T ≈ -270 Grad Universum Hier wichtigste Stadien des „Big Bang ! 452 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer 7.6 Schwarze Löcher 7.6.1 Fluchtgeschwindigkeit im Gravitationspotential Bei einem die einen Planeten der Masse M umkreisenden Satelliten der Masse m stehen Gravitation und Zentrifugalkraft im Gleichgewicht: 2 v Mm Fg = γ 2 = Fz = m R R γM ⇒ v1 = R Diese Geschwindigkeit wird auch als erste kosmische Geschwindigkeit bezeichnet. Für die Erde beträgt sie v1 = 7,91 km/s 453 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Um das Gravitationsfeld zu verlassen, muß die kinetische Energie des Teilchens mindestens die potentielle erreichen, also gilt Ekin Mm 1 2 = m v = Epot = γ 2 R Daraus folgt die zweite kosmische Geschwindigkeit oder auch Fluchtgeschwindigkeit 2γ M v2 = R d.h. v2 = 2 ⋅ v1 Setzt man v2 = c erhält man des Schwarzschildradius 2γ M rS = 2 c Keine Materie kann den Bereich innerhalb des Schwarzschildradius verlassen, da c die im Universum höchstmögliche Geschwindigkeit ist. 454 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Der Schwarzschildradius einer Masse M ist damit rS =1,484 ⋅ 10−27 M [m] Zahlenbeispiele (punktförmige Massen) Objekt Mond Erde Sonne Sgr A* Masse 7,3·1022 kg 5,974·1024 kg 1,989·1030 kg 4,3 Mio. Sonnenmassen rS 0,11 mm 8,87 mm 2,95 km 12,7 Mio. km Auch Photonen sind innerhalb des Schwarzschildradius im Gravitationsfeld gefangen. Aus diesem Bereich kann daher kein Licht emittiert werden: ⇒ Schwarze Löcher 455 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Schwarze Löcher 456 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer 7.6.2 Gravitationslinse Große Massen lenken Lichtstrahlen ab. Deshalb beobachtet man dahinterliegende Sterne scheinbar an einem anderen Ort. Ein sich vorbeibewegendes schwarzes Loch wirkt daher auf den Betrachter wie eine Linse („Gravitationslinse“) 457 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Gravitationslinse 458 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer 7.6.3 Kepler‘sche Bahnen um ein schwarzes Loch Im Zentrum unserer Milchstrasse befindet sich ein schwarzes Loch, um das sich riesige Sterne mit extrem hoher Geschwindigkeit auf Kepler‘schen Bahnen bewegen. Aus den Bahnen der Sterne lassen sich der Ort und die Masse des schwarzen Lochs bestimmen. 459 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer 460 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer 7.7 Ende einer Sternentwicklung Was aus einem Stern wird, nachdem der Kernbrennstoff verbraucht ist und die Fusion aufhört, hängt wesentlich von seiner Masse M ab. Als Referenz benutzen wir die Masse unserer Sonne MΟ. 7.7.1 Weißer Zwerg Hat ein Stern etwa die Masse unserer Sonne, oder genauer M ≤ 1,44·MΟ so wächst er zunächst zu einem roten Riesen, der nach einiger Zeit seine äußere Hülle abstößt. Übrig bleibt ein heißer Kern von einigen 1000 bis 10000 K. Wegen seiner weißen Farbe wird er als weißer Zwerg, bezeichnet (Siehe Kap. 7.3). Da er keine Energiequelle hat, kühlt er über etliche Milliarden Jahre langsam ab und endet als schwarzer Zwerg. 461 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer 7.7.2 Neutronenstern Hat ein Stern die Masse 1,44·MΟ ≤ M ≤ 3·MΟ dann endet er als ein astronomisches Objekt mit einem Durchmesser von etwa 20 km und einer extremen Dichte von 1011 kg/cm³ bis 2,5 · 1012 kg/cm³. Ein Stern wird während seiner stabilen Phase durch das Gleichgewicht zwischen Gravitation und dem durch die Kernfusion im Zentrum erzeugten Druck stabil gehalten. Ist der Kernbrennstoff verbraucht, sinkt der Druck drastisch ab und der Kern kollabiert durch die Gravitationsenergie. 462 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Dadurch werden bei höherem Druck weitere Fusionen zur Bildung schwererer Kerne gestartet. Dieser Prozess läuft solange, bis im Kern hinreichende Mengen an Eisen und Nickel angereichert sind. Dann stoppt die Fusion, da schwerere Kerne keine Fusionsenergie erzeugen. Dabei steigt der Druck so stark an, daß die Elektronen in den Atomkern gepresst werden und sich so Protonen in Neutronen verwandeln. Die beim Kollaps freigesetzte Gravitationsenergie wird durch Emission von Neutrinos und Neutronen abgestrahlt. Der Neutronenschauer heizt die äußeren Gas- und Materieschichten derart auf, daß sie in einer gigantischen Explosion ins Universum geschleudert werden ⇒ Supernova-Explosion. Der Kern bleibt als „Neutronenstern“ zurück. 463 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Innerer Struktur eines Neutronensterns 464 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Eigenschaften des Neutronensterns • Das Gravitationsfeld auf der Oberfläche des Neutronensterns ist etwa 1011 mal stärker als auf der Erde: m 12 m Erde : g E = 9,81 2 Neutronenstern : g ≈ 10 2 s s d.h. eine Masse von 1 g, die auf der Erde das Gewicht von Fg = 0,01 N besitzt, wiegt auf einem Neutronenstern FN ≈ 10 Mrd. N. • Die Fluchtgeschwindigkeit liegt um v ≈ 100000 km/s und erreicht damit relativistische Dimensionen (v ≈ ⅓ c). • Die Temperatur beträgt am Anfang etwa 1011 K, kühlt aber durch Neutrinoabstrahlung innerhalb eines Jahres auf etwa 109 K ab. 465 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Auf Grund der extrem starken Gravitation werden im Umfeld des Neutronensterns die Lichtstrahlen gekrümmt. Daher kann man z.T. „hinter“ den Stern schauen. Blick auf einen Neutronenstern. Die Pole sind scheinbar nach vorn gerückt. 466 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer • Beim Kollaps bleibt die Masse des Kerns etwa konstant. Das Trägheitsmoment reduziert sich aber drastisch. Allgemein ist das Trägheitsmoment einer Kugel der Masse M und dem Radius R 2 I = M R2 5 Geht man von einem Stern mit 1,5 Sonnenmassen aus, dann hat folgt für seinen Radius (Radius der Sonne RΟ = 7·108 m) M S = ρ R = 1,5 ⋅ M ⊕ = 1,5 ⋅ ρ R 3 S 3 ⊕ ⇒ RS = 3 1,5 R⊕ Der Stern hat also vor dem Kollaps den Radius RS = 8·108 m. Bei der Berechnung wurde für beide Sterne dieselbe Dichte ρ angenommen. Nach dem Kollaps hat der sich gebildete Neutronenstern einen Radius von z.B. RN = 16 km. 467 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Die Trägheitsmomente des ursprünglichen Sterns und des Neutronensterns verhalten sich also wie 2 2 I S ⎛ RS ⎞ ⎛ 8 ⋅ 10 ⎞ 9 = ⋅ 2 , 5 10 =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ I N ⎝ RN ⎠ ⎝ 1,6 ⋅ 104 ⎠ 8 Da der Drehimpuls erhalten bleibt, gilt J N = I N ωN = J S = I SωS IS ⇒ ωN = ωS IN Nimmt man an, daß sich der ursprüngliche Stern in 30 Tagen einmal um seine Achse gedreht hat, d.h. seine Rotationsfrequenz betrug vS = 1/(24*3600) = 3,86·10-7 Hz, folgt mit ν = ω/2π für den Neutronenstern eine Rotationsfrequenz von IS ν N = νS = 965 Hz (!) IN 468 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Wenn die Polachse mit der Achse der Rotation nicht übereinstimmt, wird von den Polen durch das starke Magnetfeld intensive elektromagnetische Strahlung emittiert. Diese kann z.B. durch Radiotelekope nachgewiesen werden. Derartige schnell rotierende Neutronensterne nennt man „Pulsare“ 469 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer • Auf Grund allgemeiner Gesetze der Elektrodynamik bleibt bei Verformung eines Körpers der magnetische Fluß durch eine Fläche A konstant, d.h. Φ = A B. Dabei ist B die im Körper vorhandene magnetische Flußdichte. Vergleicht man die Flußdichte BN des Neutronensterns mit der des ursprünglichen Sterns BS, so folgt 2 ⎛ RS ⎞ Φ N = 2π R BN = Φ S = 2π R BS ⇒ BN = ⎜ ⎟ BS ⎝ RN ⎠ Hatte der Stern vorher eine mittlere Flußdichte von BS = 50 mT, 2 N 2 S so ergibt sich für den Neutronenstern der Wert BN = 2,5 ⋅ 109 ⋅ 5 ⋅ 10−2 T = 1,25 ⋅ 108 T (!) Zum Vergleich: Eisenmagnete: Bmax = 2 T, supraleitende Magnete: Bmax = 10 T, gepulste Magnete: Bmax ≤ 100 T 470 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Im Jahre 1054 wurde im Sternbild Stier eine Supernova beobachtet. Die Reste dieser Exlplosion bilden heute den Krebsnebel. Im Zentrum befindet sich der Neutronenstern, der starke Radiowellen emittier und so als Pulsar erkannt wurde. 471 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer 7.7.3 Schwarzes Loch Hat ein Stern die Masse deutlich höher als das dreifache der Sonnenmasse, d.h. M >> 3·MΟ ist nach dem Kollaps des Kerns die Gravitationsenergie so hoch, daß der Schwarzschild-Radius größer wird, als das entstandene Objekt. Mit anderen Worten: es hat sich ein im Verlauf der Supernova-Explosion ein schwarzes Loch gebildet. 472 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer 7.7.4 Supernova Die das Ende eines Sterns besiegelnde Explosion, die sogenannte „Supernova“ kann durch die in sehr kurzer Zeit von Tagen extrem zunehmende Helligkeit am Himmel erkannt werden. Sie entsteht bei hinreichend großer Masse durch Kollaps des Kerns. Es bildet sich ein Pulsar oder ein schwarzes Loch. 473 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Eine Supernova kann auch von einem kleineren Stern ausgelöst werden, wenn er mit einem anderen Stern ein enges DoppelsternSystem bildet. Hat der kleine Stern das vorläufige Endstadium eines weißen Zwergs erreicht und der andere hat sich zu einem roten Riesen entwickelt, kann der weiße Zwerg über die Gravitation dem Begleiter Materie entziehen, wobei seine Masse und Energie immer weiter ansteigt, bis der Stern in einer gigantischen Explosion zerplatzt. Diese Ereignisse sind die mit Abstand hellsten im Universum. 474 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer 475 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer 7.8 Entstehung der Elemente Durch Fusion können in den Sternen nur Elemente bis zum Eisen entstehen. 476 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Alle schwereren Elemente, die ja im Universum und auch auf der Erde vorhanden sind, brauchten zur Bildung zusätzliche Energie, die nicht aus der Fusion gewonnen werden konnte. Woher kommt diese Energie? • Der enorme Energiefluß bei einer Supernova-Explosion stellt im Zusammentreffen großer abgesprengter Materiemengen die zur Bildung schwerer Kerne erforderliche Energie zur Verfügung. • Eine andere extreme Energiequelle steht zur Verfügung, wenn zwei Neutronensterne aufeinandertreffen. Die dabei freiwerdene extrem hohe Energie und die Dichte der Materie sind optimale Voraussetzungen für die Bildung schwerer Kerne. 477 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Kollision zweier Neutronensterne 478 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Entstehung der Elemente im Universum 479 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer 7.9 Dunkle Materie 7.9.1 Stabilität der Galaxien Als Beispiel nehmen wir eine Galaxie mit einem Radius von v m0 R Fz R = 50.000 Lj = 4,73·1020 m Die Dicke der Scheibe betrage h = 10.000 Lj = 9,45·1019 m Die Gesamtmasse der Galaxie betrage mG = 3,6·1041 kg 480 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Daraus kann man die mittlere Dichte berechnen. Sie ist mG − 21 kg ρ= = 5,4 ⋅ 10 2 πR h m3 Am Rande im Abstand R vom Mittelpunkt bewege sich eine Masse m0 mit der Rotation der Galaxie entlang einer Kreisbahn. Die Dauer eines Umlaufs betrage 240 Mio. Jahre bzw. T = 7,57 ·1019 s. Das ergibt eine Geschwindigkeit von U 2π R 5m v= = = 3,93 ⋅ 10 T T s Die Masse m0 = 1 kg erfährt dabei eine Zentrifugalkraft von v2 (*) Fz = m0 = 3,27 ⋅ 10−10 N R 481 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik Prof. Dr. Manfred Bayer SS 2011 Dieser Kraft muß eine gleichgroße Gravitationskraft Fg in Richtung des Zentrums der Galaxie entgegenwirken, damit sie stabil ist. dx ylim R dy y dm r x R− x − ylim Nimmt man eine homogene Dichteverteilung an, dann ist die Masse des Volumenelements m0 dm = ρ dV = ρ h dx dy Dieses Volumenelement der Galaxie übt auf die Masse m0 die Kraft dm m0 dx dy ~ dF = γ 2 = γ ρ h m0 2 r r ( mit r = R − x 2 2 )+ y 2 482 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Wir definieren α = γ ρ h m0 und erhalten für die Kraft den Wert dx dy ~ dF = α 2 r Die Komponenten der Kraft sind ~ R−x ~ dF dFx = r und ~ y ~ dFy = dF r Aus Gründen der Symmetrie heben sich die Komponenten in yRichtung auf, wirksam bleibt nur die x-Komponente. Ein gesamter Streifen der Galaxie übt auf die Masse m0 die Kraft aus ylim ylim dy ~ ⌠ dFx = 2 ∫ dFx = 2α ( R − x ) dx ⎮ 3 ⌡r 0 0 Die Integrationsgrenze ermittelt man aus der Kreisgleichung 2 x 2 + ylim = R2 ⇒ ylim = ± R 2 − x 2 mit − R ≤ x ≤ R 483 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik Damit folgt Prof. Dr. Manfred Bayer SS 2011 R2 − x2 ⌠ dFx = 2α( R − x ) dx ⎮ ⌡ 0 dy ((R − x ) 2 +y ) 2 3 Die gesamte Gravitationskraft, die die Galaxie auf die Masse ausübt ist damit R ⌠ Fx = 2α⎮ ⎮ ⌡ −R R2 − x2 ⌠ ⎮ ⌡ 0 (R − x ) dy dx = 4α = 4 γ ρ h m0 3 2 ((R − x ) + y 2 ) 2 N m −11 Mit γ = 6,67 ⋅ 10 erhält man den Wert 2 kg Fx = 1,37 ⋅ 10−10 N ⇒ Fz = 2,4 ⋅ Fx (!) Die Zentrifugalkraft der Galaxie ist im Randbereich viel stärker als die durch die bekannten Massen erzeugte Gravitation. Warum ist sie aber stabil? 484 Struktur der Materie & Probleme der modernen Physik SS 2011 Prof. Dr. Manfred Bayer Rotationsgeschwindigkeit einer Galaxie als Funktion der Entfernung vom Zentrum gemessen erwartet Offensichtlich ist mehr Materie vorhanden, als man bisher durch Beobachtung ermittelt hat. Im Kosmos gibt es offensichtlich mehr Materie, die wir aber nicht sehen („Dunkle Materie“). Diese zu finden, ist derzeit ein wichtiges Forschungsgebiet. 485
