Physik im Zulassungsstudium

Lehrplan
Gliederung
TECHNIKUM WINTERTHUR
Aufgaben
INGENIEURSCHULE DES KANTONS ZÜRIC H
Lösungen
Physik im Zulassungsstudium
Lehrplan vom 7. November 95
Allgemeines Ziel:
Vorbereitung auf die Aufnahmeprüfung
Physik (90 Lektionen)
Kinematik
eindimensionale Bewegung, mit Diagrammen arbeiten.
Statik
Schwerpunkt, Gleichgewichtsbedingungen für ebene Kräftesysteme, Auftrieb und Schweredruck.
Dynamik
Newtonsches Gesetz, Energie, Impuls.
Wärmelehre
Temperatur, Ausdehnung, Energie, Wärmetransport.
Elektrizität
Ladung und Strom, Widerstand, Energieumsatz.
1
Ab Herbst 1996 führt das TWI für alle Eintrittswilligen ohne Berufsmatura ein neugestaltetes
Zulassungsstudium durch. In diesem neun Monate dauernden Kurs sollen die Studierenden
den Wissens- und Könnensstand eines Berufsmaturanden erreichen. Am Schluss des Zulassungsstudiums haben alle Absolventen für den Eintritt ins Fachhochschulstudium eine Aufnahmeprüfung zu bestehen. Diese für alle Klassen gemeinsam durchzuführende Prüfung macht
eine Feinabstimmung der entsprechenden Lernziele erforderlich.
Der Fachbereich Physik hat sich aufgrund dieser Ausgangslage entschlossen, die zu erreichenden Lernziele möglichst genau zu skizzieren, ohne die Methodenfreiheit der Lehrkräfte einzuschränken.
Das vorliegende Papier, das die Lernziele der Physik im Zulassungsstudium näher beschreibt,
gliedert sich in zwei Teile. Im ersten Teil wird der Lehrplan durch zwei Listen präziser gefasst.
Die eine Liste zählt die Begriffe auf, die für das Verständnis der einzelnen Themenbereiche
notwendig sind. Sie enthält auch einige synonyme Ausdrücke (mit einem Schrägstrich getrennt
wiedergegeben), die an unserer Schule wahlweise verwendet werden. In der andern Liste sind
die Fähigkeiten zusammengestellt, die sich nicht einem einzelnen Thema zuordnen lassen. Der
zweite Teil dieses Papiers enthält Musteraufgaben, wie sie an einer zukünftigen Aufnahmeprüfung gestellt werden können. Viele Beispiele sind der bisherigen Übertrittsprüfung entnommen
worden.
Feingliederung des Lehrplanes
Begriffe
Kinematik
Ort, mittlere Geschwindigkeit, mittlere Beschleunigung, Momentanwerte, Orts-Zeit-, Geschwindigkeits-Zeit-, Beschleunigungs-Zeit-Funktion/Diagramm, rechnerischer Umgang mit
der konstanten Beschleunigung
Statik
schwere Masse, Erdbeschleunigung/Gravitationsfeldstärke, freigeschnittener Körper/freebody-diagram, Haftreibung, Federgesetz, Hebelgesetz, Gleichgewicht, Druck, Auftrieb.
Dynamik
träge Masse, Aktionsprinzip (Grundgesetz, Impulsbilanz), Wechselwirkungsprinzip, Arbeit
einer Kraft (Arbeitsdiagramm), Leistung einer Kraft, kinetische Energie, potentielle/Gravitationsenergie und elastische Energie, Impuls (eindimensional), vollelastischer Stoss, total unelastischer Stoss.
Wärmelehre
Celsiusskala, Ausdehnung (fest und flüssig), Wärmeenergie, innere Energie, erster Hauptsatz,
Enthalpie, Wärmekapazität/Energie- und Enthalpiekapazität, Schmelz- und Verdampfungswärme/-enthalpie, Wärmeleitung.
2
Elektrizität
Ladung, Stromstärke, Spannung und Potential, Leistung, Widerstand, Ohmsches Gesetz, Serieund Parallelschaltung von Widerständen.
Allgemeine Fähigkeiten
•
eine Momentanbilanz bezüglich eines Systems aufstellen,
•
eine Impuls- und eine Energiebilanz zu zwei Zeitpunkten aufstellen,
•
graphisch integrieren (vom v-t- zum s-t-Diagramm, von der Stromstärke zur transportierten Menge),
•
graphisch differenzieren (vom v-t-zum a-t-Diagramm, vom Inhalt zur Änderungsrate),
•
formales Lösen einer Aufgabe,
•
den einzelnen Grössen die richtige Einheit zuordnen,
•
Messwerte von einer Einheit in die andere umrechnen,
•
Plausibilität eines Resultats beurteilen,
•
Zahlenverständnis, adäquate Resultatdarstellung,
•
Rechnen mit Einheiten, Dimensionsbetrachtung.
Musteraufgaben zur Physik für die FH-Aufnahmeprüfung
Kinematik
1
Die untenstehend skizzierte Graphik zeigt das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm eines
kleinen Körpers. Alle Fragen sind mit Hilfe dieses Diagramms zu beantworten.
0 .8 0 m/ s
0 .0 0 m/ s
-0. 80 m/ s
0 .0 0
0 .2 0
0 .4 0
Zeit in Sekunden
0 .6 0
0 .8 0
3
Geben Sie die Zeitintervalle an, in denen die Beschleunigung positiv ist.
Wann ist die Beschleunigung am grössten, wann am kleinsten und wann ist sie gleich
Null?
Wie gross ist die Beschleunigung in dem Moment, in dem der Körper das zweite Mal
stillsteht?
Bestimmen Sie zum Zeitpunkt t = 0.2 s die Momentanbeschleunigung aus dem v-t-Diagramm.
Skizzieren Sie das Orts-Zeit-Diagramm für den ganzen Bewegungsablauf.
Schätzen Sie ab, wie weit die Umkehrpunkte des Körpers auseinanderliegen.
2
Ein Schnellzug und eine Lokomotive fahren aufeinander zu. Der Zug bewegt sich mit
einer konstanten Geschwindigkeit von 108 km/h und die Lok beschleunigt in ihrer Fahrtrichtung konstant mit 0.5 m/s2. Wenn die beiden Fahrzeuge genau vier Kilometer voneinander entfernt sind, hat die Lokomotive eine Geschwindigkeit von 36 km/h erreicht. Bei
einem gegenseitigen Abstand von zwei Kilometern beginnt die Lok mit 1.2 m/s2 zu
bremsen. Fünfundzwanzig Sekunden später leitet der Lokführer des Schnellzuges eine
Vollbremsung mit 1.2 m/s2 ein.
Prallen die beiden Loks aufeinander oder bleiben sie vorher stehen? Geben Sie die Aufprallgeschwindigkeiten bzw. den gegenseitigen Abstand an.
3
Ein frei fallender Stein ist in einer zwei Meter hohen Fensteröffnung genau eine Zehntelsekunde lang sichtbar.
Aus welcher Höhe über dem oberen Fensterrand ist er gefallen?
4
Das untenstehend skizzierte Diagramm zeigt das Beschleunigungs-Zeit-Diagramm eines
kleinen Körpers, der sich längs einer Geraden bewegt. Zum Zeitnullpunkt weist das
Objekt eine positive Geschwindigkeit von 2 m/s auf.
m/s 2
Beschleunigung
2
1
0
1
-1
2
3
4
5
s
Zeit
-2
Skizzieren Sie das v-t-Diagramm für diesen Bewegungsablauf möglichst exakt.
Wie weit hat sich der Körper in diesen fünf Sekunden vom Startort entfernt?
5
Ein kleiner Vulkan stösst Asche und Gesteinsbrocken aus. Zwei Sekunden nachdem der
eine Stein in vierunddreissig Meter Höhe den Kulminationspunkt erreicht hat, befindet
sich ein zweiter vier Meter über dem Kraterrand und steigt mit einer momentanen
Geschwindigkeit von zehn Metern pro Sekunde senkrecht hoch. Der Einfluss der Luft ist
zu vernachlässigen.
Wann sind beide Körper gleich hoch?
Wie hoch über dem Kraterrand befindet sich der zweite Körper, wenn der erste zehn
4
Meter weit in den Schlund hineingefallen ist?
6
Ein Artist wirft beim Jonglieren mit einer Hand zwei Bälle hintereinander je 50 cm senkrecht in die Luft und fängt sie jeweils wieder auf. Die Reaktionszeit ist die Zeit zwischen
Werfen eines Balles und Fangen des nächsten.
Wie hoch muss er werfen, wenn er beim Jonglieren mit fünf Bällen dieselbe Reaktionszeit hat?
Statik
8
Ein Körper (Masse 15 kg), der mit
zwei Seilen an der Decke befestigt
ist, wird zusätzlich von einer
gedehnten Feder (Federkonstante 10
N/cm) hochgezogen. In der Gleichgewichtslage ist die Feder gegenüber ihrer ursprünglichen Länge um
8 cm gedehnt.
Zeichnen Sie alle Kräfte ein, die auf
den Körper einwirken.
Berechnen Sie die Kräfte, mit denen
die beiden Seile am Klotz ziehen.
30˚
45˚
15 kg
Ein T-förmiges Drahtstück weise an einem Ende des horizontalen Teils, im Punkt 1, ein kleines Loch auf. Nun wird
der Drahtkörper im Punkt 1 frei drehbar aufgehängt.
Wie gross ist der Winkel, den die Verbindungslinie 1-2 im
Gleichgewicht mit der Vertikalen einschliesst?
100 mm
1
120 mm
7
9
Drei Arbeiter tragen eine dreieckige Steinplatte (Masse
150 kg, Seitenlängen 0.7 m, 1.0 m und 1.3 m) gleichmässiger Dicke an den drei Ecken über einen ebenen Platz.
Wieviel hat jeder zu tragen?
10
Auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel 10˚) liegt ein
2
Klotz mit ebener Grundfläche (Masse 12 kg). Für den
Haftreibungskoeffizient der Grenzschicht Klotz-Ebene
kann ein Wert von 0.6 angenommen werden.
Zeichnen Sie alle Kräfte ein, die auf den Klotz einwirken.
Zeichnen Sie mit einer andern Farbe die zugehörigen Reaktionskräfte ein.
Bestimmen Sie die Grösse der Haftreibungskraft.
Bei welchem Neigungswinkel beginnt der Klotz zu gleiten?
11
Ein gerader Balken (Länge 2.6 m, Masse 12 kg) ist so auf ein Rundholz gelegt worden,
dass die beiden Hebelarme ein Längenverhältnis von 5:8 aufweisen. Nun wird vierzig
Zentimeter vom Ende des längeren Armes entfernt ein zwanzig Kilogramm schwerer
Stein auf den Balken gelegt.
Wie stark muss man am kürzeren Arm, einen Meter vom Rundholz entfernt, vertikal
5
nach unten drücken, damit Gleichgewicht herrscht?
12
Um die Dichte eines Holzstückes zu bestimmen, verbindet man es mit einem Messingstück und taucht beide vollständig unter Wasser. Mit einer Federwaage sind die folgenden Kräfte bestimmt worden: Holzstück in Luft 0.45 N; Messingstück in Luft 0.79 N;
Messingstück in Wasser 0.696 N; beide Körper verbunden in Wasser 0.521 N.
Welche Dichten besitzen beide Körper? Die Werte sind auf 1% genau zu berechnen.
13
Bei einem Holzkörper (Dichte 0.75 g/cm3), der die Form eines geraden Kreiskegels
(Radius des Grundkreises 5 cm, Höhe 15 cm) aufweist, ist die Spitze drei Zentimeter tief
weggefräst und durch einen geometrisch gleichgeformten Stahlkörper (Dichte 7.8 g/cm3)
ersetzt worden.
Wie hoch liegt die Grundfläche des Kegels über dem Flüssigkeitsspiegel, wenn dieser im
Wasser schwimmt?
14
Ein U-Rohr (Querschnitt 2 cm2) mit vertikal stehenden Schenkeln sei genügend hoch mit
Quecksilber (Dichte 13.5 kg/dm3) gefüllt. Dann werde in die eine der beiden Öffnungen
0.4 dl Wasser nachgegossen.
Wie hoch steht dann das Wasser über der Quecksilberoberfläche im andern Rohrstück?
Dynamik
15
Beurteilen Sie folgende Aussagen mit richtig oder falsch. Begründen Sie Ihre Antwort.
Greifen an einem Körper zwei entgegengesetzt gleich grosse Kräfte mit gemeinsamer
Wirklinie an, kann sich der Körper nicht bewegen.
Das Gleichgewicht ist ein Spezialfall des Wechselwirkungsprinzips.
Liegt ein Körper auf einer horizontalen Unterlage, so nennt man die Reaktionskraft zur
Gewichtskraft Normalkraft.
Wird ein Körper im Vakuum vertikal nach oben geworfen, ist seine Beschleunigung am
höchsten Punkt der Bahn gleich Null.
16
Ein Kind erteilt seiner Spielzeugeisenbahn (Lok und zwei Wagen, totale Masse 200 g)
eine Geschwindigkeit von 2 m/s. Nach einer freien Fahrt von zwei Metern stösst der Zug
mit einem weiteren, stehenden Wagen (Masse 50 g) zusammen. Beim Zusammenstoss
schnappt die Kupplung ein.
Wie lange und wie weit bewegt sich die ganze Komposition nach dem Stoss?
Die Rollreibungszahl betrage 0.05. Der Luftwiderstand ist zu vernachlässigen.
17
Ein kleiner Holzklotz (Masse 50 g) liegt auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel 50˚).
Er wird von oben gegen eine Spiralfeder (Federkonstante 500 N/m) gedrückt, bis diese 3
cm gestaucht ist. Die Gleitreibungszahl für die Grenzschicht Klotz-Ebene beträgt 0.4.
Um welche Strecke rutscht der Klotz nach dem Loslassen auf der schiefen Ebene nach
oben?
18
Auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel 30˚) wird ein Klotz (Masse 1 kg, Gleitreibungszahl 0.3) aus dem Stand losgelassen. Nach 100 mm Gleitstrecke trifft er auf einen
zweiten Klotz (Masse 4 kg, Gleitreibungszahl 0.9).
Wie weit gleitet der zweite Klotz noch bis zum Stillstand, wenn der Stoss vollständig
6
elastisch erfolgt ist?
19
Ein Ball wird aus 2 m Höhe mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 15 m/s senkrecht
nach unten geschleudert. Beim Stoss mit dem Boden verliert er ein Viertel seiner kinetischen Energie.
Wie weit springt der Ball nach dem Rückprall wieder nach oben?
20
Auf einer Luftkissenbahn stösst ein Fahrzeug mit zehn Meter pro Sekunde auf ein halb
so schweres. Dieses prallt kurze Zeit später auf ein drittes mit gleicher Masse. Beide
Stossvorgänge laufen vollständig elastisch und reibungsfrei ab.
Bestimmen Sie die Endgeschwindigkeiten der drei Fahrzeuge.
21
Ein Eisenbahnwagen (Masse 8000 kg) rollt von einem drei Meter hohen Rangierhügel
gegen einen 50 m entfernten, starren Prellbock. Beim Aufprall wird der Puffer um 15 cm
zusammengedrückt. Die Rollreibungszahl sei 0.03.
Wie gross ist die Federkonstante des Puffers?
Wie stark wird der Wagen in dem Moment beschleunigt, in dem er stillsteht?
22
Zwei Körper liegen aneinandergelegt auf einer horizontalen Ebene. Von links wirke eine
konstante, horizontale Kraft von 60 N auf den Klotz 1 (Masse 5 kg). Die Reibungszahl
zwischen Klotz 1 und der Unterlage betrage 0.15, zwischen Klotz 2 (Masse 3 kg) und der
Unterlage 0.2.
Mit welcher Kraft wirken die beiden Klötze aufeinander?
23
Drei Luftkissenfahrzeuge sind mit
350 g
700 g
350 g
Bindfäden zu einer Kette zusammengebunden, wobei je zwei dieser drei
Körper von einer um 2 cm zusammengedrückten Feder (Federkonstante
1000 N/m) auf Distanz gehalten werden. Reibungen und Federmassen sind
zu vernachlässigen.
Nun wird zuerst der Faden zwischen dem ersten (Masse 700 g) und dem zweiten (Masse
350 g) Fahrzeug durchgetrennt, worauf sich die erste Feder entspannt und die beiden
Fahrzeuge auseinandergleiten. Berechnen Sie die Endgeschwindigkeit des linken Fahrzeugs.
Kurze Zeit später trennt man den Faden zwischen den zwei sich mittlerweile nach rechts
bewegenden, gleich grossen Fahrzeugen durch. Berechnen Sie deren Endgeschwindigkeiten.
24
Eine horizontal fliegende Kugel (Masse 3
800 m/s
g) durchschlägt mit einer Geschwindigkeit
0.5 m
von 800 m/s ein auf einem Luftkissenfahr3g
zeug montiertes, vertikal stehendes Brett
und bleibt nachher in einem zweiten Brett
750 g
747 g
stecken, das ebenfalls auf einem Luftkissengleiter angebracht ist.
Die beiden Fahrzeuge (Gesamtmasse des ersten 750 g, Masse des zweiten 747g), die vor
dem Schuss in Ruhe und 0.5 m voneinander entfernt waren, treffen nach 75 cm bzw.
nach 25 cm Gleitstrecke aufeinander.
7
Wie schnell sind die Fahrzeuge nach dem Durch- bzw. Einschlag der Kugel gefahren?
Wieviel Energie ist beim Durchschlag der Kugel durch das erste Brett freigesetzt (dissipiert) worden?
25
Das Zugkabel eines Warenlifts (Masse 1930 kg) reisst, als ein Fahrgast (Masse 70 kg)
den Lift im ersten Stock betritt. Der Liftboden hat eine Entfernung von 3.5 m zu einer
Auffangfeder (Federkonstante 1.5 kN/cm). Eine automatische Bremse erzeugt ausserdem eine Reibungskraft von 4.5 kN.
Wie gross wird die maximale Geschwindigkeit des Lifts?
26
Ein Klotz mit einer Masse von 30 kg rutscht reibungsfrei auf einem Keil hinunter. Die schiefe
Ebene hat einen Winkel von 30° zur horizontalen
Unterlage. Der Keil mit einer Masse von 50 kg
bleibt in Ruhe. Nehmen Sie für die Berechnungen
eine Gravitationsfeldstärke von 10 N/kg.
Zeichnen Sie alle auf den Keil einwirkenden
Kräfte ein.
Bestimmen Sie die horizontale Komponente der
Kraft des Keils auf die Unterlage.
Wie gross ist die vertikale Komponente der Kraft des Keils auf die Unterlage?
27
Eine Kiste mit einer Masse von 10 kg wird sorgfältig auf ein mit 2.0 m/s horizontal laufendes Förderband abgesetzt. Für den Gleitreibungskoeffizienten der Grenzschicht zwischen Kiste und Band wird ein mittlerer Wert von 0.60 angenommen.
Nach welcher Zeit hat die anfänglich ruhende Kiste die Geschwindigkeit des Bandes
erreicht?
Wieviel Energie muss dem Band in dieser Zeitspanne mindestens zugeführt werden,
wenn es während des Vorgangs seine Geschwindigkeit beibehält?
28
Zwei ruhende Luftkissenfahrzeuge sind über
eine ideale Feder miteinander verbunden. Nun
5g
trifft eine von links kommende Kugel (Masse 5
195 g
400 g
g) mit 400 m/s auf das leichtere Gefährt und
bleibt stecken.
Wie schnell bewegt sich der getroffene Körper
unmittelbar nach dem Aufprall der Kugel?
Wie schnell bewegen sich die Fahrzeuge in dem Moment, in dem sie gleich schnell sind?
Wieviel Energie ist dann elastisch in der Feder gespeichert?
Welche Maximalgeschwindigkeit kann das schwerere Fahrzeug erreichen?
29
Eine Platte mit einer Masse von 50 kg und einer Länge von 2 m liegt zentriert auf einem
Klotz (Masse 50 kg, Länge 1.0 m). Dann stösst man die Platte mit einer konstanten Kraft
von 350 N horizontal über den Klotz. Die Gleitreibungskoeffizient zwischen Platte und
Klotz beträgt 0.5, der zwischen Klotz und Boden 0.2.
Wie lange dauert es, bis die Platte vom Sockel kippt?
30
Auf einer schiefen Ebene (Neigung 35˚) liegen zwei Quader mit bündiger Hinterkante
übereinander. Der obere Klotz hat eine Länge von 20 cm und eine Masse von 15 kg. Der
untere Klotz ist 60 cm lang und hat eine Masse von 30 kg. Der Gleitreibungskoeffizient
8
zwischen den Klötzen beträgt 0.15, jener zwischen unterem Klotz und Ebene 0.25. Beide
Körper werden gleichzeitig losgelassen
Wie lange dauert es, bis der obere Klotz mit seiner Vorderkante jene des unteren erreicht
hat?
Wie weit hat sich dann der untere Klotz bewegt?
31
2
Auf den Körper eins (Masse 5 kg) wirke
eine konstante Kraft ein. Der Haftreibungskoeffizient für die Fläche zwischen den KörF
¢
pern eins und zwei beträgt 0.3. Der
1
Gleitreibungskoeffizient für die Grenz45˚
schicht zwischen Klotz eins und Unterlage
hat den Wert 0.2.
Wie gross muss die Kraft mindestens sein, damit Klotz zwei (Masse 1.5 kg) nicht herunterrutscht?
Wärmelehre
Ein rundes Fenster wird bei 20˚C zusammengebaut. Es soll so dimensioniert werden,
dass in einem Temperaturintervall von -20˚C bis 80˚C keine thermischen Spannungen
auftreten. Der Durchmesser des Glases beträgt bei 20˚C 500.0 mm.
Wie gross muss der Innendurchmesser des Alu-Rahmens bei 20˚C gewählt werden?
thermische Längenausdehnungskoeffizienten: Aluminium 24·10-6 K-1; Glas 7.9·10-6 K-1
33
In einem zylinderförmigen Glas (Querschnittsfläche 10 cm2) befindet sich Eiswasser,
wobei der Eisanteil aus einem Würfel von 4.00 cm3 besteht und der Wasserspiegel zu
diesem Zeitpunkt bei der Marke 2 dl steht.
Um wieviel wird sich der Wasserspiegel verändert haben, wenn alles Eis geschmolzen
ist, die Temperatur aber immer noch 0˚C beträgt?
34
In einem aufrecht stehenden U-Rohr, bei
50˚C
15˚C
dem der eine Schenkel durch ein kegelförmiø 1000 mm
ges Gefäss ersetzt worden ist, befindet sich
eine unbekannte Flüssigkeit (Dichte 850 kg/
m3 bei 15˚C). Der grössere Teil des Gefässes
sitzt in einem Wärmeschrank, dessen Temperatur auf 50˚C gehalten wird. Das zylinderförmige Rohrstück, dessen Flüssigkeitsspiegel 1500 mm über Gefässboden liegt,
ø 200 mm
ragt in den umgebenden Raum (Temperatur
15˚C) hinaus. Zwischen den beiden Flüssigkeitsoberflächen stellt sich im Gleichgewicht
ein Höhenunterschied von 49.0 mm ein.
Wie gross ist der thermische Volumenausdehnungskoeffizient der Flüssigkeit?
35
Bei einem Galilei-Thermometer befinden sich Glaskugeln in einer speziellen Flüssigkeit.
Jede dieser Kugeln trägt ein kleines Täfelchen mit einer Temperaturangabe, wobei der
Körper, der gerade schwebt, den aktuellen Wert anzeigt.
1500 mm
32
9
Welche Kräfte wirken auf die schwebende Kugel ein?
Welche Kraft ändert sich mit der Temperatur.
Welche der Einflussgrössen, die diese Kraft festlegen, sind temperaturabhängig?
Wird die schwebende Kugel aufsteigen oder absinken, wenn die Temperatur ansteigt?
Alle Antworten sind zu begründen!
36
Eine Hohlkugel aus Gold schwebt gemäss nebenstehender
Skizze in einer zweischichtigen Flüssigkeit aus Wasser und Öl.
Bei einer Temperatur von 20.0˚C befinden sich 20.0% des Kugelvolumens in der Ölschicht.
Wieviel Prozent sind es bei 50.0˚C?
Daten:
Dichte des Wassers bei 20˚C
998 kg/m3
Dichte des Öls bei 20˚C
910 kg/m3
thermischer Volumenausdehnungskoeffizient des Wassers
des Öls
thermischer Längenausdehnungskoeffizient von Gold
Öl
Gold
Wasser
20.7·10-5 K-1
72.0·10-5 K-1
14.3·10-6 K-1
37
Ein Trinkglas {Masse 135 g, spez. Wärme-/Enthalpiekapazität 0.84 J/(g·K)} ist anfänglich 20˚C warm. Dann wird es mit 0.25 dm3 Wasser von 15˚C gefüllt. Zum Schluss wird
noch ein Eiswürfel (Kantenlänge 3 cm, Temperatur -8˚C, Dichte 0.926 g/cm3) zugefügt.
Welche Temperatur würde das Glas mit Inhalt annehmen, wenn während des Ausgleichsvorganges mit der Umgebung keine Wärme ausgetauscht wird?
38
Ein Kalorimeter (Wärme-/Enthalpiekapazität 120 J/K) ist mit 200 g Wasser der Temperatur 15.0˚C gefüllt. In das Wasser werden 65.0 g Eis von -18.0˚C und 100 g Aluminium
von 98˚C geschüttet.
Welcher Zustand stellt sich ein?
Daten:
spezifische Wärme-/Enthalpiekapazität des Eises
2.1 kJ/(kg·K)
spezifische Wärme-/Enthalpiekapazität des Wassers
4.19 kJ/(kg·K)
spezifische Wärme-/Enthalpiekapazität von Aluminium
896J/(kg·K)
spezifische Schmelzenthalpie/-wärme des Eises
334 kJ/kg
39
Ein Kupferstab (Querschnitt 2.0 cm2) wird am oberen Ende durch eine Heizung auf der
Temperatur 400˚C gehalten. Das untere Ende berührt die Oberfläche eines Eis-WasserGemisches. Die freie Stablänge zwischen der Heizung und dem Wasser betrage 12 cm.
Wie stark ist der durch den Stab fliessende Wärmeenergiestrom? Die Mantelflächen des
Stabes verhalten sich adiabatisch (ideal wärmeisoliert).
Wieviel Eis kann mit dieser Einrichtung pro Stunde geschmolzen werden?
spez. Wärmeleitfähigkeit von Kupfer
384 W/(m·K)
40
Der einzutauchende Teil eines Thermometers (Wärme-/Enthalpiekapazität 3.26 J/K)
weist vor der Messung eine Temperatur von 15˚C auf.
Um wieviel Grad hat dieses Thermometer die Temperaturangabe von 100 g Wasser verfälscht, wenn am Schluss ein Wert von 39.81˚C abgelesen wird?
10
41
Für eine dreischichtige Wandkonstruktion sind die folgenden Daten (Dicke, spez. Wärmeleitfähigkeit) gegeben: 20 cm, 1.8 W/m·K; 12 cm, 0.040 W/m·K; 15 cm, 0.50 W/m·K.
Wie gross ist der Wärmedurchgangskoeffizient der Wand? Für die Wärmeübergangskoeffizienten verwende man die Standardwerte von 8 W/(m2·K) und 20 W/(m2·K) für innen
bzw. aussen.
Die Innentemperatur beträgt 20˚C und aussen misst man -10˚C. Wie gross sind die beiden Oberflächentemperaturen der mittleren Dämmschicht?
Wieviel Wärmeenergie strömt in 30 Tagen durch die 50 m2 grosse Wand, wenn der Mittelwert der Aussentemperatur -4˚C beträgt?
42
Ein Gebäude weise eine Masse von 105 kg und eine mittlere spezifische Wärme-/Enthalpiekapazität von 1000 J/(kg·K) auf. Die Gebäudehülle hat einen Leitwert (kA-Wert) von
250 W/K. Im Winter (bei einer Aussentemperatur von – 10°C und einer Innentemperatur
von 15°C) wird es so geheizt, dass die Innentemperatur mit einer Rate von 0.50°C/
Stunde steigt. Die Heizleistung des Ofens beträgt 15 kW. Zur selben Zeit absorbiert das
Innere des Gebäudes Sonnenlicht, das durch die Fenster fällt.
Wie gross ist der Energiestrom wegen der Wärmeverluste an die Umwelt?
Mit welcher Rate nimmt die Energie des Gebäudes zu?
Wie gross ist die Absorptionsrate der Energie im Gebäude wegen der Einstrahlung des
Lichts?
43
Ein Eis-Wasser-Gemisch (50 g Eis, 100 g Wasser) soll mit Wasserdampf von 100˚C auf
70˚C erwärmt werden. Das wärmeisolierte Mischgefäss (Kalorimeter) weise eine
Wärme-/Enthalpiekapazität von 750 J/K auf.
Wieviel Dampf muss zugeführt werden, wenn während des Mischvorganges 12 kJ Energie in Form von Wärme entweicht?
spez. Verdampfungsenthalpie/-wärme von Wasser
2256 kJ/kg
44
Ein Sonnenkollektor soll dimensioniert werden. Das austretende Wasser ist gegenüber
dem eintretenden um 25˚C wärmer und die zugehörige Volumenstromstärke betrag 0.20
Liter/s. Die von der Sonne eingestrahlte Intensität (800 W/m2) wird vom Kollektor mit
einem Wirkungsgrad von 65% zur Erwärmung des Wassers ausgenutzt.
Welche Fläche muss der Kollektor aufweisen?
Elektrizitätslehre
45
In einem Gebäude wird täglich während der Arbeitszeit (8 Stunden) ein 80.0 m langer
Kupferdraht (spez. Widerstand 0.0178 Ω·mm2/m, Querschnitt 0.75mm2) von einem
Strom der Stärke 4.5 A durchflossen.
Wieviel Franken können jährlich eingespart werden, wenn Draht von 1.5 mm2 Querschnittsfläche anstelle des installierten verlegt werden? Preis pro Kilowattstunde 15 Rappen.
46
Zu einer 5.0 km entfernten Hütte wird eine elektrische Leitung aus Kupfer gezogen. Die
Hütte wird mit einem Ofen beheizt, der bei 230 V eine Leistung von 2.0 kW aufnimmt.
Wegen der Spannung über der Leitung beträgt die Heizleistung des Ofens nur noch 1.5
kW.
Wie gross ist der Widerstand des Ofens?
11
Wie gross ist der Durchmesser des Kupferdrahtes?
Welche Leistung geht in der Zu- und in der Rückleitung insgesamt verloren?
47
Man berechne die Leistungen, die in den skizzierten Widerständen (alle 4 Ω) freigesetzt
werden, sowie die Spannung zwischen A und B.
40 V
A
B
49
Zwei elektrische Geräte für 110 V Spannung mit einer Leistung von 75 W und 60 W
werden in Reihe an eine Spannung von 220 V gelegt.
Welcher Leistung nehmen sie auf, wenn man annimmt, dass die Widerstände unabhängig
von der Stromstärke sind?
50
Im nebenstehend skizzierten Kreis wird die Spannung über
dem Widerstand (50.0 kΩ} mit einem Voltmeter gemessen,
dessen Innenwiderstand 1.0 MΩ beträgt. Der Innenwiderstand der Spannungsquelle ist 10.0 kΩ und die Urspannung
beträgt 10 Volt.
Welche Spannung zeigt das Voltmeter an? Wie gross ist der
prozentuale Messfehler?
51
Ein Verbraucher (Widerstand 7 Ω) wird über einen Spannungsteiler oder Potentiometer
(Serie geschalteter Teil 22 Ω, parallel geschalteter 35 Ω) mit einer Spannungsquelle (40
V) verbunden.
Welche Spannung kann über dem Verbraucher gemessen werden?
Wie gross ist das Leistungsverhältnis Verbraucher-Quelle?
52
Ein Drahtwürfel (Seitenlänge 10 cm) sei aus Konstantandraht (Durchmesser 1mm, spezifischer Widerstand 5·10-7 Ω·m) gefertigt.
Wie gross ist der elektrische Strom, der durch den Würfel fliesst, wenn eine Spannung
von einem Volt über der Würfeldiagonalen angelegt wird.
50 kΩ
Eine Glühbirne (120V/60W) soll bei 230 V betrieben werden.
Welchen Widerstand muss man in Reihe zur Glühbirne schalten?
Wieviel Meter Konstantandraht (spez. Widerstand 4.9·10-7 Ω·m, Querschnitt 0.25 mm2)
wird benötigt, um diesen Widerstand zu realisieren?
10 kΩ
48
12
Lösungen zu den Musteraufgaben
1
Die Beschleunigung ist positiv, sobald die Geschwindigkeit zunimmt. Im vorliegenden
Beispiel ist die Geschwindigkeitsänderungsrate ab 0.16 s grösser als Null und geht bei
0.47 s wieder in den negativen Bereich über.
Im Umkehrpunkt erreicht die Beschleunigung den Maximalwert von 8 m/s2.
Zum Zeitpunkt 0.2 s beträgt die Beschleunigung 3.3 m/s2.
Das Orts-Zeit-Diagramm verläuft cosinusartig. Beim Start steht der Körper am Ort mit
dem grössten Koordinatenwert.
Die Umkehrpunkte liegen 0.16 m auseinander.
2
Am einfachsten lässt sich das Problem mit einem korrekten v-t-Diagramm lösen.
v
1200 m
10 m/s
750 m
375 m
t
10 s
50 s
800 m
100 s
375 m
Distanz 500 m
3
4
Ein frei fallender Körper erfährt eine
Beschleunigung von ungefähr 10 m/s2.
Wieder liefert das v-t-Diagramm die gesuchte Lösung. Zuerst berechnet man aus
den gegebenen Daten die Geschwindigkeit an der Oberkante des Fensters. Daraus lässt sich die Fallzeit ermitteln. Das
Produkt aus mittlerer Geschwindigkeit
und Fallzeit ergibt sodann die gesuchte
Höhe.
v
v1+ g.t
v1
v1 = 19.5 m/s
s = 2m
Fallzeit: 1.95 s
Fallhöhe: 19 m
t = 0.1 s
Das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm weist zuerst zwei fallende Steckenabschnitte mit
einem abrupten Übergang vom steilen zum flacher verlaufenden Stück auf. Nachher folgen zwei aufsteigende Strecken, die durch eine Parabel glatt miteinander verbunden sind.
Der Körper steht nach der ersten Sekunde still. Zwei Sekunden nach dem Start beträgt
die Geschwindigkeit -1.5 s. Zum Zeitpunkt 3.45 s ist die Geschwindigkeit des Körpers
wieder bei Null. In den restlichen gut anderthalb Sekunden legt das Objekt noch eine
Strecke von ungefähr 2.3 m zurück. Er ist dann 1.29 m vom ursprünglichen Standort entfernt. Dabei erreicht es eine Endgeschwindigkeit von 3 m/s.
13
5
In den ersten zwei Sekunden fällt der obere Stein 20 m hinunter und erzielt dabei eine
Endgeschwindigkeit von 20 m/s. Zu diesem Zeitpunkt befinden sich die beiden Körper
noch zehn Meter auseinander. Wieder hilft das v-t-Diagramm beim Auffinden der richtigen Lösung.
Weil die Relativgeschwindigkeit
v
zwischen den beiden Körpern
konstant bleibt, lässt sich aus der
Graphik ohne Mühe herauslesen,
dass beide Körper nach einer weiteren Drittelsekunde auf gleicher
10 m
20 m
Höhe sind. In der ganzen Sekunde 10 m/s
fällt der obere Körper 25 m hinunt
ter. Er befindet sich nach dieser
1s
Zeit also schon elf Meter unterhalb des Kraterrand.
0.33 s
Weil der zweite Gesteinsbrocken dann den Kulminationspunkt erreicht hat, befindet er
sich auch schon kurze Zeit vorher ungefähr neun Meter über dem Kraterrand.
6
Ein Ball, der 50 cm hoch geworfen wird, ist 0.224 s unterwegs. Die Reaktionszeit beträgt
somit 0.112 s. Sind fünf Bälle im Spiel, muss jeder von ihnen 0.559 s in der Luft sein,
damit das Kunststück gelingt. Diese Flugzeit bedingt eine Wurfhöhe von 3.125 m.
7
Auf den Körper wirken eine Gewichtskraft, zwei Seilkräfte und eine Federkraft ein. In
der Gleichgewichtslage muss die Vektorsumme dieser vier Kräfte Null sein
FG − F1 ⋅ sin( 45) − F2 ⋅ sin(30) − FF = 0
− F1 ⋅ cos( 45) + F2 ⋅ cos(30) = 0
8
9
FG − FF
= 60.2 N
sin( 45) + cos( 45) ⋅ tan(30)
cos( 45)
= 49.2 N
F2 = F1 ⋅
cos(30)
F1 =
Beim frei drehbar gelagerten Körper befinden sich
Schwer- und Aufhängepunkt übereinander, sobald
Gleichgewicht eingetreten ist. Man ermittle also
zuerst die Lage des Schwerpunktes. Der Rest der
Aufgabe ist dann eine rein geometrische Angelegenheit.
32.7 mm
34.2˚
Je zwei Arbeiter können durch die Kante einer
Mauer ersetzt werden, ohne dass der dritte davon
etwas merkt. Die Platte bildet dann einen einarmigen Hebel und der verbleibende Arbeiter muss mit
einer Kraft auf die Platte einwirken, die gleich
gross ist wie die Gewichtskraft mal das Verhältnis
von Schwerpunktshöhe zu Dreieckshöhe.
Bei einer dreieckförmigen Platte liegt der Schwerpunkt im Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Man zeichne also das Dreieck auf, bilde die Seitenhalbierenden und lese aus
der Zeichnung die drei Höhen sowie die drei Schwerpunktshöhen heraus. Mit Hilfe einer
14
Dreisatzrechnung findet man die Beträge der drei fraglichen Kräfte. Jeder Arbeiter hat
genau einen Drittel des Gewichts zu tragen.
10
Auf den Körper wirken eigentlich nur zwei Kräfte, die Gewichts- und die Unterlagskraft,
ein. Üblicherweise wird die Unterlagskraft in zwei Komponenten, die Normalkraft und
Reibungskraft, zerlegt. Die Reaktionskraft zur Unterlagskraft ist die Grösse, mit welcher
der Klotz auf die Unterlage einwirkt. Mit der Reaktionskraft zur Gewichtskraft zieht der
Körper an der Erde als Ganzes.
FU
Wechselwirkung
FG
Lageplan
Schnittbild 1
FU
Schnittbild 2
Im Gleichgewicht ist die Haftreibungskraft gleich gross wie die Tangentialkomponente
der Gewichtskraft, also gleich m·g·sin(Neigungswinkel). Bei einer Masse von 12 kg und
einer Neigung von 10˚ ergibt das einen Wert von 20.4 N.
Im Gleichgewicht ist auch die Normalkraft gleich der Normalkomponente der Gewichtskraft. Folglich muss beim Klotz, der auf der schiefen Ebene ruht, das Verhältnis von
Haftreibungs- zu Normalkraft gleich dem Tangens des Neigungswinkels sein. Der Klotz
beginnt zu gleiten, sobald das Verhältnis seiner beiden Gewichtskraftkomponenten den
maximal zulässigen Wert überschritten hat. Dieser, durch die Beschaffenheit der Berührzone festgelegte Wert heisst auch Haftreibungskoeffizient. Weil in unserem Beispiel der
Haftreibungskoeffizient mit 0.6 angegeben worden ist, beginnt der Klotz zu gleiten,
sobald der Neigungswinkel grösser als 30.9˚ wird.
11
In die eine Drehrichtung wirkt das Gewicht des Balkens mit einem Hebelarm von 0.3 m
und die Normalkraft des Steins mit einem Hebelarm von 1.2 m. Folglich muss man am
andern Ende des Balkens mit einer Kraft von 270.8 N nach unten drücken, damit Gleichgewicht herrscht.
12
Beim aufgehängten Körper strömt Impuls volumenmässig vom Gravitationsfeld ins
Innere und von dort durch den Faden nach oben weg. Taucht man das Objekt nachher in
eine Flüssigkeit ein, fliesst ein Teil des Impulses statt über den Faden über die Oberfläche
weg. Dieser Abfluss an die umgebende Flüssigkeit heisst Auftrieb.
Wird nur der Messingkörper ins Wasser eingetaucht, vermindert sich die Fadenkraft um
0.094 N. Der durch diese Differenzmessung ermittelte Auftrieb verhält sich zum
Gewicht wie die Dichte der Flüssigkeit zur Dichte des Körpers. Durch Auflösen der Proportion erhält man für Messing eine Dichte von 8.4 kg/dm3.
Werden nun sowohl der Messingkörper als auch das Holzstück vollständig in Wasser eingetaucht, fliesst vom Messing her ein Impulsstrom der Stärke 0.696 N zu. Das Gravitationsfeld liefert weitere 0.45 N. Weil über den Haltefaden nur 0.521 N wegströmen, muss
der Holzkörper einen Impulsstrom der Stärke 0.625 N an das Wasser abgeben. Wieder
liefert ein Dreisatz das richtige Ergebnis für die Dichte von Holz: 720 kg/dm3.
13
Der spitzenlastige Kegel schwimmt kopfüber in Wasser. Seine Masse (316.7 g) und die
15
Masse des verdrängten Wassers sind gemäss dem Archimedischen Prinzip gleich gross.
Weil das eingetauchte Volumen ebenfalls die Form eines geraden Kreiskegels hat, lässt
sich dessen Höhe relativ einfach berechnen. Diese Höhe, die dreimal Grösser ist als der
zugehörige Radius, misst ziemlich genau vierzehn Zentimeter. Somit ragt noch ein Zentimeter des Holzkegels über die Wasseroberfläche hinaus.
14
Die 0.4 dl Wasser bilden im Rohr eine Säule von 20 cm Höhe. Denkt man sich zwischen
der Unterseite der Wassersäule eine horizontale Ebene, welche das Quecksilber im
andern Rohrstück entzweischneidet, muss auf beiden Seiten der Druck innerhalb der beiden Rohrabschnitte gleich gross sein. Weil der Überdruck, der auf diesen Flächenstücken
lastet, von den darüberliegenden Flüssigkeitssäulen erzeugt wird, ist das Produkt aus der
Höhe und der zugehörigen Dichte für beide Säulen gleich gross. Die Auswertung dieser
umgekehrten Proportion ergibt für die Quecksilbersäule eine Höhe von 1.5 cm. Das Wasser steht deshalb 18.5 cm über dem gegenüberliegenden Quecksilberniveau.
15
Ein Körper, auf den zwei entgegengesetzt gleiche Kräfte einwirken, ist im Gleichgewicht. Im Gleichgewicht behält ein Objekt seinen Impulsinhalt bei. Weil dieser Inhalt
beliebig sein kann, muss der Körper nicht unbedingt stillstehen. Es genügt, wenn seine
Geschwindigkeit weder den Betrag noch die Richtung ändert.
Gleichgewicht und Wechselwirkungsprinzip haben nichts miteinander zu tun. Mit
Gleichgewicht umschreibt man eine spezielle Situation eines Körpers. Gleichgewicht
herrscht, wenn die Summe über alle auf einen Körper einwirkenden Kräfte exakt verschwindet. Das Wechselwirkungsprinzip gilt dagegen uneingeschränkt. Es verknüpft den
Impulsaustausch zweier Körper miteinander und verlangt, dass die beiden Kraftpfeile,
die den gleichen Impulsstrom beschreiben, in jedem Fall gleich gross sind. Jedes Wechselwirkungspaar bezieht den Impulsstrom einmal auf das eine und einmal auf das andere
System.
Die Reaktionskraft zum Gewicht ist die Kraft, mit welcher der Körper auf die Erde einwirkt. Die Normalkraft bildet eine eigene Wechselwirkung. Beachten Sie auch die
Lösung zu Aufgabe 10.
Fliegt ein Körper frei durch einen evakuierten Raum, ist seine Beschleunigung immer
gleich der dort herrschenden Gravitationsfeldstärke. Somit hat der geworfene Körper
während der ganzen Freiflugphase eine nahezu konstante Beschleunigung.
16
Die Bewegung erfolgt in drei Phasen. Die Geschwindigkeit, welche die Eisenbahn am
Schluss der ersten Rollstrecke aufweist, berechnet man am einfachsten über die Energie,
d.h. man zieht von der anfänglich vorhandenen kinetischen Energie die Reibarbeit (Reibkraft mal Weg) ab. Die Rechnung ergib eine Geschwindigkeit von 1.43 m/s.
Beim unelastischen Stoss verteilt sich der noch vorhandene Impuls auf beide Fahrzeuge,
womit die Geschwindigkeit auf 1.14 m/s absinkt.
In der nachfolgenden Rollphase erfährt die ganze Komposition eine negative Beschleunigung von 0.49 m/s2 (µ·g) und der Zug bleibt nach 2.3 s stehen. Die zugehörige Rollstrecke beträgt 1.33 m.
17
Eine Energiebetrachtung führt hier schnell zum Ziel. Weil der Körper am Anfang und am
Schluss des Vorganges stillsteht, muss die kinetische Energie, die als Zwischenform sehr
wohl in Erscheinung tritt, nicht miteinbezogen werden. Damit bleibt nur die Feder als
Energielieferant und das Gravitationsfeld zusammen mit der Grenzfläche (Reibarbeit) als
Verbraucher übrig. Bei der Reibarbeit muss berücksichtigt werden, dass die Normalkraft
gleich der Normalkomponente der Gewichtskraft ist. Aufgelöst nach der gesuchten
16
Grösse erhält man für die Gleitstrecke einen Wert von 0.45 m.
18
Die Bewegung erfolgt - wie im Beispiel 16 - in drei Phasen. Wieder könnte man die
Geschwindigkeit, die der leichtere Körper nach der ersten Gleitstrecke aufweist, mit
Hilfe der Energie berechnen. Doch diesmal gehe ich den Weg über das Grundgesetz und
die Kinematik. Aus der Kraftanalyse erhält man für die reibungsbehaftete Bewegung auf
der schiefen Ebene eine Beschleunigung von a = g·(sinα - µ·cosa) = 2.36 m/s2. Nach 100
mm Gleitstrecke ist die Geschwindigkeit auf 0.687 m/s angewachsen.
Wäre der nachfolgende Stoss unelastisch, würde sich der Impuls auf beide Körper verteilen und die Geschwindigkeit würde auf einen Fünftel absinken. Dank der Elastizität des
Materials kann der zweite Körper seine Geschwindigkeit gegenüber dem unelastischen
Fall auf 0.275 m/s verdoppeln (Spiegelung am unelastischen Niveau).
Weil die Gleitreibungskraft grösser als die Tangentialkomponente der Gewichtskraft ist,
sinkt die Geschwindigkeit des schwereren Körpers mit einer Rate von 2.74 m/s2 ab. Nach
einer Gleitstrecke von 13.8 mm bleibt er wieder stehen.
19
Vor dem Aufprall ist die kinetische Energie gleich der vorher schon vorhandenen Bewegungsenergie und der im dazwischenliegenden Abschnitt freigesetzten Gravitationsenergie, also gleich Masse mal 132 m2/s2. Mit 75 % dieses Wertes vermag der Ball nach dem
Rückprall ziemlich genau zehn Meter hoch zu springen.
20
Dieses Problem lässt sich ohne grosse Rechnung im Flüssigkeitsbild lösen. Beim ersten
Stoss liegt das unelastische Niveau bei 6.67 m/s. Durch Spiegelung der Relativgeschwindigkeit an diesem Niveau erhält man für das schwerere Fahrzeug eine Endgeschwindigkeit von 3.33 m/s. Das leichtere wird mit 13.33 m/s auf das dritte auffahren, diesem
seinen gesamten Impuls übergeben und dann stehenbleiben.
21
Die erste Frage beantwortet man am besten mit Hilfe der Energieerhaltung. Die freigesetzte Gravitationsenergie wird teilweise durch Reibung dissipiert. Den Rest nimmt die
Feder auf
1
h − µ⋅s
⋅ D ⋅ s2
D = 2⋅m⋅g
= 10.5 MN/m
2
s2
Falls die Pufferfeder keine Reibung aufweist, darf die oben bestimmt Federkonstante zur
Berechnung der Pufferkraft beigezogen werden. Bei 15 cm Vorspannung wirkt die Feder
mit 1.57 MN auf den Wagen ein und beschleunigt diesen mit 196 m/s2.
m⋅g⋅h = µ ⋅m⋅g⋅s +
22
Infolge der Coulombsche Reibung fliessen 7.36 N und 5.89 N an die Unterlage weg. Die
überschüssigen 46.8 N verteilen sich als Zuwachsrate im Verhältnis 5:3 auf beide Körper.
Somit müssen fortwährend 23.4 N vom ersten in den zweiten Körper überströmen.
23.4 N
60 N
29.22 N
7.36 N
17.53 N
5.89 N
17
23
Die beiden Federn speichert eine Energie von je 0.2 J. Sobald der Faden durchgeschnitten wird, pumpt die entsprechende Feder mit dieser Energie Impuls von einem System
ins andere. Nach dem ersten Pumpvorgang enthalten beide Teilsysteme entgegengesetzt
gleichviel Impuls. Weil ihre Massen gleich sind, ist auch die zugehörige kinetische Energie gleich gross. Die Energiebilanz liefert für die beiden Geschwindigkeitsbeträge einen
Wert von 0.535 m/s. Der zweite Prozess verläuft genau gleich wie der erste, vorausgesetzt man macht die Bewegung der beiden zusammengebundenen Körper mit. Die Energiebilanz liefert diesmal eine Relativgeschwindigkeit von 0.756 m/s. Unter Berücksichtigung des alten Wertes ergibt sich für das mittlere Fahrzeug eine Geschwindigkeit
von -0.22 m/s. Das dritte Luftkissenfahrzeug wird mit 1.29 m/s nach rechts weggleiten.
24
Nach dem Schuss verhalten sich die Geschwindigkeiten der beiden Luftkissenfahrzeuge
wie 3:1. Folglich bleiben drei Viertel von den 2.4 Ns, welche die Kugel enthält, im Brett
des ersten Fahrzeuges stecken. Dieses bewegt sich dann mit 2.4 m/s nach rechts. Die
restlichen 0.6 Ns sorgen dafür, dass sich das zweite Fahrzeug mit 0.8 m/s wegbewegt.
Im Brett des ersten Fahrzeuges „fallen“ die 1.8 Ns Impuls geschwindigkeitsmässig 498.8
m/s hinunter und setzen dabei eine Energie von 898 J (Menge mal Fallhöhe) frei.
25
Die maximale Geschwindigkeit erreicht die Kabine in dem Moment, in dem sie im
Gleichgewicht ist. Zu diesem Zeitpunkt muss die Reibkraft zusammen mit der Federkraft
das Gewicht kompensieren. Die Feder muss dann um 10 cm zusammengedrückt sein,
damit sie mit der notwendigen Kraft von 1512 N einwirken kann.
Die Geschwindigkeit erhält man wieder mit Hilfe der Energiebetrachtung. Die freigesetzte Gravitationsenergie (Fallhöhe 3.6 m) minus die Reibarbeit und die Federenergie
ergeben die kinetische Energie. Aufgelöst nach der gesuchten Grösse erhält man für die
Geschwindigkeit 7.32 m/s.
26
FN1
FHR = FN1 ⋅sin 30˚
FN2
= FG1 ⋅cos30˚⋅sin30˚= 127.4 N
FN1
FN2 = FG2 + FN1 ⋅ cos30˚
FG1
FG2
FHR
= FG2 + FG1 ⋅(cos30˚)2 = 711.2 N
27
Die Kiste erfährt eine Reibungskraft von 60 % der Gewichtskraft. Durch diese Einwirkung wird sie mit 0.6 g beschleunigt und erreich nach 0.34 s die Geschwindigkeit des
Bandes. Der gesamte Impuls, den das Band der Kiste zuführt, muss zuerst auf die
Geschwindigkeit des Bandes gebracht werden. Dazu ist eine Energie von 40 J (Menge
mal Pumphöhe) erforderlich.
28
Die Kugel trägt einen Impuls von 2 Ns in das erste Luftkissenfahrzeug hinein. Weil dieser Körper zusammen mit der Kugel eine Masse von 0.2 kg aufweist, muss er sich dann
mit 10 m/s bewegen.
Sobald sich der Impuls auf beide Fahrzeuge verteilt hat, bewegen sie sich mit 3.33 m/s
nach rechts. Bis zu diesem Zeitpunkt sind 1.33 Ns Impuls durch die Feder geflossen. Bei
einer mittleren „Fallhöhe“ von 5 m/s ergibt dies eine freigesetzte Energie von 6.67 J.
Die Maximalgeschwindigkeit des zweiten Luftkissenfahrzeuges erhält man wieder durch
18
Spiegelung am unelastischen Niveau. Sie beträgt 6.66 m/s.
29
Zur Lösung dieses Problems zeichnen wir zuerst die Schnittbilder und stellen dann die
zugehörigen Impulsbilanzen auf:
FR1
350 N
FN1
FR1
FN1
FN2
F − FR 1 = m1 ⋅ a1
FR1 − FR 2 = m2 ⋅ a2
FG1
FR2
Die Gleichgewichtsbedingungen in vertikaler Richtung verlangen, dass die Normalkomponenten der Unterlagskräfte gleich der Gewichtskräfte der darüberliegenden Körper
sind. Ersetzt man nun die Gleitreibungskräfte durch das Produkt aus Gleitreibungskoeffizient und zugehöriger Normalkraft und löst die beiden Grundgesetze nach der Beschleunigung auf, erhält man für die Platte eine Beschleunigung von 2.1 m/s2 und für den Klotz
0.98 m/s2.
Die Platte kippt vom Klotz, sobald sich die beiden Massenmittelpunkte um 0.5 m gegeneinander verschoben haben. Dies dauert bei einer Relativbeschleunigung von 1.114 m/s2
ungefähr eine Sekunde.
30
Wie bei der letzten Aufgabe müssen zuerst die Schnittbilder gezeichnet und die zugehörigen Impulsbilanzen aufgestellt werden:
FN1
FG1 ⋅ sin α − FR1 = m1 ⋅ a1
FR1
FG1 ⋅ cos α − FN1 = 0
FN2
FR1
FG1
FN1
x
FR2
y
FG2
FG 2 ⋅ sin α + FR 1 − FR2 = m2 ⋅ a2
FG 2 ⋅ cos α + FN 1 − FN2 = 0
Der obere Klotz erfährt eine Beschleunigung von 4.42 m/s2. Der untere ändert seine
Geschwindigkeit mit einer Rate von 3.22 m/s2. Infolge der Relativbeschleunigung von
1.2 m/s2 dauert es 0.81 s bis sich der obere Körper gegenüber dem unteren um 40 cm verschoben hat. In dieser Zeit ist der grössere Körper 1.07 m die schiefe Ebene hinuntergerutscht.
31
Zuerst schneiden wir den kleinen Klotz frei, führen ein Koordinatensystem ein formulieren die zugehörigen Impulsbilanzen:
FN2
x
FHR2
FG2
FN2 ⋅ cosα − FHR2 ⋅sin α = m ⋅ a
FG 2 − FN2 ⋅sin α − FHR2 ⋅ cosα = 0
y
Weil der kleine Klotz gerade noch nicht hinunterrutschen soll, nimmt die Haftreibungs-
19
kraft den maximal möglichen Wert an. Setzt man diese Bedingung ins Gleichungssystem
ein und löst dann nach der Beschleunigung auf, erhält man einen Wert von 5.28 m/s2.
Schlussendlich schneiden wir das ganze System frei und formulieren nochmals die
Impulsbilanz:
F
FN
FR
F − FR = m ⋅ a
F = m ⋅ a − m ⋅ µ ⋅ g = 47 N
FG
32
Feste Körper dehnen sich in guter Näherung gestalttreu, d.h. ein Loch verhält sich bei
Temperaturänderung wie ein Körper. Weil sich das Aluminium stärker als das Glas ausdehnt, wird der Zwischenraum mit steigender Temperatur grösser. Wir müssen deshalb
nur die Verhältnisse bei -20˚C untersuchen. Bei dieser Temperatur weist die Glasscheibe
einen Durchmesser von 499.84 mm auf. Darf der Rahmen dann das Glas nur berühren,
muss der Innendurchmesser des Aluminiums bei 20˚C 500.32 mm betragen.
33
Der Eiswürfel und das verdrängte Wasser weisen die gleich Masse auf. Schmilzt nun das
Eis ab, so füllt das Schmelzwasser genau den Raum aus, den der Würfel aus dem Wasser
ausgespart hat.
34
Im hydrostatischen Gleichgewicht ist der Druck am Boden in beiden Gefässteilen gleich
gross. Folglich muss das Produkt aus Eintauchtiefe und zugehöriger Dichte für beide
Seiten gleich sein. Somit gilt
ρ0 V
1451 mm
=
= (1 + γ ⋅ ∆ϑ ) =
ρ V0
1500 mm
γ = 9.33 ⋅ 10 −4
1
C
35
Auf die in der Flüssigkeit schwimmenden Körper wirken nur die Gewichtskraft und der
Auftrieb ein, wobei sich nur der Auftrieb mit der Temperatur ändern kann. Steigt die
Temperatur an, nimmt die Dichte der Flüssigkeit ab und das Volumen der Glaskugel zu.
Weil beide Grössen den Auftrieb beeinflussen, kann die letzte Frage nur beantwortet
werden, wenn man die zugehörigen Materialwerte kennt. Normalerweise weist eine
Flüssigkeit einen grösseren Volumenausdehnungskoeffizient als Glas auf. Deshalb wird
eine schwebende Kugel bei steigender Temperatur höchstwahrscheinlich absinken.
36
Der Auftrieb darf sich mit dem Temperaturanstieg nicht ändern. Also gilt:
{0.2 ⋅ ρO + 0.8 ⋅ ρW } ⋅ V ⋅ g = {n ⋅
ρO
ρW
+ (1 − n) ⋅
} ⋅ V ⋅ (1 + 3α ⋅ ∆ϑ ) ⋅ g
1 + γ O ⋅ ∆ϑ
1 + γ W ⋅ ∆ϑ
Die Lösung dieser Gleichung gibt für das Öl noch einen Anteil von 12.6%.
37
Setzen wir die Enthalpie der drei beteiligten Körper bei 0˚C willkürlich auf Null, so enthält das Trinkglas 2.27 kJ und das Wasser 15.7 kJ. Der Eiswürfel weist gegenüber dem
geschmolzenen Zustand ein Enthalpiedefizit von -8.77 kJ auf. Verteilt man nun den Nettoüberschuss auf alle drei Kapaziäten, erhält man eine Endtemperatur von 7.3˚C.
38
Die Enthalpie der beteiligten Körper sei bei 0˚C gleich Null. Mit dieser Definition ent-
20
hält das Kalorimeter zusammen mit dem Wasser 14’370 J, das Aluminium 8’781 J und
das Eis -24’167 J. Das verbleibende Defizit sorgt dafür, dass die Endtemperatur 0˚C
beträgt und drei Gramm Eis nicht abschmelzen werden.
39
Der Wärmeleitwert des ganzen Kupferdrahtes beträgt 0.64 W/K. Bei einer Temperaturdifferenz von 400 ˚C fliessen damit 256 W hindurch, was pro Stunde 921.6 kJ ergibt. Mit
dieser Energie können 2.76 kg Eis abgeschmolzen werden.
40
Setzt man die Enthalpie der beteiligten Körper bei 0˚C wieder gleich Null, lässt sich die
Aufgabe als eine einfache Mischrechnung formulieren. Als Lösung erhält man eine Wassertemperatur von 40˚C. Die Enthalpiekapazität des Thermometers hat das Resultat also
um -0.2˚C verfälscht.
41
Die Wandkonstruktion bildet eine Serieschaltung von fünf Wärmewiderständen mit den
Leitwerten 400 W/K, 450 W/K, 16.67 W/K, 166.7 W/K und 1000 W/K. Die ganze Wand
weist damit einen Leitwert von 13.95 W/K oder einen k-Wert von 0.28 W/(K˚m2) auf.
Bei einer Temperaturdifferenz von 30˚C fliessen 418.3 W durch die Konstruktion hindurch, was in 30 Tagen 1.08 GJ ergibt.
Dividiert man den Energiestrom mit dem Leitwert eines bestimmten Abschnittes, erhält
man die zugehörige Temperaturdifferenz. Mit Hilfe dieses Verfahrens findet man für die
beiden Oberflächen die Werte 18˚C und -7˚C.
42
Der abgehende Wärmeenergiestrom hat eine Stärke (Leitwert mal Temperaturdifferenz)
von 6.25 kW. Die Enthalpieänderungsrate des Gebäudes (Kapazität mal Temeraturänderungsrate) beträgt 13.89 kW. Nun verlangt die Energiebilanz bezüglich des Gebäudes,
dass die Summe über alle Energiestromstärken gleich der Inhaltsänderungsrate sein
muss. Aus den gegebenen Daten folgt, dass die Sonne 5.14 kW liefert.
43
Die Enthalpie des Eis-Wasser-Gemisches und des Kalorimeters muss um 113.2 kJ
zunehmen. Der Dampf hat damit 125.2 kJ Energie zu liefern. Wird der Dampf nach dem
Kondensieren noch von 100˚C auf 70˚C abgekühlt, setzt er pro Gramm 2382 J frei. Folglich müssen 52.6 g Dampf zugeführt werden, bis die 70˚C erreicht sind.
44
Jedes Kilogramm Wasser nimmt 104.8 kJ Energie auf. Mit dieser Energiebeladung fördert ein Massenstrom von 0.2 kg/s einen Energiestrom von 20.95 kW. Man benötigt also
40 m2 Kollektoren, um die geforderte Leistung zu erbringen. Beachten Sie, dass jeder
Quadratmeter effektiv nur 520 W absorbiert.
45
Die Querschnittsverdoppelung halbiert den Widerstand auf 0.95 Ω. Damit vermindert
sich die Verlustleistung um 19.2 W. Geht man davon aus, dass während 250 Tagen im
Jahr gearbeitet wird, können jährlich 38.45 kWh oder 5.77 Franken eingespart werden.
46
Der Ofen besitzt einen elektrischen Widerstand von 26.45 Ω (U2/P). Die effektive über
dem Ofen anliegende Spannung beträgt nur 199.2 V, d.h Ofen und Zuleitung teilen die
Spannung im Verhältnis 199.2 zu 30.8 auf. Daraus folgt, dass der Draht einen Widerstand
von 4.09 Ω aufweist und deshalb 7.5 mm dick sein muss. Der 7.53 A starke Strom setzt
in den Zuleitungsdrähten eine Leistung von 232 W frei.
47
Ausgehend von den beiden parallel geschalteten Widerständen im Punkt B kann der
21
Gesamtwiderstand schrittweise bestimmt werden:
12/5 Ω
40 V
A
32/13 Ω
32/5 Ω
B
6Ω
2Ω
Die ganze Anordnung setzt der Spannung von 40 V einen Widerstand von 6.16 Ω entgegen und ein Strom von 16.25 A gibt eine Leistung von 650 W ab.
Der im Punkt A zufliessen Strom der Stärke 6.25 A (32/5 Ω Widerstand bei 40 V Spannung) teilt sich umgekehrt proportional zu den Widerständen in die beiden Zweige auf.
Folglich fliesst ein Strom von 2.5 A von A nach B, angetrieben von einer Spannung von
10 V.
48
Die Glühbirne besitzt einen Widerstand von 240 Ω. Der Konstantandraht muss, damit die
Spannung von 230 V richtig aufgeteilt wird, 112.2 m lang sein und einen Widerstand von
220 Ω aufweisen.
49
Die beiden Geräte weisen Widerstände von 161.3 Ω bzw. 201.7 Ω auf. Bei Serieschaltung (Gesamtwiderstand 363 Ω) fliesst ein Strom von 0.606 A durch die Birnen hindurch
und gibt eine Leistungen von 59.3 W und 74.1 W ab.
50
Die Schaltung hat einen Widerstand von 57.619 Ω. Der zugehörige Strom (0.17355 mA)
wird von einer Spannung von 1.7355 V durch den Innenwiderstand gedrückt. Das Voltmeter zeigt also 8.2645 V an. Ohne Messgerät würde die Spannung im Verhältnis der
beiden Widerstände geteilt. Aus der Differenz der beiden entsprechenden Spannungen
ergibt sich ein relativer Fehler von -0.82 %.
51
Der Parallelschaltung darf ein Widerstand von 35/6 Ω zugeschrieben werden. Zusammen
mit dem vorgeschalteten Teil ergibt dies einen Widerstand von 27.833 Ω. Die über dem
Verbraucher anliegende Spannung verhält sich zur Quellenspannung, wie die zugehörigen Widerstände und beträgt 8.38 V. Weil der Strom in der Spannungsquelle eine Leistung von 57.48 W aufnimmt und beim Verbraucher 10.04 W freisetzt, ist das Leistungsverhältnis 0.17.
52
Jedes Drahtstück hat einen Widerstand von 63.67 mΩ. Zeichnet man für den Drahtwürfel
ein Schaltbild auf, ergeben sich infolge der Symmetrie drei in Serie geschaltete Blökken.
Der erste und der letzte Block enthalten je drei parallel angeordnete Wiederstände. Der
mittlere Block besteht aus sechs parallelen Strängen. Damit setzt der ganze Würfel der
Spannung einen Widerstand von 5/6 des Wertes von einem Draht, also 53 mΩ, entgegen.
Dieser Widerstand lässt bei einer Spannung von einem Volt einen Strom der Stärke 18.8
A durch.
22