K DGVFM Schriftenreihe Versicherungs- und Finanzmathematik
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^ - K DGVFM /fl ] DEUTSCHE GESELLSCHAFT \ J u - - / F Ü R VERSICHERUNGS-UND FINANZMATHEMATIK e.V. Schriftenreihe Versicherungs- und Finanzmathematik Band 36 Wahrscheinlichkeitstheorie Eine Einführung mit Anwendungen und Beispielen aus der Versicherungs- und Finanzmathematik Prof. Dr. Hartmut Milbrodt ww.de Inhaltsübersicht Vorwort vii Inhaltsübersicht 0 ix Prolog: Zufall und Wahrscheinlichkeit 1 Aufgaben I 13 Finite Modelle 1 Endliche Wahrscheinlichkeitsräume und einfache Zufallsvariablen A B C D E F 2 l Endliche Wahrscheinlichkeitsräume Bedingte Wahrscheinlichkeiten und stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen . . Einfache Zufallsvariablen Der Erwartungswert einfacher Zufallsvariablen . . . Varianz, Kovarianz und stochastische Unabhängigkeit einfacher Zufallsvariablen Aufgaben Grenzwertsätze für einfache Zufallsvariablen A B C D E 3 17 17 18 27 36 42 54 64 75 Einführendes z u Gesetzen der großen Zahlen . . . . 75 Poissonscher Grenzwertsatz und Poissonapproximation 77 Der Zentrale Grenzwertsatz 85 Arcussinus-Gesetze für symmetrische Irrfahrten . . 94 Aufgaben 105 Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit endlichem Träger 111 A B 111 C D Einführung und Beispiele Verteilungen einfacher Zufallsvariablen und Zufallsvektoren Produkte endlicher Wahrscheinlichkeitsräume Aufgaben ... 116 128 135 ix Inhaltsübersicht II Allgemeine Modelle 141 4 141 5 6 Wahrscheinlichkeitsräume A Mengen-cr-Algebren, Dynkin-Systeme und monotone Klassen B Wahrscheinlichkeitsmaße C Verteilungsfunktionen D Rund um das Lemma von Borel-Cantelli E Aufgaben Zufallsvariablen, Zufallsvektoren und Verteilungen von Zufallsgrößen A Numerische Zufallsvariablen mit abzählbarem Bild . B Signalprozesse, Zählprozesse und Punktprozesse . . C Numerische Zufallsvariablen und Zufallsvektoren . D Verteilungen meßbarer Abbildungen E Der Intensitätskalkül (Ausfallraten) F Zwei Beispiele aus der geometrischen Wahrscheinlichkeitstheorie G Quantilfunktionen H Transformation von Zufallsgrößen und ihren Verteilungen I Multivariate Normalverteilungen J Aufgaben Konvergenz von Zufallsgrößen und ihren Verteilungen A Stochastische Konvergenz und fast sichere Konvergenz B Verteilungskonvergenz C Der Variationsabstand von Wahrscheinlichkeitsmaßen D Aufgaben 7 Erwartungswerte, höhere Momente und Lp -Räume . . A Aufbau und elementare Eigenschaften des Erwartungswertes B Erwartungswertberechnung: Sätze und Beispiele . . C Verteilungsmaßzahlen D Konvergenzsätze für Erwartungswerte E Integralungleichungen, Lp-Räume und gleichgradige Integrierbarkeit 142 149 167 177 181 188 188 194 200 206 217 225 228 235 242 248 258 258 268 278 280 286 286 298 313 333 339 Inhaltsübersicht F G 8 . . 352 355 Stochastische Unabhängigkeit 370 A B 370 C D E 9 Erwartungswertvektoren und Kovarianzmatrizen Aufgaben ". Charakterisierung und erste Beispiele Folgen unabhängiger Zufallsvariablen und Konstruktion von Poissonprozessen Stochastische Unabhängigkeit in der versicherungsmathematischen Modellbildung Stochastische Unabhängigkeit, Unkorreliertheit und multivariate Normalverteilungen Aufgaben 383 391 404 411 Verteilungen von Summen unabhängiger Zufallsvariablen und Zufallsvektoren (Faltungen) 416 A B C D Die Faltung: Definition und Berechnung Anwendungsbeispiele in Statistik und Versicherungsmathematik Faltungshalbgruppen und Prozesse mit unabhängigen, stationären Zuwächsen Aufgaben 10 Gesetze der großen Zahlen A B C D E Schwaches Gesetz der großen Zahlen Starkes Gesetz der großen Zahlen Anwendungen des starken Gesetzes der großen Zahlen Risikoausgleich und Versicherung Aufgaben 416 429 442 450 458 458 460 468 492 502 Inhaltsverzeichnis 511 Literaturverzeichnis 531 Verzeichnis versicherungs- und finanzmathematischer Beispiele und Aufgaben 535 Abbildungsverzeichnis 547 xi Inhaltsübersicht Abkürzungs- und Symbol Verzeichnis 551 Namenverzeichnis 561 Sachverzeichnis 563 Xll Inhaltsverzeichnis 2.17 Folgerung: Arcussinus-Gesetz für die letzte Rückkehr zum Nullpunkt 2.18 Folgerung zum Arcussinus-Gesetz 2.19 Zur Interpretation des Arcussinus-Gesetzes 2.20 Satz: Arcussinus-Gesetz für Verweilzeiten 2.19 Zur Interpretation des Arcussinus-Gesetzes (Fortsetzung) E Aufgaben 3 100 100 103 104 105 105 Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit endlichem Träger 111 A Einführung und Beispiele 111 3.1 Definition: Punktmaß/Diracmaß 111 3.2 Definition: Wahrscheinlichkeitsverteilung mit endlichem Träger 112 3.3 Beispiele für Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit endlichem Träger 112 3.4 Beispiel: Multinomialverteilungen in der Rückversicherung 114 B Verteilungen einfacher Zufallsvariablen und Zufallsvektoren 116 3.5 Satz und Definition: Verteilung einer einfachen Zufallsvariablen 116 3.6 Hilfssatz: Berechnung von Verteilungen einfacher Zufallsvariablen 117 3.7 Beispiele für Verteilungen einfacher Zufallsvariablen .117 3.8 Satz: Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit endlichem Träger und einfache Zufallsvariablen 119 3.9 Definition: Integrale bezüglich diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit endlichem Träger 119 3.10 Eigenschaften des Q-Integrals 119 3.11 Satz: Transformationssatz für Integrale 120 3.12 Definition: Einfache Zufallsvektoren 121 3.13 Satz und Definition: Verteilung eines einfachen Zufallsvektors 122 3.14 Beispiel: Personengesamtheiten mit mehreren Ausscheideursachen 122 3.15 Beispiel: Gemeinsame Verteilung und Randverteilungen 124 3.16 Definition: Eindimensionale Randverteilungen . . . .125 515 Inhaltsverzeichnis 3.17 Bemerkung: Warum "Randverteilungen"? 125 3.18 Satz: Randverteilungen sind Verteilungen der Koordinatenprojektionen 126 3.19 Beispiel: Multinomialexperimente 126 3.20 Gegenbeispiel: Randverteilungen legen die gemeinsame Verteilung nicht fest 127 C Produkte endlicher Wahrscheinlichkeitsräume . 128 3.21 Definition: Produkt zweier Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit endlichem Träger 128 3.22 Satz: Gemeinsame Verteilung stochastisch unabhängiger einfacher Zufallsvariablen 129 3.23 Modellbildungsproblem: Stochastisch unabhängige einfache Zufallsvariablen mit gegebenen Verteilungen . .130 3.24 Definition: Produkt zweier endlicher Algebren . . . . 130 3.25 Produkt zweier Wahrscheinlichkeitsinhalte 130 3.26 Definition: Produkt zweier endlicher Wahrscheinlichkeitsräume 131 3.27 Satz: Produkt endlich vieler endlicher Wahrscheinlichkeitsräume 133 3.28 Existenz stochastisch unabhängiger einfacher Zufallsvariablen mit gegebenen Verteilungen 134 D Aufgaben 135 II Allgemeine Modelle 4 516 141 Wahrscheinlichkeitsräume 141 4.1 Beispiele: "Finit" ist nicht genug 142 A Mengen-cr-Algebren, Dynkin-Systeme und monotone Klassen 142 4.2 Aussagen über unendlich viele Ereignisse 142 4.3 Definition von Mengen-cr-Algebren 144 4.4 Bemerkungen und Beispiele zu Mengen-cr-Algebren . 144 4.5 Satz: Erzeugung von a-Algebren 144 4.6 Definition: Borel-cr-Algebra eines metrischen Raumes . 145 4.7 Bemerkungen über Borel-cr-Algebren 146 4.8 Beispiele für Borel-cr-Algebren 146 4.9 Hilfssatz: Wahlfreiheit beim Erzeugendensystem . . . 147 Inhaltsverzeichnis 4.10 Definition von Dynkin-Systemen 4.11 Beispiele für Dynkin-Systeme 4.12 Hilfssatz über Dynkin-Systeme 4.13 Definition und Hilfssatz: Monotone Klassen 147 147 147 148 B 149 Wahrscheinlichkeitsmaße 4.14 Motivation: Stetigkeitshoffnungen 4.15 Konvergente Mengenfolgen 4.16 Definition: Stetigkeit, Wahrscheinliehkeitsmaße und Wahrscheinlichkeitsräume 4.17 Eigenschaften stetiger Wahrscheinlichkeitsinhalte . . 4.18 Definition der a-Additivität 4.19 Satz: Zusammenhang von cr-Additivität und Stetigkeit 4.20 Beispiele: Wahrscheinlichkeitsmaße und Wahrscheinlichkeitsräume 4.21 Definition diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4.22 Bemerkung über diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4.23 Beispiel: Kollektives Modell der Risikotheorie . . . 4.24 Beispiele für diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Poissonverteilungen, logarithmische Verteilungen und geometrische Verteilungen 4.25 Erinnerung: Das Lebesgue-Integral 4.26 Definition Lebesgue-stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4.27 Bemerkungen über Lebesgue-stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4.28 Beispiele Lebesgue-stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Gleichverteilungen, Normalverteilungen, Arcussinus-Verteilungen und Gammaverteilungen . C Verteilungsfunktionen 149 150 150 .151 151 . 151 152 . 152 153 . 153 154 156 161 161 .162 167 4.29 Satz und Definition: Verteilungsfunktionen 167 4.30 Eindeutigkeitssatz für Wahrscheinlichkeitsmaße . . .169 4.31 Verteilungsfunktionen diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen 169 4.32 Beispiele für Verteilungsfunktionen diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen 170 517 Inhaltsverzeichnis 4.33 4.34 4.35 4.36 4.37 4.38 D Verteilungsfunktionen Lebesgue-stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen 170 Beispiele für Verteilungsfunktionen Lebesgue-stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen 171 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mittels Verteilungsfunktionen 173 Hilfssatz: Eigenschaften reeller Verteilungsfunktionen . 174 Bemerkung zu multivariaten Verteilungsfunktionen . . 175 Zerlegungssatz für reelle Verteilungsfunktionen . . . 176 R u n d um das L e m m a von Borel-Cantelli .... 177 4.39 Hilfssatz: Wahrscheinlichkeit eines mengentheoretischen lim sup 177 4.40 Lemma von Borel-Cantelli 177 4.41 Folgerung aus dem Lemma von Borel-Cantelli . . . . 178 4.42 Beispiel zum Lemma von Borel-Cantelli 179 4.43 Folgerung: Satz vom endlos tippenden Affen 179 4.44 Definition terminaler cr-Algebren 180 4.45 Satz: Null-Eins-Gesetz von Kolmogorov 180 E 5 518 Aufgaben . . 181 Zufallsvariablen, Zufallsvektoren und Verteilungen von Zufallsgrößen 188 A Numerische Zufallsvariablen mit abzählbarem Bild 188 5.1 Numerische Zufalls variablen 5.2 Beispiel: Wartezeiten bei Bernoullifolgen 5.3 Beispiele für Schadenzahlverteilungen im kollektiven Modell der Risikotheorie: Panjer-Klasse 189 189 192 B Signalprozesse, Zählprozesse und Punktprozesse 194 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 Definition stochastischer Prozesse 194 Beispiel: Bernoulliprozeß 195 Signalprozesse, Zählprozesse und Punktprozesse . . . 195 Beispiel: Homogener Poissonscher Zählprozeß . . . . 197 Modellbildungsproblem 198 Satz: Die Verteilungen der Zuwächse homogener Poissonprozesse 198 Inhaltsverzeichnis C Numerische Zufallsvariablen und Zufallsvektoren 5.10 Hilfssatz: Charakterisierung numerischer Zufallsvariablen 5.11 Folgerung: Zählvariablen und Wartezeiten sind Zufallsvariablen 5.12 Beispiel: Punktprozeß eines homogenen Poissonprozesses 5.13 Folgerungen zu Hilfssatz 5.10 5.14 Definition meßbarer Abbildungen zwischen beliebigen Meßräumen 5.15 Bemerkungen zu meßbaren Abbildungen 5.16 Definition: Zufallsvektoren 5.17 Beispiel: Personengesamtheiten mit mehreren Ausscheideursachen 5.18 Beispiel: Gruppen von Personen aus mehreren Personengesamtheiten 5.19 Beispiel: Buffonsches Nadelexperiment 5.20 Satz: Charakterisierung von Zufallsvektoren 5.21 Stetige Funktionen von Zufallsvektoren D ^ Verteilungen meßbarer Abbildungen 200 200 201 201 201 202 202 203 204 204 204 205 205 206 5.22 Satz und Definition: Verteilung einer Zufallsgröße . .206 5.23 Satz: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Zufallsvariable mit abzählbarem Bild 207 5.24 Wahrscheinlichkeitsmaße und Verteilungen meßbarer Abbildungen 207 5.25 Beispiel: Eindimensionale Normalverteilungen . . . . 208 5.26 Beispiele für Schadenhöhenverteilungen im kollektiven Modell der Risikotheorie: Gammaverteilungen, Weibullverteilungen, Paretoverteilungen und Lognormalverteilungen 209 E Der Intensitätskalkül (Ausfallraten) 217 5.27 Intensitätskalkül für Lebensdauerverteilungen . . . .217 5.28 Hilfssatz: Modellbildung mittels Sterbeintensitäten . . 220 5.29 Beispiele: Gompertzverteilungen und GompertzMakeham-Verteilungen 220 5.30 Sterbeintensitäten von WeibullVerteilungen 224 519 Inhaltsverzeichnis 5.31 • Beispiel: Personengesamtheiten mit mehreren Ausscheideursachen (Fortsetzung von Beispiel 5.17) F Zwei Beispiele aus der geometrischen Wahrscheinlichkeitstheorie 225 5.32 5.33 Beispiel: Buffonsches Nadelexperiment (Fortsetzung) Beispiel: Cauchyverteilungen G Quantilfunktionen 5.34 Modellbildungsproblem für univariate Verteilungsfunktionen 228 Definition von Quantilfunktionen 228 Bemerkungen über Quantilfunktionen und Quantile . . 228 Satz: Existenz von Zufallsvariablen mit gegebenen Verteilungsfunktionen 231 Satz: Transformation auf Gleichverteilung 232 Beispiel: Mediän von Lebensdauerverteilungen . . . . 232 Beispiel: Value at Risk 233 Beispiel: Perzentilprinzip der Prämienkalkulation . . .234 5.35 5.36 5.37 5.38 5.39 5.40 5.41 H 5.42 5.43 5.44 5.45 5.46 5.47 5.48 5.49 I Transformation von Zufallsgrößen und ihren Verteilungen . 225 226 228 235 Hilfssatz: Iterierte Verteilungen 235 Transformationen univariater Verteilungsfunktionen . .235 Transformationen univariater Lebesgue-Dichten . . .237 Transformationssatz für Dichten 238 Folgerung: Affin-lineare Transformationen multivariaterLebesgue-Wahrscheinlichkeitsdichten . . . . 239 Folgerung: Lebesgue-Dichten von Quotienten von Zufallsvariablen 239 Folgerung: Lebesgue-Dichten von Summen von Zufallsvektoren 241 Bemerkung: Von der gemeinsamen Verteilung zu Randverteilungen 241 Multivariate Normalverteilungen 5.50 Definition: Mehrdimensionale Standardnormalverteilung 5.51 Mehrdimensionale Normalverteilungen 520 . 224 242 242 243 Inhaltsverzeichnis 5.52 6 Satz: Linear transformierte Gaußvektoren sind Gaußvektoren 5.53 Folgerung: Orthogonal transformierte Gaußsche Einheitsvektoren 5.54 Folgerung: Lineare Funktionale von Gaußvektoren sindGaußisch 247 J 248 Aufgaben Konvergenz von Zufallsgrößen und ihren Verteilungen A 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 6.14 6.15 Stochastische Konvergenz und fast sichere Konvergenz 244 247 258 258 Definition: Stochastische Konvergenz von Zufallsvariablen 258 Bemerkungen zur stochastischen Konvergenz von Zufallsvariablen 258 Beispiel: Stochastische Konvergenz trotz Divergenz in allen Punkten 259 Stochastische Konvergenz von Zufallsvektoren . . . .261 Fast sicher bestehende Eigenschaften, fast sichere Konvergenz 261 Eindeutigkeit des fast sicheren Limes 262 Satz: Charakterisierungen fast sicherer Konvergenz . . 262 Satz: Cauchykriterium für fast sichere Konvergenz . . 263 Folgerungen aus den Sätzen 6.7 und 6.8 263 Satz: Fast sichere Konvergenz — Stochastische Konvergenz 264 Folgerung: Cauchykriterium für stochastische Konvergenz 265 Folgerung: Konvergenzerhalt unter stetigen Transformationen 266 Folgerung: Limesrechenregeln für stochastische und fast sichere Konvergenz 266 Definitionen: Stetigkeitseigenschaften stochastischer Prozesse 267 Beispiel: Stetigkeitseigenschaften von Pfaden von Poissonprozessen 267 521 Inhaltsverzeichnis B Verteilungskonvergenz 6.16 Diskussion: Punktweise und gleichmäßige Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktionen . . . . 269 Definition: Verteilungskonvergenz von Zufallsvariablen 271 Eindeutigkeit des Limes bei Verteilungskonvergenz . . 2 7 1 Satz: Stochastische Konvergenz — Verteilungskonvergenz 272 Beispiel: Stochastische Konvergenz — Verteilungskonvergenz 272 Metrisierung der Verteilungskonvergenz 273 Satz: Verteilungskonvergenz und Quantilfunktionen . . 274 Beispiel: Zur Konvergenz der Perzentilprämie . . . . 275 Satz: Fast sichere Konvergenz — Verteilungskonvergenz 277 Falschaussage zur Verteilungskonvergenz von Summen verteilungskonvergenter Zufallsvariablen 277 6.17 6.18 6.19 6.20 6.21 6.22 6.23 6.24 6.25 C 268 Der Variationsabstand von Wahrscheinlichkeitsmaßen 278 6.26 Definition: Variationsabstand von Wahrscheinlichkeitsmaßen 278 6.27 Bemerkungen zum Variationsabstand 278 6.28 Hilfssatz zur Berechnung des Variationsabstandes . . . 279 6.29 Beispiel: Poissonsche Approximation 280 D 7 . Erwartungswerte, höhere Momente und Lp-Räume A 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 522 Aufgaben 280 . . Aufbau und elementare Eigenschaften des Erwartungswertes Algebraische Induktion Hilfssatz: Monotone Approximation durch einfache Zufallsvariablen Hilfssatz: Nullstetigkeit des Erwartungswertes einfacher Zufallsvariablen Definition: Erwartungswert nichtnegativer Zufallsvariablen Bemerkungen zur Erwartungswertdefinition 286 286 286 288 289 290 290 Inhaltsverzeichnis 7.6 Satz: Linearitäts- und Monotonieeigenschaften des Erwartungswertes 290 7.7 Folgerungen aus Satz 7.6 291 7.8 Satz von der monotonen Konvergenz (Satz von Beppo Levi) 291 7.9 Folgerungen aus dem Satz von der monotonen Konvergenz 292 7.10 Beispiele: Berechnung von Erwartungswerten . . . . 2 9 3 7.11 Beispiel: Erwartete zukünftige Verweildauer 296 7.12 Definition: Erwartungswert bei beliebigem Vorzeichen 297 7.13 Bemerkungen zur Erwartungswertdefinition . . . . . 2 9 7 7.14 Satz: Linearitäts- und Monotonieeigenschaften des Erwartungswertes 298 7.15 Folgerungen aus Satz 7.14 und Folgerung 7.7 . . . . 298 B Erwartungswertberechnung: Sätze und Beispiele 7.16 Satz: Transformationssatz für Integrale 7.17 Folgerung: Erwartungswert = Symmetriezentrum . . 7.18 Beispiele für Erwartungswerte symmetrischer Verteilungen 7.19 Folgerung: Erwartungswerte sind stets LebesgueIntegrale 7.20 Folgerung: Erwartungswerte bei diskreten oder absolutstetigen Verteilungen 7.21 Berechnungsbeispiele für zweite Momente diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen 7.22 Beispiele: Erwartungswerte und höhere Momente von Zufallsvariablen mit Lebesgue-stetigen Verteilungen . 7.23 Exkurs: Zahlungsströme und ihre Bewertungen . . . 7.24 Beispiele: Erwartete Barwerte und höhere Momente von Barwerten natürlicher Versicherungsleistungen . 7.25 Allgemeine Stationaritätsbedingung und unterjähriger Sterblichkeitsverlauf C Verteilungsmaßzahlen 7.26 Lagemaßzahlen 7.27 Beispiele zur Unimodalität und zu Modalwerten 298 299 .299 300 300 301 303 . 304 .307 .310 312 313 313 . . .315 523 Inhaltsverzeichnis 7.28 Definition: Varianz, Standardabweichung und Variationskoeffizient integrierbarer Zufalls variablen 316 7.29 Streuungsmaßzahlen 316 7.30 Ungleichung von Tschebyschev-Markov 317 7.31 Transformationsverhalten der Varianz und Standardisierung 318 7.32 Berechnungsbeispiele für Varianzen diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen . 319 7.33 Berechnungsbeispiele für Varianzen Lebesgue-stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen 320 7.34 Definition: Kovarianz quadratintegrierbarer Zufallsvariablen 321 7.35 Hilfssatz und Definition: Kovarianzen und Korrelationskoeffizienten 322 7.36 Beispiel: Varianz der (ganzzahlig gestutzten) zukünftigen Verweildauer 323 7.37 Beispiel: Kovarianz, Korrelation und nichtlinearer Zusammenhang 324 7.38 Satz: Kovarianz gegenläufig monotoner Funktionen . . 324 7.39 Definition: Stochastische Ordnung 324 7.40 Hilfssatz: Charakterisierungen der stochastischen Ordnung 325 7.41 Folgerung: Negative Korrelation von Barwerten von Erlebensfalleistungen und Todesfalleistungen . . . . 327 7.42 Rechtsschiefe (linkssteile) und linksschiefe (rechtssteile) unimodale Wahrscheinlichkeitsverteilungen 328 7.43 Definition: Momentenkoeffizient der Schiefe 330 7.44 Beispiele: Die Schiefe einiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen 330 7.45 Definition: Kurtosis und Exzeß 331 7.46 Beispiel: Kurtosis von Gleichverteilungen 332 D Konvergenzsätze für Erwartungswerte 7.47 Satz: Lemma von Fatou 7.48 Lemma von Fatou ohne Vorzeicheneinschränkung 7.49 Satz von der dominierten Konvergenz (Satz von Lebesgue) 7.50 Bemerkungen zum Satz von Lebesgue 524 333 333 . . 334 334 334 Inhaltsverzeichnis 7.51 7.52 Beispiel: Verdoppelungsstrategie (Petersburg-Spiel) . . 3 3 5 Folgerung: Charakterisierung von Verteilungskonvergenz durch Konvergenz von Erwartungswerten 338 E Integralungleichungen, Lp-Räume und gleichgradige Integrierbarkeit 339 7.53 Bezeichnungen: Konjugierte Exponenten und p-Halbnormen Satz: Integralungleichungen von Holder und Minkowski Folgerungen aus den Ungleichungen von Holder und Minkowski Bemerkungen zur TVp-Konvergenz Satz: Ungleichung von Jensen Bemerkungen über konvexe Funktionen Einführung von Lp-Räumen Vollständigkeitssatz von Riesz und Fischer Konvergenz im Mittel impliziert stochastische Konvergenz Definition: Gleichgradige Integrierbarkeit Hilfssatz: Charakterisierung der gleichgradigen Integrierbarkeit Verallgemeinerter Satz von der dominierten Konvergenz (Satz von Lebesgue) Folgerung: Satz von Lebesgue für verteilungskonvergente Folgen Satz: Der stetige Dualraum von Lp Konvergenzkonzepte für Zufallsvariablen und ihre Verteilungen 7.54 7.55 7.56 7.57 7.58 7.59 7.60 7.61 7.62 7.63 7.64 7.65 7.66 7.67 F Erwartungswertvektoren und Kovarianzmatrizen 339 340 340 341 341 342 343 344 345 346 347 347 349 350 351 352 7.68 Definition: Erwartungswertvektoren 7.69 Rechenregeln für Erwartungswertvektoren 7.70 Beispiele für Erwartungswertvektoren 7.71 Definition: Kovarianzmatrizen 7.72 Eigenschaften von und Rechenregeln für Kovarianzmatrizen 7.73 Beispiele für Kovarianzmatrizen 353 354 G 355 Aufgaben 352 352 353 353 525
