2009 Aufgaben incl. Lösungen Staffel

MATHESTAFFEL 2009
Die Bearbeitungszeit für 20 Aufgaben beträgt 60 Minuten.
Insgesamt gibt es 500 Punkte.
1 (20 Punkte)
Sieben Gebiete
Drei Kreise begrenzen sieben Gebiete. Wir verteilen die Zahlen von 1 bis 7 auf die sieben
Gebiete, so dass in jedem Gebiet genau eine Zahl steht. Die Zahlen 1 und 2 sind schon
platziert. Die anderen Zahlen müssen so platziert werden, dass die Summe der Zahlen
innerhalb jedes Kreises dieselbe ist. Hierfür gibt es verschiedene Möglichkeiten.
2
1
Wie groß ist die Summe der Zahlen innerhalb eines Kreises? Gib alle möglichen Summen
an!
2 (20 Punkte)
Überlappen
√
Ein DIN-A4-Blatt ist ein rechteckiges Stück Papier, dessen Höhe das 2-fache der Breite
ist.
Zwei DIN-A4-Blätter liegen übereinander wie in dieser Figur.
Wie viel Prozent der unteren Blattfläche wird durch das obere Blatt verdeckt?
3 (30 Punkte)
Schachzüge mit dem Springer
Wie viele Schachzüge sind mit dem Springer auf einem Standardschachbrett 8 × 8 möglich?
Dabei sollen beispielsweise die Schachzüge c2-d4 und d4-c2 als zwei Züge gezählt werden.
8
7
6
5
4
3
2
1
a b c d e f
g h
Wie viele Schachzüge mit dem Springer auf einem 8 × 8 - Schachbrett gibt es?
4 (20 Punkte)
Der Umfang der Dreiecke.
In das Dreieck ABC wird das Dreieck DEF , das durch die Mitte der Seiten gebildet
ist, gezeichnet. Darüber wird in dem Dreieck EF C das Dreieck IJH gezeichnet, dessen
Ecken die entsprechenden Seitenmitten sind. Anschließend wird in dem Dreieck JHC das
Dreieck KLM gezeichnet, dessen Ecken ebenfalls Seitenmitten sind, usw... Die Länge von
AB beträgt 12 cm, die Länge von AC beträgt 8 cm und die Länge von BC beträgt 13 cm.
C
N
K
J
E
A
b
b
b
b
O
b
b
b
L
b
b
M
b
H
b
b
I
b
F
b
b
D
B
Wie groß ist der gesamte Umfang von allen eingezeichneten Dreiecken?
5 (30 Punkte)
Die Summe der Nachbarn
Ein Kreis ist in vier Bögen eingeteilt. An den Punkten, die die Bögen unterteilen, stehen
die Zahlen 1, 2, 3 und 4. In die Mitte jedes Bogens schreibst du eine Zahl, nämlich die
Summe der Zahlen, die an den Endpunkten des Bogens stehen. Dein Kreis ist damit in
acht Bögen unterteilt.
Dieses Verfahren wiederholst du; die Anzahl der Zahlen verdoppelt sich jedes Mal.
b
b
1
b
4
2
3
b
5
b
b
b
1
(20 Punkte)
b
4
b
2
7
3
b
Wenn dort 32 Zahlen stehen, wie groß ist dann deren Summe?
6
3
5
b
b
Der Kegel
Ein Kegel mit Spitze T habe eine Grundfläche mit Radius 1. Der Grundfläche ist ein
Quadrat ABCD einbeschrieben. Die Achse des Kegels bildet einen 45◦ Winkel mit den
Linien T A, T B, T C und T D. Eine zur Grundfläche senkrechte Ebene durch AB schneidet
den Kegel in einer krummen‘ Linie (einer Hyperbel).
’
T
T
D
A
A
B
C
B
Wie groß ist der Abstand des höchsten Punktes der krummen‘ Linie zur Grundfläche?
’
7 (20 Punkte)
Summe aufeinanderfolgender Zahlen
Die Zahl 30 ist die Summe von vier aufeinanderfolgenden Zahlen (6 + 7 + 8 + 9) und auch
die Summe von fünf aufeinanderfolgenden Zahlen (4 + 5 + 6 + 7 + 8).
Welches ist die kleinste Zahl größer als 30, die die Summe von vier aufeinanderfolgenden Zahlen und auch von fünf aufeinanderfolgenden Zahlen ist?
8 (20 Punkte)
Die Bierdeckel
Fünf gleich große, runde Bierdeckel liegen so nah beieinander, dass ihre Mittelpunkte ein
gleichmäßiges Fünfeck bilden.
b
b
b
b
b
b
Um welchen Winkel dreht sich ein sechster, gleichgroßer Bierdeckel, wenn er einmal um
die ganze Figur rollt?
9 (20 Punkte)
Die Zahlenmauer
Die folgende Zahlenmauer muss so ausgefüllt werden, dass die Zahl, die auf einem Stein
steht, stets das Produkt der beiden unmittelbar darunter stehenden Zahlen ist (ausgenommen Zahlen der untersten Reihe).
z
240
12
1
2
3
20
4
5
6
7
8
9
Wie viele End-Nullen hat die oberste Zahl z?
10 (20 Punkte)
Die Preisübergabe
Die Preisübergabe bei einem Mathematikwettbewerb verläuft folgendermaßen. Erst werden
alle Preise – es sind mehr als 111 – gleichmäßig auf 3 Körbe verteilt, wobei ein Preis übrig
bleibt. Das Gewinnerteam bekommt den gesamten Inhalt eines Korbs, der übrigbleibende
Preis wird unter dem Publikum verlost. Anschließend wird der Inhalt der übriggebliebenen
2 Körbe wieder auf 3 Körbe verteilt, wobei wieder ein Preis übrig bleibt. Das Team, das
Zweiter geworden ist, bekommt nun den Inhalt eines Korbes, und der übriggebliebene Preis
wird wieder unter dem Publikum verlost. Schließlich wird der Inhalt der übrigen 2 Körbe
auf 3 Körbe verteilt, wobei wiederum ein Preis für das Publikum übrig bleibt. Die Teams,
die Dritter, Vierter und Fünfter geworden sind bekommen jeweils den Inhalt eines Korbes.
Wie viele Preise bekommt das Gewinnerteam mindestens?
11 (30 Punkte)
Das Sechseck
Die hier unten abgebildete Figur zeigt ein konvexes Sechseck, das einem gleichseitigen
Dreieck einbeschrieben ist und das selbst aus 22 gleichseitigen Dreiecken besteht. Mit
konvex‘ ist gemeint, dass das Sechseck nur 120◦ Winkel hat.
’
Wie groß ist der Umfang eines konvexen Sechsecks, das aus 111 Dreiecken mit Seitenlänge
1 cm gebildet werden kann?
12
(30 Punkte)
Das Gebäude
Ein Gebäude, dessen Grundriss hier unten abgebildet ist, muss mit Überwachungskameras
gesichert werden. Dies muss so geschehen, dass in jedem horizontalen Gang und jedem
vertikalen Gang genau eine Kamera steht.
Die möglichen Platzierungen für einen 4 × 4 Grundriss sind folgende:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
und für ein 5 × 5 Grundriss:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Wie viele Platzierungen sind für den obigen 8 × 8 Grundriss möglich?
13 (20 Punkte)
Das Spiegelkabinett
In einem quadratischen Spiegelkabinett von 10 m × 10 m befinden sich in einer Wand
Öffnungen, die wir mit den Buchstaben A bis J bezeichnen. Die Öffnungen sind einen
halben Meter breit und haben einen Zwischenabstand von einem halben Meter. Die drei
anderen Wände und die Räume zwischen den Öffnungen sind komplett mit Spiegeln versehen.
Nun wird ein Laserstrahl von der Ecke bei A mit einer Steigung von 50/59 losgeschickt.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Aus welcher Öffnung tritt der Laserstrahl aus?
14 (30 Punkte)
Die Umkehrung
Finde alle reellen Zahlen x zwischen 10 und 11, deren Dezimalbruchentwicklung nach dem
Komma die gleiche ist wie die Dezimalbruchentwicklung des Kehrwertes x1 .
15 (30 Punkte)
Der kürzeste Weg
Gegeben ist ein Körper, der aus vier Würfeln der Kantenlänge 1 wie in der Abbildung
zusammengesetzt ist.
b
B
b
A
Bestimme die Länge des kürzesten Weges von A nach B auf der Oberfläche des Körpers.
16 (30 Punkte)
Fähren
Zwei Fähren eines Fährdienstes beginnen auf einem Fluss gleichzeitig die Überfahrt von
direkt gegenüberliegenden Anlegestellen. Fähre 1 ist etwas schneller als Fähre 2.
Fähre 1 legt von A ab, Fähre 2 von B. Die Boote begegnen sich 155 m von B entfernt und
warten 12 Minuten an ihren Anlegestellen bis sie zurückfahren. Bei der Rückfahrt begegnen
sie sich 85 m von A entfernt.
Wie breit ist der Fluss?
17 (20 Punkte)
Das Quadrat
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Welchen Flächeninhalt hat das kleine (dunkle) Quadrat, wenn das große Quadrat die Seitenlänge 1 hat?
18 (30 Punkte)
Die Oberfläche
Zeichnet man von den vier Ecken eines Quadrats mit Seitenlänge 1 aus jedes Mal einen
Kreisbogen, der die beiden benachbarten Eckpunkte verbindet, so entstehen in dem Quadrat neun Gebiete.
Wie groß ist der Flächeninhalt des mittleren, in der Abbildung grau gekennzeichneten Gebietes?
19 (30 Punkte)
Regen
Fünf Menschen sprechen über das Wetter der vergangenen fünf Tage. A, B, C und D stellen
jeweils zwei Behauptungen auf, Person E stellt eine Behauptung auf.
• A: Montag hat es geregnet. Dienstag auch.“
”
• B: Die Behauptungen von A sind nicht beide wahr. Mittwoch hat es geregnet.“
”
• C: Eine Behauptung von B ist nicht wahr. Donnerstag hat es geregnet.“
”
• D: Eine Behauptung von C ist nicht wahr. Freitag hat es geregnet.“
”
• E: Eine Behauptung von D ist nicht wahr.“
”
Insgesamt sind das neun Behauptungen. Höchstens zwei davon sind nicht wahr.
An welchen Tagen (Mo, Di, Mi, Do, Fr) hat es geregnet?
20 (30 Punkte)
Die Ecke
Die Winkelhalbierende CP des Innenwinkels an der Ecke C des Dreiecks ABC ist gleich
lang wie die Winkelhalbierende AQ des Außenwinkels an der Ecke A und ebenfalls gleich
lang wie die Seite AC.
b
C
◦◦
A •
•
b
b
P
B
b
Wie groß ist Winkel ∠BAC (in Grad)?
Q
MATHESTAFFEL 2009
Ausarbeitung
1
Wir benennen erst die Gebiete wie folgt:
2
b
a
c
1
d
e
Aus der Tatsache, dass die Summe im linken Kreis und im oberen Kreis dieselbe sein muss,
folgt, dass a + b + c + 1 = b + c + d + 2 vereinfacht wird zu a = d + 1. Das ergibt folgende
Möglichkeiten: d = 3, a = 4 oder d = 4, a = 5 oder d = 5, a = 6 oder d = 6, a = 7.
Aus der Tatsache, dass die Summe im rechten Kreis und im oberen Kreis dieselbe sein
muss, folgt ebenso, dass e = b + 1. Das ergibt folgende Möglichkeiten: b = 3, e = 4 oder
b = 4, e = 5 oder b = 5, e = 6 oder b = 6, e = 7.
Die überlappenden Kombinationen d = 3, a = 4 und b = 4, e = 5 können nicht gleichzeitig
auftreten, weil der Wert 4 nur einmal vergeben werden kann. Auf diese Weise bleiben
lediglich folgende Kombinationen übrig:
• Die Kombination von d = 3, a = 4 mit b = 5, e = 6. Dann ist c = 7 und wir
bekommen eine Verteilung, die den Bedingungen entspricht, mit der Summe 17. Die
Kombination von d = 5, a = 6 mit b = 3, e = 4 ist das Spiegelbild und ergibt dieselbe
Summe.
• Die Kombination von d = 3, a = 4 mit b = 6, e = 7. Dann ist c = 5 und wir
bekommen eine Verteilung, die den Bedingungen entspricht, mit der Summe 16. Die
Kombination von d = 6, a = 7 mit b = 3, e = 4 ist das Spiegelbild und ergibt dieselbe
Summe.
• Die Kombination von d = 4, a = 5 mit b = 6, e = 7. Dann ist c = 3 und wir
bekommen eine Verteilung, die den Bedingungen entspricht, mit der Summe 15. Die
Kombination von d = 6, a = 7 mit b = 4, e = 5 ist das Spiegelbild und ergibt dieselbe
Summe.
2
Die beiden kleinen , in der Figur gekennzeichneten Dreiecke sind offfensichtlich kongruent
mit den Kathetenlängen 1 und x.
1
x
x
y
1
√
Einerseits gilt y = −x+ 2 andererseits folgt aus dem Satz des Pythagoras, dass x2√= y 2 +1.
2
Wenn wir die erste Gleichung
in die zweite
2+2=
√ einsetzen, dann erhalten wir x − 2x
√
1
2
2
y = x + 1, also 2x 2 = 1, also x = 4 2. Die Höhe des Dreiecks ist also 14 der Höhe
des Rechtecks, und die zwei Dreiecke oben und unten ergeben 41 des Flächeninhaltes des
Rechtecks.
3
Da die Anzahl der Schachzüge mit dem Springer abhängig ist von der Ausgangsposition des
Springers, kannst du die Ausgangsposition in fünf Klassen einteilen. Siehe untenstehende
Abbildung:
8
7
6
5
4
3
2
1
A
B
C
C
C
C
B
A
a
B
C
D
D
D
D
C
B
b
C C C C B A
D D D D C B
E E E E D C
E E E E D C
E E E E D C
E E E E D C
D D D D C B
C C C C B A
c d e f g h
Von einer Position Typ A sind zwei Züge möglich, von der Position von Typ B sind 3
möglich, von Typ C aus 4, von Typ D aus 6 und von Typ E aus 8. Es sind also insgesamt
4 · 2 + 8 · 3 + 20 · 4 + 16 · 6 + 16 · 8 = 336 Schachzüge möglich.
4
Die Länge von DF ist gleich der von AE, die Länge von IH ist gleich der von EJ und die
Länge von M L ist gleich der von JK usw. Die gesamte Länge der rechten Seiten der grauen
Dreiecken ist gleich der Länge von AC, nämlich 8 cm. Genauso ist die gesamte Länge der
linken Seiten gleich der Länge von BC, nämlich 13 cm. Schließlich ist die gesamte Länge
der oberen Seiten gleich der Länge von AB, also 12 cm. Der gesamte Umfang der grauen
Dreiecke ist also gleich dem Umfang des Dreiecks ABC, nämlich 33 cm.
5
Die Summe der Zahlen in der Mitte eines Bogens ist stets das Doppelte der Summe der
Zahlen an den Endpunkten des Bogens. Jeder Endpunkt wird zwei Mal gebraucht. Eine
Ausführung des Verfahrens verdreifacht also die Summe. So ist beispielsweise 5+3+5+7 =
20 das Doppelte von 1 + 2 + 3 + 4 = 10, und 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 3 + 5 + 7 = 30. Wir müssen
das Verfahren drei Mal wiederholen, um 32 Zahlen zu bekommen. Danach ist die Summe
33 · 10 = 270.
6
Die erste Abbildung hier unten zeigt eine Draufsicht“des Kegels. Hier ist M der Mittel”
punkt des Kreises, und V der Fußpunkt
der Senkrechten von M auf AB. Es ist deutlich,
√
dass die Länge von M V gleich 12 2 ist, da die Länge von ME gleich 1 ist. Die zweite Abbildung ist eine Seitenansicht. Hier ist die Linie V H die Seitenansicht der Hyperbel mit H
als höchstem Punkt. Es ist klar, dass die Länge von VH gleich
der ist von EV , und somit
√
√
ist der Unterschied der Längen von EM und V M 1 und 2, also ist der Abstand 1 − 2.
A
b
T
D
b
H
E
b
V
B
M
b
b
b
b
E V
M
C
7
Die Summe vier aufeinanderfolgender Zahlen, beginnend mit m ist m + (m + 1) + (m +
2) + (m + 3) = 4 m + 6. Die Summe fünf aufeinanderfolgender Zahlen, beginnend mit n ist
n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) = 5 n + 10. Wir suchen also natürliche Zahlen m und
n mit 4 m = 5 n + 4. Hieraus geht hervor, dass 5 n und damit n ein Vielfaches von 4 ist,
also n = 4 k, wobei k eine natürliche Zahl ist: Die Summen müssen dann beide 20 k + 10
ergeben. Die in der Aufgabenstellung als Beispiel gegebenen Reihen ergeben sich für k = 1.
Mit k = 2 erhält man die Summe 50 = 11 + 12 + 13 + 14 = 8 + 9 + 10 + 11 + 12.
8
Wir benennen die Mittelpunkte der fünf festen Bierdeckel und den Mittelpunkt des losen
sechsten Bierdeckels in seiner Anfangsstellung wie auch in der Stellung, die entsteht, wenn
er soweit gerollt ist, dass er den nächsten Bierdeckel berührt.
Y
b
b
X
D
b
E
b
b
b
A
b
C
b
B
Die Winkel des Fünfecks betragen alle 108◦ . Also auch speziell ∠EDC = 108◦ . Da das Dreieck CDX gleichseitig ist, ist ∠CDX = ∠EDY = 60◦ . Daraus folgt, dass ∠XDY = 132◦
ist. Das ist der Winkel des Bogens der Berührpunkte um D. Er ist in der Abbildung dick
eingezeichnet. Dies ist der Winkel, um den der Kreis mit Mittelpunkt X um D gedreht
wird, ohne selbst abzurollen. Nun rollt der Kreis um X zusätzlich auf dem dick eingezeichneten Bogen ab, so dass sich der Drehwinkel verdoppelt. Somit erhalten wir insgesamt
einen Winkel von 2 · 5 · 132◦ = 2 · 660◦ = 1320◦ .
9
Das folgende Diagramm zeigt die Anzahl des Faktors 5 auf jedem Platz:
70
35
15
5
0
0
0
6
3
1
2
0
1
1
0
1
1
1
0
5
4
3
0
0
15
10
4
1
0
20
10
1
0
35
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Und das folgende Diagramm zeigt die Anzahl des Faktors 2 auf jedem Platz:
200
101
52
26
12
5
2
1
0
1
26
7
1
12
4
27
11
5
3
2
2
50
23
7
2
0
49
14
3
99
6
2
1
0
16
10
4
1
1
6
3
0
3
3
0
Wir sehen, dass 70-mal der Faktor 5 in z vorkommen und mindestens genauso oft der
Faktor 2.
10
Bezeichne die gesamte Anzahl der Preise mit p0 , mit m0 die Anzahl der Preise pro Korb
in der ersten Runde, usw. Dann muss gelten:
p0 = 3 m 0 + 1
p1 = p0 − m0 − 1 = 3 m1 + 1
p2 = p1 − m1 − 1 = 3 m2 + 1
Daraus folgt, dass 2 m1 = 3 m2 + 1 und 2 m0 = 3 m0 + 1 und somit m0 = 49 m2 + 54
gelten muss. Weil m0 eine natürliche Zahl ist, muss es eine natürliche Zahl k geben mit
m2 = 4 k + 3. In diesem Fall ist m0 = 9 k + 8 und p0 = 27 k + 25. Die kleinste Zahl größer
111 in dieser Form ist 133, und das erhält man für k = 4. Das Gewinnerteam bekommt
dann m0 = 44 Preise.
11
Jedes solcher Sechsecke kann man aus einem gleichseitigen Dreieck durch das Abschnei”
den“ von drei Stücken, die selbst auch gleichseitige Dreiecke sind, erzielen. Umgekehrt kann
man aus solch einem Sechseck wieder ein gleichseitiges Dreieck machen, indem man drei
gleichseitige Dreiecke hinzufügt. Wenn wir die Längen der Seiten von den abgetrennten
Stücken mit a, b und c und die des großen Dreiecks n mit bezeichnen, dann muss gelten:
n2 − a2 − b2 − c2 = 111
und außerdem a + b < n, a + c < n und b + c < n. Das ergibt zwei Lösungen:
• n = 12, a = 4, b = 4, c = 1 (und Vertauschungen)
• n = 12, a = 5, b = 2, c = 2 (und Vertauschungen)
Beide Lösungen ergeben den Umfang 27.
12
Wir fragen uns, auf wie viele Weisen die Kameras für einen Grundriss desselben Typs zu
platzieren sind. Benenne die Anzahl.
b
b
b
In der letzten Reihe muss eine Kamera stehen und zwar entweder in der letzten Spalte, wie
in der linken Abbildung, oder in der vorletzten Spalte, wie in der rechten Abbildung. Im
ersten Fall müssen n − 1 Kameras auf einem (n − 1) × (n − 1) Grundriss derselben Sorte
verteilt werden. Das kann auf F (n − 1) Arten geschehen.
Im zweiten Fall kann der Platz rechts unten nur bewacht werden, wenn eine Kamera in
der letzten und eine in der vorletzten Reihe steht. Es müssen dann noch n − 2 Kameras
auf einem (n − 2) × (n − 2) Grundriss derselben Sorte verteilt werden. Das kann auf
F (n − 2) Arten geschehen.
Aus der oben genannten Schlussfolgerung geht hervor, dass F (n) = F (n − 1) + F (n − 2)
gelten muss. Die Abbildungen in der Aufgabestellung zeigen, dass F (5) = F (4) + F (3) =
5 + 3 = 8. Die folgenden Werte sind somit F (6) = F (5) + F (4) = 8 + 5 = 13, F (7) =
F (6) + F (5) = 13 + 8 = 21 und F (8) = F (7) + F (6) = 21 + 13 = 34.
Dies sind die berühmten Fibonacci-Zahlen.
13
Anstatt den Lichtstrahl zu spiegeln ist es einfacher ihn hindurch gehen zu lassen, dann das
Kabinett mit seinem Spiegelbild aufzufüllen wie in der folgenden Zeichnung gezeigt:
AB C DE F GHI J
AB C DE F GHI J
50
x; er verlässt das Spiegelkabinett,
Der durchgehende Lichtstrahl hat die Gleichung y = 59
falls y = 2 · 10 m ist. Das ist der Fall für x = 59
·
20
m
=
23, 6 m. Das bedeutet, dass nach
50
3-facher Spiegelung der Strahl in einem Abstand von 3,60 m zur Anfangsecke austritt. Da
dies zwischen 3,5 und 4 Metern liegt, entspricht dies Öffnung D.
Bemerkung: Man könnte natürlich auch zunächst das ganze erste Spiegelkabinett an der
59
. Weiteres Vorgehen
Winkelhalbierenden y = x spiegeln. Dann hat der Strahl die Steigung 50
wie oben liefert dann obiges Ergebnis, das man vielleicht dann weniger formal sondern eher
visuell ermitteln kann.
14
Weil x größer als 1 ist, liegt x1 zwischen 0 und 1. Da x zwischen 10 und 11 liegt, ist x − 10
die Zahl zwischen 0 und 1 mit derselben Dezimalbruchentwicklung. Es muss also x1 = x−10
2
gelten.
√ Daraus folgt x√ −10x−1 = 0. Mit der
√ p-q-Formel erhalten wir nun die zwei Lösungen
5 + 26, wobei 5 − 26 negativ ist. 5 + 26 liegt tatsächlich zwischen 10 und 11.
15
√
So wie die unten stehende Abbildung zeigt, gibt es einen Weg der Länge 3 2, indem drei
Mal eine Seitenfläche diagonal überquert wird, erst vorne, dann auf der Seite, zum Schluss
hinten.
b
B
b
A
Die Begründung dafür, dass es keinen kürzeren Weg gibt, ist komplizierter – da man einige
Fallunterscheidungen zu machen hat, was hier aber wegen der Kürze der Zeit nicht verlangt
war.
16
Eine Lösung besteht darin, das Verhältnis der Geschwindigkeiten zu betrachten. Die Wartezeit am Kai spielt keine Rolle, man kann die Uhr dann sozusagen anhalten. Bezeichne b
für die Breite des Flusses in Metern. Im Moment des ersten Treffens hat das erste Boot
b − 155 Meter zurückgelegt und das zweite Boot 155 Meter. Das Verhältnis der Geschwin. Im Moment des zweiten Treffens hat das erste Boot 2b − 85 Meter
digkeiten ist also b−155
155
zurückgelegt und das zweite Boot b + 85 Meter. Das Verhältnis der Geschwindigkeiten ist
. Da konstante Geschwindigkeiten vorausgesetzt sind, erhält man die Gleichung:
also 2b−85
b+85
(b − 155) · (b + 85) = 155 · (2b − 85) oder b2 − 380b = 0
Da b > 0, muss b = 380 sein.
17
Nicht nur die Strecken AB und AD haben √
die Länge 1 sondern auch die Strecke
√ AE. Nach
Pythagoras hat die Strecke AC die Länge 2. Damit ist die Länge von CE 2 − 1.
b
C
b
b
b
b
B
E
G
b
Db
b
C
A
b
b
b
H
b
b
b
F
b
E
√
Gleichermaßen haben nicht nur F E und F G die Länge 2 √
− 1, sondern
auch die
√
√ Strecke
F H. Nach Pythagoras hat damit die
Strecke
F
C
die
Länge
2
·
(
2
−
1)
=
2
−
2. Damit
√
beträgt
√ die2 Länge von√ CH 3 − 2 2. Der Flächeninhalt des kleinen Quadrates ist somit
(3 − 2 2) = 17 − 12 2.
18
Der höchste der vier Schnittpunkte hat den Abstand 1 zu den beiden untersten Eckpunkten des Quadrates und bildet mit ihnen ein gleichseitiges Dreieck. Siehe hierzu die linke
Abbildung .
y
z
y
x
z
y
z
z
y
√
√
Die Höhe des Dreiecks ist 12 3 und dessen Flächeninhalt 14 3. Ein entsprechendes Kreissegment mit Winkel 60◦ hat den Flächeninhalt 16 π. Somit kommen wir zu folgenden Glei-
chungen:
√
√
π
π
3
3
= −
,
x + 2y + z = 2 · −
6
4
3
4
x + 3y + z =
π
,
4
x + 4y + 4z = 1.
Ziehen wir die erste Gleichung von der zweiten und der dritten ab, dann erhalten wir:
1√
1
2y + 3z = 1 − π +
3
3
4
√
√
1
π + 12 3 und also
Noch ein Mal abziehen ergibt z = 1 − 61 π − 14 3 und y = −1 + 12
√
x = 1 + 31 π − 3.
y+z =−
1
1√
π−
3,
12
4
19
Wir erstellen ein Schema. Wir nennen die neun Behauptungen A1, A2, B1, B2, C1, C2,
D1, D2 und E. Für eine Behauptung Xn bedeutet, dass sie wahr ist, und XnJ, dass sie
falsch ist. Es gibt nun die folgenden Möglichkeiten:
EJ
D1N , D2J
C1J, C2J
B1N , B2J
B1J, B2N
D1J, D2N
C1J, C2N
B1N
B2N
B1J, B2J
C1N , C2J
EN
D1J, D2J
C1J, C2N
C1N , C2J
B1N
B2N
B1N , B2J
A1J, A2J
A1N
A2N
A1N
A2N
A1N
A2N
Man sieht, dass jede Zeile abgesehen von der ersten mehr als zwei unwahre Aussagen
enthält. Also sind nur B1 und D1 falsch, d.h. es hat an allen fünf Tagen geregnet.
20
Aus der Gleichschenkeligkeit von 4ACP folgt, dass ∠P AC = ∠CP A. Beide Winkel sind
in der untenstehenden Abbildung mit α bezeichnet. Ferner sei ∠CBA = β, ∠QAB = ξ,
∠BQA = η und ∠BCP = ∠P CA = γ.
b
C
γγ
α
A ξ
ξ
α
β
b
P
b
B
η
b
Q
Dann erhält man folgende Gleichungen :
2α + γ
α + 2γ + β
η
β
α + 2ξ
=π
=π
= 2γ
=ξ+η
=π
2α + γ
α + 2γ + β
β
α + 2ξ
=π
=π
= ξ + 2γ
=π
Aus der 3. Gleichung folgt
und dann aus der 3.Gleichung
2α + γ = π
α + 4γ + ξ = π
α + 2ξ = π
Hieraus folgt
2α + γ = π
α + 8γ = π
und somit
15α = 7π.
6
1
4
7
π, β = 15
π, γ = 15
π, ξ = 15
π, η =
Dies ergibt im Bogenmaß α = 15
im Gradmaß α = 84◦ , β = 72◦ , γ = 12◦ , ξ = 48◦ und η = 24◦ .
2
π,
15