und Absteigeoperatoren

2.4
Harmonischer Osziallator
[Griffiths 2.3]
Dies ist das vielleicht wichtigste System der Physik!
Bsp: Teilchen an Feder, Kraft F = −kx, Potential V = 12 kx2 , Bewegungsgleichung
mẍ = −kx
ẍ = −ω 2 x
mit ω =
bzw.
p
k/m.
Ein beliebiges (glattes) Potential mit Minimum bei x0 kann man um x0 entwickeln,
1
V (x) = V (x0 ) + V 00 (x0 )(x − x0 )2 + O(x − x0 )3
2
Wenn die Abweichung vom Minimum hinreichend klein ist, kann man nähern
1
V (x) = const + k(x − x0 )2
2
mit k = V 00 (x0 ). Man erhält also näherungsweise einen harmonischen Oszillator.
Klassich: Schwingungen mit Frequenz ω.
Quantenmechanisch: zeitabhängige Schrödingergleichung
~2 d2
1
2
−
+ M ωx ψ = Eψ
2M dx2 2
Zum Lösen dieser Gleichung gibt es zwei Standardmethoden. Beide sind interessant. Eine
davon ist genial einfach. Wir behandeln beide und beginnen mit der genial einfachen, der
abgebraischen Methode.
2.4.1
Auf- und Absteigeoperatoren
b = Eψ mit
Schreibe die SG als Hψ
b = 1 pb2 + (M ωb
x) 2
H
2M
Die eckige Klammer ist von der Form u2 + v 2 . Wären u und v Zahlen, wäre dies gleich
(u + iv)(u − iv). Es sind aber keine Zahlen, sondern Operatoren, die nicht vertauschen,
pbψ(x) =
~ dψ
,
i dx
x
bψ(x) = xψ(x)
Wir hatten
[b
p, x
b] =
1
~
i
Definiere trotzdem
1
b
a± := √
(b
p ± iM ωb
x)
2M
1
1
(b
p + iM ωb
x) (b
p − iM ωb
x) =
pb2 − iM ω(b
px
b−x
bpb) + (M ωb
x)2
2M
2M
1
1
b − 1 ~ω
=
pb2 + (M ωb
x)2 − ~ω = H
2M
2
2
b
a+ b
a− =
⇒
1
b =b
H
a+ b
a− + ~ω
2
b
d.h. bis auf die Konstante faktorisiert auch der Operator H.
Jetzt betrachte b
a− b
a+ . Man kann sich die Rechnung sparen, wenn man in der für b
a+ b
a−
einfach ω → − ω ersetzt. ⇒
b + 1 ~ω
b
a− b
a+ = H
2
Bilde die Differenz ⇒
[b
a− , b
a+ ] = ~ω
(∗)
Eigenschaft von b
a+ : Wenn ψ eine Lsg. der SG mit Energie E ist, dann ist b
a+ ψ eine Lsg.
mit der Energie E + ~ω. Mit anderen Worten: b
a+ erhöht die Energie um ~ω.
b = Eψ ⇒
Begründung: Sei Hψ
1
1
b
Hb
a+ ψ = b
a+ b
a− + ~ω b
a+ ψ = b
a+b
a− b
a+ ψ + ~ωb
a+ ψ
2
2
(∗)
⇒
1
b
a− b
a+ = b
a+ b
a− + ~ω
2
⇒
b a+ ψ = b
Hb
a+ b
a+ b
a− ψ + b
a+
1
~ωψ + ~ωψ
2
b +b
= b
a+ Hψ
a+ ~ωψ = b
a+ (E + ~ω)ψ
d.h.
b a+ ψ) = (E + ~ω)(b
H(b
a+ ψ)
Ersetze in dieser Rechnung ω → − ω ⇒
b a− ψ) = (E − ~ω)(b
H(b
a− ψ)
d.h. wenn ψ Lösung mit Energie E ist, dann ist b
a− Lösung mit Energie E − ~ω.
Bez: b
a+ und b
a− heißen Auf- und Absteigeoperatoren.
⇒ Energieniveaus sind äquidistant.
2
(∗)
Wir hatten gesehen, dass E nicht kleiner sein kann als das Minimum des Potentials, d.h.
es muss gelten E > 0. Wie passt das zu dem, was wir gerade über die Auf- und Absteiger
gesagt haben?
Man kann aus (∗) nur
b
a− ψ
hat Energie
E − ~ω
oder
b
a− ψ = 0
schließen.
b 0 = E0 ψ0 , und
Weil die Energie ≥ 0 sein muss ⇒ es gibt eine Wellenfunktion ψ0 , mit Hψ
b
a− ψ0 = 0. ψ0 = Wellenfunktion des Grundzustandes.
1
1
b 0= b
Hψ
a+ b
a− + ~ω ψ0 = ~ωψ0
2
2
⇒ Grundzustandsenergie =
1
~ω
2
Klassisch ist die minimale Energie =0, mit x = 0, p = 0. Quantenmechanisch ist dies
nicht möglich, weil dann x und p beide scharfe Werte hätten, was der Unschärferelation
∆x ∆p ≥ ~/2 (siehe später) widerspräche.
Bem: wir konnten auch nicht ausschließen, dass b
a+ ψ gleich Null ist. Wir werden aber
sehen, dass dies nicht der Fall ist.
Bestimmung der Wellenfunktion ψ0 :
b
a− ψ0 = 0 ⇔ (b
p − iM ωb
x) ψ0 = 0
~ 0
⇔
ψ (x) − iM ωxψ(x) = 0
i 0
3
(∗)
Dies lässt sich integrieren:
dψ0
Mω
= −
xψ0
dx
~
Z
Z ψ0 (x)
Mω x 0 0
dψ0
= −
dx x
ψ0
~
ψ0 (x)
Mω 2
ln
= −
x
N
2~
mit einer (reell und positiv gewählten) Normierungskonstante N .
Mω 2
ψ0 (x) = N exp −
x
2~
Normierung:
Z
2
dx|ψ0 |
= N
2
= N
2
Z
dxe
r
ψ0 (x) =
Mω
π~
1/4
−M ωx2 /~
r
=N
2
~
Mω
Z
dye−y
2
π~
Mω
e−M ωx
2 /(2~)
,
Energie
1
E0 = ~ω
2
Ist der Grundzustand eindeutig, sind auch die angeregten Zustände mit
b n = En ψn
Hψ
eindeutig:
ψn = Nn (a+ )n ψ0 ,
En = (n + 1/2)~ω
Wellenfunktion des ersten angeregten Zustands:
1
ψ1 = N1 √
(b
p + iM ωb
x) ψ 0
2M
N1
(b
pψ0 + iM ωb
xψ0 )
= √
2M
(∗) ⇒
N1
ψ1 = √
2iM ωb
xψ0
2M
1/4
N1
Mω
2
= √
2iM ωxe−M ωx /(2~)
2M π~
1/4
√
Mω
2
= iN1 2M ω
xe−M ωx /(2~)
π~
4
6. Mai 2014
5