Multiplikative Funktionen Anzahl und Summe der Teiler Eulersche ϕ

Multiplikative Funktionen
Eulersche ϕ-Funktion
Definition
Definition
Eine multiplikative zahlentheoretische Funktion ist eine auf den
positiven ganzen Zahlen definierte Funktion f , sodass
Sei n eine positive ganze Zahl. Die Anzahl der ganzen Zahlen k
mit 1 ≤ k < n, die zu n teilerfremd sind, wird mit ϕ(n) bezeichnet.
f (a · b) = f (a) · f (b)
für alle teilerfremden a, b.
Kennt man f für alle Primzahlpotenzen p α , so kennt man f für
r
alle positiven ganzen Zahlen: Ist p1α1 . . . prα die
Primfaktorzerlegung einer positiven ganzen Zahl, dann gilt
f (p1α1 p2α2 . . . prαr ) = f (p1α1 )f (p2α2 ) . . . f (prαr )
Anzahl und Summe der Teiler
Es handelt sich bei ϕ(n) also um die Anzahl der teilerfremden
Restklassen modulo n.
Satz
ϕ ist eine multiplikative Funktion und für Primzahlen p gilt
ϕ(p α ) = (p − 1)p α−1 .
Insbesondere gilt für Primzahlen ϕ(p) = p − 1.
Satz von Euler-Fermat
Definition
Die Anzahl der positiven Teiler von n wird mit τ (n) bezeichnet.
Satz (Euler-Fermat)
Satz
τ ist eine multiplikative Funktion und für Primzahlen p gilt
τ (p α ) = (α + 1).
Seien a und m teilerfremde positive ganze Zahlen. Dann gilt
aϕ(m) ≡ 1 (mod m).
Für m = p prim ergibt das
Definition
Die Summe der positiven Teiler von n wird mit σ(n) bezeichnet.
Satz
σ ist eine multiplikative Funktion und für Primzahlen p gilt
σ(p α ) =
p α+1 − 1
.
p−1
Satz (Kleiner Satz von Fermat)
Sei a kein Vielfaches der Primzahl p. Dann gilt
ap−1 ≡ 1
(mod p).