Exponentialform komplexer Zahlen und Eulersche Formeln

Exponentialform komplexer Zahlen und Eulersche Formeln
Nehmen wir an, wir haben eine komplexe Zahl in Polar-Form gegeben:
z = r∠ϑ
= r (cos (ϑ) + j · sin (ϑ))
Mithilfe der Exponentialfunktion ex lässt sich diese komplexe Zahl auch schreiben in der
Exponentialform
z = r · ejϑ
mit r = |z|
und ϑ = arg (ϑ)
Warum ist das so? –
Erinnern wir uns an die überall konvergenten MacLaurin-Reihen von ex , cos (x) und sin (x):
x2 x3 x4 x5
e =1+x+
+
+
+
+ ...
2
3!
4!
5!
x2 x 4 x6
cos (x) = 1 −
+
−
+ −...
2
4!
6!
x3 x5 x7
sin (x) = x −
+
−
+ −...
3!
5!
7!
x
Diese Reihen ergeben auch für komplexe Werte der Variablen x einen Sinn und liefern
Fortsetzungen dieser drei Funktionen über die gesamte komplexe Zahlenebene. Sehen wir
einmal nach, was sich ergibt für
x=j·ϑ
Wir erhalten
jϑ
e
(jϑ)2 (jϑ)3 (jϑ)4 (jϑ)5
+
+
+
+ ...
= 1 + (jϑ) +
2
3!
4!
5!
−
=1
ϑ2
2
+j·ϑ
+
−j·
ϑ3
3!
ϑ4
4!
− +...
+j·
ϑ5
5!
− +...
= cos (ϑ) + j · sin (ϑ)
Es gilt also, wie behauptet:
z = r · (cos (ϑ) + j · sin (ϑ)) = r · ejϑ
Beispiel Rechnen mit Exponential-Form.
Gegeben z1 = r1 · ejϑ1 und z2 = r2 · ejϑ2 .
Dann ist z1 · z2 = r1 · r2 · ejϑ1 · ejϑ2 = r1 · r2 · ejϑ1 +jϑ2 = r1 · r2 · ej·(ϑ1 +ϑ2 ) .
Es ergibt sich also wieder die Regel: (r1 ∠ϑ1 ) · (r2 ∠ϑ2 ) = (r1 · r2 ) ∠ (ϑ1 + ϑ2 ).
Das Ergebnis der obigen Überlegungen lässt sich in folgende Eulersche Formeln fassen:
ejϑ = cos (ϑ) + j · sin (ϑ)
e−jϑ = cos (ϑ) − j · sin (ϑ)
ejϑ + e−jϑ
2
jϑ
e − e−jϑ
sin (ϑ) =
2j
cos (ϑ) =
jθ
Diese Formeln besagen unter anderem:
e
θ
jϑ
e
ist ein komplexer Einheitszeiger
im Winkel ϑ zur positiven reellen Achse
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