Aufgabensammlung: Schwingungen

Baustatik III
Aufgabensammlung – Dynamik
Aufgabe 1
Der nachfolgend dargestellte Einmassenschwinger soll untersucht werden. Das System
besteht aus einem starren Balken mit der Masse m, einem Stab und einem viskosen Dämpfer.
Berechnen Sie
a.)
die Federsteifigkeit des Stabes,
b.)
die Eigenfrequenz des Systems für Drehschwingungen um den Punkt A und
c.)
das Amplitudenverhältnis
x (t )
x (t + t *)
nach 3 Schwingungsperioden (t* = 3 ⋅ Td ) .
Gegeben:
EA
d
ΘA
starr
ϕ
1,5 m
20 m
4,5 m
A
Stahlstab ∅ 4 cm, l = 20 m
E = 210.000 N/mm²
m = 8000 kg
Viskose Dämpfung:
d = 25 kN ⋅ s/m
Hinweis:
Für die Berechnung des Massenträgheitsmoments kann der starre Balken näherungsweise als
„dünner Stab“ angenommen werden.
Universität Siegen  Lehrstuhl für Baustatik
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Baustatik III
Aufgabensammlung – Dynamik
Aufgabe 2
2⋅l
4
2
3
m
x
3⋅l
1
4⋅l
3⋅l
Gegeben ist das dargestellte schwingfähige System mit:
EA = GAS = ∞
4 EI
EA = 2 .
Stab 4:
7l
Alle Stäbe werden als masselos angenommen.
Stäbe 1 bis 3:
EI ;
a.)
Bestimmen Sie mithilfe eines Ersatzmodells die Federsteifigkeit c * .
b.)
Ermitteln Sie die Eigenfrequenz des ungedämpften Systems.
c.)
Bestimmen Sie die Durchbiegung x (t ) und die Geschwindigkeit x (t ) für die
Anfangsauslenkung x0 und die Anfangsgeschwindigkeit x0 = 0 .
d.)
Stellen Sie die Bewegungsgleichung des Systems für den Fall auf, dass an der Masse
ein viskoser Dämpfer mit der Dämpfungskonstante d angebracht wird (siehe
nachfolgende Skizze). Bestimmen Sie die Eigenfrequenz des gedämpften Systems.
m
d
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Baustatik III
Aufgabensammlung – Dynamik
Aufgabe 3
Der nachfolgend dargestellte Einmassenschwinger soll untersucht werden. Das System
besteht aus einem starren Balken mit den bereichsweise konstanten Massen m1 bzw. m2
sowie zwei Federn und einem viskosen Dämpfer.
Berechnen Sie
a.)
die Eigenfrequenz des Systems für die Drehschwingung um den Punkt A und
b.)
das Amplitudenverhältnis
x (t )
x (t + t *)
nach 5 Schwingungsperioden (t* = 5 ⋅ Td ) .
Gegeben:
m2 , Θ A,2
m1 , Θ A,1
d
starr
starr
ϕ c
1
c2
A
2, 0 m
m1 = 1200 kg
m2 = 2100 kg
c1 = 800 kN/m
c2 = 600 kN/m
4, 0 m
3, 0 m
Viskose Dämpfung:
d = 25 kN ⋅ s/m
Hinweis:
Für die Berechnung des Massenträgheitsmoments kann der Balken näherungsweise als
„dünner Stab“ angenommen werden.
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Baustatik III
Aufgabensammlung – Dynamik
Aufgabe 4
Gegeben ist der dargestellte Dreigelenkrahmen. In der Mitte des Riegels (Gelenk) hängt eine
Feder (Federsteifigkeit cF ), an der wiederum eine Masse m hängt. Zu untersuchen sind die
vertikalen Schwingungen dieser Einzelmasse.
cF
m
x
4, 0 m
F (t )
B
A
4, 0 m
4, 0 m
Gegeben:
Alle Stäbe:
Feder:
Masse:
EI = 20000 kNm 2 ;
cF = 1071,5 kN/m .
m = 5000 kg
EA = GAS = ∞.
Alle Stäbe werden als masselos angenommen.
a.)
Bestimmen Sie mithilfe eines Ersatzmodells die Federsteifigkeit c * für das Gesamtsystem.
b.)
Ermitteln Sie die Eigenfrequenz des ungedämpften Systems.
Die Masse wird mit einer periodischen Kraft F (t ) = 50 [ kN ]⋅ cos (Wt ) belastet.
c.)
Geben Sie die Differentialgleichung des Ersatzmodells und seine allgemeine Lösung
x (t ) an.
d.)
Bestimmen Sie die Vergrößerungsfunktion V für die folgenden Werte der Erregerfrequenz:
W1 = 4, 0 1/s;
e.)
W2 = 6, 0 1/s;
W3 = 8, 0 1/s.
Bestimmen Sie für die größte Vergrößerungsfunktion V aus dem Aufgabenteil d.) die
konkrete Lösung x (t ) des Systems für die Anfangsbedingungen x (0) = 0 und
v ( 0) = 0 .
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Baustatik III
Aufgabensammlung – Dynamik
Aufgabe 5
Der nachfolgend dargestellte Einmassenschwinger soll untersucht werden. Das System
besteht aus einer starren masselosen Stange, einer Punktmasse m, einem viskosen Dämpfer
sowie jeweils einer Weg- und einer Drehfeder.
d
c
2m
starr
m
j
3m
cD
A
Gegeben sind die folgenden Kennwerte:
m = 6000 kg
c = 900 kN/m
cD = 1800 kNm/rad
a.)
Geben Sie die Bewegungsgleichung für das System an und berechnen Sie die
Eigenfrequenz des Systems für die Drehschwingung um den Punkt A.
b.)
Berechnen Sie die Dämpfungskonstante d [kN ⋅ s/m] für den Fall, dass das System
1
der ursprünglichen
nach 3 vollen Ausschlägen (t* = 3 ⋅ Td ) nur noch
50
Schwingungs-amplitude besitzt.
c.)
Bestimmen Sie die vollständige Lösung j (t ) des Systems für die Anfangsbedingungen j (t = 0) = 0, 25 rad und j (t = 0) = 0.
d.)
Wie groß ist die kinetische Energie Ek des Systems zu einem beliebigen Zeitpunkt?
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Baustatik III
Aufgabensammlung – Dynamik
Aufgabe 6
Gegeben ist das dargestellte System bestehend aus zwei Stabtragwerken (Biegesteifigkeit
EI ) und zwei Federn.
g1
g2
c1
EI
EI
c2
B
m
4, 0 m
x
A
C
2,5 m
2, 0 m
3, 0 m
Gegeben:
Alle Stäbe:
EI = konst.;
Feder:
c1 =
Masse:
m = 5000 kg
24
EI ;
145
EA = GAS = ∞.
c2 =
3
EI ;
10
Alle Stäbe werden als masselos angenommen.
a.)
Bestimmen Sie mithilfe eines Ersatzmodells die Federsteifigkeit c * für das
Gesamtsystem.
b.)
Berechnen Sie die Eigenfrequenz des Systems.
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Baustatik III
Aufgabensammlung – Dynamik
Aufgabe 7
GAS = ∞
3⋅l
EA
EI
EI
m
x
3⋅l
4⋅l
EI für den Balken und der
2 EI
für den Stab. Der Balken und der Stab werden als masselos angenommen.
Dehnsteifigkeit EA =
3 l2
Gegeben ist das dargestellte schwingfähige System mit der Biegesteifigkeit
a.)
Bestimmen Sie mithilfe eines Ersatzmodells die Federsteifigkeit c * .
b.)
Ermitteln Sie die Eigenfrequenz des ungedämpften Systems.
c.)
Wie lauten die Funktion der Durchbiegung x (t ) und die Funktion der Geschwindig-keit x (t ) wenn
das System die Anfangsauslenkung x0 und die Anfangs-geschwindigkeit x 0 = 0 hat?
d.)
Stellen Sie die Bewegungsgleichung des Systems für den Fall auf, dass an der Masse eine viskose
Dämpfung mit der Dämpfungskonstante d angebracht ist (siehe nachfolgende Skizze). Bestimmen Sie
die Eigenfrequenz des gedämpften Systems.
m
d
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Baustatik III
Aufgabensammlung – Dynamik
Aufgabe 8
Gegeben sei das dargestellte System mit der Stabmasse m , der Stablänge 9 ⋅ l , der Dämpfungskonstante d
sowie der Feder- und Drehfedersteifigkeit c bzw. cM .
a.)
Stellen Sie für kleine Auslenkungen des Systems die Bewegungsgleichung um den Drehpunkt A auf
und bestimmen Sie das Lehrsche Dämpfungsmaß D .
b.)
Wie groß muss D gewählt werden, damit die Amplitude nach 4 Vollschwingungen auf 1/10 ihres
Anfangswertes abfällt?
c.)
Wie lautet die Lösung der Bewegungsgleichung, wenn das System am Anfang der Bewegung bei
j = 0 seine statische Ruhelage hat und eine Winkelgeschwindigkeit j 0 besitzt?
Gegeben: cM = 11⋅ c ⋅ l .
2
starr
3⋅ c
cM
ϕ
A
c
m
d
4⋅l
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2⋅l
d
l
2⋅l
8