Komplex III: Algebraische Strukturen

Übungsaufgaben zur Vorlesung Lineare Algebra I“
”
Komplex III: Algebraische Strukturen
Morphismen, Gruppen, Ringe, Körper und Permutationen
43. Sei M1 = M2 = R und % : x ∈ R 7→ |x| (Betrag von x). Untersuchen Sie % auf Verknüpfungstreue bezüglich Addition und Multiplikation.
44. Sei M1 = M2 = R und % : x ∈ R 7→ %(x) = −x ∈ R. Bezüglich welcher der Operationen
{+, −, ·, :} ist % verknüpfungstreu?
45. Es sei % : C → R die Abbildung, die jeder√komplexen Zahl ihren Betrag zuordnet:
z = a + b · ı ∈ C : %(z) = a2 + b2 ∈ R
bzw. z = r · eıϕ :
%(z) = r ∈ R
Untersuchen Sie die Verknüpfungstreue von % bezüglich Addition und Multiplikation.
46. Für komplexe Zahlen gelten die folgenden sechs Aussagen:
(a) Der Realteil der Summe ist gleich der Summe der Realteile.
(b) Der Realteil der Differenz ist gleich der Differenz der Realteile.
(c) Der Imaginärteil der Summe ist gleich der Summe der Imaginärteile.
(d) Der Imaginärteil der Differenz ist gleich der Differenz der Imaginärteile.
(e) Der Betrag des Produktes ist gleich dem Produkt der Beträge.
(Ausnahmen beachten!)
(f) Der Betrag des Quotienten ist gleich dem Quotienten der Beträge.
(Ausnahmen beachten!)
Formulieren Sie die dafür zuständigen verknüpfungstreuen Abbildungen und deren Verknüpfungstreue!
47. Bezeichnet (M = {O, L}, ·) die Ziffernmenge des Dualsystems mit der Multiplikation als
Verknüpfung und (W = {w, f }, ∨) die Wahrheitswertemenge (w = 1, f = 0) mit der
Disjunktion als Verknüpfung, so gelten folgende Verknüpfungstafeln:
x y x·y
a b a∨b
O O
O
w w
w
O L
O
w f
w
L O
O
f w
w
L L
L
f f
f
Konstruieren Sie eine isomorphe Abbildung % : M → W !
x
x1
x2
x1 x2 − y1 y2
48. Sei M1 =
: x, y ∈ R und ∗ gegeben durch
∗
=
.
y
x1 y2 + x2 y1
y2 y1
p
x x
= x2 + y 2 ∈ M2
Sei M2 = R+ = {a ∈ R : a ≥ 0} und ~ durch %
= y
y gegeben. Zeigen Sie, daß % ein Homomorphismus von (M1 , ∗) auf (M2 , ~).
49. Zeigen Sie, für jedes Element a ∈ M ist die Abbildung ϕ : M → M definiert durch
ϕ(x) = a ∗ x ∗ a−1
ein Automorphismus.
1
50. Wie wir wissen, nennt man zwei Gruppen (G1 , ◦1 ) und (G2 , ◦2 ) isomorph, wenn es eine
Bijektion ϕ : G1 → G2 gibt, die operationstreu“ ist (d.h. ∀x,y∈G1 : ϕ(x ◦1 y) = ϕ(x) ◦2 ϕ(y)).
”
Eine derartige Bijektion, auch Isomorphismus gennat, kann man sich als Umbenennung“ der
”
Elemente der Trägermenge vorstellen, bei welcher die Gruppentafeln ineinander übergehen.
Beweisen Sie, daß alle Gruppen der Ordung 2 isomorph sind! Beweisen Sie, daß alle Gruppen
der Ordnung 3 isomorph sind!
51. Sei G eine Gruppe. Beweisen Sie die Rechenregeln:
(a) ∀a,b∈G (a ◦ b)−1 = b−1 ◦ a−1
(b) ∀a∈G (a−1 )−1 = a
52. Sei G eine Gruppe, in der jedes Element zu sich selbst invers ist. Zeigen Sie, daß G kommutativ
ist.
53. Warum ist Z keine Gruppe mit der Subtraktion als Verknüpfung?
54. Definieren Sie eine binäre Operation auf Z durch a ◦ b = a + b + 1. Zeigen Sie, daß Z mit
dieser Operation eine Gruppe bildet.
55. Definieren Sie eine binäre Operation auf Q \ {0} durch a ◦ b = a + b + ab. Zeigen Sie, daß
Q \ {0} mit dieser Operation eine Gruppe bildet.
56. Zeigen Sie durch Bestätigung der Gruppen-Axiome, daß die Menge
M = {x ∈ R : x = 10n , n ∈ Z}
eine Gruppe mit der Multiplikation als Verknüpfung bildet.
57. (a) Es sei R5 = {[0], [1], [2], [3], [4]} die Menge der Restklassen mod 5. Auf R5 erklären wir
die Restklassenmultiplikation gemäß
[x] [y] = [x · y]
[x], [y] ∈ R5
Stellen Sie die Verknüpfungstafeln von (R5 , ) und (R5 \ {[0]}, ) auf und untersuchen
Sie beide bezüglich Gruppeneigenschaften.
(b) Führen Sie diese Untersuchung auch für R6 durch.
58. Sei G = {a1 , a2 , b1 , b2 } die Menge aller Deckabbildungen eines Rechtsecks. a1 sei die Spiegelung
an der waagerechten Symmetrieachse, a2 die Spiegelung an der senkrechten Symmetrieachse,
b1 sei die Drehung um 180◦ und b2 die Drehung um 0◦ . Die Verknüpfung sei die Nacheinanderausführung der Abbildungen. Stellen Sie die Gruppentafel auf und weisen Sie die
Gruppenaxiome nach!
59. Sei M = {a, b}. Geben Sie die Verknüpfungstafel für die Operation ∩ auf P(M ) an.
60. Es sei R+ die Menge der positiven reellen Zahlen einschließlich
0. Zeigen Sie, daß die
√
algebraische Struktur (R+ , ∗) definiert durch a ∗ b = 3 a3 + b3 kommutativ und assoziativ
ist, sowie ein neutrales Element besitzt.
61. Zeigen Sie, daß Q = (Q \ {0}, ·), die Menge der rationalen Zahlen mit Multiplikation, eine
abelsche Gruppe bildet.
2
62. Zeigen Sie, daß die algebraische Struktur C = (R × R \ {(0, 0)}, ·) mit
(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)
eine abelsche Gruppe ist.
63. Zeigen Sie, daß für eine Gruppe (G, ◦) und a, b, c ∈ G
ab = ac ⇒ b = c gilt!
64. Bestimmen Sie alle Gruppen mit n ≤ 3 Elementen durch Aufstellen der Verknüpfungstabellen!
65. Ist in den Körpern Z5 und Z7 die Gleichung x2 = 2 lösbar? Wenn ja, wie sieht die Lösung
aus?
66. Definieren die folgenden
a
a a
Addition: b b
c c
d d
Verknüpfungstafeln für die Menge {a, b, c, d} einen Körper?
× a b c d
b c d
b c d
a a a a a
Multiplikation: b a b c d
c d a
d a b
c a c d b
a b c
d a d b c
67. Die Zahlenmenge {1, −1, ı, −ı}, wobei ı die imaginäre Einheit bezeichnet, bildet mit der
Operation der Multiplikation (wie in den reellen Zahlen, unter Berücksichtigung von ı2 = −1)
eine Gruppe. Ist diese zur Kleinschen Vierergruppe oder zur Drehungsgruppe des Quadrats
isomorph? Untersuchen Sie im selben Zusammenhang die Menge {f1 , f2 , f3 , f4 } reeller Funktionen, definiert auf R \ {0}, mit f1 (x) = x, f2 (x) = x1 , f3 (x) = −x, f4 (x) = − x1 , in Bezug
auf die Kompositionsoperation!
68. Sei X = {f1 , f2 , f3 , f4 } mit X ∈ R \ {0} und f1 (x) = x, f2 (x) = x1 , f3 (x) = −x, f4 (x) = − x1 .
Zeigen Sie, daß (X, ◦) eine Kleinsche Vierergruppe bildet.
69. Bestimmen Sie sämtliche Untergruppen in der Gruppe ({f1 , f2 , . . . , f6 }, ◦) reeller Funktionen,
definiert auf R\{0, 1}, mit
1
x
f1 (x) = x, f2 (x) = x1 , f3 (x) = 1 − x, f4 (x) = 1−x
, f5 (x) = 1 − x1 = x−1
x , f6 (x) = x−1 .
Ist diese Gruppe isomorph zur symmetrischen Gruppe (S3 , ◦)?
70. Die Funktionenmenge {f1 , f2 , . . . , f6 } definiert auf R\{0, 1} mit
1
x
f1 (x) = x, f2 (x) = x1 , f3 (x) = 1 − x, f4 (x) = 1−x
, f5 (x) = 1 − x1 = x−1
x , f6 (x) = x−1 bildet
mit der Verknüpfung ∗ gemäß
(fi ∗ fk )(x) = fi (fk (x))
eine Gruppe. Bestätigen Sie unter Verwendung der Verknüpfungstafel die Gruppeneigenschaften!
71. Zeigen Sie, daß (P(M ), ∪, ∩) keinen Ring bildet.
72. Zeigen Sie, daß (P(M ), 4, ∩) einen kommutativen Ring mit Eins-Element e bildet.
(A 4 B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) : A, B ∈ P(M ))
73. Sei Z(ı) = {a + b · ı : a, b ∈ Z} ⊆ C. Zeigen Sie, daß Z(ı) ein Ring ist.
3
74. Sei (Rp , ⊕, ) ein Körper. Rp sind die Restklassen mod p und p sei eine Primzahl. Zeigen
Sie (x ⊕ y)p = xp ⊕ y p .
√
75. Bildet die algebraische Struktur ({a + b 2 : a, b ∈ R}, +, ·) einen Körper?
√
76. Bildet die algebraische Struktur ({a + b 2 : a, b ∈ Q}, +, ·) einen Körper?
√
77. Bildet die algebraische Struktur ({a + b 5 : a, b ∈ Q}, +, ·) einen Körper?
√
78. Bildet die algebraische Struktur ({a + b 3 2 : a, b ∈ Q}, +, ·) einen Körper?
79. Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung x + 2 = 1 − 2x
(a) in Q
(b) in Z5
(c) in Z7
(d) sowie in Z3
80. Zeigen Sie, daß jeder Körper nullteilerfrei ist.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
81. Gegeben sei die Permutation p =
. Bestimmen Sie
10 5 6 2 3 9 7 1 4
8
alle Inversionen und den Charakter von p. Geben Sie die Zyklendarstellung an!
1 2 3 4 5 6 7 8
82. Gegeben sei die Permutation p =
.
3 1 4 7 5 8 2 6
(a) Stellen Sie p als Prudukt elementfremder Zyklen dar.
(b) Ist p eine gerade oder ungerade Permutation?
(c) Geben Sie p−1 in beiden Darstellungsformen an (in der Form wie oben und der Zyklendarstellung).
(d) Lösen Sie die Gleichung p ∗ x = (1 2 6 3)(4 7 5 8)
(e) Bestimmen Sie p ∗ p und p ∗ p ∗ p.
83. Modellieren Sie die Kleinsche Vierergruppe durch Permutationen. Benutzen Sie dabei die
Zyklendarstellung.
84. Die Permutation p = (1 2 3 4 5 6) sei gegeben. Bestimmen Sie alle Potenzen von p und
untersuchen Sie die Menge dieser Potenzen auf Gruppeneigenschaften. Verwenden Sie dabei
die Zyklendarstellung. Stellen Sie die Verknüpfungstafel auf.
85. Zeigen Sie durch Aufstellen der Verknüpfungstafel und Überprüfung der Gruppen-Axiome,
daß die geraden Permutationen der Symmetrischen Gruppe eine Gruppe bilden (die sogenannte Alternierende Gruppe).
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