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Experiment: Messung der Lichtgeschwindigkeit über Laufzeit
10. Optik
10.1. Wellenoptik
Spiegel
gepulster Laser
„Licht sind elektromagnetische Wellen, für die das menschliche
Auge empfindlich ist:
λ ~ 400 – 750 nm
f ~ 7.5x1014 – 4x1014 Hz
Uhr
Laufzeit:
Detektor
t=
L
c
Wie alle elektromagnetischen Wellen breitet sich Licht (im Vakuum)
aus mit Geschwindigkeit
c = 3x108 m/s
10.2. Interferenz
Genauer: betrachten Lichtpuls
E (x)
Bei Überlagerung zweier Lichtwellen addieren sich die elektrischen
(und magnetischen) Felder.
Das Ergebnis hängt von der relativen Phase der Wellen ab.
vPh
vGr
Phasendifferenz φ=0
x
E0 sin(ωt)
E ( t)
„Trägerwelle“
„Einhüllende“
E (t)
Die „Wellenberge“ der Trägerwelle laufen mit
Phasengeschwindigkeit vPh ; die Einhüllende mit
Gruppengeschwindigkeit vGr.
E (t)
t
+
=
t
t
E0 sin(ωt+φ)
Doppelte Amplitude!
Für elektromagnetische Wellen im Vakuum gilt:
vPh = vGr = c
Konstruktive Interferenz der elektrischen Felder
183
184
Phasendifferenz φ=π
Beispiel: Doppelspalt
E0 sin(ωt)
E (t)
E (t )
t
E (t)
+
=
Lichtwellen
überlagern sich
t
λ
t
Amplitude Null!
d
E0 sin(ωt+φ)
Destruktive Interferenz der elektrischen Felder
Zylinderwellen
Darstellung als Funktion des Orts:
E0 sin(kx)
E (x )
In großem Abstand überlagern sich Teilwellen, die in die gleiche
Richtung laufen. Der Phasenunterschied wird bestimmt durch
den Wegunterschied in Ausbreitungsrichtung
x
E(x)
Für diesen gilt:
δ
δ = d sin α
δ
d
x
α
α
E0 sin( k(x+δ) )
Hier:
Konstruktive Interferenz für
δ = nλ
Destruktive Interferenz für
δ = (2n + 1)
Konstruktive Interferenz ergibt sich für
λ
2
n=0,1,2,3…
bzw.
sin α = n
δ = nλ
λ
d
n=0,1,2,3…
185
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Beispiel: Gitter mit N Spalten
Destruktive Interferenz ergibt sich für
sin α =
δ
2n + 1 λ
2 d
d
n=0,1,2,3…
α
Damit ergibt sich eine Intensitätsverteilung im Abhängigkeit vom
Ablenkungswinkel:
Es ergibt sich vollständig konstruktive
Interferenz, wenn benachbarte
Teilstrahlen um ganze Wellenlängen
versetzt sind:
δ = d sin α = nλ
Damit ergeben sich „Hauptmaxima“
unter den Winkeln:
sin α = n
Intensität
1
λ
d
Destruktive Interferenz ergibt sich, wenn jeweils Paare
von Teilstrahlen im Abstand von Nd/2 um eine halbe
Wellenlänge (oder ungerade Vielfache) versetzt sind:
δ
0
−2
λ
d
−
λ
W in k e l α [ra d ]
d
λ
d
2
λ
d
N
λ
d sin α =
2
2
δ=
d
also
N/2 d
Laser
α
Hier:
sin α =
α
Schirm
λ
Nd
Allgemein ergeben sich Minima bei den Winkeln
Doppelspalt
sin α = (2n + 1)
λ
Nd
n=0,1,2,3…
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Damit ergibt sich eine Intensitätsverteilung im Abhängigkeit vom
Ablenkungswinkel:
N=6
1
Breite
∼
10.1.2. Polarisation
Licht ist eine elektromagnetische Welle. Der Vektor des
elektrischen Felds kann eine beliebige (und zeitabhängige)
Richtung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung haben.
1. Hauptmaximum
λ
Nd
Intensität
188
E
c
N-1
Minima
λ
B
Nd
Definitionen:
0
−
λ
W inkel α [rad]
λ
d
d
• linear polarisiertes Licht:
der Feldvektor hat eine definierte Richtung
Je größer die Zahl der Spalten, desto schmaler die Hauptmaxima!
Einsatz als Spektrometer: Überlagerung verschiedener
Wellenlängen
2. Beugungsordnung
• Polarisationsrichtung:
Richtung des elektrischen Feldvektors
1. Beugungsordnung
Polarisatioren absorbieren bzw. reflektieren nur Licht einer
Polarisationsrichtung
1 .0
Intensität
0 .8
0 .6
Beispiel:
Polymer mit ausgerichteten Molekülen
0 .4
0 .2
Polymer
Molekülketten (Elektronen
beweglich parallel zur Kette)
0 .0
W in k e l α [r a d ]
Auflösung des Gitterspektrometers:
Spaltenzahl mal Beugungsordnung
Entspricht Metallrost für Radarwellen!
E
wird
absorbiert
E
wird
nicht
absorbiert
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Wirkung zweier Filter:
Filter parallel
2. Filter läßt alles durch
190
Gekreuzte Polarisatoren dienen zum Nachweis von polarisierender
Wirkung (z.B. durch Verspannungen in Polymeren) oder optischer
Aktivität (Drehung des elektrischen Feldvektors durch chirale
(nicht-spiegelsymmetrische) Moleküle, z.B. Zucker in Lösung
10.1.3. Licht in Materie
Materie ist im Allgemeinen elektrische und magnetisch
polarisierbar.
E-Feld
1. Filter
E-Feld
2. Filter
E-Feld
Wird beschrieben durch zwei einheitenlose Materialgrößen:
2. Filter absorbiert alles
Filter senkrecht
ε:
Dielektrizitätszahl
µ : magnetische Permeabilität
Dadurch verändert sich die Wellengleichung:
E-Feld
1. Filter
E-Feld
2. Filter
E-Feld
Aber: Licht wird wieder transmittiert, falls der Feldvektor zwischen
den gekreuzten Filtern gedreht wird, z.B. durch einen dritten Filter:
δ2 1
δ2 B
(
x
,
t
)
=
B ( x, t )
δ t2
µ µ 0ε ε 0 δ x 2
δ2 1
δ2 E ( x, t ) =
E ( x, t )
δ t2
µ µ 0ε ε 0 δ x 2
Ebene Welle in Materie
und man erhält eine neue Lichtgeschwindigkeit
c=
1. Filter
E-Feld
3. Filter
E-Feld
2. Filter
E-Feld
ω
k
=
1
µ µ 0ε ε 0
=
1
µε
c0
191
Definition:
Damit nehmen ε und der Brechungsindex n im sichtbaren Bereich zu!
n = εµ
Brechungsindex n
192
Beispiel: Brechungsindex von reinem Glas (SiO2)
Damit gilt für die Lichtgeschwindigkeit:
n
1.54
1
c = c0
n
1.52
1.50
Für transparente Isolatoren ist die Permeabilität µ ~ 1;
1.48
damit wird
1.46
n≈ ε
rot
blau
„Dispersion“
1.44
1
2
3
4
5
6
7
8
ε hängt zusammen mit der atomaren Polarisierbarkeit; diese
wiederum hängt von der Frequenz ab (das Atom kann als
gedämpfter harmonischer Oszillator gesehen werden).
10.1.4. Lichtbrechung
Auslenkung
der Elektronen
Die Lichtgeschwindigkeit im Medium ist
Resonanz
(bei typ. 5-10 eV)
in Materie
Bereich
sichtbares Licht
ω
1
c = c0
n
Die Wellenlänge wird damit
λvac =
im Vakuum
ω0
9
ω [1015 Hz]
λ=
c0
f
c c0 1
=
= λvac
f nf n
Im Medium ändert sich die Wellenlänge (aber nicht die Frequenz)!
193
Beispiele:
194
Berechnung der Lichtbrechung
Senkrechter Einfall auf eine Glasplatte in Luft
Es ist
α‘
λ
λ
c0
λ
c
c0
b
c0
nf
α
b sin α ' = λ ' =
λ/n
Luft
b sin α = λ =
c0
n' f
λ‘
Luft
Glas
Schräger Einfall auf eine Glasplatte in Luft
n
n‘
sin α n '
=
sin α ' n
und damit
Brechungsgesetz
Luft
Beispiel:
Lichtstrahl Luft → Glas
Lot
λ/n
Reflexion
Luft
Glas
Wellenlänge wird kürzer
→ Wellenfront wird verkippt
→ Laufrichtung im Glas ändert sich!
Luft
n=1
Glas
n‘ = 1.5
sin α ' =
n
1
sin α =
sin α
n'
1.5
⇒α '<α
α
α‘
!
( für α=45° wird α‘=28°)
Übergang in optisch dichteres
Medium
→ Brechung hin zum Lot
195
Daraus folgt
Lichtstrahl Glas → Luft
Lot
Reflexion
Glas
n = 1.5
sin α ' =
n
sin α = 1.5sin α
n'
⇒α ' >α
α
sin α g =
n'
n
Grenzwinkel für
Totalreflexion
!
( für α=40° wird α‘=74.6°)
α‘
Luft
n‘ = 1
196
Übergang in optisch dünneres
Medium
→ Brechung weg vom Lot
Zahlenwert: für n‘=1 und n=1.5 wird αg = 42°
(Totalreflexion wird z.B. ausgenutzt in Lichtleitern)
10.1.5. Prisma
Brechung an zwei Grenzflächen
Totalreflexion
Beim Übergang zwischen optischen Medien findet auch immer
Reflexion statt; bei dem Übergang in ein optisch dünneres
Medium wird ab einem Grenzwinkel das gesamte Licht reflektiert.
γ
δ
Gesamtablenkwinkel
n
Totalreflexion
Glas
Glas
Es gilt (im symmetrischen Fall):
Luft
Grenzsituation
sin
γ +δ
2
= n sin
γ
2
Grenzwinkel
sin α ' = 1 =
n
sin α g
n'
n
n‘
αg
α‘=90°
Der Brechungsindex hängt von der Wellenlänge ab
→ verschiedene Wellenlängen werden unterschiedlich
stark abgelenkt!
197
198
Die Brennweiten sind unterschiedlich innerhalb und außerhalb
vom Glas!
weißes Licht
rot
Glas
blau
Je kürzer die Wellenlänge, desto größer die Ablenkung!
Konstant ist dagegen der Brechungsindex geteilt durch
die Brennweite, die Brechkraft D:
D=
10.1.6. Linsen
Brechung an einer gekrümmten Grenzfläche: Halblinse
r
Für die Brennweite
f‘ gilt:
f '=
Einheit: Dioptrien
1 [dpt] = 1 [1/m]
(eine Linse mit einer Brechkraft von 5 dpt hat auf der Luftseite eine
Brennweite von 0.2 m)
n‘
n
n' n n'−n
= =
f
f
r
n'
r
n '− n
f‘
Bündelung
im „Brennpunkt“
Dünne Linsen: Brechkräfte der beiden Grenzflächen addieren
sich.
r: Krümmungsradius
Grenzfläche
r1
r2
Entgegengesetzte Richtung:
D = D1 + D2 =
n'−n n'− n
+
r1
r2
an Luft (n=1):
r
D=
n
n '− 1 n '− 1
+
r1
r2
oder
f
Hier gilt:
f =
n‘
n
r
n '− n
f =
r1r2
1
=
D ( r1 + r2 )( n '− 1)
Linsenschleiferformel
199
bikonvex
Linsentypen:
200
Für das Verhältnis der scheinbaren und wahren Größe
des Gegenstands gilt:
B b
f
f −b
= =
=
G g f +g
f
Sammellinse
f
bikonkav
Sammellinse
Gegenstand
Zerstreuungslinse
Parallelstrahl
G
x
f
B
f
virtuelles Bild (Größe B)
Für die Abstände gilt:
Gegenstand
x
g
10.1.7. Abbildung
Zerstreuungslinse
Bild
b
Parallelstrahl
f
1 1 1
= +
f g b
Hauptstrahl durch
Linsenzentrum
Abbildungsgesetz
Parallelstrahl
G
x
x
g
b
f
Für den Maßstab der Abbildung gilt:
Hauptstrahl durch
Linsenzentrum
f
Die Lichtstrahlen scheinen von einem verkleinerten Gegenstand
zwischen Brennpunkt und Linse zu kommen.
Für die Abstände gilt:
1 1 1
= +
b g f
f: Brennweite
g: Gegenstandsweite
b: Bildweite
B b
f
b− f
= =
=
G g g− f
f
Starke Vergrößerungen sind möglich für kleine g-f !
201
202
10.1.8. Optische Systeme: Mikroskop
Spezialfall: Sammellinse bei g < f (Lupe)
Kombination verschiedener Linsen
virtuelles
Bild
Gegenstand
(Größe G)
Objekt
G
B
x
x
g
f
b
Objektiv
Durch die Lupe erscheint der Gegenstand vergrößert
und weiter entfernt.
Für die Abstände gilt:
1 1 1
= +
g b f
B b
f
f +b
= =
=
G g f −g
f
Prinzipiell erscheint eine beliebige Vergrößerung möglich
(für f – g << f), praktisch ist die Vergrößerung aufgrund
von Abbildungsfehlern auf Werte von etwa 40 beschränkt.
Auge
Abbildung:
Bild auf
Netzhaut
Okular und
Augenlinse
Objektiv
x
Für das Verhältnis der scheinbaren und wahren Größe
des Gegenstands gilt:
Okular
x
x
x
Objekt
Zweimal Vergrößerung um Faktor 10 - 40:
Gesamtvergrößerung 100-1600 !
Frage: gibt es eine prinzipielle Grenze der Vergrößerung?
203
10.1.9. Optisches Auflösungsvermögen
204
Damit das erste Beugungsmaximum in die Linse eintritt, muss
gelten:
α ≤ αL
⇒ sin α ≤ sin α L
Wann kann man zwei Punkte unterscheiden, die von
der gleichen Lichtquelle beleuchtet werden?
Die überlagerten Wellen unterscheiden
sich von der Welle eines Punktes
nur durch die Interferenzstreifen
a
⇒
sin α =
λ
und damit
Es gilt
r
und damit
~f
n sin α L
Numerische Apertur
a≥
Für ein Mikroskopobjektiv ist
r
tan α L ≈
f
sin α L ≈
Linse
λ
Damit lautet die Bedingung dafür, dass zwei Punkte mit Abstand
a noch als getrennt wahrgenommen werden können:
Tatsächlich ist die Auflösungsbedingung noch etwas strenger,
mindestens das erste Beugungsmaximum muss in die abbildende
Linse eintreten, d.h. der Beugungswinkel muss kleiner sein als der
Öffnungswinkel der Linse
αL
Definition:
a≥
A = n sin α L
2a
Falls nun a = λ/2 ist, gilt α = 90 Grad, d.h. unter
kleineren Beobachtungswinkeln wird kein Minimum
wahrgenommen, die Punkte können nicht als
zwei separate Punkte erkannt werden.
Öffnungswinkel
≤ sin α L
na
von den Punkten
ausgehende Lichtwellen
Das erste Beugungsminimum erscheint unter dem Winkel α,
mit
λ
r
r2 + f 2
λ
A
A≈n
r
r2 + f 2
r: Linsenradius
f: Brennweite
n: Brechungsindex des Mediums
205
Allgemein gilt:
Mit frei laufenden Wellen lassen sich keine Strukturen
auflösen, die deutlich kleiner sind als die Wellenlänge
Beispiel:
grünes Licht hat λ = 500 nm
⇒ deutlich kleinere Strukturen (etwa mit Abständen
von 250 nm) lassen sich nicht mehr auflösen
Mit blauem Licht (λ = 460 nm) ist das Auflösungsvermögen
etwas besser als mit rotem Licht (λ = 640 nm)