3 Gleichgewicht freier Körper - WWW-Docs for B-TU
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17 3 Gleichgewicht freier Körper Freie Körper treten bei technischen Problemstellungen nur selten auf. Dennoch wird sich deren Betrachtung später bei gebundenen Systemen in Form einer Teilproblemstellung als hilfreich erweisen. Greifen an einem Körper mehrere Kräfte und Momente an, kann deren Gesamtwirkung bezüglich eines Bezugspunkts elegant durch einen äquivalenten Kraftwinder beschrieben werden. Ein Körper ist dann im Gleichgewicht, wenn dieser Kraftwinder bezüglich eines beliebigen Punktes verschwindet. Daraus ergeben sich bei einer räumlichen Betrachtung sechs Gleichgewichtsbedingungen, die sich bei einer ebenen Betrachtung auf drei reduzieren. 18 3 Gleichgewicht freier Körper 3.1 Kraftwinder Kräfte haben die Tendenz, Körper zu verschieben, Momente die Tendenz, Körper zu verdrehen. Die Erfahrung zeigt allerdings, dass Kräfte über einen Hebelarm auch Momentenwirkung haben. Zur vollständigen Beschreibung der Gesamtwirkung bezüglich eines allgemeinen Bezugspunkts benötigt man den Begriff des Kraftwinders. Äquivalenter Kraftwinder D einer Einzelkraft ³ MP + ³ r PO i X Oi P X Oi P ³ Fi ³ ³ Fi D Fi eines Einzelmoments ³ ³ MP 5 Mj ³ Mj Oj X P ³ Fi 3 Gleichgewicht freier Körper 19 3.2 Kräftesysteme Allgemeine Kräftesysteme ³ Allgemeine Kräftesysteme bestehen aus F2 ³ F1 ³ z r O1 O1 ³ Fn O2 ³ ³ D gebundenen Kraftvektoren F i in den Angriffspunkten O i ³ On rO 2 ³ Mm D freien Momentenvektoren M j resultierend aus Kräftepaaren ³ rO n y ³ x M2 ³ Invarianzoperationen M1 Äquivalenter Kraftwinder eines Kräftesystems Kraftwinder bezüglich eines beliebigen Bezugspunkts P auf oder außerhalb des Körpers ³ R NJR³, M³ PNj z resultierendes Moment bez. P ³ ³ rP MP + P n ȍ rPOi ³ i+1 y x ³ Fi ) m ȍ M j ³ j+1 ³ r PO + ³ rO * ³ rP ³ i MP resultierende Kraft ³ R+ n ȍ F i i+1 ³ i 20 3 Gleichgewicht freier Körper Transformation von Kraftwindern auf neue Bezugspunkte ³ R ³ R X P P ³ ³ ³ MQ + MP ) ³ r QP MP Q ³ R Spezielle Kräftesysteme NJR, M PNj ³ ³ D NJ³0, ³0Nj Nullsystem D NJ³0, M³ PNj System von Kräftepaaren D NJR³, ³0Nj für ein P zentrales Kräftesystem (alle Wirkungslinien schneiden sich in einem Punkt P) X NJR, M QNj mit M QăR für beliebigen Bezugspunkt Q ³ ³ R ³ P X R Q ³ MQ ³ ³ ³ 3 Gleichgewicht freier Körper 21 3.3 Gleichgewichtsbedingungen ³ F2 ³ F1 Freier Körper Ein freier Körper ist im Gleichgewicht, wenn er in Ruhe ist und der Kraftwinder aller an ihm angreifenden Kräfte und Momente bezüglich eines beliebigen Bezugspunkts Pverschwindet: ³ z r O1 ³ ³ ³ O2 ³ On rO 2 ³ Mm ³ rO n ǒF1, AAA, Fn, M1, AAA, MmǓ X NJ0, 0Nj ³ O1 ³ Fn O ³ ³ y ³ ³ M2 M1 x für P 5 O n ȍ Fxi + 0, ȍǒyiFzi * ziFyiǓ ) ȍ Mxi + 0 ȍ Fyi + 0, ȍǒziFxi * xiFziǓ ) ȍ Myi + 0 ȍ Fzi + 0, ȍǒxiFyi * yiFxiǓ ) ȍ Mzi + 0 R + ȍ Fi + 0 ³ ³ ³ i+1 n M P + ȍ r POi ³ i+1 ³ m F i ) ȍ M j + 0 ³ ³ ³ j+1 ³ ³ Anstatt des Kräftegleichgewichts R + 0kann auch ein zweites Momentengleichgewicht bezüglich eines weiteren Bezugspunkts Q verwendet werden: ³ ³ ! ³ ! ³ M P + 0, M Q + 0 wobei ³ ³ r PQ ńø R ³ F1 Freier Massenpunkt ³ Fn Ein freier Massenpunkt ist im Gleichgewichtszustand, wenn er in Ruhe ist und die resultierende Kraft aller an ihm angreifenden Kräfte verschwindet: n ³ F2 z Q R + ȍ Fi + 0 ³ ³ ³ i+1 O x y 22 3 Gleichgewicht freier Körper Ebene Kräftesysteme Für viele technische Probleme genügt eine ebene Betrachtung. Dabei wird angenommen, dass alle Kräfte und Angriffspunkte in einer Ebene (z.B. xy−Ebene) liegen und die Momentenvektoren senkrecht zu dieser Ebene stehen, d.h. z i + F zi + M xi + M yi + 0. Resultierender Kraftwinder ³ F2 ³ F1 ³ Fn y X M1 R MP y P Mm M2 x x Gleichgewichtsbedingungen Drei der sechs Gleichgewichtsbedingungen sind automatisch erfüllt, speziell ȍ F z + 0, ȍ M x + 0, ȍ M y + 0. Daher vereinfachen sich die Gleichgewichtsbedingungen zu: 1) ȍ Fx + 0, ȍ Fy + 0, ȍ MPz + 0 für einen beliebigen Bezugspunkt P, oder 2) ȍ Fx + 0, ȍ MPz + 0, ȍ MQz + 0 wobei P und Q verschiedene x-Koordinaten haben, oder 3) ȍ MPz + 0, ȍ MQz + 0, ȍ MRz + 0 wobei P, Q und R nicht auf einer Geraden liegen
