Diplomvorprüfung in Mathematik I (Lineare Algebra)

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Fachhochschule München
Fakultät 03 FA
WS 2010-2011
Diplomvorprüfung in Mathematik I (Lineare Algebra) – Fahrzeugtechnik
Arbeitszeit:
90 Minuten,
Hilfsmittel:
Formelsammlung, Skripten, Bücher, Taschenrechner
Aufgabensteller:
Kaltsidou-Kloster, Pöschl , v. Tapavicza, Warendorf
!! WICHTIG: Alle Rechnungen und Ergebnisse auf diesem Arbeitsblatt eintragen!!
Das Ergebnis allein zählt nicht. Der Rechenweg muss erkennbar sein!!
Name:
Geb. – Datum
Vorname:
Stud.- Gruppe
Raum/Platz-Nr:
Aufsicht:
Punkte: (
Korr:
Note:
Deckblatt
1
/ 56)
2
Aufgabe 1: (Berechnung der inversen Matrix max = 8 Punkte) (
/8)
Gesucht ist, sofern sie existiert die inverse Matrix D-1 der gegebenen Matrix D.
Das Ergebnis allein genügt nicht. Es müssen auch
Zwischenschritte der Rechnung dargestellt werden
(d.h. z.B. alle Minoren berechnet oder die Inverse mit Hilfe des Gaussschen
Algorithmus berechnet werden).
1 
1 1


D =  1 0 1 t 
0 0
t 

Berechnen Sie die Inverse und prüfen Sie für welche t die
Inverse nicht existiert.
2
3
Rechenseite für Aufgabe 1
3
4
Aufgabe 2:
Lineares Gleichungssystem mit Parameter
Gegeben ist das lineare Gleichungssystem mit dem Parameter a:
x1 2x1 +
-x1 -
x2 +
x2 +
ax2 +
ax3
2x3
x3
= 1
= -2
= a
Für welche Werte des reellen Parameters a besitzt das lineare
Gleichungssystem
a)
b)
c)
d)
keine Lösung ?
unendlich viele Lösungen ?
genau eine Lösung ?
Man berechne ggf. die Lösungen für den Fall b)
und für den Fall c) in Abhängigkeit vom Parameter a.
4
(
/ 12)
5
Rechenseite für Aufgabe 2
5
6
Aufgabe 3: Koordinatentransformation
(
/ 12 )
Das Koordinatensystem ( x1, x2. x3 ) wird zuerst
a) um die x2 –Achse um den Winkel β = arctan(0.75) gedreht
(0<= β <= 180 Grad) , es entsteht das Koordinatensystem ( x1’, x2’.x3’) .
Nutzen Sie für β alle verfügbaren Stellen, die der Taschenrechner liefert.
b) Dieses wird anschließend um die neue Achse x1’ um -90 Grad gedreht.
Es entsteht das Koordinatensystem ( x1’’, x2’’, x3’’ ) .
Gegeben sind die Vektoren
 500 
a =  300 , b’ =
 200 
 100 
 200 , c’’ =


  100 
 400
 200 


 300 
Gesucht sind a’’ und b und b’’ und c.
Anleitung: Berechnen Sie dazu zunächst die beteiligten Drehmatrizen und
die Matrix der Gesamttransformation.
6
7
Rechenseite für Aufgabe 3
7
8
Aufgabe 4: (Vektoren, Vektorprodukt, LGS max = 12 Punkte) (
/ 12)
a) Die Vektoren
a=
1 
2
 2  und b =  0 
 
 
1 
1 
spannen eine Ebene im 3-dimensionalen Raum auf.
Gesucht ist ein rechtwinkliges Koordinatensystem mit 3 aufeinander
senkrecht stehenden Achsen (Vektoren nicht normiert). Dabei soll a nicht
verändert werden, ein Vektor bneu soll in der von a und b aufgespannten Ebene
senkrecht zu a sein und der dritte Vektor n ist der Normalenvektor der Ebene,
also ein Vektor senkrecht zu a und b.
Die Vektoren (a, bneu , n) bilden dann ein rechtwinkliges Koordinatensystem.
1) Man finde die Vektoren n und bneu.
(
/ 4)
2) Welche Darstellung hat
(
/ 8)
der Vektor c =
3
6
 
 45
in diesem System?
Anleitung : Mit einem ersten Vektorprodukt findet man den Normalenvektor n
der Ebene, mit einem geeigneten zweiten Vektorprodukt kann man den Vektor b
durch einen Vektor bneu ersetzen, der zu a und n senkrecht ist.
  9
Wenn Sie bneu nicht finden konnten rechnen Sie mit bneu =  6  weiter.
  3
8
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Rechenseite für Aufgabe 4
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Aufgabe 5: (Hauptachsentransformation max = 12 Punkte)
(
/ 12)
Gegeben ist die folgende Kurve 2. Ordnung :
6x12 + 24x1x2 - x22 -
3 =0.
a) Ermitteln Sie mit Hilfe der Hauptachsentransformation Art und Lage des
Kegelschnittes. Zeichnen Sie (Teil b) die Kurve im gegebenen
Ausgangskoordinatensystem.
(Hinweis: Die Kurve ist nur gedreht nicht verschoben.)
( /8)
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b) Zeichnen Sie die Lage des transformierten Achsensystems im x1,x2 System und zeichnen
Sieden Graphen der Kurve (Maßstab 1 LE = 2 cm).
( /4)
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Lösung Aufgabe 4
Lösung wir bilden a X b und erhalten n =
 2 
1 
 
  4
(
/ 2)
Auch b X a ist richtig.
Wir bilden nun a X n oder n X a (beides ist zulässig, die Lösungen
unterscheiden sich nur in der Orientierung, des Vektors c, man bekommt
 9
6
 
  3
9 
 6
 
 3 
oder
(
/
2)
Jetzt müssen wir das LGS
λ 1*a + λ2*bneu + λ3*n = c lösen, also
λ1 2λ 1 +
λ1 -
9λ 2 +
6λ 2 +
3λ 2 -
2λ 3
λ3
4λ 3
=
=
=
3
6
45
wir erhalten mit dem Gauss Algorithmus
1 -9 2 3
2 6 1 6
1 -3 -4 45
dann
1 -9 2 3
0 24 -3 0
0 6 -6 42
dann (2.und 3.Zeile tauschen)
1 -9 2 3
0 6 -6 42
0 24 -3 0
dann
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Ansatz
(
/ 1)
13
1 -9 2
3
0 1 -1 14
0 0 21 -166
dann
mit den Lösungen λ3 = -8 , λ2 = -1 , λ1 = 10
bei der anderen Variante ist λ2 = +1, der Rest identisch,
bildet man am Anfang b X a statt a X b, so gibt es noch 2
weitere Lösungsvarianten (es unterscheiden sich nur die Vorzeichen).
Also ist
3
6
 
 45
1 
= 10 *  2
1 
  9
-  6 
  3
-
13
 2 
8*  1 
  4
(
/ 6)