Aufgabe 1 - Cal Poly

FH München, Fachbereich 03 Fahrzeug- und Flugzeugtechnik
Prüfung in Technische Dynamik I am 11. July 2006
M.v.Tapavicza / Owen / Heel
Bearbeitungszeit: 90 min, mit Unterlagen, 5 Aufgaben. Viel Erfolg!!
Name:
Semester:
Punkte:
Note:
Bitte beachten Sie folgend Punkte:

Bearbeiten Sie Ihre Prüfung auf zwei verschiedenen Arbeitsblättern.
Verwenden Sie für die Aufgaben 1 und 2 einen anderen Papierbogen als für
die Aufgaben 3, 4 und 5. Geben Sie Ihre Antworten in zwei Teile ab.

Nummerieren Sie Ihre Antworten unbedingt deutlich und entsprechend dem
Fragebogen (z.B. 1a, 1b, 1c… u.s.w.).
Teil 1:
Aufgabe 1
Ein Schwingungssystem wird durch einen Impuls angeregt und schwingt frei aus, s.
Diagram.
1.5
1.5
1.2
0.9
0.6
0.3
y( t)
0
0.3
0.6
0.9
1.2
 1.5 1.5
0
1
2
3
4
0
5
6
7
8
9
t
10
10
Man bestimme daraus:
a) Periodendauer:
T = (9,1-0,2)/7 = 1,27 Sek
b) Frequenz:
f=
c) Gedämpfte Eigenkreisfrequenz:
ωd = 2/T = 4,94 rad/sec
1/T = 0,787 Hz
Bitte wenden !
1
y (t )
1 1,4
ln
 ln
 0,377
n y (t  nT ) 7 0,1
d) Log. Dekrement:
Δ=
e) Abklingkonstante:
δ=
/T = 0,297 Sek-1
f) 1. Nulldurchgang
t0 =
0,55Sek
g) Amplitude y bei t=0:
y(t=0)= 0,46
h) Allgemeine Gleichung für y(t):
y(t) = A*e-tsin(dt+)
i) Nullphasenwinkel:
φ = 30° (nur mit den Augen geschätzt)
j) Amplitude
A=
1,5 (geschätzt)
y(t) = 1,5*e-tsin(t+/6) (geprüft durch
k) Spezielle Gleichung für y(t):
y(0,2) = 1,41 und y(4) = 0,453)
Aufgabe 2
Z
Ein mathematisches Pendel ist mit einer
rotierenden Antriebswelle verbunden
(siehe Skizze links).
g
Es gilt:
 Die Verbindungsstange der Länge a
ist masselos.
Y
X
m

Die Stange ist mit der Antriebswelle
um die Y-Achse drehbar verbunden.

Die Antriebswelle rotiert mit
ω = konstant um die Z-Achse.

Es wirkt die Schwerkraft g.
a
a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung des rotierenden mathematischen Pendels in
der Koordinate φ auf.
b) Linearisieren Sie die Bewegungsgleichung mittels eines Störungsansatzes für φ(t)
und bestimmen Sie die Gleichung für die Ruhelagen und die Ruhelagen selbst.
c) Definieren oder veranschaulichen Sie den Bereich aller möglichen Ruhelagen des
Winkels φ.
d) Berechnen Sie die Ruhelage für ω →
∞ und beurteilen Sie die Stabilität.
e) Erklären Sie mit einem Satz, weshalb Schwingungen um eine Ruhelage eine
dynamisches Moment um die Z-Achse (Mz) erzeugen können.
Lösung:
a)
Frei-Körper-Diagramm
Masse-Beschleunigung-Diagramm
F
F
Oz
Oz


F
F
Ox
a

ma ..


m . 2
a
a
Ox
X
m 2 a sin
X
ma Cor
mg
M
O
: mga sin   ma 2  m 2 a 2 sin  cos 
   2 sin  cos  
g
sin   0
a
  180  
  
sin   sin( 180   )  sin 180 cos   cos 180 sin   sin 
cos   cos(180   )  cos 180 cos   sin 180 sin    cos 
    2 sin  cos  


    2 cos  
g
sin   0
a
g
 sin   0
a
b)
   0  
g

    2 cos( 0   )   sin(  0   )  0
a

  0,   0
g

   2 cos  0   sin  0  0
a

 0  0,  , 2 , u.s.w
 2 cos  0 
cos  0  
g
0
a
g
a 2
g 

 0  arccos 
2 
 a 
c) Ruhelagen:
1
( )
g
arccos a2
3
d)
2
Für →∞, 0 = arccos0 = 90°
Gleichung:
g

    2 cos(90   )   sin( 90   )  0
a

cos(90   )  cos 90 cos   sin 90 sin    sin 
sin( 90   )  sin 90 cos   cos 90 sin   cos 
g

    2 ( sin  )   cos   0
a

sin = , cos = 1 for small 

g
   2    0
a
g
   2  
a
Also weil es keine Vorzeichen-Änderung gibt, ist diese Ruhelage stabil.
e) -Schwingungen erzeugen eine x-Geschwindigkeit. Auf der rotierenden Mass erzeugt sie
eine Coriolis-Beschleunigung und deswegen ein z-Moment.
Aufgabe 3
Skizziert ist eine rollende Scheibe mit außerzentrischem Schwerpunkt S, einer
Masse M, dem Trägheitsmoment J und dem Radius R. Für den Abstand vom
Scheibenmittelpunkt O zum Schwerpunkt S gilt: OS = r.
a. Schneiden Sie die Scheibe frei und tragen Sie alle Trägheitsmomente und –
Kräfte ein.
x
J, m
mg
O
r
R
ma t
Ax

S J
ma n
n
t
A
(Richtungen der Kräfte werden
geraten. Richtungen der ma und Ja
Vektoren ist umgekehrt, weil sie
D’Alembert’sche Kräfte/Momente
sind. Allerdings hat ein Vektor ein
negative Resultat, wenn die geratene
Richtung sich falsch erweist.)
Ay
b. Geben Sie die Bewegungsgleichungen des Rads für die Koordinaten x, y und
theta an.
+
Fx = 0  A  ma cos  ma sin 
x
t
n
+ Fy = 0
 Ay  mg  man cos   mat sin 
+ A = 0   J  mgr sin   man cos  r sin   man sin  ( R  r cos  )
 mat sin  r sin   mat cos  ( R  r cos  )
c. Berechnen Sie die x- und y-Komponenten der Beschleunigung des
Scheibenmittelpunktes O ( a Ox und a Oy ).
 R

aO  
 , weil Punkt O beschleunigt sich nur horizontal. Wenn  in positive
0


Richtung führt, beschleunigt das Rad nach links.
d. Berechnen sie die Tangential- und die Normalbeschleunigung des
Schwerpunktes S bezüglich des Scheibenmittelpunktes O (aS/On und aS/Ot).
a S / On  r 2
a
 r
S / Ot
e. Berechnen Sie die x- und y- Komponenten der Beschleunigung des
Scheibenschwerpunktes S ( a Sx und a Sy ).
a S  aO  a S / O
 r 2 sin  
a S / On   2
 in x / y  Koordinaten

 r cos  
r cos  
a S / Ot  
 in x / y  Koordinaten

 r sin  
 R  r 2 sin   r cos  
a S  aO  a S / O  

2

  r cos   r sin  
y
x
J, m
O
r
R

S
t
n
A
Aufgabe 4
M
ist an einem mit Feder und
5
Dämpfer gelagertem Fundament (M) montiert (s. Skizze).
Die Bewegung des Systems ist eingeschränkt und kann nur
vertikale Schwingungen ausführen. Die Rotation der Masse
m läuft konstant mit . Der Abstand zwischen dem
Schwerpunkt der rotierenden Masse und dem Drehpunkt sei
r. Die gegeben Parameter des System sind: M, r und .
Eine rotierende Masse m 
 r m
t
M
x
c
d
a. Ermitteln Sie die DGL des Systems abhängig von M, d, c, r und .
( M  m) x  dx  cx  mr 2 sin t
6
M
Mx  dx  cx 
r 2 sin t
5
5
5 d
5 c
r 2
x 
x 
x
sin t
6M
6M
6
b. Berechnen Sie die Federsteifigkeit c, damit e 
3
 entspricht. Ihre Antwort soll
4
von den Parametern M,  und r abhängig sein.
5 c
3
 
6M 4
9
6
27
c  2 M 
M 2
16
5
40
e 
c. Berechnen Sie die Dämpfungskonstante d, damit  = 0,2 entspricht. Ihre Antwort
soll von den Parametern M,  und r abhängig sein.
2 e 
d
5 d
6M
12
3
9
0,2M  
M
5
4
25
d. Läuft das System Im normalen Betrieb unterkritisch, kritisch, oder überkritisch?
Begründen Sie Ihre Antwort.
Das System läuft überkritisch, weil e < .
Aufgabe 5
Der skizzierte Teleskoparm befindet sich im All. Die Basisscheibe dreht sich mit einer
Z-Achse. Gleichzeitig schwenkt

der Arm mit konstantem Theta punkt (  ) um die Y-Achse. Eine weitere Bewegung
der Masse m ist die Ausfahrbewegung entlang der Führung mit konstanter
Geschwindigkeit  punkt (  ).
a. Man ermittle die X-, Y-, und Z-Komponenten von v A .
Nennen Sie Ihre Ergebnisse vAX, vAY, und vAZ.
z
l
X
x
y

l
v Ax   cos    sin 
v   sin    cos 
Az
v Ay   cos  
b. Man berechne alle Komponenten der Beschleunigung an der Masse ( a A ).
Nennen Sie Ihre Ergebnisse aAX, aAY, und aAZ.
z
l cos
2
X
y
l
x
a Cor
2

Für aCor war vAx schon berechnet.
a Ax   cos   2   2 cos 
a Ay  aCor  2v Ax   2( cos    sin  )
a Az   2 sin 
.
l
Z
m
l
A
Y
.

R

X