Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung
1. Eine Maschine stellt Stahlstifte her. Die Länge dieser Stifte ist normalverteilt mit dem Erwartungswert
µ=6,00cm und der Standardabweichung σ=0,15cm.
a) Wie sind die Toleranzgrenzen (symmetrisch zu µ) festgelegt, wenn nicht mehr als 4% Ausschuss produziert werden sollen?
b) Wie viel Prozent Ausschuss sind zu erwarten, wenn die tatsächliche Länge um nicht mehr als ±0,2cm
vom Sollwert abweichen darf?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer zufälligen Entnahme von 7 Stahlstiften aus einer Packung mit 100 Stück (mindestens) ein Stück entdeckt wird, das um mehr als 0,2cm vom Sollwert abweicht?
2. Eine Verpackungsmaschine füllt mit der Standardabweichung σ=1g Mehlpackungen mit der Nennmasse
1000g ab, sodass die Massen der Packungen normalverteilt sind. Auf welche mittlere Masse µ muss die
Maschine eingestellt werden, damit eine Masse von 997g in höchstens 5% aller Packungen unterschritten wird? Wieviel Prozent der Produktion haben bei dieser Einstellung eine Masse von über 1005g je Packung?
3. Der Produzent eines Massenartikels will die Qualität seines Produktes so gestalten, dass in höchstens
2% aller Fälle innerhalb der ersten 12 Monate ein Garantiefall eintritt. Welche Standardabweichung darf
die Lebensdauer des Produkts haben, wenn dieses auf eine mittlere Lebensdauer von 30 Monaten ausgelegt ist und die Lebensdauer normalverteilt ist? Erläutere den Einfluss der Standardabweichung mit einer Skizze des Graphen einer Normalverteilung.
4. Die Körpergröße aller Schülerinnen eines Jahrgangs sei normalverteilt mit dem Mittelwert µ=165cm und
der Standardabweichung σ=6cm.
a) Wie viel Prozent der SchülerInnen sind größer als 170cm?
b) Welche Körpergröße kann man als „normal“ ansehen, wenn man die obersten 5% als „Riesinnen“ und
die untersten 5% als „Zwerginnen“ bezeichnet?
c) Erläutere den Einfluss der Standardabweichung mit einer Skizze des Graphen einer Normalverteilung.
5. Bei einem Gewinnspiel soll das „Gewicht“ einer mit Geldmünzen gefüllten Flasche geschätzt werden.
Das tatsächliche Gewicht beträgt 3120g. Die abgegebenen Schätzungen sind normalverteilt mit dem Mittelwert µ=3055g und der Standardabweichung σ=32g. Alle TeilnehmerInnen, die sich um höchstens ±10g
verschätzt haben, dürfen an der Ziehung der drei Hauptpreise teilnehmen.
a) Angenommen, es nehmen 5000 Personen an diesem Gewinnspiel teil. Wie viele werden voraussichtlich an der Zeihung der Hauptpreise teilnehmen können?
b) Angenommen, jemand ist unter diesen Personen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen der drei
Hauptpreise zu gewinnen?