6 - Medi

1 Messen und Rechnen
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Ist ein Merkmal (z. B. die Körpergröße) normalverteilt, kannst du Prognosen erstellen, wie eine
Stichprobe (z. B. Messung der Körpergröße von
20 Kindern) ausfallen wird. Als Mittelwert der
Stichprobe erwartest du das Maximum der Glockenkurve, den Erwartungswert. Bei allen anderen Werten gilt: Je „höher“ die Glockenkurve in diesem Bereich ist, desto größer ist die
Wahrscheinlichkeit, dass dieser Wertebereich
in der Stichprobe vorkommt. Als Standardabweichung der Stichprobe erwartest du die Breite der Glockenkurve. In den Physikumsaufgaben findest du die nötigen Parameter in Sätzen
wie diesem: „Die Körpergröße ist normalverteilt mit dem Erwartungswert/Mittelwert 110 cm
und der Standardabweichung 20 cm…“
σ
σ
2σ
16%
2%
Abb. 2: Sigma-Regeln
2σ
68%
16%
96%
2%
medi-learn.de/6-phy-2
1.3.6 Stichprobenumfang und
Messunsicherheit
1.3.5 Sigma-Regeln
Im Physikum wird häufig gefragt, wie wahrscheinlich eine einzige Stichprobe bei einem
normalverteilten Merkmal in einem bestimmten Wertebereich „landet“. Dabei werden der
Erwartungswert und die Standardabweichung
(abgekürzt σ = sigma) immer angegeben. Diesen Aufgabentyp löst du am einfachsten mit
den Sigma-Regeln. Für alle normalverteilten
Merkmale gilt:
1. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Stichprobenwert im 1-σ-Intervall liegt, beträgt 68 %.
2. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Stichprobenwert im 2-σ-Intervall liegt, beträgt 96 %.
Die untere Grenze des 1-σ-Intervalls ist der
Erwartungswert minus die Standardabweichung, die obere Grenze ist der Erwartungswert plus die Standardabweichung. Für das
2-σ-Intervall rechnest du entsprechend minus
bzw. plus zwei mal die Standardabweichung.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Stichprobe irgend einen Wert liefert, ist 100 %. Das klingt
zwar selbstverständlich, ist aber sehr nützlich.
Wenn z. B. die Wahrscheinlichkeit 68 % beträgt,
dass eine Stichprobe im 1-σ-Intervall landet,
landet sie mit 16 % bei kleineren Werten und
mit 16 % bei größeren Werten.
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Ist ein Merkmal normalverteilt, kannst du allerlei Prognosen abgeben, wenn du den Erwartungswert und die Standardabweichung
kennst. Müssen diese Parameter aber erst gemessen werden, stellt sich wieder die Frage,
wie groß die Messfehler sind.
Sollst du z. B. herausfinden, welche durchschnittliche axiale Augapfellänge Erwachsene
haben, genügt eine einzelne Messung nicht,
denn du könntest zufällig einen sehr kurzen
oder sehr langen Augapfel „erwischen“. Bildest du dagegen das arithmetische Mittel
aus verschiedenen Messungen, gleichen sich
die extremen Werte aus und der Unterschied
zwischen deinem Mittelwert und dem tatsächlichen Erwartungswert der Normalverteilung
wird kleiner. Die Messunsicherheit des Mittelwerts, die auch Standardabweichung des
Mittelwerts genannt wird, ist indirekt proportional zur Quadratwurzel aus dem Stichprobenumfang n:
Messunsicherheit des Mittelwerts =
σ
n
Die Konstante σ ist dabei die Standardabweichung der Normalverteilung.