Statistik - Aufgabenblatt 4

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN-WEIHENSTEPHAN
SS 00
MATHEMATIK UND STATISTIK, INFORMATIONSZENTRUM WEIHENSTEPHAN
Statistik - Aufgabenblatt 4
1. Erklären Sie, warum die Standardabweichung der eingeschenkten Menge von zwei Maß
Bier nicht zweimal, sondern 2 mal so groß ist wie die Standardabweichung σ der bei
nur einer Maß Bier eingeschenkten Menge. Setzen Sie dabei voraus, dass beide Einschenkmengen unabhängig voneinander sind und gleiche Varianz haben. Erklären Sie
auch, warum die Standardabweichung der eingeschenkten Alkoholmenge genau 0.05
mal so groß ist wie die der eingeschenkten Biermenge, wenn der Alkoholgehalt genau
5% beträgt. (Aufg. 13.68)
2. Der Inhalt einer Halbe Bier sei normalverteilt mit µ =0.5 Liter und σ = 0.03 Liter.
a) Gast A will zwei Halbe Bier trinken, Gast B nur eine. Schreiben Sie die Menge Bier,
um die Gast A mehr erhält als Gast B, als Linearkombination von Zufallsvariablen.
Wie ist diese Menge verteilt? Geben Sie auch Erwartungswert und Standardabweichung dieser Verteilung an.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Gast A um mindestens 0.4 Liter Bier mehr
erhält als Gast B?
(Ergebnis: 1 − Φ (0.4 − 0.5 ) / 3 ⋅ 0.03 = Φ 0.1 / 3 ⋅ 0.03 = 97.3% )
c) Das Bier habe 5% Alkohol. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Gast A um
mindestens 0.02 Liter Alkohol mehr erhält als Gast B?
(Ergebnis: ebenfalls 97.3%)
d) Wieviel müsste der Wirt im Mittel einschenken, damit die Wahrscheinlichkeit, bei einer Halbe mindestens 0.5 Liter Bier zu erhalten, 98% beträgt?
e) Wie groß müsste die Standardabweichung σ sein, wenn die Wahrscheinlichkeit, bei
einer Halbe eine Menge zwischen 0.45 und 0.55 Liter (das ist symmetrisch um den
Erwartungswert µ = 0.5 Liter) einzuschenken, 98% betragen soll?
f) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man mit einer Halbe Bier mindestens 0.45
Liter erhält, wenn σ den Wert aus voriger Aufgabe e) hat ( µ sei weiterhin 0.5 Liter)?
(e - f in Aufg. 13.62 d - e)
(
(
)) ( (
))
3. Die Hektarerträge X 1, X 2 und X 3 von drei Feldfrüchten seien unabhängig und annähernd normalverteilt mit den Parametern (in dt/ha)
µ1 = 30
µ 2 = 45
µ 3 = 21
σ1 = 5
σ2 =3
σ3 = 3
a) Geben Sie Verteilung, Erwartungswert und Standardabweichung des Ertrages E an,
wenn jede der drei Fruchtarten auf je einem ha Ackerland angebaut wird.
b) Wie ist der daraus entstehende Gewinn verteilt, wenn pro dt 50 DM gleichermaßen
für alle Fruchtarten bezahlt werden und die gesamten Produktionskosten sich auf
1500 DM belaufen? Geben Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung
des Gewinns an.
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Gewinn mehr als 3000 DM beträgt?
(Aufg. 14.3)
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4. Aus einer Abfüllmaschine in der Cafeteria erhielt man früher 0.2 l Orangensaft, wenn
man einmal auf den entsprechenden Knopf drückt. Wir wollen jedoch davon ausgehen,
dass diese Einschenkmenge nicht exakt 0.2 l beträgt, sondern normalverteilt ist mit Erwartungswert µ = 0.2 l und Standardabweichung σ = 0.002 l.
a) In welchen Grenzen liegt mit 99% Wahrscheinlichkeit die bei einmaligem Drücken
eingeschenkte Menge Orangensaft?
b) Wie ist die Menge Orangensaft verteilt, die die Maschine bei dreimaligem Einschenken abgibt? Berechnen Sie auch Erwartungswert und Standardabweichung zu dieser
Verteilung!
c) Jemand hat großen Durst. Er nimmt sich einen sog. 0.5 l-Becher und lässt sich durch
dreimaliges Knopfdrücken an der Maschine seinen Becher mit Orangensaft füllen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Becher überläuft, wenn in ihm in Wirklichkeit 0.7 l Platz haben?
d) Wieviel Liter muß der Becher fassen, damit die Wahrscheinlichkeit, dass er nach
dreimaligem Drücken überläuft, genau 50% beträgt?
(Aufg. 14.12)
5. Das Einzelkorngewicht einer bestimmten Weizensorte hat den Erwartungswert
µ = 50 mg (mg = Milligramm) und die Standardabweichung σ = 5 mg .
a) Wie könnte in etwa die Dichtefunktion f für das Korngewicht dieser Sorte aussehen?
Fertigen Sie eine grobe Skizze an.
b) Berechnen Sie die Standardabweichung des Gewichts von 1000 zufällig ausgewählten Körnern (Tausendkorngewicht) dieser Sorte.
c) Aufgrund welchen Satzes ist das Tausendkorngewicht auch dann in etwa normalverteilt, wenn das Einzelkorngewicht nicht normalverteilt ist?
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 1000 zufällig ausgewählte Körner um mindestens 1 % mehr wiegen als ihr Erwartungswert 50 g?
e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelnes zufällig ausgewähltes Korn
um mindestens 1 % mehr wiegt als der Erwartungswert 50 mg? Gehen Sie hierbei
davon aus, dass auch das Gewicht eines einzelnen Korns in etwa normalisiert ist.
f) Erklären Sie anschaulich, warum die in e) gefragte Wahrscheinlichkeit wesentlich
größer sein muß als die in d) gefragte?
(Aufg. 13.82)
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