Serie 6 - D-MATH

Analysis II
MATH, PHYS, CHAB
Prof. D. Salamon
FS 2015
Serie 6
1. Zeigen Sie, dass das Inmum des Funktionals
1
Z
ẋ2 (t) − 1
S(x) :=
2
dt
0
auf der Menge der C 2 -Funktion x : [0, 1] → R mit x(0) = x(1) = 0 gleich Null ist. Zeigen Sie
zusätzlich, dass das Inmum für keine solche Funktion angenommen wird.
2. Betrachen Sie das Funktional
b
Z
S(y) :=
a
p
1 + ẏ 2 (x)
dx
y(x)
auf der Menge der C -Funktionen y : [a, b] → (0, ∞) mit xen Randwerten y(a) = y0 und
y(b) = y1 . Zeigen Sie, dass für jede Lösung y der Eulergleichung reelle Zahlen c, r ∈ R
existieren, sodass
2
(x − c)2 + y 2 (x) = r2
für alle x ∈ [a, b] gilt.
Tipp: Folgern Sie aus der Eulergleichung und der Energieerhaltung, dass
2ẏ 2 (x) + 2y(x)ÿ(x) = −2
d2
2
dx2 (y (x))
=
gilt.
3. Sei f : Rn → R eine zweimal stetig dierenzierbare Funktion. Ein kritischer Punkt x von f
heisst nicht degeneriert, falls det(d2 f (x)) 6= 0 gilt. Beweisen Sie, dass alle nicht degenerierten
kritischen Punkte isoliert sind, d.h. jeder nicht degenerierte kritische Punkt besitzt eine
Umgebung, die keine weiteren kritischen Punkte enthält.
n
n
Tipp: Wenden Sie den Umkehrsatz auf die Abbildung ∇f : R → R , x 7→ ∇f (x), an.
4. In Satz 2, Kapitel XI, der Vorlesung wurde folgende Aussage gezeigt: Sei A eine Banachalgebra und ψ : A → A eine stetig dierenzierbar Abbildung. Falls x0 ∈ A, r > 0 und α ∈ (0, 1)
derart gegeben, dass
||dψ(x) − 1|| ≤ α
für alle x ∈ Br (x0 )
erfüllt ist, dann folgt:
•
•
•
•
Die Einschränkung ψ : Br (x0 ) → A ist injektiv.
Das Bild ψ(Br (x0 )) ist oen.
Br(1−α) (ψ(x0 )) ⊂ ψ(Br (x0 )) ⊂ Br(1+α) (ψ(x0 )).
Die Umkehrabbildung ψ −1 : ψ(Br (x0 )) → Br (x0 ) ist stetig dierenzierbar.
Verwenden Sie diesen Satz um die folgende Aussage zu zeigen: Für jedes y ∈ A mit ||y − 1|| <
1
1
2
2 existiert ein eindeutiges x ∈ A mit ||x − 1|| < 2 für das x = y gilt. Mit anderen Worten,
es existiert eine Wurzelfunktion
f : B 21 (1) → B 21 (1)
welche eindeutig durch die Bedingung f (x)2 = x bestimmt ist. Zeigen Sie zusätzlich, dass
diese Funktion stetig dierenzierbar ist.
Tipp: Betrachte die Funktion
ψ(x) = 12 x2 .
1
5. Sei fn : Rn → Rn gegeben durch


r cos(θ1 ) cos(θ2 ) · · · cos(θn−1 )
 r sin(θ1 ) cos(θ2 ) · · · cos(θn−1 )  fn−1 (r, θ1 , . . . , θn−2 ) cos(θn−1 )


=
fn (r, θ1 , . . . , θn−1 ) := 

..
r sin(θn−1 )


.
r sin(θn−1 )
Zeigen Sie folgendes:
(a) In der euklidischen Norm gilt
||fn (r, θ1 , . . . , θn−1 )|| = |r|
(b) Alle partiellen Ableitungen ∂r fn , ∂θi fn sind orthogonal zueinander.
(c) Deniere
n
o
π
Un := (r, θ1 , . . . , θn−1 ) ∈ Rn r > 0, |θ1 | < π , |θi | < für i = 2, . . . , n − 1
2
und
Vn := {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn | x2 6= 0 oder x1 > 0} .
Zeigen Sie, dass Vn = fn (Un ) gilt und die Einschränkung fn : Un → Vn ein C ∞ Dieomorphismus ist.
Tipp: Argumentieren Sie jeweils mit vollständiger Induktion über
Abgabe:
Montag, den 30. März 2015.
2
n.