Serie 5 - ETH Zürich

d-infk
Prof. Dr. Özlem Imamoglu
ETH Zürich
FS 2017
Analysis I
Serie 5
5.1. Potenzreihen Für welche x ∈ R sind die folgenden Potenzreihen konvergent?
Für welche x ∈ R sind sie absolut konvergent? Zeigen Sie deutlich den Konvergenzradius.
(a)
(c)
∞
X
xn
,
n
n=1 n2
(b)
∞
X
(−1)n x2n
,
(2n)!
n=0
(d)
∞
X
(x − π)n
,
2
n=0 n + 1
∞
X
(x + 2)n
√
.
n
n=1
n
5.2. MC Frage: Konvergenzradius Sei R1 = ∞
n=0 cn (x − x0 ) eine Potenzreihe
mit Konvergenzradius ρ1 > 0. Betrachten Sie die Potenzreihe:
P
R2 =
∞
X
ncn (x − x0 )n−1 .
n=0
Dann
haben R1 und R2 den gleichen Konvergenzradius;
ist der Konvergenzradius von R2 strikt kleiner als ρ;
Zu wenig Informationen: keine der Aussagen trifft zu.
5.3. (schriftlich) Grenzwerte von Funktionen Berechnen Sie folgende Grenzwerte, falls vorhanden:
√
4x − 1
x2 + 5 − 3
lim √ 2
(a)
,
(b) lim
,
x→−∞
x→2
x2 − 2x
x −1
|x|
3
|x|
3
|x|
(c)
, lim−
,
(d) lim+
, lim−
, lim
.
lim+
x→0 x
x→4 x − 4
x→0
x→4 x − 4
x→0
x
x
Bestimmen sie β und γ reelle Zahlen so dass:
√
lim
2x2 − 7x + 1 − (βx + γ) = 0.
x→+∞
5.4. Eigenshaften der reellen Exponentialfunktion Wir betrachten die ExpoP
n
nentialfunktion x 7→ Exp(x) = ∞
n=0 x /n! für x ∈ R. Beweisen Sie:
(a) falls x > 0, damit ist Exp(x) > 1;
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(b) Exp ist streng monoton wachsend, d.h. falls y > x gilt Exp(y) > Exp(x);
(c) limx→−∞ Exp(x) = 0 und limx→+∞ Exp(x) = +∞.
5.5. MC Frage: die Komplexe Exponentialfunktion
P
n
Exp(z) = ∞
n=0 z /n! für z ∈ C. Dann
Betrachten Sie z 7→
falls z reell ist, ist Exp(z) reell.
falls z rein imaginär ist, d.h. z = iy für y ∈ R, y 6= 0, ist Exp(z) immer rein
imaginär;
falls z = x + iy mit y =
6 0, muss Exp(z) immer nichtverschwindenden imaginär
Teil haben;
ist Exp surjektiv, d.h. für jedes w ∈ C existiert z ∈ C so dass Exp(z) = w;
ist Exp injektiv, d.h. falls Exp(z1 ) = Exp(z2 ), folgt z1 = z2 .
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