2 Vektorraum, Basis und Dimension

2 Vektorraum, Basis und Dimension
2.1 Grundlegende Definitionen
Definition 2.1. Es sei K = R oder K = C. Ein K-Vektorraum ist eine Menge V mit
einer Vektoraddition ⊕ : V × V → V , einer skalaren Multiplikation : K × V → V und
einem Nullvektor 0 ∈ V , so dass die folgenden Rechenregeln gelten:
V1
V2
V3
V4
V5
V6
V7
V8
(u ⊕ v) ⊕ w = u ⊕ (v ⊕ w)
u⊕v =v⊕u
v⊕0=v
0
∀v ∈ V ∃v ∈ V mit v ⊕ v 0 = 0
(λ + µ) v = λ v ⊕ µ v
λ (v ⊕ w) = λ v ⊕ λ w
(λ · µ) v = λ (µ v)
1v =v
(Assoziativität)
(Kommutativität)
(Neutrales Element)
(inverse Elemente v 0 = −v)
(Distributivgesetz I)
(Distributivgesetz II)
Beispiel 2.2.
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Satz 2.3.
(i) In jedem Vektorraum gibt es genau einen Nullvektor.
(ii) Für jeden Vektor v ∈ V ist 0 v = 0.
(iii) Für jeden Vektor v ∈ V ist (−1) v = −v.
(iv) Zu jedem Element v des Vektorraums gibt es genau ein inverses Element v 0 = −v.
Beweis.
Definition 2.4. Eine Teilmenge U ⊂ V eines Vektorraums V , die selbst ein Vektorraum
ist, heißt Untervektorraum von V .
Beispiel 2.5.
Bemerkung 2.6. (i) Anstatt ⊕ und schreibt man meistens + und ·. Die Unterscheidung zu Addition und Multiplikation in K ergibt sich dann aus dem Zusammenhang.
(ii) Achtung: Vektoren kann man im Allgemeinen nicht multiplizieren und dividieren!
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2.2 Lineare Hülle und Erzeugendensystem
2.2 Lineare Hülle und Erzeugendensystem
Definition 2.7. Es sei V ein Vektorraum, r ∈ N, und für i = 1, 2, . . . , r seien Vektoren
vi ∈ V und Zahlen λi ∈ K gegeben. Die endliche Summe
r
X
λi vi = λ1 v1 + λ2 v2 + . . . λr vr
i=1
heißt Linearkombination der Vektoren vi .
Die Menge
L ({v1 , v2 , . . . , vr }) =
( n
X
i=1
)
λi vi λi ∈ K
heißt lineare Hülle von {v1 , v2 , . . . , vr }. Für eine (evtl. unendlich große) Teilmenge M ⊂
V ist die Lineare Hülle L(M ) die Menge aller endlichen Linearkombinationen aus Vektoren in M .
Beispiel 2.8.
Satz 2.9. (i) Eine Teilmenge U ⊂ V ist ein Untervektorraum von V genau dann,
wenn
U1 U 6= ∅,
U2 für alle u, v ∈ U auch deren Summe in U liegt, u + v ∈ U und
U3 wenn sie zu jedem v ∈ U auch beliebige Vielfache λ v (λ ∈ K) enthält.
(ii) Für jede Teilmenge M ⊂ V ist L(M ) ein Untervektorraum von V .
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Beweis.
Definition 2.10. Eine Teilmenge U ⊂ V heißt Erzeugendensystem von V , wenn
L(U ) = V.
Beispiel 2.11.
2.3 Basis und Dimension
Definition 2.12. Eine Menge B ⊂ V heißt linear unabhängig wenn für jede Linearkombination von Vektoren b1 , b2 , . . . , br aus B gilt: Ist
λ1 b1 + λ2 b2 + . . . λr br = 0,
so müssen alle λ1 = λ2 = · · · = λr = 0 Null sein. Äquivalent dazu darf kein Vektor in
B die Linearkombination der restlichen Vektoren sein. Eine Menge von Vektoren heißt
linear abhängig, wenn sie nicht linear unabhängig ist.
Beispiel 2.13.
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2.3 Basis und Dimension
Definition 2.14. Eine Menge B ⊂ V heißt Basis von V wenn B linear unabhängig und
ein Erzeugendensystem von V ist.
Beispiel 2.15.
Satz 2.16. Ist B = (b1 , b2 , . . . , bn ) eine geordnete Basis von V , so gibt es für jeden
Vektor v ∈ V genau einen Tupel (λ1 , λ2 , . . . , λn ) ∈ K n von Zahlen in K, so dass
v = λ1 b1 + λ2 b2 + . . . λn vn .
Die Zahlen λi heißen Koordinaten von v in der Basis B und man schreibt
vB = (λ1 , λ2 , . . . , λn ).
Beispiel 2.17.
Satz 2.18. Es sei B = {b1 , b2 , . . . , bn } eine Basis eines Vektorraums V .
(i) Man kann ein Basiselement bj ∈ B austauschen durch eine Linearkombination
c = λ 1 b1 + λ 2 b2 + · · · + λ n bn ,
wobei λj 6= 0 sein muss. Die Menge B = {b1 , b2 , . . . , bj−1 , c, bj+1 , . . . , bn } ist dann
wieder eine Basis von V .
(ii) Ist C = {c1 , c2 , . . . , cm } eine weitere Basis von V , so gilt n = m (die Anzahl der
Basiselemente ist immer die gleiche).
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Beispiel 2.19.
Definition 2.20. Falls V eine endliche Basis besitzt, so ist die Zahl n an Basiselementen
aus Satz 2.18(ii) die Dimension von V . Ansonsten ist die Dimension von V unendlich.
Man schreibt
dim(V ) = n
bzw.
dim(V ) = ∞.
Beispiel 2.21.
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