Analysis I

Analysis I
Prof. Dr. Andreas Griewank
Wintersemester 2012/2013
Dieses Skript wurde von Alexander Prang
in Anlehnung an die Vorlesung erstellt.
Es enthält lediglich die Definitionen,
Sätze, Lemmata, Korollare und ausgewählte
Beispiele und Bemerkungen aus den
Vorlesungen, jedoch nicht die Beweise.
Für die Richtigkeit des gesamten
Inhaltes gibt es keine Garantie.
Prof. Dr. Andreas Griewank
Analysis I
WS 2012/2013
Inhaltsverzeichnis
1 Der reelle Körper
1.1 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Zahlbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Körperaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Anordnungsaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Summe, Produkte und Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Definition: n-Tupel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Lemma: Verallgemeinerte Distributivität . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Lemma: Gauß’sche Summenformel . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Lemma: Geometrische Summe bzw. Reihe . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Definition: Fakultät und Binomialkoeffizient . . . . . . . . . . . .
1.2.6 Lemma: Additionseigenschaft von Binomialkoeffizienten . . . . .
1.2.7 Satz: Binomischer Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.8 Satz: Bernoullische Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Absolutbetrag, Minimum und Maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Definition: Absolutbetrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Lemma: Elementare Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Definition: Maximum und Minimum . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Lemma: Eindeutigkeit des Maximum und Minimum . . . . . . .
1.3.5 Lemma: Maximum und Minimum als algebraische Verknüpfung .
1.4 Vollständigkeit der reellen Zahlen, Supremum und Infimum . . . . . . .
1.4.1 Definition: Supremum und Infimum . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Definition: Vollständigkeitsaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Satz: Existenz, Eindeutigkeit und Monotonie der Wurzelfunktion
1.4.4 Lemma: Potenzgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.5 Definition: Bisektionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.6 Satz: Intervallschreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.7 Satz: Intervallschachtelungsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Folgen und Reihen
2.1 Funktionen und Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Definition: Funktion, Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Definition: Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Definition: Folgenkonvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Lemma: Grenzwert und Beschränktheit . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Definition: Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.6 Satz: Monotoniekriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.7 Lemma: Grenzwertsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.8 Lemma: Elementare Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.9 Korollar: Grenzwert von Polynomen in mehreren Variablen . . .
2.1.10 Korollar: Grenzwert rationaler Wurzelfunktionen . . . . . . . . .
2.1.11 Lemma: Monotonie und Sandvich-Eigenschaft . . . . . . . . . . .
2.1.12 Lemma: Folgencharakterisierung von inf und sup . . . . . . . . .
2.1.13 Lemma: Umordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.14 Definition: Nullfolgen und uneigentlicher Grenzwert . . . . . . .
2.1.15 Lemma: Grenzwert des Kehrwertes bestimmt divergenter Folgen
2.2 Teilfolgen, Bolzano-Weierstraß und Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Definition: Teilfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Definition: Häufungspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Lemma: Elementare Teilfolgeneigenschaften . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Satz: Bolzano-Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Lemma: Direkte Charakterisierung von Häufungspunkten . . . .
2.2.6 Korollar: Beschränktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.7 Definition: Limes superior und Limes inferior . . . . . . . . . . .
2.2.8 Lemma: Direkte Charakterisierung von lim inf und lim sup . . .
2.2.9 Lemma: Rechenregeln für lim inf und lim sup . . . . . . . . . . .
2.2.10 Definition: Cauchy-Folgen und Cauchy-Kriterium . . . . . . . . .
2.3 Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Stetigkeit
3.1 Grundlagen und Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Definition: Epsilon-Delta-Kriterium . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Lemma: Vererbungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Korollar: Stetigkeit von Polynomen . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Satz: Nullstellensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5 Korollar: Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.6 Lemma: Stetigkeit der Komposition von Funktionen . . . .
3.1.7 Satz: Folgenstetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.8 Definition: Abgeschlossenheit und kompakte Menge . . . .
3.1.9 Satz: Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.10 Definition: Links- und rechtsseitige Stetigkeit . . . . . . . .
3.1.11 Lemma: Äquivalenz zur Folgendefinition . . . . . . . . . . .
3.2 Gleichmäßige Stetigkeit und Heine-Borel . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Definition: Gleichmäßige Stetigkeit und Lipschitz-Stetigkeit
3.2.2 Lemma: Implikationen der Stetigkeit . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Satz: Heine-Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Differentiation
4.1 Definition und Grundeigenschaften von Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Definition: Differenzenquotient und Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . .
4.1.2 Lemma: Implikationen der Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Definition: Links- und rechtsseitige Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . .
4.1.4 Lemma: Folgerungen aus der links- und rechtsseitigen Differenzierbarkeit
4.1.5 Satz: Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.6 Lemma: Ableitung von Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.7 Satz: Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Optimalitätsbedingungen und Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.3.1 Definition: Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Lemma: Grenzwert der geometrischen Reihe . . . . .
2.3.3 Satz: Cauchy-Kriterium für Reihen . . . . . . . . . .
2.3.4 Satz: Notwendige Bedingung für Konvergenz . . . .
2.3.5 Definition: Alternierende Reihe . . . . . . . . . . . .
2.3.6 Satz: Leibniz-Konvergenzkriterium . . . . . . . . . .
2.3.7 Definition: Absolute Konvergenz . . . . . . . . . . .
2.3.8 Satz: Verhältnis absoluter und normaler Konvergenz
2.3.9 Satz: Majorantenkriterium . . . . . . . . . . . . . .
2.3.10 Satz: Minorantenkriterium . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.11 Satz: Quotientenkriterium . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.12 Satz: Wurzelkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.13 Lemma: Verallgemeinerte harmonische Reihe . . . .
2.3.14 Definition: Umordnung absolut konvergenter Reihen
2.3.15 Satz: Konvergenz umgeordneter Reihen . . . . . . .
2.3.16 Satz: Umordnungssatz von Riemann . . . . . . . . .
b-adische Zahlendarstellung und Überabzählbarkeit von R .
2.4.1 Definition: b-adische Zahlendarstellung . . . . . . . .
2.4.2 Satz: Existenz der Darstellung . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Satz: Konvergenz der Darstellung . . . . . . . . . . .
2.4.4 Satz: Überabzählbarkeit der reellen Zahlen . . . . .
Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Definition: Potenzreihe . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Satz: Konvergenzradius . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Definition: Exponentialreihe . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4 Lemma: Konvergenz der Linearkombination . . . . .
2.5.5 Satz: Restgliedabschätzung . . . . . . . . . . . . . .
2.5.6 Korollar: Potenzreihen am Ursprung . . . . . . . . .
2.5.7 Satz: Identitätssatz von Potenzreihen . . . . . . . .
2.5.8 Definition: Cauchy-Produkt . . . . . . . . . . . . . .
2.5.9 Satz: Konvergenz des Cauchy-Produktes . . . . . . .
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4.4
Analysis I
4.2.1 Definition: Lokale und globale Minima und Maxima . . . .
4.2.2 Lemma: Notwendige Optimalitätsbedingungen . . . . . . .
4.2.3 Satz: Mittelwertsatz der Differentialrechnung . . . . . . . .
4.2.4 Korollar: Charakterisierung von Monotonie durch Ableitung
4.2.5 Satz: Existenz von Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . .
4.2.6 Korollar: Umkehrregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.7 Verallgemeinerter Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.8 Satz: Regel von de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . .
Höhere Ableitungen und Taylorentwicklung . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Definition: Höhere Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Lemma: Höhere Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Definition: Taylorpolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4 Satz: Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.5 Lemma: Optimalitätsbedingungen höherer Ableitungen . .
4.3.6 Definition: Taylorreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.7 Definition: Reell analytische Funktion . . . . . . . . . . . .
4.3.8 Satz: Differenzierbarkeit von Potenzreihen . . . . . . . . . .
4.3.9 Lemma: Konvergenzradius abgeleiteter Potenzreihen . . . .
Spezielle Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Lemma: Umkehrfunktion der Exponentialfunktion . . . . .
4.4.2 Definition: Allgemeine Exponentiale und Logarithmen . . .
4.4.3 Lemma: Eigenschaften der Umkehrfunktion . . . . . . . . .
4
WS 2012/2013
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Prof. Dr. Andreas Griewank
1
Analysis I
WS 2012/2013
Der reelle Körper
1.1
1.1.1
Reelle Zahlen
Zahlbereiche
Hierarchie: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
• N = {1; 2; 3; . . . ; k − 1; k; k + 1; . . .} und N0 ≡ N ∪ {0}
• Z = {0; 1; −1; 2; −2; . . . ; k; −k; . . .}
o
n • Q = pq p ∈ Z; q ∈ N \ {0}; p, q teilerfremd
• R = {m1 ; m2 ; . . . ; mj }
√ • C = a + ib | (a, b) ∈ R2 ; i = −1
Das Arbeitsgebiet der Analysis ist R bzw. Rn = R × R × . . . × R (n-Tupel von reellen Zahlen).
Die Erweiterung der Analysis auf C heißt Funktionentheorie.
1.1.2
Körperaxiome
Q, R und C bilden jeweils einen Körper K, in dem eine Addition und Multiplikation definiert sind, bzgl.
derer die Axiome einer kommutativen Gruppe gelten.
• (K, +) ist eine echt additive kommutative Gruppe bzgl. +, − mit neutralem Element 0.
• (K \ {0}, ·) ist eine echt multiplikative kommutative Gruppe bzgl. ·, ÷ mit neutralem Element 1.
Es gelten alle üblichen Rechenregeln, insbesondere der Distributivität.
∀x, y, z ∈ K : (x + y) · z = x · z + y · z = z · (x + y)
1.1.3
Anordnungsaxiome
Im Gegensatz zu C lassen sich die Elemente und jeder Teilkörper von R linear auf der Zahlengeraden
anordnen, sodass folgende Eigenschaften erfüllt sind:
• x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z (Transitivität)
• x ≤ x (Reflexivität)
• x ≤ y ∨ y ≤ x (vollständige Anordnung)
• x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z (Monotonie)
1.2
1.2.1
Summe, Produkte und Induktion
Definition: n-Tupel
Für ein n-Tupel (ak )nk=1 = (a1 ; . . . ; an ) ∈ Kn von n Elementen gilt:
!
n
n−1
1
X
X
X
ak = a1 + a2 + . . . + an =
ak + an mit
ak = a1
k=1
1.2.2
k=1
k=1
Lemma: Verallgemeinerte Distributivität
Für alle Zahlen b eines Körpers K und alle n-Tupel (ak )nk=1 ∈ Kn gilt die verallgemeinerte Distributivität.
!
n
n
X
X
b
ak =
bak
k=1
k=1
5
Prof. Dr. Andreas Griewank
1.2.3
Analysis I
WS 2012/2013
Lemma: Gauß’sche Summenformel
Für alle natürlichen Zahlen n ∈ N gilt die Gauß’sche Summenformel :
n
X
k=1
1.2.4
k=
n(n + 1)
2
Lemma: Geometrische Summe bzw. Reihe
Für alle reellen Zahlen a, q ∈ R und für alle natürlichen Zahlen n ∈ N gilt für die geometrische Summe:
( n
n−1
−1
X
, falls q =
6 1
a qq−1
aq k =
an,
falls q = 1
k=0
1.2.5
Definition: Fakultät und Binomialkoeffizient
(i) Die Fakultät einer Zahl n ist wie folgt definiert.
n! =
n
Y
k = 1 · 2 · 3 · . . . · (n − 1) · n = (n − 1)! · n
k=1
Da das leere Produkt stets 1 ist, gilt außerdem 0! = 1 und 1! = 1.
(ii) Der Binomialkoeffizient ist für natürliche Zahlen n, k ∈ N0 mit n ≥ k wie folgt definiert.
Qk
Qn−k
Y
k
n
n−j+1
n!
j=1 (n − k + j) ·
j=1 j
=
=
=
Qk
Qn−k
k
j
k!(n
− k)!
j
·
j
j=1
j=1
j=1
Weiterhin ist
n
n
n
n
=1=
und
=n=
.
0
n
1
n−1
Abbildung 1: Binomialkoeffizienten im pascalschen Dreieck
1.2.6
Lemma: Additionseigenschaft von Binomialkoeffizienten
Für alle natürlichen Zahlen 1 ≤ k ≤ n gilt die Additionseigenschaft von Binomialkoeffizienten:
n
n−1
n−1
n+1
n
n
=
+
und
=
+
k
k
k−1
k+1
k
k+1
Insbesondere sind alle Binomialkoeffizienten ganzzahlig.
1.2.7
Satz: Binomischer Lehrsatz
Für alle x, y ∈ K und für alle natürlichen Zahlen n ∈ N0 gilt der binomische Lehrsatz :
n X
n k n−k
n
(x + y) =
x y
k
k=0
6
Prof. Dr. Andreas Griewank
1.2.8
Analysis I
WS 2012/2013
Satz: Bernoullische Ungleichung
Für alle n ∈ N0 und −1 ≤ x ∈ R gilt die Bernoullische Ungleichung:
(i) n ≥ −1 : (1 + x)n ≥ 1 + nx (untere Schranke)
n
(ii) n < 1 : (1 + x)n ≤ 1 + nx (1−nx)
1−nx (obere Schranke)
1.3
1.3.1
Absolutbetrag, Minimum und Maximum
Definition: Absolutbetrag
Der Absolutbetrag einer reellen Zahl x ∈ R ist wie folgt definiert als:
(
x,
falls x ≥ 0
abs(x) = |x| =
−x, falls x < 0
Es gilt immer x ≤ |x| und −x ≤ |x|.
1.3.2
Lemma: Elementare Eigenschaften
(i) |x| = 0 ⇔ x = 0 (Definitheit)
(ii) |x · y| = |x| · |y| (Homogenität)
Abbildung 2: Betragsfunktion
(iii) |x + y| ≤ |x| + |y| (Dreiecksungleichung)
(iv) kx| − |yk ≤ |x − y| (Inverse Dreiecksungleichung)
1.3.3
Definition: Maximum und Minimum
Das Maximum und das Minimum ist für reelle Zahlen x, y ∈ R
(
x,
x + y + |x − y|
=
max(x, y) =
2
y,
(
x,
x + y − |x − y|
=
min(x, y) =
2
y,
1.3.4
definiert als:
falls x ≥ y
falls x ≤ y
falls x ≤ y
falls x ≥ y
Lemma: Eindeutigkeit des Maximum und Minimum
Für beliebige n-Tupel {a1 ; a2 ; . . . ; an } ⊂ R ist ihr Maximum und Minimum eindeutig, d. h. unabhängig
von ihrer Reihenfolge definiert durch:
max {ak }nk=1 = max (ak ) = max max (ak ), an mit max(a1 ) = a1
1≤k≤n
1.3.5
1≤k<n
Lemma: Maximum und Minimum als algebraische Verknüpfung
Das Maximum max(x, y) und das Minimum min(x, y) können auch als algebraische Verknüpfung angesehen werden und erfüllen:
(i) max(x, y) = max(y, x) und min(x, y) = min(y, x) (Kommutativität)
(ii) max(x, max(y, z)) = max(max(x, y), z) (Assoziativität)
(iii) max(x, min(y, z)) = max(max(x, y), max(x, z)) (Distributivität)
7
Prof. Dr. Andreas Griewank
1.4
1.4.1
Analysis I
WS 2012/2013
Vollständigkeit der reellen Zahlen, Supremum und Infimum
Definition: Supremum und Infimum
Man betrachte die Menge M im angeordneten Körper K = Q, R.
(i) Dann heißt das Element t ∈ K eine obere Schranke von M , falls t ≥ x für alle x ∈ M ist.
(ii) Dann heißt das Element s ∈ K eine untere Schranke von M , falls s ≤ x für alle x ∈ M ist.
(iii) Falls ein solches t ∈ K existiert, heißt M nach oben beschränkt mit M ≤ t < ∞.
(iv) Falls ein solches s ∈ K existiert, heißt M nach unten beschränkt mit −∞ < s ≤ M .
(v) Falls eine obere Schranke t ≥ M existiert, sodass für alle anderen oberen Schranken t0 ≥ M gilt,
dass t0 ≥ t ist, dann heißt t ∈ K das Supremum (kleinste obere Schranke) von M mit t = sup M .
(vi) Falls eine untere Schranke s ≤ M existiert, sodass für alle anderen unteren Schranken s0 ≤ M gilt,
dass s0 ≤ s ist, dann heißt s ∈ K das Infimum (größte untere Schranke) von M mit s = inf M .
Für eine endliche Menge M = {a1 , a2 , . . . , an } mit |M | = n gilt:
Beispiel
inf M = min M = min(a1 , a2 , . . . , an ) ≤ max(a1 , a2 , . . . , an ) = max M = sup M
Die Menge M = N ⊂ Q ist nach oben unbeschränkt und nach unten beschränkt.
Beispiel
sup M = ∞ und inf M = min M = 1
1.4.2
Definition: Vollständigkeitsaxiom
Die reellen Zahlen R sind die kleinste Erweiterung der rationalen Zahlen Q, sodass jede nach oben beschränkte Menge M ein Supremum in R besitzt, d. h. M ⊂ R ∧ M ≤ t < ∞ ⇒ sup M ∈ R.
Das Komplement R \ Q heißt die Menge der irrationalen Zahlen.
1.4.3
Satz: Existenz, Eindeutigkeit und Monotonie der Wurzelfunktion
Für alle 0√< c ∈ R und alle n ∈ N existiert genau ein 0 < x ∈ R, sodass xn = c gilt. Diese reelle Zahl
1
wird mit n c = c n bezeichnet und wächst streng monoton bezüglich c, d. h.
c < c0 ⇔ x =
1.4.4
√
n
c<
√
n
c0 = x 0
Lemma: Potenzgesetze
√ m
m
Für 0 < c ∈ R, n ∈ N und m ∈ Z ist die gebrochene Potenz c n = ( n c) eindeutig und erfüllt die
üblichen Rechenregeln für alle p, q ∈ Q:
(i) cp+q = cp · cq
q
p
(ii) (cp ) = cp·q = (cq )
1.4.5
Definition: Bisektionsverfahren
Das Bisektionsverfahren oder auch Intervallhalbierungsverfahren genannt, erzeugt eine konvergente Folge
von Intervallschachtelungen. Dieses Verfahren ermöglicht es, Nullstellen numerisch zu berechnen, indem
das Intervall, in dem sie auftreten können, immer weiter eingegrenzt wird, bis es kleiner als die geforderte
Rechengenauigkeit ist.
8
Prof. Dr. Andreas Griewank
1.4.6
Analysis I
WS 2012/2013
Satz: Intervallschreibweise
Für a, b ∈ R kürzt man die Mengenschreibweisen als Intervallschreibweisen ab:
• [a, b] ≡ {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} (abgeschlossenes Intervall )
• (a, b) ≡ {x ∈ R : a < x < b} (offenes Intervall )
• [a, b) ≡ {x ∈ R : a ≤ x < b} (halboffenes Intervall )
• (a, b] ≡ {x ∈ R : a < x ≤ b} (halboffenes Intervall )
Mit −∞ < a und b < ∞ ergeben sich die Schreibweisen:
• (−∞, b] ≡ {x ∈ R : x ≤ b} (abgeschlossenes Intervall )
• (−∞, b) ≡ {x ∈ R : x < b} (offenes Intervall )
• [a, ∞) ≡ {x ∈ R : a ≤ x} (abgeschlossenes Intervall )
• (a, ∞) ≡ {x ∈ R : a < x} (offenes Intervall )
• (−∞, ∞) ≡ R
1.4.7
Satz: Intervallschachtelungsprinzip
Die Vollständigkeit der reellen Zahlen lässt sich äquivalenterweise zur Definition des Supremums dadurch
charakterisieren, dass jede absteigende Folge von Intervallen
[a0 , b0 ] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ . . . ⊃ [ak−1 , bk−1 ] ⊃ [ak , bk ]
einen nicht leeren Durchschnitt besitzt:
∅=
6 M=
∞
\
[ak , bk ] = {x ∈ R : ak ≤ x ≤ bk ; ∀k ∈ N}
k=1
9
Prof. Dr. Andreas Griewank
2
Analysis I
WS 2012/2013
Folgen und Reihen
2.1
2.1.1
Funktionen und Folgen
Definition: Funktion, Abbildung
Gegeben seien zwei Mengen X und Y , die als Definitions- und Wertebereich bezeichnet werden.
(i) Eine eindeutige Zuordnung von Werten y ∈ Y zu Argumenten x ∈ X heißt Funktion oder Abbildung
f von X nach Y . Man schreibt dann f : X → Y und ∀x ∈ X : f (x) = y.
(ii) Eine Funktion oder Abbildung f heißt injektiv, wenn ∀x1 , x2 ∈ X : f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 gilt.
(iii) Eine Funktion oder Abbildung f heißt surjektiv, wenn ∀y ∈ Y ∃x ∈ X : f (x) = y gilt.
(iv) Eine Funktion oder Abbildung f heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
Bemerkung
(i) Eine Funktion oder Abbildung f ist injektiv, wenn jedes Element der Zielmenge höchstens einmal
als Funktionswert angenommen wird. Es werden also keine zwei verschiedenen Elemente der Definitionsmenge auf ein und dasselbe Element der Zielmenge abgebildet. Eine injektive Funktion wird
auch als Injektion bezeichnet.
Abbildung 3: Injektivität
(ii) Eine Funktion oder Abbildung f ist surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird, also mindestens ein Urbild hat. Sie ist bezüglich ihrer
Bildmenge immer surjektiv. Eine surjektive Funktion wird auch als Surjektion bezeichnet.
Abbildung 4: Surjektivität
(iii) Eine Funktion oder Abbildung f ist bijektiv, wenn jedes Element der Zielmenge genau einmal als
Funktionswert angenommen wird, also genau ein Urbild hat. Eine bijektive Funktion wird auch als
Bijektion bezeichnet.
Abbildung 5: Bijektivität
10
Prof. Dr. Andreas Griewank
2.1.2
Analysis I
WS 2012/2013
Definition: Folge
Eine Folge in oder aus Y ist eine Abbildung f : N → Y , wobei man f oft nicht explizit benennt, sondern
die x indiziert xn = f (n). Die gesamte Folge bezeichnet man als
(xn )n∈N = (xn )n=1,... = (xn )∞
n=1 = (xn )
2.1.3
Definition: Folgenkonvergenz
Eine Folge (xn )n∈N heißt konvergent mit dem Grenzwert x∗ ∈ R, falls Folgendes gilt:
∀ε > 0 ∃n(ε) ∈ N ∀n ≥ n(ε) : |xn − x∗ | < ε
Eine nicht konvergente Folge heißt divergent.
Abbildung 6: Folgenkonvergenz
Bemerkung Die Definition sagt aus, dass es für alle ε > 0 einen Index nε gibt, sodass ab diesem Index
alle Folgenglieder innerhalb der Epsilon-Umgebung [x∗ −ε, x∗ +ε] und nur endlich viele Glieder außerhalb
dieser liegen.
Beispiel
2.1.4
n+1
1
erfüllt die Konvergenzbedingung für n(ε) > .
n
ε
n + 1
1
1
− 1 < ε ⇔ < ε ⇒ n0 =
∀ε > 0 ∃n(ε) ∈ N ∀n ≥ n(ε) : n
n
ε
Die Folge xn =
Lemma: Grenzwert und Beschränktheit
n→∞
(i) Eine konvergente Folge besitzt genau einen Grenzwert, der mit lim xn = x∗ oder xn −−−−→ x∗
n→∞
bezeichnet wird.
(ii) Jede konvergente Folge ist nach oben und nach unten beschränkt.
2.1.5
Definition: Monotonie
Eine Folge (xn )n∈N heißt
(i) monoton steigend, falls für alle n ∈ N gilt, dass xn ≤ xn+1 ist.
(ii) monoton fallend, falls für alle n ∈ N gilt, dass xn ≥ xn+1 ist.
(iii) streng monoton steigend, falls für alle n ∈ N gilt, dass xn < xn+1 ist.
(iv) streng monoton fallend, falls für alle n ∈ N gilt, dass xn > xn+1 ist.
11
Prof. Dr. Andreas Griewank
2.1.6
Analysis I
WS 2012/2013
Satz: Monotoniekriterium
Jede nach oben beschränkte steigende Folge (xn )n∈N bzw. nach unten beschränkte fallende Folge konvergiert und zwar gegen x∗ = sup{xn : n ∈ N} bzw. x∗ = inf{xn : n ∈ N}.
2.1.7
Lemma: Grenzwertsätze
Die Folgenkonvergenz von xn → x∗ und yn → y∗ impliziert folgende Grenzwertsätze.
(i) lim (xn ± yn ) = lim xn ± lim yn = x∗ ± y∗ (Additivität)
n→∞
n→∞
n→∞
(ii) lim (xn · yn ) = lim xn · lim yn = x∗ · y∗ (Homogenität)
n→∞
n→∞
(iii) lim
n→∞
2.1.8
xn
yn
n→∞
lim xn
=
n→∞
lim yn
n→∞
=
x∗
(falls yn , y∗ 6= 0)
y∗
Lemma: Elementare Grenzwerte
(i)
√
n
a −−−−→ 1 für a > 0
(ii)
√
n
n −−−−→ 1
2.1.9
n→∞
n→∞
Korollar: Grenzwert von Polynomen in mehreren Variablen
Für beliebige Polynome P und Q in mehreren Variablen gilt:
P (A1 (xn ), A2 (xn ), . . . , Ak (xn )) n→∞ P (A∗1 , A∗2 , . . . , A∗k )
−−−−→
0∗
0∗
Q(A01 (xn ), A02 (xn ), . . . , A0k (xn ))
Q(A0∗
1 , A2 , . . . , Ak )
2.1.10
Korollar: Grenzwert rationaler Wurzelfunktionen
Für beliebige Polynome P 6= 0 und Q 6= 0 gilt:
s
n
2.1.11
P (n) n→∞
−−−−→ 1
Q(n)
Lemma: Monotonie und Sandvich-Eigenschaft
Gegeben seien die Folgen (xn )n∈N , (yn )n∈N und (zn )n∈N mit xn ≤ yn ≤ zn , sowie xn → x∗ , yn → y∗ und
zn → z∗ , dann gilt:
(i) x∗ ≤ z∗ (Monotonieeigenschaft)
(ii) x∗ = z∗ ⇒ yn → y∗ = x∗ = z∗ (Sandvich-Eigenschaft)
Beispiel
2.1.12
− n1 ≤
sin n
n
≤
1
n
⇒ lim − n1 = lim
n→∞
n→∞
sin n
n
= lim
n→∞
1
n
=0
Lemma: Folgencharakterisierung von inf und sup
Für M ⊆ R ist s ≤ M eine untere Schranke bzw. t ≥ M eine obere Schranke genau dann, wenn s bzw. t
der Grenzwert einer Folge (xn )n∈N ist, also xn → s bzw. xn → t mit xn ∈ M gilt.
t = sup(M ) ⇔ t ≥ x ∀x ∈ M ∧ ∃(xn ) ⊆ M : lim xn = t
n→∞
s = inf(M ) ⇔ s ≤ x ∀x ∈ M ∧ ∃(xn ) ⊆ M : lim xn = s
n→∞
2.1.13
Lemma: Umordnung
Das Konvergenzverhalten einer Folge (xn )n∈N , d. h. die Existenz eines Grenzwertes und sein Wert, bleibt
unverändert, wenn man
(i) endlich viele Glieder modifiziert, weglässt oder hinzufügt;
(ii) die Reihenfolge verändert, d. h. die Folge x̃n = xh(n) mit der Bijektion h : N → N betrachtet, sodass
xn → x∗ ⇒ x̃n → x∗ gilt.
12
Prof. Dr. Andreas Griewank
2.1.14
Analysis I
WS 2012/2013
Definition: Nullfolgen und uneigentlicher Grenzwert
(i) Eine Folge (xn )n∈N heißt Nullfolge, wenn lim xn = 0 ist.
n→∞
(ii) Eine Folge (xn )n∈N heißt bestimmt divergent gegen +∞, wenn lim xn = ∞ ist.
n→∞
(iii) Eine Folge (xn )n∈N heißt bestimmt divergent gegen −∞, wenn lim xn = −∞ ist.
n→∞
Bemerkung Bei bestimmter Divergenz spricht man auch von uneigentlicher Konvergenz.
2.1.15
Lemma: Grenzwert des Kehrwertes bestimmt divergenter Folgen
Der Kehrwert bestimmt divergenter Folgen ist eine Nullfolge.
1
lim xn = ±∞ ⇒ lim
=0
n→∞
n→∞ xn
Bemerkung Die meisten Aussagen über Grenzwertsätze lassen sich auf uneigentlich konvergente Fälle
verallgemeinern.
lim xn = ∞ = lim yn und lim zn = c ∈ R
n→∞
n→∞
n→∞
Bestimmte Ausdrücke
Unbestimmte Ausdrücke
(i) lim (xn + yn ) = ∞
(i) lim (xn · zn ) falls c = 0
(ii) lim (xn · yn ) = ∞
(ii) lim (xn − yn )
(iii) lim (xn + zn ) = ∞
(iii) lim
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
xn
yn
(iv) lim (xn · zn ) = sgn(c) · ∞ falls c 6= 0
n→∞
2.2
2.2.1
Teilfolgen, Bolzano-Weierstraß und Cauchy
Definition: Teilfolge
Eine Folge (x̃n )n∈N heißt Teilfolge von (xn )n∈N , falls es eine streng monoton wachsende Indexfunktion
h : N → N gibt, sodass x̃n = xh(n) gilt.
Bemerkung Häufig wird h nicht explizit angegeben, sondern implizit durch Auswahlkriterien definiert.
2.2.2
Definition: Häufungspunkt
Ein Punkt x∗ ∈ R heißt Häufungspunkt einer Folge (xn )n∈N , wenn es eine Teilfolge x̃n = xh(n) gibt mit
lim xh(n) = x∗
n→∞
Beispiel
2.2.3
Die Folge xn = (−1)n hat zwei Häufungspunkte, nämlich lim x2n = 1 und lim x2n+1 = −1.
n→∞
n→∞
Lemma: Elementare Teilfolgeneigenschaften
(i) Jede Teilfolge einer konvergenten Folge ist auch konvergent und zwar zu demselben Grenzwert.
(ii) Jede beschränkte Folge hat entweder eine monoton steigende oder eine monoton fallende Teilfolge.
2.2.4
Satz: Bolzano-Weierstraß
(i) Jede beschränkte Folge im Rn hat eine konvergente Teilfolge und damit mindestens einen Häufungspunkt.
(ii) Eine Folge ist konvergent genau dann, wenn sie nur einen Häufungspunkt besitzt.
13
Prof. Dr. Andreas Griewank
2.2.5
Analysis I
WS 2012/2013
Lemma: Direkte Charakterisierung von Häufungspunkten
Ein Punkt x∗ ∈ R ist
(i) Häufungspunkt einer Folge (xn )n∈N genau dann, wenn ∀ε > 0 ∀n ∈ N ∃m > n : |xm − x∗ | < ε.
(ii) kein Häufungspunkt einer Folge (xn )n∈N genau dann, wenn ∀ε > 0 ∀n ∈ N ∃m > n : |xm − x∗ | ≥ ε.
2.2.6
Korollar: Beschränktheit
Ist eine Folge (xn )n∈N durch s ≤ xn ≤ t beschränkt, so gilt dies auch für jeden seiner Häufungspunkte
x∗ , sodass s ≤ x∗ ≤ t gilt.
2.2.7
Definition: Limes superior und Limes inferior
Das Infimum und Supremum der Menge H aller Häufungspunkte einer beschränkten Folge (xn )n∈N heißt
Limes superior bzw. Limes inferior. Man schreibt:
lim sup xn = lim xn = sup(H) = max(H)
n→∞
n→∞
lim inf xn = lim xn = inf(H) = min(H)
n→∞
Beispiel
n→∞
Die Folge xn = (−1)n (1 + n1 ) hat den lim sup xn = 1 und den lim inf = −1.
n→∞
n→∞
2.2.8
Lemma: Direkte Charakterisierung von lim inf und lim sup
(i) x∗ = lim sup xn ⇔ ∀ε > 0 ∃n(ε) ∀m ≥ n(ε) : xm < x∗ +ε und x∗ ist minimal bzgl. dieser Eigenschaft
n→∞
(ii) x∗ = lim inf xn ⇔ ∀ε > 0 ∃n(ε) ∀m ≥ n(ε) : xm < x∗ −ε und x∗ ist minimal bzgl. dieser Eigenschaft
n→∞
2.2.9
Lemma: Rechenregeln für lim inf und lim sup
(i) xn ≤ yn ⇒ lim inf xn ≤ lim inf yn ∧ lim sup xn ≤ lim sup yn
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
(ii) c > 0 ⇒ lim sup cxn = c lim sup xn (Positive Homogenität)
n→∞
n→∞
(iii) c < 0 ⇒ lim sup cxn = −c lim sup −xn = c lim inf xn
n→∞
n→∞
n→∞
(iv) lim sup(xn + yn ) ≤ lim sup xn + lim sup yn (Subadditivität)
n→∞
n→∞
n→∞
lim sup(xn − yn ) ≤ lim sup xn − lim inf yn
n→∞
n→∞
n→∞
(v) lim inf xn ≥ 0 ∧ lim inf yn ≥ 0 ⇒ lim sup(xn · yn ) ≤ lim sup xn · lim sup yn
n→∞
n→∞
(vi) lim inf yn > 0 ⇒ lim sup
n→∞
2.2.10
n→∞
n→∞
xn
yn
≤
n→∞
n→∞
lim supn→∞ xn
lim inf n→∞ yn
Definition: Cauchy-Folgen und Cauchy-Kriterium
Eine reelle Folge (xn )n∈N konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist, das heißt die folgende
Eigenschaft besitzt:
∀ε > 0 ∃n(ε) ∈ N ∀n, m ≥ n(ε) : |xn − xm | < ε
Bemerkung Eine Folge (xn )n∈N konvergiert gegen einen Grenzwert, wenn es zu jedem ε > 0 einen
Index n(ε) gibt, sodass der Abstand zweier beliebiger Folgenglieder ab diesem Index kleiner als ε ist.
14
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2.3
2.3.1
Analysis I
WS 2012/2013
Unendliche Reihen
Definition: Reihe
Pn
Sei (ak )k∈N eine reelle Folge. Die n-te Partialsumme ist definiert als sn = k=1 ak . Die Folge (sn )n∈N
heißt Reihe mit den Gliedern an . Konvergiert die Folge (sn )n∈N der Partialsummen, so wird ihr Grenzwert
s bezeichnet mit
∞
X
lim sn =
ak = s
n→∞
2.3.2
k=1
Lemma: Grenzwert der geometrischen Reihe
Gegeben sei die Folge (ak )k∈N mit den Gliedern ak = c · q k . Der Grenzwert der geometrischen Reihe ist
wie folgt definiert:

c
 1−q
, falls |q| < 1
∞
∞

X
X
k
k
c·q =c
q = sgn(c) · ∞
, falls q ≥ 1


k=0
k=0
konvergiert nicht , falls q ≤ −1
2.3.3
Satz: Cauchy-Kriterium für Reihen
Sei (ak )k∈N eine reelle Folge. Die Reihe
n
P
ak konvergiert genau dann, wenn
0
X
m
∀ε > 0 ∃n(ε) : ak < ε falls n(ε) ≤ m ≤ m0
k=m k=1
2.3.4
Satz: Notwendige Bedingung für Konvergenz
Eine notwendige (aber nicht hinreichende) Bedingung für die Konvergenz einer Reihe
n
P
ak ist, dass die
k=1
Folge (ak )k∈N eine Nullfolge ist.
∞
X
ak mit lim ak = 0
k=1
k→∞
2.3.5
Definition: Alternierende Reihe
∞
P
Die Reihe
ak heißt alternierend, wenn für k ∈ N : ak ak+1 < 0 gilt.
k=1
2.3.6
Satz: Leibniz-Konvergenzkriterium
Sei (ak )k∈N eine monoton fallende, reelle Nullfolge, dann konvergiert die alternierende Reihe
∞
P
(−1)k ak .
k=1
Bemerkung Über den Grenzwert der Reihe macht das Kriterium jedoch keine Aussage. Das Kriterium
gilt auch für monoton wachsende Nullfolgen.
2.3.7
Definition: Absolute Konvergenz
Eine Reihe
∞
P
ak heißt absolut konvergent, falls die Reihe der Absolutbeträge
k=1
2.3.8
∞
P
|ak | konvergiert.
k=1
Satz: Verhältnis absoluter und normaler Konvergenz
Die absolute Konvergenz impliziert die normale Konvergenz einer Reihe
∞
P
ak .
k=1
2.3.9 Satz: Majorantenkriterium
P∞
Sei k=1 bk eine
k , dann
P∞konvergente Reihe mit nichtnegativen Summanden
P∞bk ≥ 0. Gilt k ∈ N0 : |ak | ≤
Pb∞
ist die Reihe k=1 ak absolut konvergent. Man nennt die Reihe k=1 bk eine Majorante von k=1 ak .
15
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Analysis I
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2.3.10 Satz: Minorantenkriterium
P∞
Sei k=1 bk eine
bk ≥ 0. Gilt k ∈P
N0 : ak ≥ bk , dann
P∞ divergente Reihe mit nichtnegativen Summanden
P∞
∞
ist die Reihe k=1 ak divergent. Man nennt die Reihe k=1 bk eine Minorante von k=1 ak .
2.3.11
Satz: Quotientenkriterium
Gegeben sei eine Reihe
∞
P
an mit reellen Summanden an 6= 0 für alle n ≥ n0 ∈ N. Die Reihe ist absolut
n=1
konvergent, wenn
• es eine reelle Zahl 0 < θ < 1 gibt, sodass ∀n ≥ n0 : aan+1
≤ θ gilt oder
n
• q = lim sup aan+1
< 1 gilt.
n
n→∞
Die Reihe ist divergent, wenn
• ∀n ≥ n0 : aan+1
≥ 1 gilt oder
n
• lim inf aan+1
> 1 gilt.
n
n→∞
2.3.12
Satz: Wurzelkriterium
∞
P
Gegeben sei eine Reihe
an mit reellen Summanden an 6= 0 für alle n ≥ n0 ∈ N. Die Reihe ist absolut
n=1
konvergent, wenn
• es eine reelle Zahl 0 < θ < 1 gibt, sodass ∀n ≥ n0 :
p
• r = lim sup n |an | < 1 gilt.
p
n
|an | ≤ θ gilt oder
n→∞
Die Reihe ist divergent, wenn
p
• ∀n ≥ n0 : n |an | ≥ 1 gilt oder
p
• lim inf n |an | > 1 gilt.
n→∞
2.3.13
Lemma: Verallgemeinerte harmonische Reihe
Für beliebige Exponenten c ∈ R gilt:
∞
X
1
=
c
n
n=1
Beispiel
(
∞,
falls c ≤ 1
s ∈ (0, ∞), falls c > 1
Für c = 1 und für c = 2 ergeben sich folgende Reihen mit ihren Grenzwerten.
∞
∞
X
X
1
1
π
= ∞ und
=
2
n
n
6
n=1
n=1
2.3.14
Definition: Umordnung absolut konvergenter Reihen
Für eine Bijektion h : N → N heißt die Reihe
∞
P
ãn mit ãn = ah(n) eine Umordnung der Reihe
n=1
∞
P
an .
n=1
2.3.15
Satz: Konvergenz umgeordneter Reihen
P∞
P∞
Wenn die Reihe n=1 an absolut konvergiert, dann tut das auch jede Umordnung n=1 ãn mit ãn = ah(n)
und zwar gegen denselben Grenzwert.
16
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Analysis I
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2.3.16
Satz: Umordnungssatz von Riemann
P∞
Falls einer Reihe n=1 an konvergiert, aber nicht absolut konvergiert, dann gibt es für jeden Zielwert
a ∈ [−∞, ∞] := R ∪ −∞ ∪ ∞ eine Umordnung h : N → N, sodass
∞
X
ah(n) = a
n=1
gilt. Es gibt auch Umordnungen für die
wirklich divergiert.
2.4
P∞
n=1
ah(n) weder eigentlich noch uneigentlich konvergiert, d. h.
b-adische Zahlendarstellung und Überabzählbarkeit von R
2.4.1
Definition: b-adische Zahlendarstellung
Die b-adische Darstellung einer reellen Zahl x ≥ 0 zur natürlichen Basis b ∈ N \ {0, 1} mit den Ziffern
zk ∈ (0, 1, . . . , b − 1) bzw. den entsprechenden Symbolen, ist die Reihe
x=
∞
X
zk b−k = (z−m , z−m+1 . . . . , z−1 , z0 , z1 , . . .)b
k=−m
Das heißt zk ist die k-te Ziffer hinter dem Punkt in der Darstellung von x.
Beispiel
2.4.2
Die b-adische Darstellung der Zahl 35, 41 zur Basis 10 ist x = 3·101 +5·100 +4·10−1 +1·10−2 .
Satz: Existenz der Darstellung
Jede nicht negative reelle Zahl x ≥ 0 hat für jede Basis b ∈ N \ {0, 1} genau eine Darstellung durch die
Ziffernfolge (zk )k≥−m mit zk ∈ (0, 1, . . . , b − 1) und m ∈ Z, sowie der Einschränkung, dass unendlich viele
zk 6= b − 1 vorkommen müssen.
2.4.3
Satz: Konvergenz der Darstellung
Seien m ∈P
N0 und bm , . . . , b0 ∈ {0, 1, . . . , 9}, sowie (an )n∈N eine Folge in {0, 1, . . . , 9}. Dann konvergiert
∞
an
die Reihe n=1 10
n und man schreibt
bm bm−1 . . . b0 , a1 a2 a3 . . . := bm 10m + bm−1 10m−1 + . . . + b1 101 + b0 100 + a1 10−1 + a2 10−2 + . . .
2.4.4
Satz: Überabzählbarkeit der reellen Zahlen
Die Menge der (positiven) reellen Zahlen ist überabzählbar, d. h. es gibt keine Durchnummerieungsfunktion
f : N → R, sodass f surjektiv ist, d. h. jede Nummerierung verpasst ein y > 0.
2.5
2.5.1
Potenzreihen
Definition: Potenzreihe
∞
P
Eine Potenzreihe (am Punkt x0 ) ist eine Reihe der Form P (x) =
n=0
an (x − x0 )n , wobei (an )∞
n=0 die
Koeffizientenfolge und x0 ∈ R den Entwicklungspunkt bezeichnet.
Potenzreihen am Entwicklungspunkt x0 = 0 haben die Form P (x) =
∞
P
a n xn .
n=0
2.5.2
Satz: Konvergenzradius
Für jede Koeffizientenfolge (an )∞
n=0 gibt es (unabhängig vom Entwicklungspunkt
P∞x0 ) einen Konvergenzradius % ∈ [0, ∞] = {% ≥ 0 : % ∈ R} ∪ {∞}, sodass die Potenzreihe P (x) = n=0 an (x − x0 )n für alle
x ∈ (x0 − %, x0 + %) ≡ {x0 − % < x < x0 + %} absolut konvergiert und für x ∈ (−∞, x0 − %) ∪ (x0 + %, ∞)
divergiert. Der Konvergenzradius % lässt sich explizit berechnen als


∞, falls r = 0
% = 1/r, falls 0 < r < ∞


0,
falls r = ∞
17
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Analysis I
WS 2012/2013
Dazu ist es notwendig den Parameter r mit Hilfe des Wurzel- oder Quotientenkriteriums zu berechnen.
p
• % = 1r mit r = lim sup n |an | (Formel von Cauchy-Hadamard )
n→∞
• %=
1
q
mit q = lim aan+1
(Euler-Kriterium)
n
n→∞
Beispiel
Die Reihe
P∞
Beispiel
Die Reihe
P∞
n=0
xn konvergiert für |x| < 1 gegen
1
1−x .
xn
n=0 n!
konvergiert nach dem Euler-Kriterium für alle x ∈ R.
(n + 1)! = lim |n + 1| = lim (n + 1) = ∞
lim
n→∞
n→∞ n! n→∞
Bemerkung Zwei Potenzreihen P (x) und Q(x) mit demselben Entwicklungspunkt x0 lassen sich einander addieren und miteinander multiplizieren.
2.5.3
Definition: Exponentialreihe
Eine Potenzreihe der Form P (x) =
∞ xn
P
heißt Exponentialreihe, wobei P (x) die Exponentialfunktion
n=0 n!
kennzeichnet.
2.5.4
Lemma: Konvergenz der Linearkombination
Für beliebige α, β ∈ R \ {0} und den Potenzreihen P (x) =
∞
P
an xn und Q(x) =
n=0
∞
P
bn xn mit den
n=0
Konvergenzradien %P > 0 und %Q > 0 konvergiert die Linearkombination
R(x) = αP (x) + βQ(x) =
∞
X
(αan + βbn )(x − x0 )n
n=0
absolut mit einem Konvergenzradius %R ≥
2.5.5
1
2
min(%P , %Q ) > 0.
Satz: Restgliedabschätzung
Für eine Potenzreihe P (x) mit Konvergenzradius % > 0 existiert zu jedem %̃ ∈ (0, %) und n ≥ 1 eine
Konstante c ∈ R, sodass
n−1
X
k
∀x ∈ [−%̃, %̃] ⊂ (−%, %) : P (x) −
ak x ≤ c · |x|n
k=0
2.5.6
Korollar: Potenzreihen am Ursprung
Falls eine Potenzreihe P (x) an der Stelle P (0) = a0 6= 0 einen positiven Konvergenzradius % > 0 hat,
dann existiert ein %̃ ∈ (0, %), sodass P (x) 6= 0 ∀x ∈ (−%̃, %̃).
2.5.7
Satz: Identitätssatz von Potenzreihen
∞
∞
P
P
Betrachte zwei Potenzreihen P (x) =
an xn und Q(x) =
bn xn mit den Konvergenzradien %P > 0
n=0
n=0
und %Q > 0. Falls es eine konvergente Folge xn → x∗ mit xn 6= x∗ und P (xn ) = Q(xn ) gibt, dann gilt
an = bn für n ∈ N.
2.5.8
Sind
Definition: Cauchy-Produkt
∞
P
n=0
an und
∞
P
bn zwei unendliche Reihen, dann bezeichnet die Reihe
n=0
∞
P
n=0
das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.
18
cn mit cn =
n
P
k=0
ak bn−k
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2.5.9
Analysis I
WS 2012/2013
Satz: Konvergenz des Cauchy-Produktes
Falls die Reihen
∞
P
n=0
∞
P
an und
n=0
bn absolut konvergieren, dann gilt dies auch für ihr Cauchy-Produkt:
! ∞ !
∞
∞
X
X
X
an
bn
cn =
n=0
n=0
Beispiel
n=0
Das Cauchy-Produkt der Exponentialreihen exp x =
∞
X
xi
!
i!

i=0
∞
X
xj
j=0
j!

=
∞ X
n
X
xk
n=0 k=0
=
=
=
∞
X
k!
·
n
xi
i=0 i!
P∞
und exp y =
y n−k
(n − k)!
1 X
n!
· xk y n−k
n!
k!(n − k)!
k=0
!
n 1 X n
k n−k
·x y
n!
k
n=0
∞
X
n=0
∞
X
k=0
(x + y)n
n!
n=0
= exp(x + y)
= exp x · exp y
19
!
yj
j=0 j!
P∞
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3
Analysis I
WS 2012/2013
Stetigkeit
3.1
3.1.1
Grundlagen und Zwischenwertsatz
Definition: Epsilon-Delta-Kriterium
Eine Funktion f : D ⊆ R → R heißt stetig an der Stelle x0 ∈ D, falls Folgendes gilt.
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D : |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε
Falls die Funktion f an allen Stellen x0 ∈ D stetig ist, so heißt f stetig auf D. Wenn D ein offenes
Intervall ist, dann heißt f stetig in D.
Abbildung 7: Epsilon-Delta-Kriterium
Beispiele
• f (x) = c ∈ R ist stetig an allen x0 ∈ R.
• f (x) = x ist stetig an allen x0 ∈ R.
√
• f (x) = x ist stetig an allen x0 ∈ R+
0 ≡ {x ∈ R | x ≥ 0}.


, falls x > 0
1
• Vorzeichenfunktion sgn(x) = 0
, falls x = 0 ist an x0 = 0 unstetig.


−1 , falls x < 0
(
1 , falls x ∈ Q
• Dirichlet-Funktion D(x) =
ist auf ganz R definiert, aber nirgends stetig.
0 , falls x ∈ R \ Q
3.1.2
Lemma: Vererbungsregeln
Falls die Funktionen f, g : D ⊆ R → R an der Stelle x0 ∈ D stetig sind, so gilt dies auch für
(i) h(x0 ) = f (x0 ) ± g(x0 )
(ii) h(x0 ) = f (x0 ) · g(x0 )
(iii) h(x0 ) = f (x0 )/g(x0 ) (vorausgesetzt, dass g(x0 ) 6= 0 ist)
3.1.3
Korollar: Stetigkeit von Polynomen
Alle Polynome
n
P
ai xi sind auf R stetig.
i=0
Alle rationalen Funktionen f (x)/g(x) sind stetig an allen x0 ∈ D, wenn g(x0 ) 6= 0 ist.
20
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3.1.4
Analysis I
WS 2012/2013
Satz: Nullstellensatz
Falls die Funktion f : [a, b] → R überall stetig ist und f (a) · f (b) ≤ 0 ist, dann existiert mindestens eine
Nullstelle x∗ ∈ [a, b] mit f (x∗ ) = 0.
3.1.5
Korollar: Zwischenwertsatz
Falls die Funktion f auf [a, b] stetig ist, dann wird jeder Wert y ∈ [min (f (a), f (b)) , max (f (a), f (b))]
an einer Stelle x ∈ [a, b] angenommen, d. h. f (x) = y.
3.1.6
Lemma: Stetigkeit der Komposition von Funktionen
Falls f : D ⊆ R → R und g : E ⊆ R → R mit f (D) ⊆ E an der Stelle x0 ∈ D bzw. y0 = g(x0 ) ∈ E stetig
ist, dann ist die Komposition h = g ◦ f : D ⊆ R → R ebenfalls an der Stelle x0 stetig.
Verallgemeinerung des Stetigkeitsbegriffes auf Funktionen mehrerer Variablen
Die Funktion f (x, y) : R2 → R2 heißt stetig, falls obige Definition gilt mit |x − x0 | ersetzt durch
p
k(x − x0 , y − y0 )k = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 .
Die Vererbungseigenschaften sind weiterhin gegeben.
3.1.7
Satz: Folgenstetigkeit
Eine Funktion f : D ⊆ R → R ist an der Stelle x0 ∈ D genau dann stetig, wenn für jede Folge (xn )n∈N ⊆ D
aus xn → x0 folgt, dass f (xn ) → f (x0 ). Man nennt f deshalb auch folgenstetig.
3.1.8
Definition: Abgeschlossenheit und kompakte Menge
Eine Menge M ⊆ R heißt
(i) abgeschlossen, falls (xn )n∈N ⊆ M mit xn → x∗ ∈ R der Grenzwert x∗ ∈ M ist und
(ii) kompakt, falls sie abgeschlossen und beschränkt ist.
Beispiele
• [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} ist abgeschlossen und zudem kompakt, falls a, b ∈ R.
• (a, b], [a, b) und (a, b) sind nicht abgeschlossen, es sei denn a = −∞ und b = ∞.
• R ist abgeschlossen, aber nicht kompakt, dasselbe gilt für (−∞, 0] und [0, ∞).
3.1.9
Satz: Weierstraß
Falls eine Funktion f : D ⊆ R → R auf kompaktem D stetig ist, dann existiert ein Minimalpunkt x∗ ∈ D
und ein Maximalpunkt x∗ ∈ D, sodass für alle x ∈ D gilt, dass f (x∗ ) ≤ f (x) ≤ f (x∗ ) ist.
3.1.10
Definition: Links- und rechtsseitige Stetigkeit
Eine Funktion f : D ⊆ R → R hat an der Stelle x0 ∈ D den
(i) linksseitigen Grenzwert a, wenn ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D : x0 − δ < x < x0 ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε gilt.
Man schreibt: a = lim f (x) = f (x−
0 ).
x%x0
Falls x0 ∈ D ist und f (x0 ) = a ∈ R gilt, dann heißt f an der Stelle x0 linksseitig stetig.
(ii) rechtsseitigen Grenzwert b, wenn ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D : x0 < x < x0 + δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε gilt.
Man schreibt: b = lim f (x) = f (x+
0 ).
x&x0
Falls x0 ∈ D ist und f (x0 ) = b ∈ R gilt, dann heißt f an der Stelle x0 rechtsseitig stetig.
(iii) Falls (i) und (ii) mit a = b gilt, dann heißt a der Grenzwert von f an der Stelle x0 .
Man schreibt: a = lim f (x).
x→x0
21
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3.1.11
Analysis I
WS 2012/2013
Lemma: Äquivalenz zur Folgendefinition
(i) Der Ausdruck a = lim f (x) ist äquivalent zur Darstellung der Funktion mit einer Folge, die gegen
x%x0
x0 läuft, sodass a = lim f (xn ), wobei xn → x0 mit xn < x0 ist für alle n ∈ N.
n→∞
Der Ausdruck b = lim f (x) ist äquivalent zur Darstellung der Funktion als Menge {xn & x0 ⇒ f (xn ) → f (x0 )}.
x&x0
(ii) f ist stetig an x0 ∈ D genau dann, wenn f sowohl links- als auch rechtsseitig stetig an x0 ist.
Beispiele


1
• Vorzeichenfunktion sgn(x) = 0


−1
, falls x > 0
, falls x = 0 ist an x0 = 0 weder links- noch rechtsseitig stetig.
, falls x < 0
lim sgn(x) = −1 6= 0 = sgn(0) und lim sgn(x) = 1 6= 0 = sgn(0)
x%0
x&0
(
0
• Heaviside-Funktion Θ(x) =
1
, falls x < 0
ist an x0 = 0 ist lediglich rechtsseitig stetig.
, falls x ≥ 0
lim Θ(x) = 0 6= 1 = Θ(0) und lim Θ(x) = 1 = Θ(x)
x%0
3.2
3.2.1
x&0
Gleichmäßige Stetigkeit und Heine-Borel
Definition: Gleichmäßige Stetigkeit und Lipschitz-Stetigkeit
Eine Funktion f : D ⊆ R → R heißt
(i) gleichmäßig stetig auf D, wenn ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, x0 ∈ D : |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε gilt,
wobei dasselbe δ für alle x0 ∈ D gilt.
(ii) Lipschitz-stetig auf D, wenn es ein L > 0 gibt, sodass ∀x0 , x ∈ D : |f (x) − f (x0 )| ≤ L · |x − x0 | gilt.
Das heißt die Konstante L beschränkt die Steigung im Funktionsgraphen.
(iii) lokal Lipschitz-stetig auf D, wenn ∀x0 ∈ D ∃δ(x0 ), L(x0 ), sodass f auf D ∧ (x0 − δ, x0 + δ) Lipschitzstetig mit konstantem L(x0 ) ist.
Beispiele
• f (x) =
1
x
ist auf (a, b) lokal Lipschitz-stetig, aber nicht global Lipschitz-stetig.
√
• f (x) = x ist auf [0, 1] gleichmäßig stetig, aber nicht lokal Lipschitz-stetig, da für x0 = 0 und
x ∈ (0, 1] gilt:
√
√
√
f (x) − f (x0 )
x− 0
x
1 x→0
=
=
= √ −−−→ ∞
x − x0
x−0
x
x
3.2.2
Lemma: Implikationen der Stetigkeit
Für eine Funktion f : D ⊆ R → R gelten folgende Implikationen.
• Lipschitz-Stetigkeit impliziert gleichmäßige Stetigkeit und lokale Lipschitz-Stetigkeit.
• Gleichmäßige Stetigkeit und lokale Lipschitz-Stetigkeit implizieren Stetigkeit.
• Stetigkeit auf kompakter Menge impliziert gleichmäßige Stetigkeit.
3.2.3
Satz: Heine-Borel
Falls eine Funktion f auf eine kompakte Menge D ⊆ R stetig ist, so ist sie sogar gleichmäßig stetig.
22
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4
Analysis I
WS 2012/2013
Differentiation
4.1
4.1.1
Definition und Grundeigenschaften von Ableitungen
Definition: Differenzenquotient und Differenzierbarkeit
Gegeben ist eine Funktion f : (a, b) → R mit a < b.
(i) Für ein festes x0 ∈ (a, b) ist der Differenzenquotient (Sekantensteigung) von f an der Stelle x0
f (x) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
∆y
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
bzw.
mit h = ∆x bzw.
=
x − x0
h
∆x
∆x
(ii) Falls der Differenzenquotient an der Stelle x0 stetig ist, nennt man die Funktion f an der Stelle x0
differenzierbar mit dem Differentialquotienten (Tangentensteigung) bzw. der Ableitung
d
f (x) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
dy 0
=
= lim
=
f (x)
f (x0 ) = lim
x→x0
h→0
x − x0
h
dx x=x0
dx
x=x0
(iii) Falls die Ableitungsfunktion f 0 (x0 ) für alle x0 ∈ (a, b) existiert und somit selbst eine Funktion von
(a, b) nach R ist, heißt f auf (a, b) differenzierbar. Falls f 0 auf (a, b) stetig ist, heißt f auf (a, b)
stetig differenzierbar.
Bemerkung Alle Polynome sind auf ganz R differenzierbar und zwar beliebig oft.
4.1.2
Lemma: Implikationen der Differenzierbarkeit
Für eine Funktion f : (a, b) → R gelten folgende Implikationen.
(i) Ist f differenzierbar an der Stelle x0 ∈ (a, b), so ist f stetig an x0 .
(ii) Ist f stetig differenzierbar auf (a, b), so ist f lokal Lipschitz-stetig auf (a, b).
4.1.3
Definition: Links- und rechtsseitige Differenzierbarkeit
Eine Funktion f : (a, b) → R heißt linksseitig differenzierbar an der Stelle x0 ∈ (a, b), falls der linksseitige
Grenzwert der Ableitungsfunktion existiert.
0
f−
(x0 ) = lim
x%x0
f (x) − f (x0 )
x − x0
Eine Funktion f : (a, b) → R heißt rechtsseitig differenzierbar an der Stelle x0 ∈ (a, b), falls der rechtsseitige Grenzwert der Ableitungsfunktion existiert.
0
f+
(x0 ) = lim
x&x0
4.1.4
f (x) − f (x0 )
x − x0
Lemma: Folgerungen aus der links- und rechtsseitigen Differenzierbarkeit
Eine Funktion f : (a, b) → R ist genau dann an der Stelle x0 ∈ (a, b) differenzierbar, wenn f an x0 sowohl
0
0
links- als auch rechtsseitig differenzierbar ist und f−
(x0 ) = f+
(x0 ) gilt.
4.1.5
Satz: Differentiationsregeln
Seien die Funktionen f, g : (a, b) → R an der Stelle x0 ∈ (a, b) differenzierbar, dann gilt dies auch für die
Komposition h = f ◦ g mit ◦ = +, −, ·, ÷ und die Ableitungswerte h0 (x0 ) sind gegeben durch:
d
(i) h0 (x0 ) =
(f (x) ± g(x))
= f 0 (x0 ) ± g 0 (x0 ) (Additivität)
dx
x=x0
d
(ii) h0 (x0 ) =
(f (x) · g(x))
= f 0 (x0 ) · g(x0 ) + f (x0 ) · g 0 (x0 ) (Produktregel )
dx
x=x0
d
0
= c · f 0 (x0 ) (Homogenität)
h (x0 ) =
(c · f (x))
dx
x=x0
(iii) h0 (x0 ) =
d
dx
f (x) f 0 (x0 ) · g(x0 ) − f (x0 ) · g 0 (x0 )
=
falls g(x0 ) 6= 0 (Quotientenregel )
g(x) x=x0
g(x0 )2
23
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4.1.6
Analysis I
WS 2012/2013
Lemma: Ableitung von Potenzfunktionen
d n
x = nxn−1
dx
4.1.7
Satz: Kettenregel
Sei eine Funktion f auf dem Intervall (a, b) stetig und an der Stelle x0 ∈ (a, b) differenzierbar und eine
Funktion g auf der Umgebung (y0 − δ, y0 + δ) mit y0 = f (x0 ) definiert, sowie auf y0 differenzierbar, dann
ist g ◦ f = h auf der Umgebung (x0 − ε, x0 + ε) definiert und an der Stelle x0 differenzierbar. Der Wert
der Ableitung ist
h0 (x0 ) = g 0 (y0 ) · f 0 (x0 ) = g 0 (f (x0 )) · f 0 (x0 ) bzw. h0 (x0 ) =
4.2
4.2.1
dz
dz dy
·
=
dy dx
dx
Optimalitätsbedingungen und Mittelwertsatz
Definition: Lokale und globale Minima und Maxima
Eine Funktion f : D → R nimmt an einer Stelle x0 ∈ D ein lokales Minimum an, wenn es ein δ > 0 gibt,
sodass x ∈ D : |x − x0 | < δ ⇒ f (x) ≥ f (x0 ) gilt.
Eine Funktion f : D → R nimmt an einer Stelle x0 ∈ D ein lokales Maximum an, wenn es ein δ > 0 gibt,
sodass x ∈ D : |x − x0 | < δ ⇒ f (x) ≤ f (x0 ) gilt.
Gilt die Ungleichung für beliebige δ > 0, so heißt x0 das globale Minimum bzw. Maximum auf D.
Bemerkung Sowohl lokale wie globale Extrema können im Inneren wie an Randpunkten eines Intervalls
auftreten.
4.2.2
Lemma: Notwendige Optimalitätsbedingungen
Falls eine Funktion f in (a, b) differenzierbar und a, b links- bzw. rechtsseitig differenzierbar ist, gilt für
jedes lokale Minimum x0 von f auf [a, b]:
(i) a < x0 < b und f 0 (x0 ) = 0 (innerer Punkt)
0
(x0 ) ≥ 0 (linker Rand )
(ii) a = x0 und f+
0
(x0 ) ≤ 0 (rechter Rand )
(iii) b = x0 und f−
Entsprechend gilt für jedes lokale Maximum x0 :
(i) a < x0 < b und f 0 (x0 ) = 0 (innerer Punkt)
0
(ii) a = x0 und f+
(x0 ) ≤ 0 (linker Rand )
0
(iii) b = x0 und f−
(x0 ) ≥ 0 (rechter Rand )
Bemerkung Streng genommen besteht ein Minimum bzw. Maximum aus einem Paar (x0 , f (x0 )) reeller
Zahlen, wobei x0 die Minimal- bzw. Maximalstelle und f (x0 ) den Minimal- bzw. Maximalwert bezeichnet.
4.2.3
Satz: Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Falls f auf [a, b] stetig und in (a, b) differenzierbar ist, existiert ein x ∈ (a, b), sodass gilt.
f 0 (x) =
f (b) − f (a)
b−a
Die Sekantensteigung zwischen a und b wird an einem x ∈ (a, b) als Tangentensteigung angenommen.
Konsequenz Das Supremum des Ableitungsbetrages ist die Lipschitz-Konstante der Ausgangsfunktion.
f (y) − f (x) |f 0 (z)(y − x)|
= |f 0 (z)| ≤ sup |f 0 (z)|
y−x =
|y − x|
a≤z≤b
24
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4.2.4
Analysis I
WS 2012/2013
Korollar: Charakterisierung von Monotonie durch Ableitung
Sei die Funktion f auf dem Intervall [a, b] stetig und in (a, b) differenzierbar. Dann gilt für a ≤ x < y ≤ b.
(i) f (x) ≤ f (y) ⇔ f 0 (z) ≥ 0 ∀z ∈ (a, b)
(ii) f (x) < f (y) ⇒ f 0 (z) > 0 ∀z ∈ (a, b)
Die Nichtnegativität der Ableitung ist notwendig und hinreichend für monotones Wachstum. Die Positivität der Ableitung ist hinreichend für streng monotones Wachstum.
4.2.5
Satz: Existenz von Umkehrfunktionen
Falls die Funktion f auf dem Intervall [a, b] stetig und streng monoton steigend ist, dann existiert eine
stetige Umkehrfunktion f −1 : [f (a), f (b)] → [a, b] ⊆ R, sodass
• f −1 (f (x)) = x
∀x ∈ [a, b]
• f (f −1 (y)) = y
∀y ∈ [f (a), f (b)]
Bemerkung Allgemein werden nicht streng monotone Funktionen auf einen Teil ihres Definitionsbereiches eingeschränkt in dem sie diese Eigenschaft haben und somit umkehrbar sind.
4.2.6
Korollar: Umkehrregel
Falls die Funktion f auf dem Intervall [a, b] stetig ist und auf dem Intervall (a, b) differenzierbar mit der
positiven Ableitung f 0 ist, so existiert eine differenzierbare Umkehrfunktion f −1 : (f (a), f (b)) → (a, b)
und die Werte ihrer Ableitung sind gegeben durch:
1
1
d −1
f (y) = (f −1 )0 (y) = 0
= 0 −1
dy
f (x0 )
f (f (y0 ))
y=y0
Bemerkung Die Ableitung der Umkehrfunktion ist der Kehrwert der Ableitung der Ausgangsfunktion.
4.2.7
Verallgemeinerter Mittelwertsatz
Sind die Funktionen f und g auf dem Intervall [a, b] stetig sind und auf dem Intervall (a, b) differenzierbar
sind mit g 0 (x) 6= 0 ∀x ∈ [a, b], dann existiert mindestens ein x, sodass gilt.
f (b) − f (a)
f 0 (x)
= 0
g(b) − g(a)
g (x)
4.2.8
Satz: Regel von de l’Hospital
Seien die Funktionen f und g auf dem Intervall (a, b) differenzierbar und f (x0 ) = g(x0 ) = 0. Dann gilt
lim
x→x0
f 0 (x)
f (x)
= lim 0
g(x) x→x0 g (x)
Wann immer der rechte Grenzwert existiert, sind f und g an der Stelle x0 stetig differenzierbar mit
g 0 (x0 ) 6= 0. Dann gilt
f (x)
f 0 (x)
lim
= 0
x→x0 g(x)
g (x)
(x)
mit f (x0 ) = 0 = g(x0 ) an der Stelle x0 nur einen links- und/oder
Bemerkung Manchmal hat fg(x)
rechtsseitigen Grenzwert. Dann lässt sich l’Hospital immer noch anwendbar verallgemeinern.
lim
x%x0
f (x)
f 0 (x)
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
bzw. lim
= lim 0
x&x0 g(x)
x&x0 g (x)
g(x) x%x0 g (x)
Dabei darf x0 auch ∞ sein. Außerdem gilt die Aussage auch, wenn limx%x0 f (x) = ∞ = limx%x0 g(x)
bzw. limx&x0 f (x) = ∞ = limx&x0 g(x). Mit anderen Worten, sowohl die unbestimmten Ausdrücke der
Form 00 wie auch ∞
∞ lassen sich gegebenfalls mit l’Hospital berechnen. Unbestimmte Ausdrücke der Form
0
0 · ∞ lassen sich häufig als ∞
1 oder 1 wieder mit l’Hospital berechnen.
0
∞
25
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4.3
4.3.1
Analysis I
WS 2012/2013
Höhere Ableitungen und Taylorentwicklung
Definition: Höhere Ableitung
Eine Funktion f heißt k-mal differenzierbar auf dem Intervall (a, b), wenn beginnend mit f (0) (x) = f (x)
d (j−1)
alle Ableitungen f (j) (x) = dx
f
(x) für alle j = 1, . . . , k wohldefiniert sind, d. h. die j-te Ableitung
ist für j = 0, . . . , k − 1 wiederum differenzierbar. Wenn f (k) auch noch stetig auf (a, b) ist, schreibt man
f ∈ C k (a, b), d. h. f ist k-mal stetig differenzierbar auf (a, b).
Spezialfälle
(i) f ∈ C 0 (a, b) bedeutet, dass f stetig ist.
∞
T
(ii) f ∈ C ∞ (a, b) =
C k (a, b) bedeutet, dass f unendlich oft differenzierbar ist.
k=0
4.3.2
Lemma: Höhere Ableitungsregeln
Seien die Funktionen f, g ∈ C k (a, b), dann gilt:
(i) ∀α, β ∈ R : h(x) = α · f (x) + β · g(x) ⇒ h(k) (x) = α · f (k) (x) + β · g (k) (x) (Linearität)
(ii) h(x) = f (x) · g(x) ⇒ h(k) (x) =
k
P
j=0
4.3.3
k
j
· f (j) (x) · g (k−j) (x) (Leibnizregel )
Definition: Taylorpolynom
Für eine Funktion f ∈ C k (a, b) und einen Entwicklungspunkt x0 ∈ (a, b) heißt
Pk (x0 , x) =
k
X
f (j) (x0 )
j!
j=0
(x − x0 )j
Taylorpolynom des Grades k von f an der Stelle x0 .
4.3.4
Satz: Taylor
Für eine Funktion f ∈ C k (a, b) und einen Entwicklungspunkt x0 ∈ (a, b) gilt
f (x) = Pk (x0 , x) + Rk (x0 , x) mit Rk (x0 , x) =
f (k+1) (ξ)
(x − x0 )k+1 und |ξ − x0 | < |x − x0 |
(k + 1)!
Interpretation Der Fehler f (x)−Pk (x0 , x) entspricht genau dem nächsten Term Pk+1 (x0 , x)−Pk (x0 , x)
ausgewertet an der Zwischenstelle ξ ∈ (x, x0 ) ∪ (x0 , x).
4.3.5
Lemma: Optimalitätsbedingungen höherer Ableitungen
Falls eine Funktion f ∈ C 2k+1 (a, b) kann x∗ ∈ (a, b) nur ein lokales Minimum sein, wenn die erste nicht
verschwindende Ableitung nicht ungerader Ordnung ist.
f (j) (x∗ ) = 0 f ür j = 1, . . . , (2k − 1) und f (2k) (x∗ ) > 0
4.3.6
Definition: Taylorreihe
Für eine Funktion f ∈ C ∞ (a, b) und einen Entwicklungspunkt x0 ∈ (a, b) heißt
P (x) =
∞
X
f (j) (x0 )
j=0
j!
(x − x0 )j
die Taylorreihe von f an der Stelle x0 .
Bemerkung Die Taylorreihe konvergiert meistens, aber nicht immer gegen f (x) für x ≈ x0 .
26
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Analysis I
WS 2012/2013
∞ (j)
P
f (x0 )
Bemerkung Die Taylorreihe
(x − x0 )j konvergiert absolut auf (x0 − %, x0 + %), wobei % =
j!
j=0
q
(j)
1
mit r = lim sup j f j!(x0 ) , wobei 10 = ∞ und ∞
= 0 zugelassen ist.
1
r
j→∞
4.3.7
Definition: Reell analytische Funktion
∞
Eine Funktion
P∞ f ∈ C (a, b), die an der Stelle x0 ∈ (a, b) für alle x ∈ (x0 − %, x0 + %) mit einer Potenzreihe
P (x) = k=0 ak (x − x0 )k wertemäßig übereinstimmen, heißen reell analytisch.
Bemerkung Im Komplexen, d. h. für f : C → C, impliziert einmalige komplexe Differenzierbarkeit die
Existenz beliebig hoher Ableitungen und die Identität mit der Potenzreihe (Taylorreihe).
4.3.8
Satz: Differenzierbarkeit von Potenzreihen
P∞
Jede gegebene Potenzreihe k=0 ak (x − x0 )k ist im Inneren ihres Konvergenzintervalls (x0 − %, x0 + %)
beliebig oft differenzierbar und identisch mit ihrer Taylorreihe. Spezifisch gilt:
"∞
#
∞
∞
X
X
j!
dk X
(j + k)!
k
j−k
ak (x − x0 ) =
aj
(x − x0 )
=
(x − x0 )j
aj+k
dxk
(j − k)!
j!
j=0
k=0
j=k
sodass an der Stelle x = x0 gilt
"∞
#
dk X
k a
(x
−
x
)
k
0
dxk
k=0
4.3.9
x=x0
"∞
#
k!
1 dk X
k = ak ·
⇔ ak =
a
(x
−
x
)
k
0
0!
k! dxk
k=0
x=x0
Lemma: Konvergenzradius abgeleiteter Potenzreihen
Die abgeleiteten
Potenzreihen haben genau denselben Konvergenzradius % wie die ursprüngliche PotenzP∞
reihe k=0 ak (x − x0 )k , wobei % = 1r mit
s
j!
(j − k)!
j→∞
q
hp p
i
p
= lim sup j |aj | j j · j j − 1 · . . . · j j − k + 1
r = lim sup
j
|aj | ·
j→∞
= lim sup
q
j
|aj | = r
j→∞
für die Potenzreihe selbst.
P (k) (x0 ) = ak · k! ⇔ ak =
4.4
1
· P (k) (x0 )
k!
Spezielle Funktionen
Nach dem Satz über das Cauchy-Produkt erfüllt exp x die sogenannte Funktionalgleichung
exp(x1 + x2 ) = exp x1 · exp x2 ⇔ ex1 +x2 = ex1 · ex2
⇒ exp(−x) =
1
1
exp 0
=
⇔ e−x = x
exp x
exp x
e
Aus der Reihendarstellung folgt unmittelbar exp x > 0 für x > 0 und somit auch exp(−x) > 0 für x > 0,
sodass exp x > 0 für alle x ist.
Mithilfe der komplexen Arithmetik oder durch direkte Anwendung des Cauchy-Produktes ergeben sich
die Additionstheoreme.
sin(x1 + x2 ) = sin x1 cos x2 + sin x2 cos x1
cos(x1 + x2 ) = cos x1 cos x2 − sin x1 sin x2
27
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Analysis I
WS 2012/2013
Die entsprechenden Umkehrfunktionen sind der Arkussinus und Arkuskosinus.
π π
arcsin : [−1, 1] → [− , ] (streng monoton steigend)
2 2
arccos : [−1, 1] → [0, π] (streng monoton fallend)
Die Ableitungen der Umkehrfunktionen sehen wie folgt aus
d
d
1
1
> 0 und
<0
arcsin x = √
arccos x = − √
2
dx
dx
1−x
1 − x2
Abbildung 8: Sinus, Kosinus und ihre Umkehrfunktionen
Weitere spezielle Funktionen sind der Sinus Hyperbolicus und
Kosinus Hyperbolicus.
sinh x =
1 x
1 x
e − e−x und cosh x =
e + e−x
2
2
Die Funktionen sinh x und cosh x sind also der ungerade bzw.
gerade Anteil der Funktion exp x.
Für den Sinus Hyperbolicus gilt außerdem sinh x = − sinh x
(Punktsymmetrie zum Ursprung) und für den Kosinus Hyperbolicus gilt cosh x = cosh(−x) (Achsensymmetrie zur Ordinate).
4.4.1 Lemma: Umkehrfunktion der Exponentialfunktion
Das Exponential exp x : (−∞, ∞) → (0, ∞) hat eine eindeutige Umkehrfunktion, die mit log x bzw. ln x bezeichnet
wird und der natürliche Logarithmus (Logarithmus naturalis)
heißt. Sie erfüllt die Funktionalgleichung
log(x1 x2 ) = log x1 + log x2
∀x1 , x2 ∈ R+ ≡ {y ∈ R : y > 0}
Abbildung 9: sinh(x) und cosh(x)
Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist nach dem Satz über die Differenzierbarkeit von Umkehrfunktionen
1
1
1
d
log x = d
=
=
dx
exp(log
x)
x
exp
y
dx
y=log x
28
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Analysis I
WS 2012/2013
Abbildung 10: Umkehrfunktion der Exponentialfunktion
4.4.2
Definition: Allgemeine Exponentiale und Logarithmen
Für eine beliebige positive Basis a > 0 gilt
ax ≡ exp(x log a) ⇒ ex ≡ exp(x log e)
log x
⇒ log x = loge x mit e = exp 1
loga x ≡
log a
Bemerkung Für die Taylorentwicklung vom natürlichen Logarithmus am Entwicklungspunkt x0 = 1
benötigt man die k-te Ableitung der Funktion.
d
1
dk
(−1)k−1
log x = ⇒
log
x
=
(k
−
1)!
dx
x
dxk
xk
Damit gilt Folgendes für die Taylorreihe durch Einsetzen der k-ten Ableitung.
log x =
∞
X
(−1)k−1 (k − 1)!
1k · k!
k=1
(x − 1)k =
∞
X
(−1)k−1
k=1
k
(x − 1)k
Dementsprechend gilt für den log(1 + x) die äquivalente Darstellung.
log(1 + x) =
∞
X
(−1)k−1
k
k=1
1
Der Konvergenzradius % = mit r = lim sup
r
k→∞
r
k
xk = x −
x2
x3
x4
+
−
+ ...
2
3
4
1
1
= lim sup √
= 1 ist % = 1.
k
k
k
k→∞
Damit konvergiert log(1 + x) absolut, wenn |x| < 1, also für 1 + x ∈ (0, 2).
Für x = −1 divergiert die Taylorreihe bestimmt gegen log 0 = −∞.
∞
X
(−1)k−1
k
k=1
(−1)k = −
∞
X
1
= −∞
k
k=1
Für x = 1 konvergiert die Taylorreihe bedingt nach Leibniz.
∞
X
(−1)k−1
k=1
k
1k = 1 −
29
1 1
+ − . . . = log 2
2 3
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4.4.3
Analysis I
WS 2012/2013
Lemma: Eigenschaften der Umkehrfunktion
Die Funktionen ax und loga x sind Umkehrfunktionen voneinander und erfüllen folgende Eigenschaften.
(i) ax1 +x2 = ax1 · ax2
(ii) loga (x1 · x2 ) = loga x1 + loga x2
(iii)
d x
a = log a · ax
dx
(iv)
d
1
loga x =
dx
x log a
Bemerkung Von praktischer Bedeutung sind vor allem der binäre Logarithmus log2 x und der dekadische Logarithmus log10 x.
30