Grundlagen der Energieübertragungstechnik

4
ei
*
* kann Spuren von Katzen enthalten
nicht für Humorallergiker geeignet
alle Angaben ohne Gewehr
Grundlagen der
Energieübertragungstechnik
1. Rechnerische Behandlung des Drehstromsystems
1.1. Spannung u
Augenblickswert: u(t) = û cos(ωt + ϕu ) = U
√
2 cos(ωt + ϕu )
Scheitelwert / Amplitude: û
v
u
t0´+T
u
1
Effektivwert (allg.): Ueff = U = t T
u2 (τ ) dτ
t0
2. Freileitungen und Kabel
1.3. Symmetrische Komponenten
zerlegen eines Dreileiter-Drehstromnetz in unabhängige Systeme (Mit-,
Gegen- und Nullsystem)
Entsymmetrierungsmatrix
 

I1
1
1
 
 2
=
I
a
 2
a
a
a2
I3
T:

e 
I (1)1
1
 

1 · I (2)1 
1
I (0)1
Symmetrierungsmatrix S :

 e

I (1)1
1
a



·
a2
I (2)1  = 1
3 1
1
1
I (0)1
µ0
Einfachseil: Z 0b = Z 0(1) = R0 + jω 2π
(ln D
+ 1
)
r
4
2.1.1 Durchhang der Freileitungsseile
0
µ0
1 )
+ jω 2π
(ln rD + 4n
Bündelleiter: Z 0b = Z 0(1) = R
n
B
f (x)
G0
FH
h
Durchhang an der Stelle x
Gewichtskraft des Leiterseils pro Längeneinheit
Horizontalzugkraft
mittlere Höhe der Leiterseile
0
  
a2
I1
  
a  · I 2 
I3
1
0
Typische Werte (Al/St 240/40) bei 50Hz:
110kV
220kV
380kV
2.1.6 Nullimpedanz
Mindestabstand zum Erdboden (VDE 0210-1):
Erdstromtiefe: δ = r 1,85
elektrischer Grundabstand
Ω
Z 0b = (0, 12 + j0, 4) km
Ω
Z 0b = (0, 06 + j0, 3) km
Ω
Z 0b = (0, 03 + j0, 25) km
Einfachseil
2er-Bündel
4er-Bündel
G x2 ) mit f ax = G a2
Durchhang: f (x) = fmax − 2F
m
8FH
h
mittlere Höhe: h = hMast − 0, 7 · fmax
Del
µ0 · 1 ·ω
ρ
Nullimpedanz für Einfachseile:
U
Mitsystem:
û
→ bei sinusförmigen Größen: U = √
Z(1)
2
µ0
µ
(0)
δ
Z (0) = I
(3 ln √
)
= R0 + 3ω 80 + jω 2π
+ 1
3
4
(0)
r·D 2
Mindestabstand: hmin = 5m + Del
I(1)
Phasenwinkel: ϕ(t) = ωt + ϕu mit ω = 2πf = 2π
T
U(1)
E1
Nullphasenwinkel: ϕu
2.1.5 Betriebsimpedanzen
2.1. Freileitungen
Material:
z.B. Al/St 240/40:
Querschnitt des Aluminiumleiters 240mm2 , Querschnitt des Stahlleiters
40mm2
Nullimpedanz für Bündelleiter:
2.1.2 Bündelleiter
Cb0 =
U (0)
0
µ
µ0
δ
1 )
Z (0) = I
= R
+ 3ω 80 + jω 2π
(3 ln √
+ 4n
3
n
(0)
r·D 2
2.1.7 Kapazitätsbelag
1.2. Stromstärke i
√
Augenblickswert: i(t) = î cos(ωt + ϕi ) = I 2 cos(ωt + ϕi )
Gegensystem:
Z(2)
Scheitelwert / Amplitude: î
rB
n
r
rT
I(2)
Effektivwert (bei sinusförmigen Größen): I = √î
U(2)
2
Phasenwinkel: ϕ(t) = ωt + ϕi mit ω = 2πf = 2π
T
Nullphasenwinkel: ϕi
Nullsystem:
Phasenverschiebungswinkel:
ϕ = ϕui = ϕu − ϕi
Z(0)
0 < ϕ ≤ π: Strom eilt der Spannung nach
−π ≤ ϕ < 0: Strom eilt der Spannung vor
I(0)
Ersatzradius
Anzahl der Teilleiter
Seilradius eines Teilleiters
Teilkreisradius
Z
Z 23
I3
I 32
Z
Ersatzabstand
für Doppelsysteme mit γ-Verdrillung:
r
D 0 ·D 0 ·D 0
D = 3 D12 · D23 · D31 · D12 ·D23 ·D31
2.1.9 Ohmscher Querleitwert G0
Verluste durch Ableitströme über Isolatoren und durch Koronaverluste.
typische Angabe des Werte:
4 · 21,7
mm ⇒ a = 400mm, r = 21,7
mm
400
2
0
spezifische Arbeitsverluste: PV
=3·
220
330
0
C(0)
=
2π0
2h
3 ln √
3
rD 2
Betriebsableitbelag: G0b =
U
√n
3
2
2
· G0b = Un
· G0b
0
PV
2
Un
Querschnitt
Temperaturkoeffizient
Celsiustemperatur
0
Widerstand pro Längeneinheit: R20
= κ 1Q
20
I2
0
mit Temperaturabhängigkeit: Rϑ
= K 1 Q [1 + α(ϑ − 20K)]
20
1 · R mit R ist Widerstand des Teilleiters
im Bündelleiter: RB = n
Z
12 31
Z 1 = Z +Z
12
23 +Z 31
Z 12 Z 23
Z 2 = Z +Z +Z
12
Z
3
Z2
Z
I1
Z 12
31
Z1

2.1.8 Nullkapazität
Q
α
ϑ
I 21
I 13
für D 2.1.3 Widerstandsbelag
Durch Ladungsträgerbewegung bei Stromfluss wird Joule’sche Wärme frei.
1.4. Stern-Dreieck-Umwandlung
2π0

ers

r D

Ders 2
rB 1+
2h
2π0
2h: Cb0 =
Ders
ln
rB
√
für einen Bündelleiter mit 4 Teilleitern: rT = 2 a
2
q
n−1
n
n · r · rT
Ersatzradius rb : rn =
Abstand zwischen den Außenleitern
√
Ersatzabstand Ders für Einfachsysteme: D = 3 D12 · D23 · D31
110
U(0)


ln

23
Z
31
23 31
Z 3 = Z +Z
12
23 +Z 31
I 1 = I 12 − I 31
I 2 = I 23 − I 12
I 3 = I 31 − I 23
2.1.4 Induktivitätsbelag
Induktivität einer Leiterschleife mit Hin- und Rückleiter:
µ
+ ln d
)
L00 = l π0 · ( 1
4
r
Koppelinduktivitäten:
µ0
d2 )
M = M12 = M23 = M31 = 2π
l( 1
+ ln rD
4
Betriebsinduktivität:
Lb · I 1 = L00 · I 1 + M · I 2 + M · I 3 = (L00 − M ) · I 1
H
Betriebsinduktivitätsbelag: L0b = (2 ln Drers + 1
) · 10−4 km
2
ers + 1 ) · 10−4 H
für Bündelleiter: L0b = (2 ln D
r
2n
km
B
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von LaTeX4EI - Mail: [email protected]
Stand: 17. Januar 2015 um 14:59 Uhr
1
3. Leitung im stationären und nichtstationären
Betrieb
2.2. Kabel
Querschnitt: Q =
Eindringtiefe: δ =
2
(ra
q
−
ri2 )π
x4
s
192+0,8·x4
s
xs =
2·µ·f ·ks
0
R=
mit ks =
2.2.2 Induktivitätsbelag L
1
0, 5
für Rundleiter
für Segmentleiter
LB
l
=
1 · 10−4 H
2 ln D
+ 2
r
km
Induktivitätsbelag eines Hohlleiters:
r −r
r −r
= ωL0b · (0, 96 + 0, 051 ar i ) für 0 < ar i < 0, 6
a
a
Betriebswellenimpendanz Z W =
U2
I2
!
Zl
I2
3.5.3 Abschluss mit der Wellenimpedanz Z2 = ZW
Betrieb
Leistung:
mit
natürlicher
• U 1 = U 2 • ∠(U, I) = 0
• Phasendrehung von U und I um βl
Yq
2
U1
Queradmittanz
Yq
2
U2
Phasenmaß: β = ω
ϑnat = βl
Querkompensationsgrad
Längskompensationsgrad
wirksamer Kapazitätsbelag
wirksamer Induktivitätsbelag
r
r
q
L0w
1−kl
L0 ·
wirksamer Wellenwiderstand ZW k =
0 =
1−kq
Cw
C0
r
1−kq
Pnatk
=
Pnat
1−kl
√
p
p
0 = ω L0 · C 0 ·
(1 − kl ) · (1 − kq )
βk = ω L0w · Cw
Einheit
Ω ]
[ km
Ω ]
[ km
µS
]
[ km
[Ω]
typische Werte
0, 01 . . . 0, 05
0, 1 . . . 0, 2
50 . . . 100
32 . . . 63
Wellenwiderstand für verlustlose Leitungen: ZW =
q
ωL0
ωC 0
Eine Leitung gilt als elektrisch kurz für l ≤ 200km (Freileitung) bzw.
l ≤ 100km (Kabel)
Längsimpedanz (elektrisch lang): Z l = Zw j sin(βl)
Längsimpedanz (elektrisch kurz): Z l = jωL0 · l
Queradmittanz (elektrisch kurz):
= Z1 j tan
w
= jωC ·
wirksamer Induktivitätsbelag:
×
R2
I×
2
RFe
U×
2
jXh
w
I
2
I×
2 = ü mit w1 , w2 sind Windungszahlen
U×
=
üU
2
2
0
Cw
C0
Zw ·sin(βl)
1−cos(βl)
I2
×
U×
2 · I 2 = üU 2 · ü = U 2 · I 2
S
Bemessungsstrom: I r = √ rT
3UrT
Kupferverluste: Pcu = 3UR I1 = 3Rk J12
k
4.1.1 Leerlauf
Leerlaufstrom: I 0 = I Fe + I h
nU
o
r1
Hauptreaktanz: Xh = Im
I
h
U2
U2
Eisenverluste (im Einphasentransformator): RFe = Pr1 = ü2 · Pr2
0
0
4.1.2 Kurzschluss
L0w
I 1 Rk
0
= L (1 − kl )
Längskompensationsgrad: kl = 1 −
L0w
L0
ωL0 ·l−(ωL0 ·l−
=
ωl0 ·l
jXk I ×
2
1 )
ωCk
U1
Faustregel für die optimale Anzahl der Kondensatorbatterien:
0 < kl ≤ 0, 5 ⇒ n = 1 ⇒ Xk = kl · 2Zw sin(β 2l )
βl
2
l
2
Zweitorgleichung:
"
#
"
#"
#
cos(βl)
Zw j sin(βl)
U1
U2
=
1 j sin(βl)
cos(βl)
I1
I2
Z
0, 5 < kl ≤ 0, 67 ⇒ n = 2 ⇒ Xk = kl · 3
Z sin(β 3l )
2 w
4 Z sin(β l )
0, 67 < kl ≤ 0, 75 ⇒ n = 3 ⇒ Xk = kl · 3
w
4
2
Komensationsblindleistung: QK = 3 · XK · IK
Leistungswinkel der kompensierten Leitung: ϑk = βk l
Grenzwinkel für Stabilität der Leitung: ϑGrenz = 42◦ ϑ = (ϑM )grenz −
(ϑM + ϑT ) mit Transformatorwinkel ϑT ≈ 3, 5◦ , ϑM ≈ 5, 5◦
w
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×
jXσ2
jXσ1
R1
Übersetzung: ü = w1
2
3.8. Längskompensation
0
3
15
123
1700
2633
5860
2
Z×
2 = ü Z 2
Kompensationsreaktanz: Xk = ωLk =
Yq
2
Yq
2
0,3
2,5
33
600
600
2080
Ih
[1/km]
Queradmittanz (elektrisch lang):
330
360
365
240
240
260
U1
falls Leitung mit Kompensationsinduktivität Lk abgeschlossen ist:
U
I 2 = I k = jωL2
= Z1 · tanh(γ · 2l )
w
√
L0 C 0
Al/St 50/8
Al/St 95/15
Al/St 240/40
Al/St 4 · 240/40
Al/St 4 · 550/70
Al/St 4 · 680/85
I Fe
kq
kl
0
Cw
L0w
Kompensationsblindleistung
am Leitungsende
#
"r
2
P
Pnat
− cos(βl)
Q2 = sin(βl)
1 − P 2 sin(βl)
nat
3.4. verlustlose Fernleitung
2.2.5 typische Werte
10kV
30kV
110kV
380kV
380kV
735kV
I1
k
G0b = tan δ · ωCb0
Sth
[MV A]
3.6. Blindleistungskompensation
Längsimpedanz Z l = Z w · sinh(γ · l)
2.2.4 Ohmscher Querleitwert
Pnat
[MW]
4.1. Zweiwicklungstransformator
3.7. Querkompensation
Yq
2
ZW
[Ω]
4. Transformatoren
0
= C 0 · (1 − kq ) ⇒ (1 − kq ) =
wirksamer Kapazitätsbelag: Cw
2 −c2 )3
u 3c2 (Ra
ln t
6 −c6 )
R2 (Ra
i
R
X 0 = ωL0b
Yb0 = ωCb0
Zw
R0 +jωL0
G0 +jωC 0
w
I1
0
CL
=0
Gürtelkabel:
2π0 r
0
v
Cb =
u
0
(R0 + jωL0 ) · (G0 + jωC 0 )
Zweitorgleichung
der verlustbehafteten Leitung:
!
"
#
cosh(γ · l)
Z w · sinh(γ · l)
U1
=
·
1 · sinh(γ · l)
cosh(γ · l)
I1
Z
Ra
Ri
Symbol
p
π - Ersatzschaltbild
2.2.3 Kapazitätsbelag C 0
Radialfeldkabel:
2π Cb0 =
ln
2
∂i + R0 · G0 · i
= L0 · C 0 · ∂ 2i + (R0 · C 0 + L0 · G0 ) · ∂t
∂t
r
Leiter
3.10. Wanderwellen
2u
+ R0 · G0 · u
= L0 · C 0 · ∂ 2
+ (R0 · C 0 + L0 · G0 ) · ∂u
∂t
∂t
Übertragungsmaß γ = α + jβ =
Un
[V]
U 1 = cos(βl) · U 2
3.3. Leitungsgleichungen für Drehstromleitungen
Betriebsreaktanzbelag: Xb0 = ωL0b
HL
3.5.2 Leerlauf I 2 = 0
1
Z 1 = ZW · j tan(βl)
Übertragungsmaß: p
γ = α + j · β = (R0 (ω) + jωL0 (ω)) · (G0 (ω) + jωC 0 (ω))
0
Betriebsinduktivitäsbelag: L0b =
ωL0b
U2
3.2. Leitungsgleichung für einphasige Leitung
= 1 + ys
(
I
Längsspannungsfall: ∆U = R · Iw + ωLb · Ib
Querspannungsfall: δU = ωLb · Iw − R · Ib
∂2 u
∂x2
∂2 i
∂x2
=
2
Un
Zw
3.5.1 Kurzschluss Z 2 = 0
Z 1 = ZW · j tan(βl)
U1
Skineffekt-Korrekturfaktor
Wechselstromwiderstand
Gleichstromwiderstand
Frequenz
r
I
+ α(ϑ − 20K)]
Stromverdrängung / Skineffekt
für dicke massive Leiter. Erhöhung des ohmschen Widerstandes des Leiters.
ys =
jωL0b l
R0 · l
2
U1
ZW
gibt einen Anhaltswert für die Übertragungsfähigkeit einer Leitung im
symmetrischen Drehstromsystem.
vernachlässigen von Gb und Yb
0
Widerstand pro Längeneinheit: R20
= κ 1Q
20
0
mit Temperaturabhängigkeit: Rϑ
= K 1 Q [1
20
R≈
R=
3.9. Übertragungsfähigkeit von Freileitungen
natürliche Leistung: Pnat = 3 ·
3.1. Vereinfachte Leitungsbetrachtung
2
ωµκ
2.2.1 Widerstandsbelag R0
ys
R
R=
f
3.5. Eingangsimpedanz
von LaTeX4EI - Mail: [email protected]
Kurzsschlussimpedanz:
U
×
Z k = I k = (R1 + R2
) + j(Xσ1 + X ×
σ2 ) = Rk + jXk
r1
relative Kurzschlussspannung:
U
I ·Xk
S ·X
U
uk = U k = r1
· Ur1 = r 2 k
Ur1
U
r1
r1
Bezogener Spannungsfall: ux =
Xk SrT
2
Ur1
r1
Stand: 17. Januar 2015 um 14:59 Uhr
2
4.1.3 Bemessungsstrom
I1 Rk
00
Ik
×
U1
U2
Xh → ∞
RFe → ∞
×
Rk = R1 + R2
×
Xk = Xσ1 + Xσ2
Z k = Rk + jXk
Kurzschluss ist generatornah falls gilt:
≥ 2IrG
5.1.1 generatorfern
AC Anteil mit konst. Amplitude + auf Null abklingender aperiodischer DC
Anteil
00
es gilt: Ik
= Ib = Ik
5.1.2 generatornah
AC Anteil mit abklingender Amplitude + auf Null abklingender aperiodischer DC Anteil
5.2. Dreipoliger Kurzschluss
4.1.4 Übersetzung ü
w1
w2
Übersetzung: ü =
6. Synchrongenerator
5.1. Allgemeines
jXk I ×
2
mit w1
:= Primärwicklung, w2
:= Se-
kundärwicklung
U
unvermaschtes Netz: ip = κ
w
00
Ik
=
UkT
√
Kurzschlussspannung: uk = UkT = U 3
rT
rT
√
Kurzschlussreaktanz: Xk =
Xk(Y ) =
Xk(∆)
√
=
3
UnN
c· √
3
Zk
√
00
ip = 1, 15 · κ 2 · Ik
5.2.1 Symmetrischer Ausschaltwechselstrom
√ 00 −2πf tR/X
Geilanteil: Idc = 2Ik
e
00
Generatorfern: Ib = Ik
00
Generatornah: Ib = µ · Ik
mit µ siehe S. 177
4.2. Drehstromtransformator
Bemessungsleistung: SrT =
2·
00
Ik
vemaschtes Netz: κ = 1, 02 + 0.98e−3·R/X
Leerlaufübersetzung ü0 = U 1 ≈ w1
2
2
U
√
Xk ·IrT
UrT
√
3
3 · UrT · IrT
2
uk ·UrT
SrT
5.3. Ersatzschaltungen und Ersatzimpedanzen
5.3.1 Synchrongenerator
3
U2
00
rG
= x00
Xd
d SrG
Bezogene Kurzschlussspannung: uk = uR + jux
5.3.2 Netzeinspeisung
Typische Werte:
Sr /M V A
uR /%
ux /%
ZQ = √
Niederspannung
Mittelspannung
Hochspannung 110kV
Hochspannung 220kV
Hochspannung 380kV
0, 25 . . . 1, 6
2, 5 . . . 25
16 . . . 63
100 . . . 400
630 . . . 1500
1, 8 . . . 1, 0
1, 0 . . . 0, 5
0, 7 . . . 0, 6
0, 5 . . . 0, 3
0, 2
5, 8
7 . . . 8, 5
12
12 . . . 14
13 . . . 16
XQ =
5.3.3 Transformator
U2
ZT = ukr · S rT
rT
U2
4.3.1 Sternschaltung
P
UW
5.4. unsymmetrische Kurzschlüsse
U
V
W
N
5.4.1 Zweipoliger Kurzschluss ohne Erdberührung
UU
UU
00
Ik2
=
ip2 =
UV
4.3.2 Dreieckschaltung
U
V
W
c·Un 2Z (1) √
3
i
=
2 p
√
=
3 00
I
2 k
κ·
√
00
2 · Ik2
5.4.2 Zweipoliger Kurzschluss mit Erdberührung
R
I1
Up
E
U
Xd ·IrG
√ ≈ 2, 0
UrG / 3
2
xd ·UrG
synchrone Reaktanz: Xd = S
rG
Xd · Iw = Up sin θM mit θM ist elektrischer Polradwinkel
bezogene synchrone Reaktanz xd =
abgegebene Wirkleistung:
P
= 3 · U · Iw
übererregter Betrieb Up > |U | Maschine gibt induktive Blindleistung
ab (wirkt wie Kapazität)
I = Iw − jIb ⇒ Q >
0
untererregter Betrieb Up < |U | Maschine nimmt induktive Blindleistung auf (wirkt wie Induktivität)
I = Iw + jIb ⇒ Q < 0
√
3·c·Un Z (1) +2Z (0) √
00
· 2 · IkE2E
ULE(F)
Ub(F)
ICE
Spannung d. fehlerh. Außenleiter bei Erdberührung
Außenleiterspannung wenn kein Fehler wäre
kapazitiver Erdschlussstrom
Erdfehlerfaktor (Wirksamkeit der Sternpunkterdung): δ =
ULE(F)
√
Ub(F)) / 3
Netz ist wirksam geerdet falls δ ≤ 1, 4
Bei wirksamer Erdung hohe Erdkurzschlusströme aber geringe betriebsfrequente und transiente Überspannung
7.2. Netz mit isoliertem (freiem) Sternpunkt
Bei einpoligem Erdschluss vergrößern
der Leiter-Erde Spn√
√ sich die Beträge
nungen der gesunden Leiter um 3 ⇒ δ = 3
Fehlerstrom (bei√Erdschluss in L1):
I 1 = I CE = j 3 · 1, 1 · Un ωCE
7.3. Netz mit Erdschlusskompensation
1
wirksamer Nullleitwert: Y (0) = j3X
+ jωCE
EL
ip2E = κ
Fehlerstrom: I E(F ) = 3 · I (0) = 3 · √b j · (ωCE − 3X1
)
3√
EL
Ub / 3
Strom durch die Erdlöschspule: I Sp = jX
√
3·c·Un 2Z (1) +Z (0) √
00
κ · 2 · Ik1
00
Ik1
= ip1 =
4.3.3 Zickzackschaltung
U = U p − (R + jXd ) · I
mit Xd = ω · (Lh + Lσ )
jXh
jXσ
00
IkE2E
= 5.4.3 Einpoliger Erdschluss
UUV
Klemmenspannung
Strangstrom
Polradspannung
7.1. Allgemeines
1+(RQ /XQ )2
RT = uRr · S rT = krT
3I 2
rT
rT
q
2 − R2
XT = Z T
T
4.3. Wicklungsverschaltung
U
I
Up
7. Sternpunktbehandlung
c·UnQ
3·I 00
kQ
ZQ
q
Anwendung
6.1. stationärerer Betrieb
U
EL
7.4. Netz mit niederohmiger Sternpunkterdung
meist in Freileitungsnetzen mit Un ≥ 220kV bzw. Kabelnetzen mit
Un ≥ 110kV
Z (1) −Z (0) Erdfehlerfaktor: δ = a2 + 2Z
+Z
(1)
(0)
5. Kurzschlussstromberechnung
00
Ik
Ik
Ia = Ib
ip
Anfangskurzschlusswechselstrom
Dauerkurzschlussstrom
Ausschaltwechselstrom
Stoßkurzschlussstrom
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Stand: 17. Januar 2015 um 14:59 Uhr
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