Übung 1 - Fakultät Physik

1. Übungsblatt zur Thermodynamik & Statistik
http://t1.physik.tu-dortmund.de/kierfeld/teaching/TuS_1213/TuS.htm
Wintersemester 2012
Prof. Dr. Jan Kierfeld
Abgabe bis 18.10.2012, 10:00
Aufgabe 1: Stirling-Formel
(5 Punkte)
Beweisen Sie die Stirling-Formel
n! ≈
√
2πnnn exp (−n)
für
n 1.
Hinweis: Benutzen Sie zur Darstellung der Fakultät die Integralformel
Z ∞
dx xn exp (−x)
n! ≈
0
Nähern Sie den Integranden F = xn exp (−x), indem Sie ln (F ) um das Maximum entwickeln und finden Sie so
eine für große n gute Näherung für das Integral und damit für n!. Dieses Verfahren nennt man Sattelpunktsnäherung.
Bemerkung: Die Stirling-Formel kann auch geschrieben werden als
ln (n!) ≈ n ln (n) − n +
1
ln (2πn)
2
für
n 1.
Aufgabe 2: Bernoulli - Gauß
(5 Punkte)
N
Die Bernoulli- oder auch Binomial-Verteilung ist für n ∈ und p ∈ (0; 1) durch
n k
pn,p (k) =
p (1 − p)n−k
k
gegeben.
a) Vergewissern Sie sich, dass sie normiert ist.
b) Zeigen Sie, dass sich im Limes n 1 aus der Binomial-Verteilung die Gauß-Verteilung ergibt. Nähern Sie
dazu ln(pn,p (k)) und verwenden Sie die Stirling-Formel in führender Ordnung, d. h. lnn! = nlnn − n für
n 1.
Aufgabe 3: Gaußverteilung
(5 Punkte)
a) Gegeben sei folgende Verteilung mit Mittelwert µ und Varianz σ 2 :
1
(x − µ)2
p(x) = exp −
N
2σ 2
.
Bestimmen Sie N so, dass das Integral über diese Verteilung auf 1 normiert ist.
Thermodynamik & Statistik 1
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Abgabe bis 18.10.2012
b) Die charakteristische oder generierende Funktion einer Verteilung p(x) von einer Zufallsvariablen x ist definiert als:
Z
p̃(k) = hexp(−ikx)i = dx exp(−ikx)p(x)
Berechnen Sie die generierende Funktion der Verteilung aus a). Wie hängen die Momente der Verteilung
mit der generierenden Funktion zusammen.
c) Die Kumulanten κn einer Verteilung sind durch den Logarithmus der charakteristischen Funktion gegeben:
ln p̃(k) =
∞
X
(−ik)n
n=1
n!
κn
Berechnen Sie die Kumulanten der Gaußverteilung a).
d) Bestimmen Sie allgemein die ersten drei Kumulanten in Abhängigkeit von den Momenten einer Verteilung.
Aufgabe 4: Random-Walk
(5 Punkte)
Eines der einfachsten Beispiele für einen stochastischen Prozess ist der Random-Walk. Ausgangspunkt hierbei
ist ein oft als Random-Walker bezeichnetes Objekt (Brownsches Teilchen, Polymer, Ameise, Betrunkener, . . . ),
das in einer diskret oder kontinuierlich ablaufenden Zeit zufällige Schritte unternimmt. Die Verteilung dieser
Schritte soll zu jedem Zeitpunkt gleich sein.
Gegenstand dieser Aufgabe soll ein symmetrischer Random-Walk in einer Dimension und diskreter Zeit sein,
das heißt zu jedem Zeitpunkt erfolgt mit Wahrscheinlichkeit von je 1/2 ein Schritt nach links oder rechts. Die
Position nach n Schritten sei mit R(n) bezeichnet (startend von R(n = 0) = 0).
a) Zeigen Sie, dass hR(n)i = 0 sowie hR(n)2 i = n gilt.
b) Bestimmen Sie die Verteilung von R(n), also p(R(n) = m), durch „Abzählen“ der Möglichkeiten auf R(n) =
m, |m| ≤ n zu kommen.
c) Bestimmen Sie die Verteilung von R(n), indem Sie ausnutzen, dass R(n) die Summe von einander unabhängiger Zufallsgrößen ri = ±1, also der einzelnen Schritte ist. Zeigen Sie, dass für die charakteristische
Funktion p̃ dann p̃R(n) (k) = (p̃r (k))n gilt. Schliessen Sie dann durch Vergleich mit p̃x (k) = he−ikx i auf die
p(R(n) = m).
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