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Ausgangsproblem
Optimierung
Wozu Mathematik?
Fakultät Grundlagen
Oktober 2006
Fakultät Grundlagen
Wozu Mathematik?
Ausgangsproblem
Optimierung
Übersicht
1
Ausgangsproblem
Fragestellung
Modellierung
2
Optimierung
Interpretation
Verbesserung
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Ausgangsproblem
Optimierung
Fragestellung
Modellierung
Ausgangssituation
Reisebüro:
Für mehrere Wochenenden sind jeweils 400 Plätze
in Sonderzügen reserviert
Kosten pro Wochenende: 2500 EURO
Bilanz der ersten Wochen:
Wochenende
1
2
3
Preis einer Fahrkarte
20 EUR
30 EUR
60 EUR
Teilnehmer
125
50
6
Fragestellung: Welcher Preis soll verlangt werden?
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Gewinn
0 EUR
-1000 EUR
-2140 EUR
Ausgangsproblem
Optimierung
Fragestellung
Modellierung
Mathematische Analyse des Problems
Schritt 1: Mathematische Formulierung ( Modellbildung“)
”
Funktion suchen, die den Zusammenhang
Ausgangspunkt:
zwischen zwei (oder mehr) Größen angibt.
p = 20, x = 125 p = Preis
Gegeben: 3 Punkte: p = 30, x = 50 x = Anzahl der Teilnehmer
p = 60, x = 6
Funktion x(p), deren Graph möglichst gut“ durch
”
Gesucht:
die drei Punkte läuft ( Preis-Absatz-Funktion“)
”
Diese Funktion gibt die Teilnehmerzahl x in Abhängigkeit vom
Preis p an, d. h. sie beschreibt den Zusammenhang zwischen p
und x.
Hieraus ergibt sich dann die Gewinnfunktion:
G (p) = x(p) · p − 2500
|{z}
| {z }
Kosten
Umsatz
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Optimierung
Fragestellung
Modellierung
Graphische Darstellung der Daten
x
Preis p, Teilnehmerzahl x
300
Daten der drei ersten Wochenenden
200
100
10
20
30
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40
50
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60
70
p
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Optimierung
Fragestellung
Modellierung
Parabelansatz
Schritt 1: Modell finden
Erster Versuch:
Ansatz Parabel : x(p) = a · p 2 + b · p + c
Bestimmung der Parameter durch Einsetzen“
”
125 = a · 400
p = 20, x = 125
50 = a · 900
p = 30, x = 50
=⇒
6 = a · 3600
p = 60, x = 6
der Daten
+ b · 20 + c
+ b · 30 + c
+ b · 60 + c
Wie löst man ein solches Gleichungssystem ?
Kapitel Lineare Gleichungs- und
”
Ungleichungssysteme“
=⇒
a=
181
1200
≈ 0.1508; b = − 361
24 ≈ −15.0417; c =
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731
2
= 365.5
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Fragestellung
Modellierung
Parabelmodell
x
300
x(p) : Preis − Absatz − Funktion
Bei höheren Preisen
Daten der drei ersten Wochenenden
wachsende Teilnehmerzahlen??
Negative
Teilnehmerzahlen??
200
100
10
20
30
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40
50
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60
70
p
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Optimierung
Fragestellung
Modellierung
Exponentialansatz
Schritt 1: Modell finden
Neuer Versuch: Andere Art von Kurve durch die Punkte legen
Welche Arten von Funktionen sind möglich?
Kapitel Funktionen“
”
Ansatz Exponentialfunktion : x(p) = a · eb·p
Es gibt keine Exponentialkurve, die durch alle drei Punkte geht.
Wann liegt die Kurve besonders gut“ zu den drei Punkten?
”
Vorlesung Statistik“
”
=⇒
wenn a und b so gewählt werden, dass der Ausdruck
D(a, b) = (125 − a · eb·20 )2 + (50 − a · eb·30 )2 + (6 − a · eb·60 )2
minimal wird.
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Ausgangsproblem
Optimierung
Fragestellung
Modellierung
Exponentialansatz(Fortsetzung)
Für welche Werte von a und b wird der Term D(a, b) minimal?
D(a, b) = (125 − a · eb·20 )2 + (50 − a · eb·30 )2 + (6 − a · eb·60 )2
Kapitel Funktionen mit mehreren
”
unabhängigen Variablen“
D(a, b) nach a und nach b ableiten
!
=⇒
Grundidee:
Ableitungen = Null setzen
Gleichungssystem lösen
Überprüfen, ob Minimum vorliegt
a ≈ 756.00; b ≈ −0.09007;
=⇒
Ergebnis:
optimale Exponentialkurve:
x(p) ≈ 756.00 · e−0.09007·p
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Fragestellung
Modellierung
Exponentialmodell
x
600
Preis-Absatzfunktion x(p)
400
Tendenziell
stimmiges
Modell!
Daten der drei ersten
Wochenenden
200
10
20
30
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40
50
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60
70
p
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Optimierung
Fragestellung
Modellierung
Gewinnfunktion
Damit haben wir einen plausiblen Zusammenhang zwischen Preis
p, Teilnehmerzahl x und Gewinn G gefunden:
Preis-Absatzfunktion x(p) ≈ 756.00 · e−0.09007·p
Die Gewinnfunktion ergibt sich dann indem man die
Preis-Absatzfunktion x(p) mit dem aktuellen Preis p multipliziert
und die Kosten K (hier sind es nur Fixkosten!) abzieht.
Gewinnfunktion allgemein: G (p) = x(p) · p − |{z}
K
| {z }
Kosten
Umsatz
Gewinnfunktion hier: G (p) ≈ 756.00 · e−0.09007·p · p − 2500
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Optimierung
Fragestellung
Modellierung
Gewinnfunktion
200
50
10
Datenpunkte der drei
ersten Wochenenden
−2000
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Fragestellung
Modellierung
Modellierung
Ergebnis von Schritt 1:
Modell ⇐⇒ mathematische Formulierung des Problems
G (p) ≈ 756.00 · e−0.09007·p · p − 2500
Für welchen Preis p ist der Gewinn maximal?
Schritt 2: Lösung des mathematisch formulierten Problems
Wie findet man den optimalen Preis?
Kapitel Differenzialrechnung“
”
Ableitung der Gewinnfunktion G (p) nach p
=⇒
!
Ableitungen = Null setzen; Gleichung lösen
Überprüfen, ob Minimum vorliegt
=⇒ Ergebnis: Preis p ∗ ≈ 11.10 EUR. Gewinn G (p ∗ ) ≈ 588 EUR
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Optimierung
Interpretation
Verbesserung
Interpretation
Lösung des mathematisch formulierten Problems
interpretieren und umsetzen.
Am 4. Wochenende verlangte das Reisebüro nur 10 EUR für die
Fahrt. Es kamen 400 Teilnnehmer. Der Gewinn betrug 1500 EUR.
Schritt 3:
Aussage des Modells (Preis niedriger!) war tendenziell richtig.
Der optimale Preis konnte näherungweise bestimmt werden, aber
der Gewinn wurde nicht richtig vorhergesagt (sondern unterschätzt)
Grund: zu wenige Daten – 3 Datenpunkte sind i. A. zu wenig!
Schritt 4: Wiederholung und Verbesserung von Schrittt 1
Weiterer Datenpunkt: p = 10; x = 400 geht ins Modell ein.
Welche Kurve x(p) = a · eb·p passt möglichst gut zu 4 Punkten?
=⇒
Ergebnis:
a ≈ 1225.83; b ≈ −0.112194;
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Optimierung
Interpretation
Verbesserung
Verbessertes Exponentialmodell
x
600
Preis-Absatzfunktion x(p)
400
Modell passt gut
zu den
Daten
der vier
vier Datensätzen!
Wochenenden
200
10
20
30
Fakultät Grundlagen
40
50
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60
70
p
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Interpretation
Verbesserung
Vergleich der Gewinnfunktionen der drei Modelle
Parabel; 3 Datensätze
Datenpunkte
G
Exponentialfunktion; 3 Datensätze
Exponentialfunktion; 4 Datensätze
1000
50
10
−1000
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p
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Interpretation
Verbesserung
Vorgehensweise bei einer mathematischen Analyse
Problem in der Realität
@
I
@
Schritt 1
@
@
Mathematische
Formulierung des
Problems (Modell)
Schritt 3
@
-
Schritt 2
Lösung des mathematisch formulierten
Problems
Nach Schritt 1, 2 und 3 schließt sich eventuell ein weiterer Schritt
= Wiederholung und Verbesserung von Schritt 1 an
(eventuell mit neuen Daten und Erkenntnissen) usw.
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