Mathematische Methoden

Mathematische Methoden
TU Berlin, SS 2008
Prof. Dr. T. Brandes
7. Juli 2008
INHALTSVERZEICHNIS
1. Wiederholung Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Funktionen einer Variablen . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Ableitung der inversen Funktion . . . . .
1.2.3 Höhere Ableitungen . . . . . . . . . . . .
1.3 Taylorentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Beispiel: Relativistische Energien . . . . .
1.4 Asymptotisches Verhalten von Funktionen . . . .
1.4.1 Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Polardarstellung (Argand-Diagramm) . .
1.5.3 Euler-Formel . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Beispiel: Kreisbewegung in 2 Dimensionen
1.5.5 Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2. Gewöhnliche Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Motivierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Klassifizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 DGLn erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Richtungsfeld und Anfangswertproblem . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Einfache Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Methoden: Trennung der Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Lineare DGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Lineare Systeme von DGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Umwandlung einfacher DGLs höherer Ordnung in ein System von
DGL erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Lineare homogene Systeme mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . .
2.4.1 Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Wiederholung Lineare Algebra (I): Vektoren und Matrizen . . .
2.4.3 Exponentiallösung für lineares DGL-System . . . . . . . . . . . .
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13
Inhaltsverzeichnis
2.5
2.6
iii
2.4.4 Wiederholung Lineare Algebra (II): Eigenwerte und Eigenvektoren
2.4.5 Diagonalisierung der Exponentiallösung für lineares DGL-System
2.4.6 Eigenlösungen und Anfangswertproblem . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.7 Eigenlösungen für nicht-diagonalisierbares A . . . . . . . . . . . .
2.4.8 ANWENDUNG MECHANIK: gedämpfter harmonischer Oszillator
2.4.9 Wiederholung Lineare Algebra (III): Skalar- und Vektorprodukt .
ANWENDUNG MECHANIK: Eigenschwingungen und Eigenmoden (Normalmoden) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Fall d = 1, N = 2 (zwei gekoppelte Oszillatoren) . . . . . . . . . .
2.5.2 Mehrere (N > 2) gekoppelte Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . .
Lineare inhomogene Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3. Einfache partielle Differentialgleichungen und Fourier-Analyse . . . . . . . . . . . .
3.1 Die Gleichung der schwingenden Saite (Wellengleichung in einer Dimension)
3.1.1 Wellengleichung als Kontinuumslimes: gekoppelte Massenpunkten
3.1.2 Separationsansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Erfüllung der Anfangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Fourier-Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Halbintervallige Fourier-Reihen (Sinus und Cosinus) . . . . . . . .
3.2.3 Vektorraum der Periodischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Konvergenz der Fourierreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Die Diffusionsgleichung in einer Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Herleitung der Diffusionsgleichung in einer Dimension . . . . . . .
3.3.2 Lösung der Diffusionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Unendliches Intervall: von Fourier-Reihen zur Fourier-Transformation . .
3.4.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Orts- und Impulsraum (k-Raum), Zeit-Domäne und Frequenzraum
3.4.3 Fouriertransformation: Beispiel Gauß-Funktion . . . . . . . . . . .
3.4.4 Die Delta-Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.5 Einige Eigenschaften der Fourier-Transformation . . . . . . . . . .
3.4.6 Lösung von pDGL mit Fouriertransformation . . . . . . . . . . . .
3.4.7 ANWENDUNG QUANTENMECHANIK: Lösung der Schrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4. Kurven und Krummlinige Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Kurven und Kinematik eines Massenpunktes . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Bahn eines Massenpunktes. Geschwindigkeit, Beschleunigung
4.1.2 Die Bogenlänge s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Begleitendes Dreibein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Krummlinige Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Kovariante und kontravariante Basis . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 ANWENDUNG FESTKÖRPERPHYSIK: reziprokes Gitter .
4.2.3 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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36
Inhaltsverzeichnis
4.2.4
4.2.5
iv
Beliebige Basis, Metrik-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Beschleunigung und Christoffel-Symbole . . . . . . . . . . . . . . . 45
5. Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1 Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Der Gradient in krummlinigen Koordinaten . . . . . . . .
5.3 ANWENDUNG MECHANIK: Kraft, Gradient und Potential . .
5.3.1 Konservative Kraftfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Kurvenintegrale, Arbeit, Leistung . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Konservative Kräfte und vom Weg unabhängige Arbeit .
5.4 Rotation und Integralsatz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Integralsatz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3 ANWENDUNG ELEKTRODYNAMIK: Induktionsgesetz
5.4.4 ANWENDUNG MAGNETOSTATIK . . . . . . . . . . .
5.5 Divergenz und Integralsatz von Gauß . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2 Integralsatz von Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.3 ANWENDUNG ELEKTROSTATIK: Gauß’sches Gesetz .
5.5.4 Zusammenfassung: Maxwell’sche Gleichungen . . . . . . .
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c
T.
Brandes 2008
1. WIEDERHOLUNG ANALYSIS
Literatur: O. Forster, ‘Analysis 1’ (Vieweg). Bronstein, ‘Taschenbuch der Mathematik’.
1.1
Funktionen einer Variablen
Üblicherweise als y = f (x), Darstellung als Kurve in einem rechtwinkligen Koordinatensystem. Beispiel: y = x2 Parabel, y = sin x, Sinus. Stetige Funktionen, unstetige
Funktionen (Beispiele).
1.1.1
Umkehrfunktion
Beispiel y = ex Exponentialfunktion, umkehren als x = ln y Logarithmus. Auf Definitionsbereich achten!
1.2
1.2.1
Differentiation
Ableitungen
Falls der Grenzwert existiert,
f ′ (x) ≡
lim
h→0
f (x + h) − f (x)
.
h
(1.1)
Geometrische Bedeutung: Tangente!
Differentiationsregeln: Ableitung von Summe, Produkt, zusammengesetzter Funktion. Beispiel
f (x) = esin x
2
(1.2)
(mehr in den AUFGABEN).Weitere Beispiele (AUFGABEN)
1
1/2
f (x) = x , f (x) = x sin
x
(1.3)
bei x = 0. Fall eines Knicks bei x0 : links- und rechtsseitige Ableitungen f ′ (x0 + 0),
f ′ (x0 − 0). AUFGABE: berechnen für
f (x) =
x
1
1 + ex
.
(1.4)
1. Wiederholung Analysis
1.2.2
2
Ableitung der inversen Funktion
(Merkregel, kein Beweis)
dy
= f ′ (x)
dx
y = f (x)
dx
1
= ′
.
dy
f (x)
(1.5)
Beispiel (mehr in den AUFGABEN):
y = sin(x)
1.2.3
x = arcsin(y)
Höhere Ableitungen
1
dx
1
1
=p
=
=p
.
dy
cos(x)
1 − y2
1 − sin2 x
(1.6)
Zweite Ableitung
y ′′ (x) ≡
d2 y
d d
y(x) ≡ 2 ≡ y (2) (x).
dx dx
dx
(1.7)
Entsprechend höhere Ableitungen
f (n) (x) ≡
1.3
d(n)
f (x).
dxn
(1.8)
Taylorentwicklung
Falls konvergent,
f (x) =
∞
X
f (n) (x0 )
n=0
n!
(x − x0 )n .
(1.9)
Hierbei ist
n! ≡ n(n − 1)(n − 2)...1
(1.10)
(Fakultät). Wichtige Beispiele:
∞
X
x2 x3
xn
exp(x) = 1 + x +
+
+ ... =
2!
3!
n!
n=0
x3 x5
+
+ ...
3!
5!
x2 x4
cos(x) = 1 −
+
+ ...
2!
4!
sin(x) = x −
(1.11)
(1.12)
(1.13)
Geometrische Bedeutung: Approximation durch Polynom.
1
Gegenbeispiel, wo es nicht funktioniert: f (x) = e− x (wesentliche Singularität bei
x = 0).
1. Wiederholung Analysis
3
Abbrechen der Taylorreihe: In der Physik extrem wichtig für Näherungsrechnungen.
Beispiele
x2 x3
+
+ ...
2!
3!
= 1 + x + O(x2 )
x2
+ O(x3 )
= 1+x+
2!
exp(x) = 1 + x +
(1.14)
(1.15)
(1.16)
etc.: Die Funktion wird nur bis zu Termen einer gewissen Ordnung (Potenz) entwickelt,
alle höheren Terme werden vernachlässigt. Im obigen Beispiel gut für x ≪ 1 (‘sehr viel
kleiner als 1’). Wie gut die Näherung funktioniert, hängt vom jeweiligen Problem ab.
AUFGABE: Taylorentwicklung der potentiellen Energie für kleine Auslenkungen
beim Fadenpendel.
1.3.1
Beispiel: Relativistische Energien
Einstein
Newton durch Taylorentwicklung von
E(v) ≡ q
mc2
1−
1
v 4
2
= mc + mv + O
.
2
c
2
v2
c2
(1.17)
4
(nächster Term) entwickeln. (Physikalische
AUFGABE: Überprüfen und bis zu O vc
und mathematische) Diskussion der Konvergenz der Reihe.
1.4
Asymptotisches Verhalten von Funktionen
Wichtig, um sich einen Überblick zu verschaffen. Beispiel (Skizze)
f (x) =
1
1 + x2
f (x) ∼
1
,
x2
x → ∞.
Genauer durch Entwickeln nach Potenzen von 1/x2 für x ≫ 1,
1
1
1
1
1
1
=
= 2 1 − 2 + 4 ± ...
1 + x2
x2 1 + x−2
x
x
x
4 !
1
1
=
+O
2
x
x
(1.18)
(1.19)
(1.20)
unter Benutzung der geometrischen Reihe
1
= 1 + x + x2 + x3 + ...,
1−x
|x| < 1.
(1.21)
1. Wiederholung Analysis
1.4.1
4
Grenzwerte
Beispiel
3
x − x3! + ...
sin x
x2
lim
= lim
= lim 1 −
+ ... = 1.
x→0 x
x→0
x→0
x
3!
1.5
(1.22)
Komplexe Zahlen
Literatur: W. Fischer, I. Lieb ‘Funktionentheorie’ (Vieweg) - hier nur die ersten Kapitel.
1.5.1
Eigenschaften
Komplexe Zahl
z ≡ x + iy
(1.23)
mit x (Realteil) und y (Imaginärteil) reell und imaginärer Einheit i. Die imaginäre
Einheit i ist eine Lösung der quadratischen Gleichung
z 2 + 1 = 0.
(1.24)
Die andere Lösung ist −i: Konjugiert komplexe Zahl
z ≡ x + iy
z ∗ ≡ z̄ ≡ x − iy.
(1.25)
Darstellung einer komplexen Zahl als Punkt in zweidimensionaler Ebene (‘komplexe
Ebene’). AUFGABEN: Addition, Produkte, Quotienten komplexer Zahlen. Real- und
Imaginärteil mit z und z ∗ .
1.5.2
Polardarstellung (Argand-Diagramm)
Ebene Polarkoordinaten
z = x + iy, x = r cos θ, y = r sin θ
p
√
x2 + y 2 = |z| = zz ∗
r =
y θ = arctan
.
x
(1.26)
(cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ.
(1.29)
(1.27)
(1.28)
Damit de-Moivre’s Theorem (AUFGABE)
AUFGABE: daraus trigonometrische Identitäten herleiten.
1. Wiederholung Analysis
1.5.3
5
Euler-Formel
Aus den Taylorreihen (Exp., Sinus, Cosinus) folgt
eiθ = cos θ + i sin θ
(1.30)
z = x + iy = reiθ .
(1.31)
und somit
1.5.4
Beispiel: Kreisbewegung in 2 Dimensionen
Beschreibung durch eine Kurve x(t) = r cos(ωt), y(t) = r sin(ωt) oder alternativ in der
komplexen Ebene
z(t) = reiωt
(1.32)
Die Projektionen auf die Achsen beschreiben harmonische Schwingungen.
1.5.5
Wurzeln
Im Komplexen als Lösungen z von
z n = z0 .
(1.33)
Beispiel z0 = 1 (Einheitswurzeln): Schreiben als
einθ = 1
z = e2kπi/n ,
k = 0, 1, 2, ..., n − 1.
(1.34)
(AUFGABE, Darstellung als Argand-Diagramm)
Weitere AUFGABEN: hyperbolische Funktionen sinh, cosh, ihr Zusammenhang mit
sin, cos, ihre Potenzreihen.
2. GEWÖHNLICHE
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Literatur: W. Walter, ‘Gewöhnliche Differentialgleichungen’ (Springer). Bronstein, ‘Taschenbuch der Mathematik’.
2.1
2.1.1
Einführung
Motivierung
Dynamische Grundgleichungen haben die Form von Differentialgleichungen. Beispiel:
Newtonsche Bewegungsgleichung eines Massenpunktes (Masse m, Ort r(t),
m
d2
r(t) ≡ mr̈(t) = F(r(t))
dt2
(2.1)
mit der ortsabhängigen Kraft F(r). Spezialfall eindimensionaler harmonischer Oszillator
der Masse m und Federkonstante (Young-Modul) k,
mẍ(t) = −kx(t),
ẍ(t) + ω 2 x(t) = 0,
k>0
k
ω2 ≡ .
m
(2.2)
(2.3)
Das ist eine lineare, gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung.
2.1.2
Klassifizierung
• Gewöhnliche DGL für Funktionen einer Variablen, z.B. Ort r(t) als Funktion der
Zeit (t ist die Variable).
• Partielle DGL für Funktionen mehrerer Veränderlicher, z.B. quantenmechanische
Wellenfunktion Ψ(r, t).
• Ordnung der DGL: höchste aufretende Ableitung.
• Implizit oder explizit gegeben.
• Linear oder nichtlinear in der gesuchten Funktion.
• Einzelne DGL oder Systeme von DGL.
2. Gewöhnliche Differentialgleichungen
7
c
Abbildung 2.1: Richtungsfeld. Verlag
Harri Deutsch (Bronstein, Taschenbuch der Mathematik 6. Auflage 2006.)
Beispiele
mr̈(t) = F(r(t)),
ẍ(t) + α cos x(t) = 0,
2.2
r = (x, y, z),
System von drei DGL 2. Ordnung
(2.4)
nichtlineare DGL 2. Ordnung
(2.5)
DGLn erster Ordnung
Explizite Form
y ′ (x) = f (x, y).
(2.6)
Hierbei ist f (x, y) fest vorgegeben. Die Aufgabe besteht darin, eine Funktion y(x) zu
finden, die y ′ (x) = f (x, y(x)) erfüllt. Beispiel: y ′ (x) = x2 + 2 sin(xy).
2.2.1
Richtungsfeld und Anfangswertproblem
• Richtungsfeld: Steigung einer Lösung y(x) im Punkt (x0 , y0 ) in der x-y Ebene
ist y ′ (x0 ) = f (x0 , y0 ). Gesamtheit aller Tangenten in der x-y Ebene definieren ein
Richtungsfeld von y ′ (x) = f (x, y). Geometrische Interpretation von y ′ (x) = f (x, y):
Lösungskurve y(x) hat sich an Richtungsfeld ‘anzuschmiegen’.
• Anfangswertproblem: Lösungskurve y(x) ausgehend von einem Anfangspunkt y0 =
y(x0 ) bestimmen.
2. Gewöhnliche Differentialgleichungen
2.2.2
8
Einfache Beispiele
Im Fall
y ′ (x) = f (x)
(2.7)
erfolgt die Lösung durch einfache Integration, z. B.
y ′ (x) = x3 + cos(x)
1
y(x) = x4 + sin(x) + c
4
(2.8)
mit einer noch unbestimmten Konstanten c. Man erhält also zunächst eine ganze Schar
von Lösungen, die durch die Konstante c, d.h. die Integrationskonstante, parametrisiert
wird. Wenn man jetzt eine Anfangsbedingung vorgibt, läßt sich aus dieser c bestimmen:
y(x0 ) = y0
2.2.3
1
c = y0 − x40 − sin(x0 ).
4
(2.9)
Methoden: Trennung der Variablen
Für die Form
y ′ (x) = f (x)g(y)
(2.10)
schreiben wir formal
dy
= f (x)g(y)
dx
dy
= f (x)dx
g(y)
(2.11)
und integrieren beide Seiten. Wir können gleich vom Anfangspunkt (x0 , y0 ) integrieren,
um die richtige Anfangsbedingung zu erwischen,
Z y
Z x
dζ
=
f (ξ)dξ.
(2.12)
y0 g(ζ)
x0
Eindeutigkeit nicht immer gegeben, vgl. Walter, ‘Gewöhnliche Differentialgleichungen’ (Springer Berlin Heidelberg, 1986).
Einfaches Beispiel
Z
Z
y ′ = ey sin x
e−y dy = sin xdx
−e−y = − cos x − c
(2.13)
y(x) = − log(cos x + c),
(2.14)
vgl. Fig.(2.2): Man erhält Lösungskurven, die sich stark in ihrem Verhalten unterscheiden. Fängt man z.B. bei x0 = 0 an, so sitzt man je nach Anfangswert y0 auf einer Kurve,
die beschränkt ist, die an bestimmten Stellen divergiert oder sogar in bestimmten Bereichen (wegen des Logarithmus) nicht definiert ist. Nichtlineare Differentialgleichungen
zeigen also eine starke Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen!
AUFGABE: Löse y ′ (x) = αy/x für reelles α und skizziere die Lösungsscharen y(x)
für α = 1 und α = −1.
AUFGABE: Löse y ′ (x) = −2x/y und skizziere die Lösungsscharen y(x).
2. Gewöhnliche Differentialgleichungen
9
10
c=-0.5
c= 1.0
c= 1.5
8
6
y
4
2
0
-2
-10
-5
0
5
10
x
Abbildung 2.2: Lösungen von y ′ = ey sin x, vgl. Gl. (2.13).
2.2.4
Lineare DGL
Diese wichtige DGL hat die Form
L[x(t)] ≡ ẋ(t) + g(t)x(t) = f (t)
(2.15)
mit dem linearen Funktional (‘Funktion von Funktionen’) L. Hierbei sind g(t) und
f (t) fest vorgegeben und x(t) ist gesucht. Die Gleichung mit f (t) ≡ 0 auf der rechten
Seite heißt homogene Differentialgleichung, die Gleichung mit f (t) 6= 0 auf der rechten
Seite heißt inhomogene Differentialgleichung.
Beispiel: Ein Teilchen der Masse m bewegt sich auf der z-Achse unter dem Einfluß
einer Reibungskraft −γ ż(t) und einer äußeren Kraft f (t) (beide in z-Richtung). Die
entsprechende Newtonsche Gleichung für die z-Komponente lautet
mz̈(t) = −γ ż(t) + f (t)
(2.16)
Wir benutzen die Geschwindigkeit v(t) = ż(t) und erhalten
v̇(t) +
1
γ
v(t) = f (t)
m
m
(2.17)
als lineare Differentialgleichung erster Ordnung.
AUFGABE: Zerfallsprozesse: radioaktive Kerne, Abnahme einer Population von Tieren durch Aussterben, ...
Die Inhomogenität im mechanischen Beispiel oben ist also die äussere Kraft. Allgemein löst man Gl. (2.15) in zwei Schritten: zunächst ohne Inhomogenität, dann mit:
• Lösung für den homogenen Fall f ≡ 0.
ẋ(t) + g(t)x(t) = 0
−
xh (t; t0 ) ≡ e
Rt
t0
dt′ g(t′ )
dx
= −g(t)dt
x
ln x + c = −
Z
g(t)dt
(2.18)
2. Gewöhnliche Differentialgleichungen
10
(ÜBERPRÜFEN!). Löst die DGL mit f ≡ 0 und Anfangsbedingung x(t0 ) = 1.
Physikalische Interpretation: beschreibt exponentiellen Änderung x(t) einer anfänglichen
Population 1 mit zeitabhängiger Rate g(t). Lösung für anfängliche Population c
durch Multiplikation mit c, d.h.
−
x(t) = ce
Rt
t0
dt′ g(t′ )
,
x(t0 ) = c
(2.19)
löst das homogene Problem.
• Lösung für den inhomogenen Fall: Eine spezielle Lösung ist
Z t
xs (t; t0 ) =
dt′ f (t′ )xh (t; t′ ),
(2.20)
t0
denn
ẋs (t; t0 ) = f (t)xh (t; t) +
Z
t
dt′ f (t′ )ẋh (t; t′ )
(2.21)
t0
= f (t) −
Z
t
t0
dt′ f (t′ )g(t)xh (t; t′ ) = f (t) − g(t)xs (t; t0 ).
(2.22)
Rt
Physikalische Interpretation von xs (t; t0 ) = t0 dt′ f (t′ )xh (t; t′ ): alle Beiträge der exponentiellen Änderungen durch äusseren Einfluss f (t′ ) zur Anfangszeit t′ werden aufintegriert. Die homogene Lösung xh (t; t′ ) propagiert diesen Einfluss über den Zeitraum
[t0 , t] hinweg und heisst entsprechend Propagator oder Grundlösung der DGL. Der
Propagator ist ein wichtiges Konzept in der Physik, insbesondere in der Quantenmechanik.
Gesamtlösung= Lösung für den inhomogenen Fall plus Lösung für den homogenen
Fall,
Z t
x(t) = cxh (t; t0 ) +
dt′ f (t′ )xh (t; t′ ).
(2.23)
t0
AUFGABE: konkretes Beispiel, siehe Übungen.
2.3
2.3.1
Lineare Systeme von DGL
Umwandlung einfacher DGLs höherer Ordnung in ein System von
DGL erster Ordnung
Physikalische Motivation: Newtonsche Gleichungen im Phasenraum und nicht im Ortsraum lösen. Beispiel:
ẍ(t) + ω 2 x(t) = 0,
linearer harm. Oszillator in 1d
(2.24)
2. Gewöhnliche Differentialgleichungen
11
Einführung von zwei Funktionen
x1 (t) = x(t)
(2.25)
x2 (t) = ẋ(t).
(2.26)
Damit Umschreiben als
ẋ1 (t) = x2 (t)
2
ẋ2 (t) = −ω x1 (t).
(2.27)
(2.28)
oder bei Umbenennung
1
p(t)
m
ṗ(t) = −mω 2 x(t).
ẋ(t) =
(2.29)
mit dem Ort x und dem Impuls p. Wichtiges Vorgehen für die analytische Mechanik
(Hamiltonsche Gleichungen, x-p Phasenraum ) und in der Quantenmechanik, wo x und
p zu nichtvertauschbaren linearen Operatoren werden.
Umgekehrt kann man ein System von DGL durch Differentiation und Einsetzen wieder in eine einzelne DGL höherer Ordnung verwandeln.
Sehr wichtig für viele Anwendungen: Schwingungen in der Akustik, Elektronik, Mechanik, Quantenmechanik etc. Das einfachste Beispiel ist bereits der 1d harmonische
Oszillator im Impulsraum, Gl. (2.29)
2.4
2.4.1
Lineare homogene Systeme mit konstanten Koeffizienten
Normalform
Wir schreiben ein lineares System mit konstanten Koeffizienten in der Normalform
y1′ = a11 y1 + a12 y2 + ... + a1n yn
y2′ = a21 y1 + a22 y2 + ... + a2n yn
... = ...
yn′ = an1 y1 + an2 y2 + ... + ann yn
Wir fassen die Funktionen yi (t) als Komponenten eines Vektors y(t)auf und fassen die
konstanten Koeffizienten aij zu einer quadratischen Matrix zusammen,
y′ (t) = Ay(t),
(2.30)
was als homogenes System bezeichnet wird. Der Fall
y′ (t) = Ay(t) + b(t)
wird als inhomogenes System bezeichnet.
(2.31)
2. Gewöhnliche Differentialgleichungen
2.4.2
12
Wiederholung Lineare Algebra (I): Vektoren und Matrizen
Literatur: Bitte im Skript von Mike Scherfner die entsprechenden Kapitel wiederholen.
2.4.2.1
Vektoren
Vektoren x, y etc. im n-dimensionalen Vektorraum (reell oder komplex) haben die Form


x1
n
 x2  X
=
x=
xi ei
(2.32)
 .. 
i=1
xn
mit reellen oder komplexen Komponenten xi und den Einheitsvektoren (kartesische Basis) ei .
2.4.2.2
Basis, Lineare Unabhängigkeit
Bitte selbst wiederholen.
2.4.2.3
Lineare Abbildungen, Matrizen
Lineare Abbildungen werden durch quadratische n × n- Matrizen dargestellt,
x → y = Ax
2.4.2.4
(2.33)
Matrix-Addition, Multiplikation
Matrixoperationen: Addition. Multiplikation von Matrizen ist i.A. nicht kommutativ,
d.h.
[A, B] ≡ AB − BA 6= 0.
(2.34)
Das ist wichtig für die Quantenmechanik (Matrizenmechanik).
AUFGABE: Pauli-Spinmatrizen.
AUFGABE: Rotationsmatrix in 2d: Multiplikation, geometrische Interpretation. Spiegelungen.
2.4.2.5
Inverse einer Matrix; Determinante
Die Inverse einer quadratischen Matrix A stellt die entsprechende lineare Umkehrabbildung dar. Allerdings kann es sein, dass diese Umkehrabbildung nicht existiert. Beispiel(n =
2): Projektion auf die x1 -Achse (Skizze),
1 0
x → Ax, A =
(2.35)
0 0
2. Gewöhnliche Differentialgleichungen
13
Die Umkehrabbildung existiert nicht: ein Punkt auf der x1 -Achse ‘weiss nicht, wo er
ursprünglich herkam’.
Die Umkehrabbildung, d.h. die Inverse einer Matrix A existiert genau dann, wenn
ihre Determinante von Null verschieden ist.
AUFGABE: Rechenregeln, Beispiele für Determinanten. Inverse einer 2 mal 2 Matrix.
2.4.3
Exponentiallösung für lineares DGL-System
Falls unser System
y′ (t) = Ay(t)
(2.36)
nur aus n = 1 einer Komponente besteht, haben wir die einfache DGL
y ′ (t) = ay(t),
(2.37)
die wir durch Trennung der Variablen lösen:
dy
= adt
y
ln y = at + c
y(t) = y(0)eat ,
(2.38)
wir bekommen also eine Exponentialfunktion.
Für den n×n-Fall versuchen wir etwas entsprechendes: statt der Exponentialfunktion
von at die Exponentialfunktion von At, wobei t die Variable in y(t) ist und A die n × nMatrix. Wir definieren für eine Matrix M die Exponentialfunktion einer Matrix über die
Potenzreihe,
eM ≡
∞
X
1 k
M ,
k!
(2.39)
k=0
wobei M k einfach das k-fache Matrizenprodukt ist. eM ist also wieder eine n × n-Matrix,
und es gilt (AUFGABE)
d Mt
e = M eM t .
dx
(2.40)
Damit finden wir die Lösung
y′ (t) = Ay(t)
y(t) = eAt y(t = 0),
(2.41)
wie man durch direktes Differenzieren nachprüft. Die konkrete Berechnung der Exponentialfunktion geht am besten, wenn man die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix
kennt.
2. Gewöhnliche Differentialgleichungen
2.4.4
14
Wiederholung Lineare Algebra (II): Eigenwerte und Eigenvektoren
Eigenwerte λ und Eigenvektoren x einer n × n-Matrix sind definiert über
Ax = λx.
(2.42)
Diese Gleichung ist ein lineares homogenes Gleichungssystem, das genau dann eine nichttriviale Lösung hat, wenn
det(A − λE) = 0,
(2.43)
wobei E die n × n-Einheitsmatrix ist. Die Eigenwerte von A sind die Nullstellen des
charakteristischen Polynoms der Matrix A.
Zu jedem Eigenwert λ bestimmt man jetzt die zugehörigen Eigenvektoren x durch
Lösen des linearen Gleichungssystems
(A − λE)x = 0.
(2.44)
Hat man hierbei soviel linear unabhängige Lösungsvektoren x wie die Vielfachheit der
entsprechenden Nullstelle des charakteristischen Polynoms der Matrix A, so nennt man
A diagonalisierbar.
BEISPIEL (VORLESUNG): 2 × 2-Matrix.
GEGENBEISPIEL (nicht diagonalisierbar): die 2 × 2-Matrix
0 1
A=
.
(2.45)
0 0
2.4.4.1
Diagonalform
Ausgangspunkt: n × n-Matrix A mit n linear unabhängigen Eigenvektoren x1 ,...,xn zu
den Eigenwerten λ1 ,...,λn . Wir bilden die Matrix der (Spalten)Eigenvektoren von A,
C ≡ (x1 , ..., xn )
AC = (Ax1 , ..., Axn ) = (λ1 x1 , ..., λn xn )

λ1 0 .. 0
 0 λ2 .. 0
= (x1 , ..., xn )D, D ≡ 
 .. .. .. ..
0 ... 0 λn
A = CDC −1 ↔ D = C −1 AC.
(2.46)




(2.47)
Damit ist die Transformation der Matrix A auf Diagonalform gefunden. KONKRETES
BEISPIEL (VORLESUNG): 2×2-Matrix. AUFGABE: Hauptachsentransformation einer
quadratischen Form.
Warum ist das überhaupt nützlich:
2. Gewöhnliche Differentialgleichungen
2.4.5
15
Diagonalisierung der Exponentiallösung für lineares DGL-System
Wir können die Lösung y(t) = eAt y(t = 0) des linearen DGL-Systems y′ (t) = Ay(t)
jetzt durch Diagonalisieren berechnen: wiederum Annahmen, dass die Matrix A n linear
unabhängigen Eigenvektoren hat. Dann folgt
 λ1 t

e
0 ..
0
 0 eλ2 t ..
0 
 C −1 , (2.48)
exp(At) = exp(CDC −1 t) = C exp(Dt)C −1 = C 
 ..
.. ..
.. 
0
... 0 eλn t
wobei der zweite Schritt durch Benutzung der Potenzreihe erfolgt. Damit folgt
y′ (t) = Ay(t)
y(t) = C exp(Dt)C −1
eλ1 t
0
 0 eλ2 t
=C
 ..
..
0
...


..
0
..
0 
 C −1 y(t = 0).
.. .. 
0 eλn t
(2.49)
Damit ist die Lösung direkt geschlossen ausgedrückt mittels der Eigenwerte λ von A ,
der Matrix C der Eigenvektoren von A und der Anfangsbedingung y(t = 0) zur Zeit
t = 0.
2.4.6
Eigenlösungen und Anfangswertproblem
Wir können Lösungen zu
y′ (t) = Ay(t)
(2.50)
auch direkt durch einen Exponential-Ansatz finden, d.h. wir setzen y(t) = xeλt in die
DGL ein und erhalten
Ax = λx,
(2.51)
d.h. genau wieder die Eigenwertgleichung für die Eigenwerte λi und Eigenvektoren xi
der Matrix A. Wenn A n linear unabhängige Eigenvektoren hat, haben wir somit auch n
linear unabhängige Lösungen yi (t) = xi eλi t . Wie verträgt sich das mit unserer eindeutigen, geschlossenen Lösung Gl. (2.49)? Zunächst gilt: Linearkombinationen von yi (t) zu
verschiedenen λ sind wiederum eine Lösung von y′ (t) = Ay(t). Wir wählen die Koeffizienten der Linearkomination
y(t) = c1 y1 (t) + c2 y2 (t) + ... + cn yn (t)
(2.52)
so, dass die Anfangsbedingung (AB) erfüllt ist:
y(t = 0) = c1 y1 (0) + c2 y2 (0) + ... + cn yn (0) = c1 x1 + c2 x2 + ... + cn xn (2.53)
2. Gewöhnliche Differentialgleichungen
16
Das ist ein lineares Gleichungssystem für den Koeffizientenvektor c,


c1
 c2 

y(t = 0) = Cc, c ≡ 
 ..  , C ≡ (x1 , ..., xn ).
cn
(2.54)
Die Lösung ist eindeutig, weil C invertierbar ist.
2.4.7
Eigenlösungen für nicht-diagonalisierbares A
Der Fall
y′ (t) = Ay(t)
(2.55)
mit nichtdiagonaliserbarem A ist etwas komplizierter. Man muss A auf Jordansche Normalform bringen bzw. den Exponentialansatz etwas verallgemeinern (vgl. WALTER,
‘Gewöhnliche Differentialgleichungen’).
2.4.8
ANWENDUNG MECHANIK: gedämpfter harmonischer Oszillator
Dieser erfüllt die Newtonschen Bewegungsgleichungen
ẍ(t) + 2γ ẋ(t) + ω 2 x(t) = f (t),
γ > 0.
(2.56)
Umschreiben in ein System erster Ordung führt auf (setze die Masse m = 1)
ẋ(t) = p(t)
ṗ(t) = −ω 2 x(t) − 2γp(t) + f (t)
(2.57)
Wir schreiben das in unserer Standard-Form als
y′ (t) = Ay(t) + b(t)
(2.58)
mit
b(t) =
0
f (t)
,
A=
0
1
2
−ω −2γ
.
(2.59)
Hier betrachten wir zunächst den homogenen Fall ohne äußere Kraft, d.h. f (t) = 0.
Die Eigenwerte λ von A sind durch
− λ(−2γ − λ) + ω 2 = 0
p
λ1/2 = −γ ± γ 2 − ω 2
λ2 + 2γλ + ω 2 = 0
(2.60)
(2.61)
gegeben. Für γ = 0 (ungedämpfter Fall) gibt es die zwei Lösungen, d.h. Eigenwerte λ1/2
und Eigenvektoren x1/2 ,
1
1
λ1/2 = ±iω, x1 =
, x2 =
.
(2.62)
iω
−iω
2. Gewöhnliche Differentialgleichungen
17
Die allgemeine Lösung des homogenen Systems ist deshalb von der Form
1
1
iωt
y(t) = c+
e + c−
e−iωt
iω
−iω
(2.63)
mit Koeffizienten, die aus der Anfangsbedingung bestimmt werden müssen.
AUFGABE: Betrachte den gedämpften harmonischen Oszillator ohne äußere Kraft,
ẍ(t) + 2γ ẋ(t) + ω 2 x(t) = 0.
1. Berechne analog zu oben die Eigenfrequenzen und die allgemeinen Lösung des homogenen Systems für γ 6= 0. Hierbei soll angenommen werden, dass die zwei Eigenfrequenzen
verschieden voneinander sind.
2. Bestimmte x(t) explizit (ausgedrückt durch reelle Funktionen) für die Anfangsbedingung x(t = 0) = x0 , ẋ(t = 0) = v0 . Skizziere die Lösung.
2.4.9
Wiederholung Lineare Algebra (III): Skalar- und Vektorprodukt
Wir schliessen unsere Wiederholung der Lineare Algebra hier der Vollständigkeit halber
vorläufig mit einem Einschub über Skalar- und Vektorprodukte ab.
2.4.9.1
Skalarprodukt (inneres Produkt) zweier Vektoren
In kartesischen Koordinaten gilt
xy ≡ (x, y) ≡
n
X
x∗i yi .
(2.64)
i=1
Die Länge (Norm) eines Vektors ist
kxk ≡
√
xx.
(2.65)
Zwei Vektoren x, y heissen orthogonal, falls xy = 0.
Kreuzprodukt zweier reeller Vektoren im R3
P
P
Das Kreuzprodukt von x = 3i=1 xi ei und y = 3i=1 yi ei mit reellen Koeffizienten ist
selbst wieder ein dreidimensionaler Vektor senkrecht zu x, y und über die Determinante
definiert als
e1 e2 e3 x × y = x1 x2 x3 ,
(2.66)
y1 y2 y3 2.4.9.2
wobei die Determinante einfach formal ausgerechnet wird und die ei die kartesischen
Basisvektoren sind. Man kann das auch formal mit Hilfe des ε-Tensors (Levi-Civita-
2. Gewöhnliche Differentialgleichungen
18
Symbol) schreiben:
x×y =
3
3 X
3 X
X
i=1 j=1 k=1
123
231
1 = ε
=ε
213
−1 = ε
ijk
ε
= 0,
132
εijk xi yj ek ≡ εijk xi yj ek
(2.67)
= ε312 ,
zyklische Vertauschung von 123
(2.68)
zyklische Vertauschung von 213
(2.69)
321
=ε
=ε
,
sonst .
(2.70)
vgl. WIKIPEDIA-Artikel o.ä. Hierbei wurde die Einsteinsche Summationskonvention eingeführt: über gemeinsam auftretende Indizes wird summiert, das Summen-Symbol
wird dabei weggelassen.
Es gelten Rechenregeln für das Kreuzprodukt (AUFGABE)
x × y = −y × x
(2.71)
a × (b × c) = b(ac) − c(ab),
2.5
bac-cab-Regel .
(2.72)
ANWENDUNG MECHANIK: Eigenschwingungen und Eigenmoden
(Normalmoden)
Wir betrachten die Newtonschen Gleichungen für N Massenpunkte mit Masse mi , die
durch lineare Federn miteinander verbunden sind. Der Vektor ri (d-dimensionaler Vektor,
z.B. d = 2 für Bewegung in einer Ebene) bezeichne die Auslenkung der Masse mi aus
ihrer Ruhelage. Die Kraft auf die Masse mi ist proportional zur Auslenkung aller Massen
aus ihrer Ruhelage,
mi r̈i =
N
X
Aij ri .
(2.73)
j=1
Hierbei ist jedes Aij eine d × d-Matrix. Das ist ein lineares System mit konstanten
Koeffizienten, allerdings von zweiter Ordnung. Man kann es in ein System erster Ordnung
umwandeln, einfacher ist aber eine direkte Lösung über einen Exponentialansatz:
2.5.1
Fall d = 1, N = 2 (zwei gekoppelte Oszillatoren)
Zwei über Federn gekoppelte Massen m1 und m2 auf einer Geraden, Auslenkung aus der
Ruhelage x1 und x2 . Die Newtonschen Gleichungen lauten
m1 x¨1 = A11 x1 + A12 x2
m2 x¨2 = A21 x1 + A22 x2 ,
die Aij sind hier skalar.
(2.74)
2. Gewöhnliche Differentialgleichungen
2.5.1.1
19
Lösung durch Exponentialansatz
Wir setzen
x1 (t) = c1 e−iωt ,
x2 (t) = c2 e−iωt
(2.75)
in die DGL ein und erhalten
− m1 ω 2 c1 = A11 c1 + A12 c2
−m2 ω 2 c2 = A21 c1 + A22 c2 ,
(2.76)
was wir als
(A + M ω 2 )c = 0,
A=
A11 A12
A21 A22
,
M=
m1 0
0 m2
(2.77)
mit dem Koeffizientenvektor c schreiben. Nichttriviale Lösungen gibt es für
det(A + M ω 2 ) = 0.
(2.78)
Aus dieser Gleichung werden die möglichen Werte für die Winkelfrequenzen ω bestimmt.
Es gibt wegen des Quadrats jeweils zwei Wurzeln - diejenigen mit positivem Realteil
werden als Eigenfrequenzen des Systems bezeichnet. Die zugehörigen Lösungen für
den Koeffizientenvektor c heissen Eigenmoden (Normalmoden) des Systems.
2.5.1.2
Ungekoppelte Massenpunkte
In diesem Fall hat man
A=
−k1
0
0
−k2
mit zwei Federkonstanten k1 > 0, k2 > 0. Aus Gl. (2.78) folgt natürlich
−k1 + m1 ω 2
0
=0
0 = (−k1 + m1 ω 2 )(−k2 + m2 ω 2 ),
2
0
−k2 + m2 ω (2.79)
(2.80)
p
p
also Winkelfrequenzen ±ω1 = ± k1 /m1 und ±ω2 = ± k2 /m2 , d.h. die zwei Eigenfrequenzen, die wie erwartet den Frequenzen der beiden Oszillatoren (die ja unabhängig
voneinander sind) entsprechen. Die Koeffizientenvektoren sind
1
c1 =
, zu ω1
(2.81)
0
0
c2 =
,
zu ω2 .
(2.82)
1
2. Gewöhnliche Differentialgleichungen
20
c
Abbildung 2.3: Normalmoden WIKIPEDIA
http://en.wikipedia.org/wiki/Normal mode
2.5.1.3
Gekoppelte Massenpunkte
Jetzt betrachten wir ein spezielles Beispiel zweier gleicher Massen m, die sich auf einer
Geraden bewegen (räumliche Dimension d = 1) und durch Federn mit gleicher Federkonstante k aneinander und jeweils an eine Wand links und rechts gekoppelt sind (Bild).
Koordinaten x1 und x2 von den jeweiligen Ruhelagen der Massen. Kraft auf die erste
Masse (Bild)
mx¨1 = −kx1 + k(x2 − x1 ),
(2.83)
entsprechend Kraft auf die zweite Masse (Bild)
mx¨2 = −kx2 + k(x1 − x2 ).
(2.84)
Das einzig Wichtige ist hier, dass man sich die Vorzeichen genau überlegt (NACHPRÜFEN!). Wir haben also
mx¨1 = −2kx1 + kx2
mx¨2 = kx1 − 2kx2 .
Der Exponentialansatz führt also auf
−2 1
2
(A + M ω )c = 0, A = k
,
1 −2
M =m
(2.85)
1 0
0 1
.
(2.86)
Die zwei Eigenfrequenzen folgen aus
0 = det(A + M ω 2 )
k
k
ω12 =
, ω22 = 3 .
m
m
(−2k + mω 2 )2 − k2 = 0
−2k + mω 2 = ±k
(2.87)
Die zwei Normalmoden c finden wir mit den Eigenvektoren von A + M ω 2 als (NACHRECHNEN!)
1
1
2
c1 =
, zu ω1 , c2 =
, zu ω22 .
(2.88)
1
−1
Die allgemeine Lösung hat also die Form
x1 (t)
1
1 iω1 t
−iω1 t
α+ e
+ α− e
β+ eiω2 t + β− e−iω2 t (2.89)
=
+
x2 (t)
−1
1
2. Gewöhnliche Differentialgleichungen
21
mit vier Koeffizienten α± , β± , die aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden. Für
β± = 0 schwingen die Massen miteinander in der Normalmode c1 mit der Frequenz ω
√1 .
Für α± = 0 schwingen die Massen gegeneinander in der Normalmode c2 mit der um 3
höheren Frequenz ω2 .
Vgl. auch den Artikel ‘normal modes’ in WIKIPEDIA (April 2008).
http://en.wikipedia.org/wiki/Normal mode
AUFGABE: Betrachte zwei Massen m1 , m2 , die sich auf einer Geraden bewegen (räumliche
Dimension d = 1) und durch eine Feder mit Federkonstante k aneinander gekoppelt
sind. Die linke Masse sei weiterhin durch eine Feder mit gleicher Federkonstante k an
eine Wand links gekoppelt, die rechte Masse sei frei. Bestimme die Eigenfrequenzen und
Eigenmoden dieses Systems.
2.5.2
Mehrere (N > 2) gekoppelte Oszillatoren
Das funktioniert genauso wie im obigen Fall N = 2, nur mit dem Unterschied, dass jetzt
die Matrizen A und M größer werden.
AUFGABE: Bestimme die Eigenfrequenzen eines linearen dreiatomigen Molekül-Modells
mit zwei Massen m außen, einer Masse mc innen, und den zwei Federn mit Federkonstanten k. Bestimme die zugehörigen Normalmoden (∗ -Aufgabe).
2.6
Lineare inhomogene Systeme
Inhomogene lineare Systeme (Dimension n)
y′ (t) = Ay(t) + b(t)
(2.90)
mit der n × n-Matrix A können wir jetzt auch leicht lösen. Der homogene Fall b(t) ≡ 0
hatte die Lösung
y(t) = eAt y(t = 0)
(2.91)
mit der Exponentialfunktion der Matrix A, vgl. oben. Wir definieren analog zur DGL 1.
Ordnung, Gl. (2.18), eine Lösung des homogenen Falls
′
′
yh (t, t′ ) = eA(t−t ) y1 ,
eA(t−t ) :
Propagator,
(2.92)
die die homogene DGL mit der AB y1 = (1, 1, ..., 1)T zur Zeit t = t′ erfüllt. Wenn wir das
über die Inhomogenität (‘äußere Kraft’) b(t′ ) integrieren (Anfangszeit t = t0 ), erhalten
wir wie bei der DGL 1. Ordnung eine spezielle Lösung für den inhomogenen Fall,
Z t
′
ys (t, t0 ) =
dt′ eA(t−t ) b(t′ ),
(2.93)
t0
denn
d
ys (t, t0 ) = eA(t−t) b(t′ = t) +
dt
Z
t
t0
′
dt′ AeA(t−t ) b(t′ ) = b(t) + Ays (t, t0 ). (2.94)
2. Gewöhnliche Differentialgleichungen
22
Die Gesamtlösung ist wieder eine Linearkombination aus spezieller Lösung ys (t, t0 ) und
der Lösung für den homogenen Fall, d.h.
Z t
′
A(t−t0 )
y(t) = e
y(t = t0 ) +
(2.95)
dt′ eA(t−t ) b(t′ ).
t0
INTERPRETATION: y(t) = (y1 (t), ..., yn (t))T als mehrkomponentige ‘Auslenkung’, die
sich als Summe zweier Anteile ergibt: 1. die homogenen Auslenkung eA(t−t0 ) y(t = t0 )
ohne äußere Kraft b(t′ ), bei der
die AB y(t = t0 ) frei propagiert wird, und
R t einfach
′)
′
A(t−t
2. die inhomogene Auslenkung t0 dt e
b(t′ ), bei der der Einfluß der äußeren Kraft
′
′
b(t ) zu jedem Zeitpunkt t zusätzliche Auslenkungen ergeben, die jeweils von t′ bis t
propagiert werden.
AUFGABE: Lösen Sie mit dieser Methode das Anfangswertproblem für den ungedämpften harmonischen Oszillator mit äußerer Kraft, ẍ(t) + ω 2 x(t) = f (t), x(0) = x0 ,
ẋ(0) = v0 . Bestimmen Sie hierfür zunächst die Matrix eAt und bestimmen Sie dann einen
allgemeinen Ausdruck für x(t) für beliebiges f (t).
3. EINFACHE PARTIELLE
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN UND
FOURIER-ANALYSE
3.1
Die Gleichung der schwingenden Saite (Wellengleichung in einer
Dimension)
Dieses ist eine partielle Differentialgleichung (pDGL) für die Auslenkung u(x, t) der Saite
als Funktion des Ortes x und der Zeit t,
2
∂2
2 ∂
u(x,
t)
=
c
u(x, t)
∂t2
∂x2
(3.1)
mit der Schallgeschwindigkeit c. Die Saite habe die Länge L und sei fest eingespannt die pDGL muss deshalb die Randbedingung
u(x = 0, t) = u(x = L, t) = 0
(3.2)
zu allen Zeiten t erfüllen. Zur Zeit t = 0 ist die Saite anfänglich ausgelenkt gemäss einem
vorgegebenen Profil u0 (x) (z.B. dreieckig, da mit dem Finger in der Mitte hochgezogen),
ausserdem hat die Saitenauslenkung an jeder Stelle x eine Anfangsgeschwindigkeit v0 (x),
u(x, t = 0) = u0 (x),
∂
u(x, t)
= v0 (x),
∂t
1. Anfangsbedingung
(3.3)
2. Anfangsbedingung.
(3.4)
t=0
Die Anfangswertaufgabe besteht dann in der Lösung der pDGL zu Zeiten t > 0, d.h.
ausgehend von dem Auslenkungs und Geschwindigkeitsprofil zur Zeit t = 0 soll das Profil
(die Auslenkung) u(x, t) zu allen Zeiten bestimmt werden. Das Anfangsprofil wird also
zu grösseren Zeiten hin ‘propagiert’.
Bemerkungen
• Wie bei der Dynamik von Massenpunkten (Newton) müssen für eine eindeutige
Lösung Anfangsauslenkung u und Anfangsgeschwindigkeit u̇ überall (für alle x)
bekannt sein: ‘Laplacescher Dämon’.
• Es können auch allgemeinere Randbedingung als Gl. (3.2) vorkommen.
3. Einfache partielle Differentialgleichungen und Fourier-Analyse
3.1.1
24
Wellengleichung als Kontinuumslimes: gekoppelte Massenpunkten
Wir betrachten die Bewegung von Massen m im gleichen Abstand a auf der x-Achse, die
durch masselose Federn mit Federkonstante k gekoppelt sind. Die Bewegungsgleichung
für die Auslenkung ui der i-ten Masse lautet (AUFGABE)
müi = k(ui+1 − ui ) − k(ui − ui−1 ).
(3.5)
Wenn wir die Auslenkung u jetzt als (stetige und differenzierbare) Funktion von x mit
kontinuierlichem x anstelle des diskreten i auffassen, haben wir
ui → u(x),
ui+1 → u(x + a),
ui−1 → u(x − a)
ui+1 − 2ui + ui−1 → u(x + a) − 2u(x) + u(x − a) = a2 u′′ (x) + O(a3 ),
(3.6)
d.h.
u(x + a) − 2u(x) + u(x − a)
= u′′ (x).
a→0
a2
(3.7)
lim
Aus den gekoppelten Bewegungsgleichungen der unendlich vielen Oszillatoren wird eine
einzige partielle Differentialgleichung,
ka2 ui+1 − 2ui + ui−1
m
a2
2
2
∂
ka2
2 ∂
2
,
u(x,
t)
=
c
u(x,
t),
c
=
lim
a→0 m
∂t2
∂x2
üi =
(3.8)
2
wobei sich k und m so verhalten müssen, dass der Limes c2 = lima→0 ka
m existiert.
LITERATUR: H. Goldstein, ’Klassische Mechanik’. Ein wichtiges Mechanik-Lehrbuch
(Klassiker), wird auch nächstes Semester nützlich sein.
3.1.2
Separationsansatz
Wir lösen die pDGL mit einem Separationsansatz
u(x, t) = y(x)z(t)
y(x)z ′′ (t) = z(t)c2 y ′′ (x)
1
1 ′′
z ′′ (t) =
y (x) ≡ −k2 ,
2
c z(t)
y(x)
(3.9)
denn beide Seiten hängen von jeweils unabhängigen Variablen x und t ab, müssen also konstant sein. Die Konstante nennen wir −k2 . Beide Gleichungen sind gewöhnliche
lineare DGL zweiter Ordnung mit allgemeiner Lösung
y(x) = α cos kx + β sin kx
(3.10)
z(t) = γ1 cos kct + γ2 sin kct.
(3.11)
mit Koeffizienten α, β, γ1 , γ2 . Die Konstante k heisst Wellenvektor (hier einkomponentig,
da wir in einer Dimension sind).
3. Einfache partielle Differentialgleichungen und Fourier-Analyse
3.1.2.1
25
Erfüllung der Randbedingung (RB)
Aus u(x = 0, t) = u(x = L, t) = 0 folgt y(0) = y(L) = 0. Damit
y(0) = 0
y(L) = 0
α=0
(3.12)
nπ
k = kn ≡
,
L
sin kL = 0
n = 1, 2, 3...,
‘Quantisierung’ (3.13)
Die zweite RB führt also auf ausschliesslich diskrete Werte kn für den Wellenvektor k: es
handelt sich schliesslich um stehende Wellen. Eine Lösung der pDGL hat jetzt die Form
nπ un (x, t) = β sin
x [γ1 cos kn ct + γ2 sin kn ct]
(3.14)
L
3.1.2.2
Superposition von Lösungen
Die Lösung un (x, t) hängt von der ganzen Zahl n ab. Wir fassen die Konstanten zusammen (βγ1 → an , βγ2 → bn ) und schreiben
nπ un (x, t) = sin
x [an cos kct + bn sin kct] .
(3.15)
L
Wegen der Linearität der pDGL ist eine Linearkombination von Lösungen wieder eine
Lösung. Allgemein können wir eine solche Superposition also als
u(x, t) =
∞
X
sin
n=1
nπ x [an cos kct + bn sin kct]
L
(3.16)
schreiben. Die Koeffizienten an und bn werden jetzt aus den Anfangsbedingungen bestimmt.
3.1.3
Erfüllung der Anfangsbedingungen
∂
Aus u(x, t = 0) = u0 (x) und ∂t
u(x, t)t=0 = v0 (x) folgt
∞
X
an sin
nπ x
= u0 (x)
L
(3.17)
kcbn sin
nπ x
= v0 (x).
L
(3.18)
n=1
∞
X
n=1
Hierbei sind die Funktionen u0 (x) und v0 (x) vorgegeben und die Koeffizienten an und
bn noch zu bestimmen.
BEISPIEL:
v0 (x) ≡ 0
bn = 0
2π
u0 (x) = γ sin
x
L
a1 = 0, a2 = γ, a3 = 0, a4 = 0, ...
(3.19)
3. Einfache partielle Differentialgleichungen und Fourier-Analyse
26
Für ein allgemeine Anfangsbedingung benutzt man Fourier-Reihen. Die Darstellung
f (x) =
∞
X
n=1
an sin
nπ x
L
(3.20)
einer Funktion f (x) auf dem Intervall [0, L] heisst Fourier-Sinus-Reihe. Ist f (x) gegeben, so lassen sich die an folgendermassen bestimmen: wir multiplizieren und integrieren
die Gleichung,
′ ′ Z L
Z L
∞
nπ X
nπ
nπ
dx sin
an
x
=
x sin
x
(3.21)
dxf (x) sin
L
L
L
0
0
n=1
und benutzen
Z
L
0
(AUFGABE), wobei
δ
n,n′
=
′ nπ nπ
L
dx sin
x sin
x = δn,n′
L
L
2
1,
0,
n = n′
,
n 6= n′
Kronecker-Symbol.
Damit hat man einen expliziten Ausdruck für an ,
Z
nπ 2 L
x
dxf (x) sin
an =
L 0
L
(3.22)
(3.23)
(3.24)
(entsprechend für bn ) und damit die vollständige Lösung der pDGL, die korrekt die RB
und AB erfüllt.
∂2
2 ∂2
AUFGABE: Löse die Wellengleichung ∂t
2 u(x, t) = c ∂x2 u(x, t) auf dem Intervall
[0, L] mit Randbedingung
(RB) u(x = 0, t) = u(x = L, t) = 0 und Anfangsbedingung
∂
u(x, t)t=0 = 0 und u(x, t = 0) = u0 (x), wobei u0 (x) eine ‘Dreiecks’-Gestalt mit
(AB) ∂t
Maximum u0 (L/2) = um habe.
Zusatzaufgabe: Plot der Lösung u(x, t) für verschiedene, feste Zeiten t. Animation in
MATHEMATICA.
3.2
Fourier-Analyse
Jetzt diskutieren wir Fourier-Reihen etwas allgemeiner. LITERATUR: Forster, Analysis
I. Als Visualisierung weiterhin web-animationen:
z.B. wikipedia ‘Fourier series’; http://www.falstad.com/fourier/ (05/2008).
3.2.1
Definitionen
Definition Fourier-Reihen einer Funktion f (x) auf dem Intervall [−L, L] sind definiert
als unendliche Reihe der Form
∞
nπ nπ a0 X an cos
+
x + bn sin
x .
(3.25)
f (x) =
2
L
L
n=1
3. Einfache partielle Differentialgleichungen und Fourier-Analyse
27
mit reellen Koeffizienten an , bn . Man bezeichnet diese Darstellung von f (x) auch als
Entwicklung nach stehenden Wellen. Die so definierte Funktion ist periodisch, f (x) =
f (x + 2L).
Allgemeiner definiert man die komplexe Fourier-Reihen einer periodischen Funktion
f (x) = f (x + 2L) auf dem Intervall [−L, L] als
f (x) =
∞
X
nπ
cn ei L x .
(3.26)
n=−∞
mit komplexen Koeffizienten cn .
Man bezeichnet diese Darstellung von f (x) dann als Entwicklung nach ebenen (laufenden) Wellen.
Die Fourier- Koeffizienten dieser Entwicklung bestimmt man durch Integration,
Z
Z
nπ nπ 1 L
1 L
an =
x , bn =
x
(3.27)
dxf (x) cos
dxf (x) sin
L −L
L
L −L
L
Z L
nπ
1
cn =
dxf (x)e−i L x .
(3.28)
2L −L
nπ
−i nπ
x
L
multipliDas folgt, indem man die Reihen jeweils mit cos nπ
L x , sin L x bzw. e
ziert und integriert unter Benutzung von (NACHRECHNEN!)
L
mπ nπ x cos
x
L
L
−L
Z
mπ nπ 1 L
x sin
x
dx sin
L −L
L
L
Z
mπ nπ 1 L
x sin
x
dx cos
L −L
L
L
Z L
(n−m)π
1
dxei L x
2L −L
1
L
Z
dx cos
= δnm
(3.29)
= δnm
(3.30)
= 0
(3.31)
= δnm .
(3.32)
AUFGABE:
1. Entwicklung der periodischen Sprungfunktion f (−L < x < 0) = −1, f (0 < x <
L) = 1 in a) eine komplexe Fourierreihe, b) eine sin-cos-Fourier-Reihe
2. Entwicklung der periodischen
f (0 < x < 2π) = x2 mit Periode 2π in
PFunktion
∞
1
eine Fourierreihe. Berechnung von n=1 n2 hiermit.
3. Einfache partielle Differentialgleichungen und Fourier-Analyse
3.2.2
28
Halbintervallige Fourier-Reihen (Sinus und Cosinus)
Die Funktion f (x) ist hier auf dem Intervall (0, L) definiert (im Gegensatz zu (−L, L)),
und zwar mittels
∞
X
nπ x , halbintervallige Sinus-Reihe
(3.33)
L
n=1
Z
nπ 2 L
bn =
x
(3.34)
dxf (x) sin
L 0
L
∞
nπ X
x , halbintervallige Cosinus-Reihe
(3.35)
an cos
f (x) =
L
n=0
Z
nπ 2 L
an =
x .
(3.36)
dxf (x) cos
L 0
L
P
nπ
Den Fall f (x) = ∞
n=1 bn sin L x hatten wir z.B. bei der Lösung der Wellengleichung
oben benutzt (die Koeffizienten hießen dort an ).
f (x) =
3.2.3
bn sin
Vektorraum der Periodischen Funktionen
Periodische, komplexwertige Funktion f mit f (x) = f (x + 2L) auf dem Intervall [−L, L]
bilden einen Vektorraum H (Hilbertraum, wird später in der Quantenmechanik sehr
wichtig)). Eine Basis dieses Vektorraum sind die Funktionen
nπ
en (x) ≡ ei L x ,
en : R → C,
n = 0, ±1, ±2, ...
(3.37)
Da es unendlich viele n gibt, ist diese Basis und damit der Vektorraum unendlichdimensional. Analogie zu gewöhnlichen Vektoren y im C d :
• Vektoren y im C d
y =
d
X
cn en ,
Basisdarstellung
(3.38)
n=1
cn
d
X
(en )∗i yi ,
= (en , y) ≡
Skalarprodukt
(3.39)
i=1
(en , em ) =
d
X
δin δim = δnm ,
Orthonormalbasis .
(3.40)
i=1
• Vektoren (Funktionen) f in H: Funktionen f (nicht ihre Funktionswerte) werden
als abstrakte Objekte, d.h. Vektoren ausgefasst. Die Fourier-Koeffizienten cn ent-
3. Einfache partielle Differentialgleichungen und Fourier-Analyse
29
sprechen den Komponenten des Vektors in einer Orthonormalbasis.
f
=
∞
X
cn en ,
Basisdarstellung
(3.41)
n=−∞
Z L
1
dxe∗n (x)f (x),
2L −L
Orthonormalbasis .
cn = (en , f ) ≡
(en , em ) = δnm ,
3.2.4
Skalarprodukt
(3.42)
(3.43)
Konvergenz der Fourierreihe
Endliche Fourierreihen
fN : R → C,
fN (x) ≡
N
X
i nπ
x
L
cn e
1
cn =
2L
,
n=−N
Z
L
dxf (x)e−i
nπ
x
L
(3.44)
−L
konvergieren im Allgemeinen nicht punktweise (für jedes x) gegen die Funktion f (x),
sondern nur im quadratischen Mittel:
lim kf − fN k = 0,
(3.45)
N →∞
wobei der Abstand (Norm) zwischen f und fN durch das Skalarprodukt gegeben ist,
1
kf − fN k ≡ (f − fN , f − fN ) ≡
2L
2
Z
L
−L
dx|f (x) − fN (x)|2 .
(3.46)
Beispiel: Gibbsches Phänomen (web-animation) an Sprungstellen.
AUFGABE: Man beweise die Parsevalsche Gleichung (Vollständigkeisrelation)
für die komplexen Fourier-Reihen periodischer, integrierbarer Funktionen f auf [−L, L],
∞
X
1
|cn | =
2L
n=−∞
3.3
2
Z
L
dx|f (x)|2
(3.47)
−L
Die Diffusionsgleichung in einer Dimension
Dieses ist eine partielle Differentialgleichung (pDGL) für die Konzentration n(x, t) einer
Substanz als Funktion des Ortes x und der Zeit t,
∂2
∂
n(x, t) = D 2 n(x, t)
∂t
∂x
(3.48)
mit der Diffusionskonstanten D.
Die Diffusionsgleichung muss häufig Randbedingungen erfüllen, z.B.
n(x = 0, t) = n(x = L, t) = 0.
(3.49)
3. Einfache partielle Differentialgleichungen und Fourier-Analyse
30
Es kann auch die Stromdichte an den Rändern vorgegeben sein, z.B.
j(x = 0, t) = j0 ,
j(x = L, t) = jL .
(3.50)
Im Gegensatz zur Wellengleichung ist die Diffusionsgleichung von erster Ordnung in
der zeitlichen Ableitung. Deshalb gibt es nur eine Anfangsbedingung (AB) der Form
n(x, t = 0) = n0 (x),
3.3.1
Anfangsbedingung.
(3.51)
Herleitung der Diffusionsgleichung in einer Dimension
Diffusionsstrom mit Stromdichte j(x, t) fließt in Richtung de stärksten Konzentrationsgefälles,
j(x, t) = −D
∂
n(x, t),
∂x
1. Fick’sches Gesetz .
(3.52)
Ausserdem hat man
∂
∂
n(x, t) = − j(x, t), Kontinuitätsgleichung (1 Dimension) ,
(3.53)
∂t
∂x
die aus der Erhaltung der Masse folgt.
AUFGABE: Kontinuitätsgleichung (1 Dimension) durch Betrachten des TeilchenFlusses durch einen Querschnitts der Fläche A senkrecht zum Fluß.
Differenzieren des 1. Fick’sches Gesetzes nach x gibt die Diffusionsgleichung.
3.3.2
Lösung der Diffusionsgleichung
Wie bei der Wellengleichung erfolgt zunächst eine Trennung der Variablen (Separationsansatz),
n(x, t) = y(x)z(t)
y(x)z ′ (t) = z(t)Dy ′′ (x)
1
1 ′′
z ′ (t) =
y (x) ≡ −k2 ,
Dz(t)
y(x)
(3.54)
denn beide Seiten hängen von jeweils unabhängigen Variablen x und t ab, müssen also konstant sein. Die Konstante nennen wir −k2 . Beide Gleichungen sind gewöhnliche
lineare DGL mit allgemeiner Lösung
y(x) = α cos kx + β sin kx
(3.55)
−Dk 2 t
(3.56)
z(t) = e
Die Konstante k heisst Wellenvektor (hier einkomponentig, da wir in einer Dimension
sind). Die Randbedingungen z.B. für Stromdichte Null (es strömt nichts hinein oder
hinaus) lauten
j(x = 0, t) = j(x = L, t) = 0
β = 0,
k = kn = nπ/L.
(3.57)
Wir überlagern diese Lösungen als Fourier-Reihe, um die Anfangsbedingung zu erfüllen,
∂
n(x, t) =
AUFGABE: Formuliere die allgemeine Lösung der Diffusionsgleichung ∂t
2
∂
D ∂x2 n(x, t) mit RB j(x = 0, t) = j(x = L, t) = 0 und AB n(x, t = 0) = n0 (x).
3. Einfache partielle Differentialgleichungen und Fourier-Analyse
3.4
31
Unendliches Intervall: von Fourier-Reihen zur Fourier-Transformation
3.4.1
Motivation
In Fourier-Reihen für Lösungen der Diffusionsgleichung auf [0, L],
n(x, t) =
∞
X
2
e−Dkn t [an cos kn x + bn sin kn x] ,
kn = nπ/L,
(3.58)
n=0
fragen wir, was für L → ∞ passiert. Wir schreiben zunächst alles als komplexe FourierReihe,
n(x, t) =
∞
X
2
cn e−Dkn t eikn x
(3.59)
n=−∞
mit komplexen Koeffizienten cn .
Allgemein kann man in der Fourier-Entwicklung einer periodischen Funktion n(x) =
n(x + 2L) auf dem Intervall [−L, L],
n(x) =
∞
X
nπ
cn ei L x ,
(3.60)
n=−∞
fragen, was für L → ∞ passiert. Heuristisch gilt folgendes: wir betrachten das Integral
Z
∞
−∞
f (k)dk =
lim
L,N →∞
N
X
2π
f (kn ),
2L
kn = nπ/L,
Riemann-Summe .(3.61)
n=−N
2π
≡ ∆k die Feinheit der Unterteilung der Riemann-Summe, die das Integral
Hierbei ist 2L
für L, N → ∞ immer besser approximiert. Wir haben also den Übergang von der
diskreten Summe im k-Raum zum Integral,
Z ∞
N
1 X
1
f (nπ/L) =
f (k)dk,
L,N →∞ 2L
2π −∞
lim
(3.62)
n=−N
eine wichtige und in verschiedenen Gebieten (Quantenphysik, Festkörpertheorie, Strahlungstheorie,...) oft benutzte Formel. Beachte: Die Länge 2L des Intervalls geht im Vorfaktor im Limes L → ∞ in den Faktor 2π über. In den Fourierreihen haben wir nun
entsprechend den Übergang für L → ∞,
∞ Z L
∞
X
nπ
1 X
′
′ −i nπ
x
x′
i nπ
L
L
dx f (x )e
=
(3.63)
ei L x
cn e
f (x) =
2L n=−∞ −L
n=−∞
Z ∞
Z ∞
1
′
′ −ikx′
→
dx f (x )e
eikx
dk
2π −∞
−∞
Z ∞
1
dkf˜(k)eikx .
(3.64)
≡
2π −∞
3. Einfache partielle Differentialgleichungen und Fourier-Analyse
32
Hierbei ist also der Koeffizient cn mit diskretem Index n in den Koeffizienten f˜(k) mit
kontinuierlichem Index k übergegangen. Beachte, dass wir im Integral, welches f˜(k)
definiert, x′ als Integrationsvariable benutzten, da x bereits als Buchstabe vergeben ist.
Definition
f˜(k) ≡
f (x) =
Z
∞
−∞
1
2π
dxf (x)e−ikx ,
Z
∞
dkf˜(k)eikx ,
Fourier-Transformierte von f (x)
Fourier-Darstellung
(3.65)
(3.66)
−∞
• Man bezeichnet die Fourier-Transformierte f˜(k) von f (x) manchmal auch als
Fourier-Hintransformation und die Darstellung von f (x) mittels f˜(k) als FourierRücktransformation.
• Beachte die Aufteilung des Faktors 1/2π: in der Physik wird das meist so wie oben
(unsymmetrisch) definiert.
In der Mathematik definiert man das meist symmetrisch
√
mit zwei Faktoren 1/ 2π.
• Ebenfalls beachte (und memoriere) man die Vorzeichen ∓ikx bei Hin- und Rücktransformation.
• Selbstverständlich haben wir hier überhaupt nicht über Konvergenz- und Existenzfragen gesprochen (LITERATUR: Forster, Analysis III).
3.4.2
Orts- und Impulsraum (k-Raum), Zeit-Domäne und Frequenzraum
Ein in der Physik häufige Bezeichnung: Eine Funktion f (x) sei im Ortsraum definiert,
d.h. x sei eine Ortsvariable. Dann bezeichnet man
f (x) ,
f˜(k) ,
Darstellung von f im Ortsraum
(3.67)
Darstellung von f im Impulsraum (k-Raum)
(3.68)
Beide Darstellungen sind äquivalent, da sie ja Fouriertransformierte (FT) voneinander
sind. Die Bezeichnung Impulsraum kommt aus der de-Broglie-Beziehung p = ~k der
Quantenmechanik mit ~ ≡ h/2π und dem Planck’schen Wirkungsquantum h. Wenn es
nicht um Quantenmechanik geht, spricht man besser vom k-Raum oder dem Raum der
Wellenvektoren.
Analog definiert man die FT einer Funktion f (t) der Zeit,
Z ∞
˜
dtf (t)eiωt , Fourier-Transformierte von f (t)
(3.69)
f (ω) ≡
−∞
Z ∞
1
dω f˜(ω)e−iωt , Fourier-Darstellung .
(3.70)
f (t) =
2π −∞
3. Einfache partielle Differentialgleichungen und Fourier-Analyse
33
Hierbei sind die Vorzeichen im Exponenten der FT im Vergleich zur FT vom Orts in
den Impulsraum genau anders herum (Konvention). Man bezeichnet
f (t) ,
f˜(ω) ,
Darstellung von f in der Zeit-Domäne
(3.71)
Darstellung von f im Frequenzraum.
(3.72)
Wiederum sind beide Darstellungen äquivalent. Manchmal spricht man auch von Originalbereich (z.B. f (t)) und Bildbereich (z.B. f˜(ω)).
Häufig hat man auch Fouriertransformationen in zwei Variablen, z.B. Ort und Zeit:
Z ∞Z ∞
ũ(k, ω) ≡
dxdtu(x, t)ei(ωt−kx) , Fourier-Transformierte von u(x, t)
(3.73)
−∞ −∞
Z ∞Z ∞
1
dkdω ũ(k, ω)e−i(ωt−kx) , Fourier-Darstellung . (3.74)
u(x, t) =
(2π)2 −∞ −∞
Jetz sehen wir auch den Sinn der Vorzeichen-Konvention: in der Fourier-Darstellung
haben wir zeitabhängige ebene Wellen e−i(ωt−kx) !
3.4.3
Fouriertransformation: Beispiel Gauß-Funktion
Die Gauß-Funktion ist definiert als eine Wahrscheinlichkeitsdichte p(x),
p(x) ≡ √
1
2πσ 2
e−
(x−x0 )2
2σ 2
,
σ > 0,
(3.75)
z.B. für das Auffinden eines Teilchens am Ort x. Hierbei ist
p(x)dx
(3.76)
die Wahrscheinlichkeit, das Teilchens im Intervall [x, x + dx] zu finden. Es gilt
Z ∞
dxp(x) = 1, Normierung
(3.77)
−∞
was mit
Z
∞
−∞
−ax2 +bx
dxe
=
r
π b2
e 4a ,
a
a>0
(3.78)
gezeigt werden kann.
R∞
√
2
AUFGABE: Beweise diese Formel unter Ausnutzung von −∞ dxe−x = π.
Wir berechnen für x0 = 0 (Mittelwert Null) die Fouriertransformierte von p(x) (AUFGABE)
Z ∞
2
1 2 2
1
− x2
2σ
√
p(x) =
dxp(x)e−ikx = e− 2 σ k .
p̃(k) ≡
e
(3.79)
2
2πσ
−∞
Die Fouriertransformierte einer Gauß-Funktion ist also bis auf den Vorfaktor wieder eine
Gauß-Funktion.
3. Einfache partielle Differentialgleichungen und Fourier-Analyse
• Breite Gauß-Funktion p(x) im Ortsraum, d.h. große σ
mierte p̃(k) im k-Raum.
34
schmale Fouriertransfor-
• Schmale Gauß-Funktion p(x) im Ortsraum, d.h. kleine σ
mierte p̃(k) im k-Raum.
breite Fouriertransfor-
Je schärfer die Verteilung p(x) im Ortsraum, desto unschärfer (breiter) wird sie im kRaum. Umgekehrt: je unschärfer die Verteilung p(x) im Ortsraum, desto schärfer (schmaler) wird sie im k-Raum.
AUFGABE: Berechne die Fouriertransformierte der Kastenfunktion f (−a ≤ x ≤
a) = 1, f (|x| > a) = 0, a > 0, und diskutiere das Ergebnis.
3.4.4
Die Delta-Distribution
LITERATUR: Forster, Analysis III. Im Grenzfall verschwindender Breite σ der GaußFunktion definiert man zunächst heuristisch
δ(x − x0 ) ≡ lim √
σ→0
1
2πσ 2
e−
(x−x0 )2
2σ 2
,
(Dirac) Delta-Distribution
in dem Sinne, dass bei Integration über ‘gutartige’ Funktionen f (x)
Z ∞
Z ∞
(x−x0 )2
1
e− 2σ2 f (x) = f (x0 )
dxδ(x − x0 )f (x) = lim
dx √
σ→0 −∞
2πσ 2
−∞
(3.80)
(3.81)
gilt. Diese Operation ist ein Funktional (einer Funktion f wird ein Wert f (x0 ) zugeordnet), aus historischen Gründen spricht man in der Physik aber von der (Dirac’schen)
Delta-Funktion. Die Darstellung Gl. (3.80) ist nicht die einzige: es gilt z.B. auch
Z ∞
1
dke−ik(x−x0 ) .
(3.82)
δ(x − x0 ) =
2π −∞
AUFGABE: Beweis von Gl. (3.82) mittels der Definition der Fouriertransformation einer
Funktion f (x).
3.4.5
Einige Eigenschaften der Fourier-Transformation
LITERATUR: BRONSTEIN. FORSTER Analysis III.
Wir betrachten eine Funktion f (t) und bezeichnen ihre FT mit Hilfe des Operators
(Abbildung) F : f → f˜,
Z ∞
dtf (t)eiωt .
(3.83)
F[f ](ω) ≡ f˜(ω) ≡
−∞
Es gilt (AUFGABE)
F[αf + βg] = αF[f ] + βF[g],
′
F[f ](ω) = −iωF[f ](ω),
iωt0
F[f (t − t0 )](ω) = e
Linearität.
Differentiation im Originalbereich.
F[f (t)](ω),
Verschiebungssatz.
(3.84)
(3.85)
(3.86)
3. Einfache partielle Differentialgleichungen und Fourier-Analyse
35
Häufig hat man es z.B. in der Signalverarbeitung mit sogenannten Faltungsintegralen
zu tun,
Z ∞
dτ f1 (τ )f2 (t − τ ), Faltungsintegral .
(3.87)
(f1 ∗ f2 )(t) ≡
−∞
So kann f1 (t) z.B. das Originalsignal darstellen, das aber durch eine Apparatur noch zeitverzögert und verändert wird, was durch die Integration über f2 zum Ausdruck kommt.
Weitere physikalische Anwendungen solcher Faltungsintegrale sind Systeme, die mit einer Umgebung zeitverzögert wechselwirken, z.B. dissipative Systeme (mikroskopische
Modelle für Reibung).
Für die FT von Faltungsintegralen gilt der wichtige Faltungssatz (Beweis als AUFGABE)
F[f1 ∗ f2 ] = F[f1 ]F[f2 ]
(3.88)
Die Faltung im Originalbereich wird also zu einem gewöhnlichen Produkt im Bildbereich.
3.4.6
Lösung von pDGL mit Fouriertransformation
Wir lösen die Diffusionsgleichung in einer Dimension als Anfangswertproblem
∂2
∂
n(x, t) = D 2 n(x, t),
∂t
∂x
n(x, 0) = n0 (x)
durch Fouriertransformation,
Z ∞
Z ∞
∂2 1
∂ 1
ikx
dkñ(k, t)e
= D 2
dkñ(k, t)eikx
∂t 2π −∞
∂x 2π −∞
Vertauschen von Differentiation und Integration führt einfach auf
Z ∞
1
∂
2
0 =
ñ(k, t) + Dk ñ(k, t) eikx .
dk
2π −∞
∂t
(3.89)
(3.90)
(3.91)
Das diese Gleichung für alle x gelten muß, folgt
∂
ñ(k, t) + Dk2 ñ(k, t) = 0
∂t
2
2
ñ(k, t) = ñ(k, t = 0)e−Dk t = ñ0 (k)e−Dk t .
(3.92)
(3.93)
Für gegebenes Anfangsprofil n0 (x) wird ñ0 (k) durch FT berechnet und dann mittels
Fourier-Rücktransformation n(x, t).
AUFGABE: Löse die Diffusionsgleichung in einer Dimension auf (−∞, ∞), Gl. (3.89),
für n0 (x) =
√ n̄ e−
2πσ2
(x−x0 )2
2σ 2
mit reellem x0 und n̄. Interpretiere das Ergebnis physikalisch.
3. Einfache partielle Differentialgleichungen und Fourier-Analyse
3.4.7
36
ANWENDUNG QUANTENMECHANIK: Lösung der
Schrödingergleichung
Die Schrödingergleichung eines freien Teilchens der Masse m, das sich in einer Dimension
bewegt, lautet
i~
~2 ∂ 2
∂
Ψ(x, t) = −
Ψ(x, t),
∂t
2m ∂x2
Ψ(x, 0) = Ψ0 (x).
(3.94)
Hierbei ist Ψ(x, t) die Wellenfunktion des Teilchens, und
|Ψ(x, t)|2 dx ≡ p(x, t)dx
(3.95)
ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Intervall [x, x + dx] zu finden.
Wie bei der Diffusionsgleichung können wir diese Gleichung wieder durch Separationsansatz und mittels Fourier-Reihen auf einem endlichen Intervall lösen. Auf dem
unendlichen Intervall (−∞, ∞) geht das am einfachsten durch Fouriertransformation.
AUFGABE: Löse die Schrödingergleichung in einer Dimension auf (−∞, ∞) für ein
gegebenes Ψ0 (x). Interpretiere das Ergebnis physikalisch.
4. KURVEN UND KRUMMLINIGE
KOORDINATEN
Wiederum ausgehend von der Newtonschen Mechanik von Massenpunkten, kann man
einen grossen Teil der Differentialgeometrie (Kurven, Fächen, Ableitungen etc.) physikalisch anschaulich erklären.
4.1
Kurven und Kinematik eines Massenpunktes
Eine Kurve im Rd ist eine stetige Abbildung t → r(t), also eine einparametrige Schar
von Vektoren, wobei t in der Physik meistens ein Zeitparameter ist. Meist fordert man
auch Differenzierbarkeit.
Zwei Gesichtspunkte:
1. Kurven als rein geometrische Objekte (Beispiel: Modell für DNA-Doppelhelix).
2. Kurven als Trajektorien von Massepunkten (Testmassen), die sich in Kraftfeldern
bewegen.
4.1.1
Bahn eines Massenpunktes. Geschwindigkeit, Beschleunigung
r(t) sei der Ort eines Massenpunktes zur Zeit t. Beispiele:
a cos ωt
r(t) =
, Ellipse in d = 2 .
b sin ωt
Kurven können sich schneiden, z.B.
2
t −1
r(t) =
,
t3 − t
(4.1)
(4.2)
oder Spitzen haben, z.B.
r(t) =
t2
t3
,
Neilsche Parabel,
(4.3)
(Skizzen), vgl. FORSTER, Analysis II.
Geschwindigkeit und Beschleunigung sind einfach die Ableitungen
v(t) ≡ ṙ(t),
a(t) ≡ r̈(t),
Geschwindigkeit
(4.4)
Beschleunigung .
(4.5)
4. Kurven und Krummlinige Koordinaten
38
c
Abbildung 4.1: Krümmung. Verlag
Harri Deutsch (Bronstein, Taschenbuch der Mathematik
6. Auflage 2006.)
Der Vektor v(t) ist der Tangentialvektor an die Kurve im Punkt r(t) (Skizze).
Beispiel






− sin t
− cos t
cos t
r(t) =  sin t  , v(t) =  cos t  , a(t) =  − sin t  .
1 2
t
1
2t
4.1.2
(4.6)
Die Bogenlänge s
Es stellt sich als zweckmässig heraus, Kurven durch die Bogenlänge s zu parametrisieren.
Die Länge eines Kurvenstückes berechnet man durch Integration der infinitesimalen
Beträge von
Z t
ds ≡ |dr| = |v|dt
s(t; t0 ) =
dt′ |v(t′ )|.
(4.7)
t0
Wir nehmen jetzt die Bogenlänge s statt der Zeit t als Kurvenparameter, d.h. wir beschreiben die Kurve als
r̃(s) = r(t(s)).
(4.8)
Ableiten nach s ergibt
d
t(s) ≡ r̃(s) =
ds
d
dt
v(t(s))
r(t)
=
,
dt
ds
|v(t(s))|
(4.9)
wobei man hier ebenfalls zur Unterscheidung v(t), v(t(s)) eigentlich andere Symbole (Tilde) benutzen müsste - wir lassen die Tilde aber im Folgenden der Übersichtlichkeit halber
weg. Der Tangentialvektor t(s) ist also einfach der Einheits-Geschwindigkeitsvektor in
Parametrisierung mit der Bogenlänge s.
Jetzt definiert man weiter
dt(s) dt(s) n(s) =
/
, Normalenvektor
(4.10)
ds ds 4. Kurven und Krummlinige Koordinaten
39
Dieser steht senkrecht auf dem Tangentialvektor t(s), denn
1 = t(s) · t(s)
0=
dt(s)
· t(s).
ds
(4.11)
Der Betrag K ≡ dt(s)
ds gibt die Abweichung von einer Geraden an und wird als Krümmung
der Kurve im Punkt r̃(s),
∆t dt(s) d2 r(s) , Krümmung ,
K ≡ lim (4.12)
=
=
P N →0 P N ds ds2 definiert, vgl. die Skizze. Beachte: das ist der Betrag der zweiten Ableitung von r in der
Bogenlängen-Parametrisierung, nicht a(t) = r̈(t). Man definiert weiterhin
R≡
1
,
K
Krümmungsradius.
(4.13)
Beachte: K ist i.A. an jedem Punkt der Kurve verschieden, also eine Funktion von t
bzw. s. Die Krümmung erhalten wir direkt aus (AUFGABE)
dt(s) v2 a2 − (va)2
=
.
(4.14)
K=
ds v6
Die Geschwindigkeit und Beschleunigung lassen sich mittels der lokalen Einheitsvektoren t und n an der Kurve ausdrücken:
dr̃(s) ds
dr(t)
=
= v(t)t(s(t))
dt
ds dt
dv(t)
d
dt(s) ds
a(t) =
= [v(t)t(s(t))] = v̇(t)t(s(t)) + v(t)
dt
dt
ds dt
2
v (t)
= v̇(t)t(s(t)) +
n(s(t)).
R
v(t) =
(4.15)
(4.16)
Die Geschwindigkeit ist also einfach der Tangentialvektor t multipliziert mit dem
Betrag v(t). Die Beschleunigung hat eine tangentiale Komponente mit Betrag v̇(t)
(Tangentialbeschleunigung) und eine Komponente in Normalenrichtung senkrecht
2
dazu mit Betrag v R(t) (Zentripetalbeschleunigung).
4.1.3
Begleitendes Dreibein
Wir können den normierten Tangentialvektor und Normalenvektor an einem Punkt der
Kurve direkt in der Zeitparametrisierung berechnen,
t(t) =
v(t)
v(t)
≡
,
|v(t)|
v(t)
n(t) =
d
dt t(t)
.
d
| dt
t(t)|
(4.17)
4. Kurven und Krummlinige Koordinaten
40
Alles ist konsistent mit der obigen Herleitung in der Parametrisierung durch die Bogenlänge s:
v(t) = v(t)t(t)
(4.18)
d
dt(t)
d
a(t) =
[v(t)t(t)] = v̇(t)t(t) + v(t)
= v̇(t)t(t) + v(t) t(t) n(t)
dt
dt
dt
v 2 (t)
n(t),
(4.19)
= v̇(t)t(t) +
R
denn
d
d
ds
t(t) = t(s)
dt
ds
dt
d
t(t) = Kv(t) = v(t) ,
dt
R
(4.20)
und wir erhalten die gleichen Ausdrücke wie in Gl. (4.16).
Wir definieren für d = 3 ein lokales Dreibein
t,
n,
b ≡ t×n
(4.21)
an jedem Punkt der Kurve. Dabei heisst der Vektor b Binormalenvektor, wobei das
Vektorprodukt zweier Vektoren nur im R3 definiert wird. Wir berechnen die Ableitung
von b(s) in Bogenlängen-Parametrisierung,
db(s)
ds
= ṫ(s) × n(s) + t(s) × ṅ(s) = t(s) × ṅ(s),
(4.22)
denn ṫ(s) ∝ n. Es gilt also
ḃ(s) ⊥ b(s), t(s)
ḃ(s) = −τ n(s),
(4.23)
d.h. ḃ(s) zeigt in Richtung des Normalenvektors, und der zugehörige Vorfaktor τ wir als
Torsion bezeichnet. Die Torsion ist ein Maß für die Schraubung der Raumkurve aus der
von t und n aufgespannten Ebene.
AUFGABE: Wiederholung Vektorprodukt. Determinanten-Formel.
AUFGABE: Zeigen Sie für drei Vektoren (Bronstein 3.5.1.4. S. 190) die ‘bac-cab’Formel
a × (b × c) = b(ac) − c(ab).
(4.24)
AUFGABE: Zeigen Sie für den Binormalenvektor b und den Normalenvektor n den
Zusammenhang mit Geschwindigkeit v und Beschleunigung a,
b =
n =
v×a
|v × a|
(v × a) × v
.
|(v × a) × v|
(4.25)
(4.26)
4. Kurven und Krummlinige Koordinaten
41
AUFGABE: Leiten Sie in den Frenetschen Formeln
ṫ(s) = Kn(s)
(4.27)
ṅ(s) = −Kt(s) + τ b(s)
(4.28)
ḃ(s) = −τ n(s)
(4.29)
die Gleichung für ṅ(s) her. Krümmung K und Torsion τ bestimmen also die Richtungsänderung der Einheitsvektoren des begleitenden Dreibeins beim ‘Entlangfahren’
auf der Kurve.
Web-Animationen und Info (Stand März 2008)
http://www.iag.uni-hannover.de/ greite/ingSS07/dateien/maple/MI 7 4.html
http://www.ottmarlabonde.de/L1/Schmiegeebene.html
http://de.wikipedia.org/wiki/Frenetsche Formeln
4.2
Krummlinige Koordinaten
Wie führen zunächst die Begriffe ’kovariante und kontravariante Basis und Koordinaten’
ein, um auch für später Differentialoperationen in krummlinigen Koordinaten vorzubereiten.
4.2.1
Kovariante und kontravariante Basis
LITERATUR: E. Klingbeil, ’Tensorrechnung für Ingenieure’.
Sei gi , i = 1, ..., n eine Basis des Rn . Wir konstruieren eine zweite Basis mit Indizes
oben, gi , i = 1, ..., n so dass die Skalarprodukte
gi gj = δij
(4.30)
erfüllen, wobei wir auch im Kronecker-Delta einen der Indizes oben schreiben. Wir führen
Bezeichnungen ein,
gi ,
kovariante Basis
(4.31)
gi
kontravariante Basis.
(4.32)
,
Weiterhin definieren wir die Matrix der Skalarprodukte
gij
g
ij
≡ gi gj ,
kovariante Metrikkoeffizienten
(4.33)
i j
≡ gg ,
kontravariante Metrikkoeffizienten.
(4.34)
P
Wir können die gi durch eine Linearkombination der gj , gi = j Aij gj ausdrücken und
erhalten (AUFGABE)
gi =
gi =
n
X
j=1
n
X
j=1
gij gj ≡ gij gj
(4.35)
gij gj ≡ gij gj .
(4.36)
4. Kurven und Krummlinige Koordinaten
42
Für eine gegebene Basis gi berechnet man die kovariante Metrikkoeffizienten einfach
durch die Skalarprodukte gi gj . Die kontravariante Metrikkoeffizienten und damit die
kontravariante Basis erhält man durch Invertieren der Matrix gij , denn
gi = gik gk
δij = gik gk gj = gik gkj .
(4.37)
AUFGABE:
1. Berechne die kontravariante Basis und die Metrikkoeffizienten zur kovarianten
Basis g1 = e1 , g2 = e1 + e2 des R2 .
2. Berechne die kontravariante Basis und die Metrikkoeffizienten zur kovarianten
Basis g1 = e1 , g2 = e1 + e2 , g3 = e1 + e2 + e3 des R3 .
Vektoren x des Rn kann man jetzt sowohl in der kovarianten als auch in der kontravarianten Basis ausdrücken:
x = xi gi ,
i
x = xi g ,
xi : kontravariante Komponenten von x
(4.38)
xi : kovariante Komponenten von x.
(4.39)
AUFGABE: Zeigen Sie die Regel für das Herauf- und Herunterziehen von Indizes
mit den Metrikkoeffizienten,
xi = gij xj
4.2.2
xi = gij xj .
(4.40)
ANWENDUNG FESTKÖRPERPHYSIK: reziprokes Gitter
LITERATUR: N. W. Ashcroft, N. D. Mermin, ’Solid State Physics’. E. Klingbeil, ’Tensorrechnung für Ingenieure’.
Im R3 sei gi die (kovariante) Basis eines Gitters B aus Punkten x = ni gi mit ganzen
Zahlen ni . Solch ein Gitter wird auch als Bravais-Gitter bezeichnet. Es ist ein Gitter
im Ortsraum.
Bei der Analyse von Bravais-Gittern benutzt man häufig Streuexperimente (z.B. mit
Photonen, Neutronen, Elektronen etc.), die einer Fourieranalyse mit ebenen Wellen
Ψk (r) = eikr
(4.41)
entsprechen. Man definiert das reziproke Gitter R als die Menge aller k mit
Ψk (r) = Ψk (r + x),
x ∈ B,
(4.42)
denn für solche k-(Differenz)vektoren man bekommt konstruktive Interferenz (von-LaueBedingung).
Das reziproke Gitter ist ein Gitter im k-Raum. Seine k-Vektoren müssen also
eikx = 1,
x∈B
kx = 2πm
(4.43)
mit einer ganzen Zahl m erfüllen. Wir definieren die kontravariante Basis gi des reziproken Gitters mit gi gj = δij und schreiben die k-Vektoren als
k = 2πki gi
kx = 2πki gi nj gj = 2πki ni ,
(4.44)
4. Kurven und Krummlinige Koordinaten
43
wobei der Faktor 2π herausgezogen wurde, so dass die kovarianten Koeffizienten von k
also 2π mal eine ganze Zahl ki sein müssen, damit m eine ganze Zahl ist.
Die kontravariante Basis erhält man mittels Kreuzprodukt (AUFGABE),
g1 =
g2 × g3
,
g1 (g2 × g3 )
g2 =
g3 × g1
,
g1 (g2 × g3 )
g3 =
g1 × g2
.
g1 (g2 × g3 )
(4.45)
Oft definiert man den Faktor 2π auch in die Basis gi hinein und die kovarianten Koeffizienten von k ohne den Faktor 2π. Wir haben also zusammenfassend
x = ni gi ∈ B,
i
Gitter im Ortsraum
k = 2πki g ∈ R,
(4.46)
reziprokes Gitter
(4.47)
Die Vektoren des reziproken Gitters können als Linearformen aufgefasst werden: sie
wirken auf Vektoren des Gitters im Ortsraum gemäß Gl. (4.43) als spezielle Linearformen,
x → kx = 2πm.
Die kontravariante Basis gi ist also eine Basis des Raums (Dualraum), der dual zu
dem von der kovarianten Basis gi aufgespannten Raum ist.
4.2.3
Polarkoordinaten
Wir betrachten diese als erstes konkretes Beispiel für eine Beschreibung in krummlinigen
Koordinaten. Solche Koordinaten vereinfachen häufig die Lösung physikalischer Probleme stark, wenn sie z.B. der Symmetrie des Problems angepasst sind. Für kugelsymmetrische Probleme im R3 verwendet man Kugelkordinaten (sphärische Polarkoordinaten,
eng. spherical polar coordinates (polars).
Wir schreiben den Ortsvektor als (SKIZZE)


r cos φ sin θ
r =  r sin φ sin θ  , sphärische Polarkoordinaten.
(4.48)
r cos θ
Wir definieren ein lokales Dreibein im Punkt r durch die
drei Kurven


r(t) cos φ sin θ
d 
r(t) sin φ sin θ 
θ, φ = const
tr =
dt
r(t) cos θ


r cos φ(t) sin θ
d 
r sin φ(t) sin θ 
θ, r = const
tφ =
dt
r cos θ


r cos φ sin θ(t)
d 
r sin φ sin θ(t) 
φ, r = const
tθ =
dt
r cos θ(t)
drei Tangentialvektoren an die


cos φ sin θ
er ≡  sin φ sin θ 
cos θ


− sin φ
eφ ≡  cos φ 
0


cos φ cos θ
eθ ≡  sin φ cos θ 
− sin θ
(4.49)
(4.50)
(4.51)
Wir erhalten drei orthogonale, lokale Basisvektoren er , eθ , eφ also durch einfache Differentiation nach jeweils einem der Parameter r, θ, φ und Normieren.
4. Kurven und Krummlinige Koordinaten
44
Es folgt für die Geschwindigkeit in Polarkoordinaten
d
[r(t)er (t)] = ṙer + r e˙r
dt
= ṙer + r φ̇ sin θeφ + r θ̇eθ .
v = ṙ(t) =
(4.52)
(4.53)
Daraus folgt z.B. die kinetische Energie eines freien Teilchens der Masse m (hier gleich
der Lagrange-Funktion L),
1
m 2
L = mv2 =
ṙ + r 2 θ̇ 2 + r 2 sin2 θ φ̇2 .
2
2
(4.54)
1/2
dt,
ds = |dr|dt = |v|dt = ṙ 2 + r 2 θ̇ 2 + r 2 sin2 θ φ̇2
(4.55)
Die Bogenlänge für eine Kurve in Polarkoordinaten folgt dann als
was man häufig als
ds2 = ṙ 2 + r 2 θ̇ 2 + r 2 sin2 θ φ̇2 dt2 = dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin2 θdφ2
(4.56)
schreibt. Allgemein definiert man für beliebige andere Koordinatentripel (x1 , x2 , x3 ) das
Quadrat des Bogenlängenelements (metrische Fundamentalform)
ds2 =
3
X
gαβ (xν )dxα dxβ , ν = 1, 2, 3.
(4.57)
α,β=1
mit dem metrischen Tensor gαβ (xν ) .
AUFGABE: Berechne die Beschleunigung in Polarkoordinaten.
4.2.4
Beliebige Basis, Metrik-Tensor
Es seien jetzt krummlinige Koordinaten in d Dimensionen gegeben, die kontravarianten
Komponenten xk des Ortsvektors r also Funktionen
X
r=
xk (u1 , u2 , ..., ud )ek
(4.58)
k
mit der üblichen festen kovarianten Einheitsbasis {ek }.
Eine lokale kovariante Basis {gi } im Punkt r erhält man durch Differentiation,
gi ≡
X ∂xk
∂r
=
ek .
∂ui
∂ui
(4.59)
k
Tatsächlich ist das eine Basis im Punkt r, falls
det(g1 , ..., gd ) 6= 0.
(4.60)
4. Kurven und Krummlinige Koordinaten
45
Entsprechend gilt dann die Umkehrung
ek =
X ∂uj
gj .
∂xk
(4.61)
j
AUFGABE: Beweis dieser Umkehrung.
Für die Geschwindigkeit eines Teilchen auf einer Kurve durch r hat man (Kettenregel)
v = ṙ =
X ∂xk
ki
∂ui
u̇i ek =
X
u̇i gi
(4.62)
i
Für die Bogenlänge ds folgt damit

1/2

1/2
X
X
gi · gj u̇i u̇j  dt ≡ 
gij u̇i u̇j  dt,
ds = |v|dt = 
ij
wobei
gij ≡ gi · gj =
(4.63)
ij
∂r ∂r
·
,
∂ui ∂uj
metrischer Tensor
(4.64)
durch das gewöhnliche Skalarprodukt der zwei Vektoren gi , gj berechnet wird. Es folgt
also sofort die Symmetrie des metrischen Tensors,
gij = gji .
Der Abkürzung halber schreibt man meistens
X
gij dui duj .
ds2 =
(4.65)
(4.66)
ij
AUFGABE:
1. Berechne den metrischen Tensor gij für Polarkoordinaten in d = 3.
2. Berechne den metrischen Tensor und die Geschwindigkeit in Zylinderkoordinaten
in d = 3,


r cos φ
r =  r sin φ  , Zylinderkoordinaten.
(4.67)
z
4.2.5
Beschleunigung und Christoffel-Symbole
Für die Beschleunigung eines Teilchen auf einer Kurve durch r hat man (Kettenregel)
X
a = v̇ =
üi gi + u̇i ġi ,
(4.68)
i
4. Kurven und Krummlinige Koordinaten
46
wir benötigen also die Ableitung der lokalen Basisvektoren ġi und wollen natürlich alles
wieder in der lokalen Basis am Punkt r ausdrücken,
ġi =
X ∂gi
X
u̇j ≡
Γlij gl u̇j .
j
∂u
j
(4.69)
lj
Die Christoffel-Symbole Γlij folgen schlicht aus der Definition,
∂gi
∂uj
=
X ∂ 2 xk
X ∂ 2 xk ∂ul
e
=
gl
k
∂uj ∂ui
∂uj ∂ui ∂xk
k
Γlij =
(4.70)
kl
X ∂ 2 xk ∂ul
,
∂uj ∂ui ∂xk
Christoffel-Symbol .
(4.71)
k
Damit haben wir für die Beschleunigung
r̈ =
X
üi gi + u̇i ġi =
i
r̈ =
X
l

ül +
X
ij
X
i


üi gi + u̇i
X
lj

Γlij gl u̇j 
u̇i u̇j Γlij  gl .
Wenn wir Newton’s Gesetz F = mr̈ in der lokalen Basis (F =
erhalten wir also
f l = m ül + u̇i u̇j Γlij
(4.72)
(4.73)
P
l
f l gl ) ausdrücken,
(4.74)
in Einsteinscher Summationskonvention: über gemeinsame Indizes wird summiert.
LITERATUR: H. STEPHANI, ‘Allgemeine Relativitätstheorie’; J. G. SIMMONS,
‘A Brief on Tensor Analysis’; E. KLINGBEIL, ‘Tensorrechnung für Ingenieure’.
5. VEKTORANALYSIS
5.1
Vektorfelder
Definition Eine Abbildung
Rn → Rm ,
x ≡ (x1 , ..., xn )T → f (x) ≡ (f1 (x1 , ..., xn ), ..., fm (x1 , ..., xn ))T
(5.1)
heißt m-dimensionales Vektorfeld.
Jedem Vektor x wird ein Vektor f (x) zugeordnet. Für m > 1 hat man tatsächlich einen
Vektor f (und keinen Skalar).
Definition Der Spezialfall m = 1,
Rn → R,
x ≡ (x1 , ..., xn )T → f (x) ≡ f (x1 , ..., xn )
(5.2)
heißt skalares Feld (Skalarfeld).
Im Druckbild schreibt man das f in Skalarfeldern f (x) nicht fett, in Vektorfeldern f (x)
schreibt man es fett.
AUFGABE: Skizziere die Skalarfelder n = 2
f (x, y) = x2 + y 2 − 1,
g(x, y) = x2 − y 2 .
(5.3)
AUFGABE: Skizziere das Vektorfeld
f (x, y) = (y, −x).
5.2
5.2.1
(5.4)
Gradient
Definition
Sei f : Rn → R eine skalare, reelle Funktion von n Variablen,
x → f (x),
x = (x1 , ..., xn )T ,
skalares Feld f
(5.5)
Für differenzierbare Funktionen definieren wir die Richtungsableitung in Richtung
eines Einheitsvektors v,
Dv f (x) ≡
∂
f (x + tv) − f (x)
f (x) ≡ lim
.
t→0
∂v
t
(5.6)
5. Vektoranalysis
48
Die Richtungsableitung ist also einfach die Ableitung der Funktion f entlang der Raumkurve t → x + tv.
BEISPIEL und INTERPRETATION: f : R2 → R Skalarfeld, die Werte von f bilden
einen ‘Teppich’ über der x-y-Ebene. Vom Punkt x fahren wir eine Strecke tv in vRichtung (Geschwindigkeit v). Die Richtungsableitung beschreibt, wie stark sich der
Wert von f dabei ändert.
Wir berechnen die Richtungsableitung mit Hilfe der Kettenregel:
d
∂
f (x) =
f (x + tv)
∂v
dt
t=0
n
X
d
∂
d
f (x1 + tv1 , ..., xn + tvn )
f (x) (xi + tvi )
=
=
dt
∂xi
dt
t=0
=
n
X
i=1
vi
t=0
i=1
∂
f (x) = v∇f (x),
∂xi
(5.7)
wobei wir den Gradienten
∇f (x) ≡
∂
∂
f (x), ...,
f (x)
∂x1
∂xn
(5.8)
definiert haben. Die Richtungsableitung ist also durch das Skalarprodukt gegeben,
∂
f (x) = (∇f (x), v),
∂v
Richtungsableitung und Gradient.
(5.9)
Bemerkungen:
• Der Gradient im Punkt x ist selbst ein n-dimensionaler ’Vektor’ (siehe aber auch
unten). Die Abbildung x → ∇f (x) ordnet jedem Vektor x einen Vektor ∇f (x) zu,
ist also ein Vektorfeld.
• Die Richtungsableitung ist wegen des Skalarprodukts maximal, wenn v und ∇f (x)
die gleiche Richtung haben. Der Gradient gibt deshalb die Richtung des stärksten
Anstiegs von f an.
• In einem festen Punkt x ordnet der Gradient ∇f (x) jedem Vektor v die reelle Zahl
(∇f (x), v) zu, nämlich die Richtungsableitung von f in Richtung v: so gesehen ist
∇f (x) also eine Linearform.
5.2.2
Der Gradient in krummlinigen Koordinaten
Wir betrachten die Ableitung einer Funktion f : Rn → R entlang einer Kurve x(t). In
kartesischen Koordinaten gilt nach der Kettenregel
n
X ∂
dxi
d
f (x(t)) =
= (∇f (x), v),
f (x)
dt
∂xi
dt
i=1
v ≡ ẋ.
(5.10)
5. Vektoranalysis
49
Jetzt beschreiben wir diese Kurve in krummlinigen Koordinaten uj , so dass xi = xi (uj )
(wir unterscheiden wieder zwischen ko- und kontravarianten Koordinaten). Wir bilden
die Ableitung der Funktion in krummlinigen Koordinaten
n
X ∂ dui
d
f (u1 (t), ..., un (t)) =
f
≡ (∇f, v),
dt
∂ui dt
(5.11)
i=1
was wegen v = u̇j gj auf
∇f =
∂f i
g,
∂ui
Gradient in krummlinigen Koordinaten
(5.12)
führt, denn wegen gi gj = δji gilt
(∇f, v) =
∂f i j
∂f i
g u̇ gj =
u̇ .
i
∂u
∂ui
(5.13)
An der Darstellung Gl. (5.12) erkennt man, dass der Gradient im Punkt x = x(u1 , ..., un )
eine Linearform ist, die auf Vektoren v wirkt. Deshalb schreibt sich ∇f als Linearkombinationen der kontravarianten Basisvektoren gi . Man kann ∇f aber auch wieder als
Vektor auffassen, wenn man die gi durch die gj ausdrückt. Häufig möchte man ∇f in
einer normierten Basis gj mit |gj | = 1 ausdrücken, d.h. man definiert
gj
|gj |
(5.14)
∂f ij
∂f ij
∂f i
g =
g gj =
g |gj |gj∗ .
∂ui
∂ui
∂ui
(5.15)
gj∗ ≡
und schreibt
∇f =
Für orthogonale Koordinaten ist der Metriktensor diagonal,
gij = δij |gi |2
gij = δij
1
,
|gi |2
(5.16)
und der Gradient wird
∇f =
∂f gi∗
,
∂ui |gi |
orthogonale Koordinaten, normierte Basis.
(5.17)
In der kartesischen Basis ist natürlich wegen gi = gi = ei alles einfacher und man
braucht die Unterscheidung ko- und kontravariant nicht wirklich.
AUFGABE:
1. Berechne den Gradienten in Polarkoordinaten im R3 , ausgedrückt in der normierten kovarianten Basis.
2. Berechne den Gradienten in Zylinderkoordinaten im R3 , ausgedrückt in der normierten kovarianten Basis.
5. Vektoranalysis
5.3
5.3.1
50
ANWENDUNG MECHANIK: Kraft, Gradient und Potential
Konservative Kraftfelder
Die Kraft F(x) auf ein Punktteilchen der Masse m am Ort x ist ein Vektorfeld, z.B. in
drei Dimensionen. Die Newtonschen Bewegungsgleichungen lauten dann
mẍ(t) = F(x(t)).
(5.18)
Definition Eine Kraft (Kraftfeld F(x)) heißt konservativ, falls sie sich als Gradient
eines skalaren Potentials Φ(x) in der Form
F(x) = −∇Φ(x)
(5.19)
schreiben läßt.
Beispiel: die durch eine schwere, sich bei x = 0 befindende Masse M erzeugte Gravitationskraft auf Punktmasse m bei x,
x
, Gravitationskraft.
(5.20)
F(x) = −GmM
kxk3
1
Φ(x) = −GmM
, Gravitations-Potential.
(5.21)
kxk
G = 6.67 × 10−11 m3 kg−1 s−2 ,
5.3.2
Gravitationskonstante.
(5.22)
Kurvenintegrale, Arbeit, Leistung
Sei F(x) ein Vektorfeld Rn → Rn , z.B. die Kraft auf ein Punktteilchen der Masse m.
Bewegt sich die Masse entlang der (differenzierbaren) Kurve x(t), so verrichtet die Kraft
entlang eines Kurvenstücks, z.B. von x → x + ẋdt, die Arbeit
δW = F(x)dx = F(x)ẋdt.
(5.23)
Hierbei ist F(x(t))ẋ(t) die momentane Leistung der Kraft.
Mit der Zeit t als Kurvenparameter in x(t) ergibt sich die verrichtete Arbeit entlang
der Kurve, die wir allgemein als C bezeichnen und durch x(t) parametrisieren, als
Z t1
Z
F(x)dx ≡
F(x)ẋdt.
(5.24)
W [C] ≡
t0
C
Es wird also die momentane Leistung F(x)ẋ entlang der durchfahrenen Kurve C aufintegriert. Integrale dieser Form nennt man Kurvenintegrale. Wenn über geschlossene
Kurven integriert wird, schreibt man häufig
I
F(x)dx,
(5.25)
C
die konkrete Berechnung erfolgt aber stets durch Parametrisieren der Kurve C als x(t)
und einfaches Integrieren, Gl. (5.24).
AUFGABE: Berechnung von Kurvenintegralen entlang verschiedener Kurven C für
gegebene Kraftfelder.
5. Vektoranalysis
5.3.3
51
Konservative Kräfte und vom Weg unabhängige Arbeit
Satz 1. Ein Kraftfeld F(x) ist genau dann konservativ, wenn jedes Wegintegral der
Arbeit über eine Kurve C nur vom Anfangs- und Endpunkt und nicht von der Form der
Kurve abhängt.
Das ist recht einfach zu sehen: ist F(x) konservativ, so gilt F(x) = −∇Φ(x) und
deshalb
Z t1
Z
∇Φ(x(t))ẋdt
F(x)dx = −
W [C] ≡
t0
C
= −
Z
t1
dt
t0
d
Φ(x(t)) = −Φ(x(t1 )) + Φ(x(t0 )) = −Φ(x1 ) + Φ(x0 ) (5.26)
dt
unabhängig von der Form von C. Umgekehrt definiert
Z x1
F(x)dx
Φ(x1 ) ≡ −
(5.27)
x0
eindeutig eine Funktion Φ(x1 ) (das Integral ist ja wegunabhängig), bis auf eine Konstante, die vom Anfangspunkt x0 abhängt. Die Komponente i des Gradienten ist die
Richtungsableitung in Richtung des i-ten Basisvektors ei ,
Z
∂
1
1 x+hei
−
Φ(x) = − lim [Φ(x + hei ) − Φ(x)] = lim
F(s)ds
h→0 h
h→0 h x
∂xi
Z
1 t1 +h
= lim
dtF(s(t))ṡ(t) = F(x)ei ,
(5.28)
h→0 h t1
wobei die Kurve C so gewählt wurde, dass am Endpunkt x = s(t1 ) gerade ẋ = ei gilt
(SKIZZE!). Damit hat man insgesamt
− ∇Φ(x) = F(x).
(5.29)
AUFGABE: Warum ist f (x, y) = (y, −x) kein konservatives Kraftfeld?
5.4
Rotation und Integralsatz von Stokes
LITERATUR: Berkeley Physik Kurs 2 (E. M. Purcell). BRONSTEIN. Im Folgenden
betrachten wir dreidimensionale Vektorfelder.
5.4.1
Rotation
Wir betrachten ein dreidimensionales Vektorfeld R3 → R3 , z.B. ein Kraftfeld F(x) in
3 Dimensionen. Für konservative Kraftfelder hatten wir gesehen, dass das Integral der
Arbeit über eine geschlossene Kurve C gleich Null ist,
I
F(x)dx = 0, konservatives Kraftfeld
(5.30)
W [C] ≡
C
6= ,
nicht-konservatives Kraftfeld.
(5.31)
5. Vektoranalysis
52
Im letzteren Fall nennt man W [C] manchmal Wirbelstärke . Ein typisches Wirbelfeld
ist f (x, y, z) = (y, −x, 0), vgl. die AUFGABE oben. Wir möchten nun ein lokales Mass
für die Wirbelstärke eines Kraftfelds finden, das nicht mehr von der speziellen Wahl der
Kurve C abhängt. Wir erweitern hierzu die Integration in W [C], indem wir zahlreiche
kleine Flächen zur von C umschlossenen Fläche zusammensetzen (SKIZZE) - an den
Rändern innen heben sich die Beiträge der Integrale jeweils weg. Der Beitrag eines
infinitesimalen Flächenelements A mit Normalenvektor n wird dann zur Definition der
Rotation verwendet,
H
F(s)ds
,
(5.32)
(rotF)n ≡ (∇ × F)n ≡ lim Cx
A→0
A
wobei Cx eine kleine geschlossene Kurve um den Punkt x bezeichnet. Hierdurch ist die
Komponente der Rotation in n-Richtung definiert - man bekommt alle drei Komponenten
durch die Wahl n = e1 etc. Wir wählen z.B. n = e3 , dann ist für eine infinitesimal kleine
quadratische Fläche mit Mittelpunkt x
Z 1
I
∆y
∆y
∆x
,y + t
, z)
dt
(5.33)
Fy (x +
F(s)ds =
2
2
2
−1
Cx
Z 1
∆x
∆y
∆y
Fy (x −
−
,y + t
, z)
dt
2
2
2
−1
Z 1
∆y
∆x
∆x
t, y −
, z)
dt
Fx (x +
+
2
2
2
−1
Z 1
∆y
∆x
∆x
t, y +
, z)
dt
Fx (x +
−
2
2
2
−1
∆x
−∆x
= ∂x Fy (x, y, z)
∆y − ∂x Fy (x, y, z)
∆y
2
2
∆y
−∆y
∆x − ∂y Fx (x, y, z)
∆x + O(∆x2 ∆y) + O(∆y 2 ∆x)
+ ∂y Fx (x, y, z)
2
2
und damit
1
(∂x Fy (x, y, z)∆x∆y − ∂y Fx (x, y, z)∆x∆y)
A→0 ∆x∆y
= ∂x Fy (x, y, z) − ∂y Fx (x, y, z).
(rotF)e3 =
lim
(5.34)
Entsprechend macht man es für die zwei anderen Komponenten. Die Rotation von F(x)
ergibt sich also in kartesischen Komponenten als
rotF ≡ ∇ × F ≡
ex ey
= ∂x ∂y
Fx Fy
∂Fy ∂Fx ∂Fz ∂Fy
∂Fz
∂Fx
−
,
−
,
−
∂y
∂z ∂z
∂x ∂x
∂y
ez ∂z ,
Fz T
(5.35)
(5.36)
5. Vektoranalysis
53
wobei in der letzten Zeile die Determinante als Merkregel benutzt wurde und ∂x ≡
etc. abkürzt. Die Rotation ist also selbst wieder ein dreidimensionales Vektorfeld.
BEISPIEL:
f (x, y, z) = (y, −x, 0)
5.4.2
∇ × f = (0, 0, −2).
∂
∂x
(5.37)
Integralsatz von Stokes
Wir betrachten nochmals die Zerlegung des Wirbelstärken-Integrals
I
X Wi
F(x)dx =
Ai
W [C] ≡
Ai
C
(5.38)
i
in zahlreiche kleine Flächen Ai , die von C umschlossenen werden. Im Grenzfall Ai → 0
folgt jetzt mit der Definition der Rotation heuristisch
Z
I
rotFdA, Stokes’scher Integralsatz ,
(5.39)
F(x)dx =
W [C] ≡
C
A
was die Äquivalenz des Kurvenintegrals F(x)dx über die geschlossene Kurve C mit dem
Flächenintegral über die eingeschlossene Fläche A beschreibt.
5.4.3
ANWENDUNG ELEKTRODYNAMIK: Induktionsgesetz
Ein zeitlich veränderliches Magnetfeld B(x, t) erzeugt ein elektrisches Wirbelfeld E(x, t)
gemäß
I
Z
∂
Eds = −
BdA, Induktionsgesetz
(5.40)
∂t A
C
∂
(5.41)
rotE = − B, 1. Maxwell’schen Gleichung.
∂t
Die zweite Zeile ist eine der Maxwell’schen Gleichungen und folgt aus dem Stokes’schen Integralsatz.
BEISPIEL: Eine rechteckige Leiterschleife (SKIZZE) der Fläche A rotiert gleichmäßig
mit der Winkelgeschwindigkeit ω im konstanten Magnetfeld B. Es gilt
Z
I
∂
∂
BdA = −BA cos(ωt) = BAω sin(ωt)
(5.42)
Eds = −
U (t) ≡
∂t A
∂t
C
wobei U (t) die in der Schleife induzierte Spannung ist. AUFGABE: wie kann man diese
Spannung experimentell messen?
5. Vektoranalysis
5.4.4
54
ANWENDUNG MAGNETOSTATIK
Ein Leiter führe eine stationäre (zeitunabhängige) Stromdichte J(x). Diese erzeugt ein
Magnetfeld B, für das gilt
Z
I
JdA
(5.43)
Bds = µ0
C
A
rotB = µ0 J +
1 ∂
E,
c2 ∂t
3. Maxwell’sche Gleichung.
(5.44)
Die zweite Zeile ist eine weitere der Maxwell’schen Gleichungen (der Verschiebungs∂
strom ∂t
E = 0 ist hier Null. ) Hierbei ist
µ0 = 4π × 10−7
Vs
,
Am
magnetische Feldkonstante.
(5.45)
BEISPIEL (AUFGABE): Ein gerader, unendlich langer Draht mit Querschnitt A
führe den Strom I. Berechne das Magnetfeld B innerhalb und außerhalb des Drahtes.
5.5
Divergenz und Integralsatz von Gauß
Jetzt könnte man hier zum Schluß die Divergenz einfach als weitere vektoranalytische
Operation einführen. Bisher waren wir allerdings stets physikalisch motiviert vorgegangen: Der Gradient kommt letztendlich aus dem Konzept des Potentials Φ (d.h. der potentiellen Energie) in der Mechanik über die Kraft F = −∇Φ in den Newton’schen
Gleichungen. Die Rotation kommt dann aus der Bedingung der Wirbelfreiheit rotF = 0
für konservative, d.h. Energie-erhaltende Kraftfelder. Felder (elektrische und magnetische) treten auch in der Elektrodynamik auf, und wir sahen den Stokes’schen Integralsatz im Zentrum zweier Maxwellscher Gleichungen, die das Induktionsgesetzes und das
Magnetfeld eines Leiters lokal formalulieren.
Was noch fehlt, sind die Quellen der Felder (z.B. elektrische Felder, Gravitationsfelder), und das führt auf die Divergenz.
5.5.1
Divergenz
LITERATUR: Berkeley Physik Kurs 2 (E. M. Purcell). BRONSTEIN. Wir betrachten
ein Vektorfeld F(x), z.B. ein durch eine Masse erzeugtes Gravitations-Kraftfeld oder
ein durch eine Ladung erzeugtes elektrostatisches Feld. Wir betrachten außerdem ein
Volumen V , das durch eine Oberfläche A eingeschlossen wird, und definieren
Z
FdA, Fluß des Vektorfelds F(x) durch Oberfläche A.
(5.46)
Ψ≡
A
Jetzt teilen wir V in viele kleine Volumina Vi mit Oberflächen Ai (SKIZZE), die Anteile der Integration benachbarter Volumina heben sich gerade weg (dA bezeichnet das
5. Vektoranalysis
55
Flächenelement mit nach außem gerichtetem Normalen-Vektor ). Im Grenzfall definiert
man für ein infinitesimal kleines Volumen Vi um den Punkt x
Z
1
divF ≡ lim
FdA
(5.47)
Vi →0 Vi A
als Divergenz des Vektorfeldes F(x) im Punkt x. Wählt man einen infinitesimal kleinen
Quader, so erhält man in kartesischen Koordinaten (AUFGABE)
F(x) = (F1 (x), F2 (x), ..., Fn (x))T , x = (x1 , ..., xn )T
∂
∂
F1 (x) + ... +
Fn (x).
divF(x) =
∂x1
∂x
(5.48)
Hier haben wir in der Definition der Divergenz bereits ein n-dimensionales Vektorfeld
zugelassen, also nicht notwendigerweise n = 3.
5.5.2
Integralsatz von Gauß
Analog zum Integralsatz von Stokes folgt dieser nun quasi automatisch zumindest heuristisch aus der obigen Herleitung der Divergenz, d.h. wir betrachten die Zerlegung des
Flußintegrals
Z
X 1 Z
FdAi
(5.49)
FdA =
Vi
Ψ≡
Vi Ai
A
i
mit Vi → 0,
Z
A
5.5.3
FdA =
Z
divFdV,
Gauß’scher Integralsatz.
(5.50)
ANWENDUNG ELEKTROSTATIK: Gauß’sches Gesetz
Eine Ladungsverteilung mit räumlicher Ladungsdichte ρ(x) erzeugt ein elektrisches Feld
E, dessen Fluß durch eine beliebige geschlossene Oberfläche durch die von der Oberfläche
eingeschlossene Gesamtladung gegeben ist,
Z
Z
1
EdA =
ρdV, Gauß’sches Gesetz der Elektrostatik
(5.51)
ε0
A
1
divE =
ρ, 2. Maxwell’sche Gleichung.
(5.52)
ε0
Die zweite Zeile ist eine weitere der Maxwell’schen Gleichungen (die Numerierung
ist in der Tat willkürlich). Hierbei ist
ε0 = 8.85 × 10−12 C 2 N −1 m−2 ,
elektrische Feldkonstante.
(5.53)
AUFGABEN:
1. Berechnen Sie das durch eine homogen geladene Kugel mit Radius r und Gesamtladung Q erzeugte elektrische Feld.
2. Berechnen Sie das durch eine unendliche dünne und unendlich ausgedehnte Platte
der homogenen Flächenladungsdichte σ erzeugte elektrische Feld ausserhalb der Platte.
5. Vektoranalysis
5.5.4
56
Zusammenfassung: Maxwell’sche Gleichungen
Die Maxwell’schen Gleichungen lauten
rotE = −
divE =
∂
B
∂t
(5.54)
1
ρ
ε0
rotB = µ0 J +
divB = 0.
(5.55)
1 ∂
E
c2 ∂t
(5.56)
(5.57)
Die letzte der Maxwell’schen Gleichungen besagt, dass es keine magnetischen Monopole
gibt, die als Quellen von Magnetfeldern auftreten würden.