Blatt 10 - Institut für Mathematik Potsdam

Universität Potsdam
Institut für Mathematik
PD Dr. C. Devchand
Mathematik II für Physiker und Geowissenschaftler
SoSe 2007 Blatt 10 (Aufgaben 10.1 - 10.5)
Abgabe in den Übungen am 20.6.07
Aufgabe 10.1 (Niveaumengen)
Zeichne die Niveaulinien Mc := {(x, y) ∈ R2 |f (x, y) = c} ⊂ R2 für die folgenden Funktionen und die angegebenen Funktionswerte:
1/2
a)
f (x, y) = (100 − x2 − y 2 )
b)
f (x, y) = x2 + y 2
,
,
c = 0, 2, 4, 6, 8, 10
c = 1, 2, 3, 4.
Zeichne die Graphen von z = f (x, y).
(3 Punkte)
Aufgabe 10.2 (Affensattel)
Wir definieren f : R2 → R durch f (x, y) = 3x2 y − y 3 .
a) Berechne grad f (x, y).
b) Rechne nach, dass
f (r cos ϕ , r sin ϕ) = r3 sin 3ϕ
für alle r, ϕ ∈ R gilt.
Folgere daraus, dass f ◦D = f gilt, wobei D die Drehung um 120◦ = 2π/3 bezeichne.
(Tip: Zeige sin 3ϕ = 3 cos2 ϕ sin ϕ−sin3 ϕ; betrachte dazu entweder den Imaginärteil
von e3iϕ oder benutze die Additionstheoreme).
c) Sei ϕ ∈ R fest gewählt.
Wie sieht der Graph der Funktion R 3 t 7→ f (t cos ϕ , t sin ϕ) ∈ R aus?
(Unterscheide verschiedene Fälle je nach dem Vorzeichen von sin 3ϕ).
d) Betrachte nun die Niveaumengen
Nc := {(x, y) ∈ R2 | f (x, y) = c}
für c ∈ R. Zeichne N0 . Skizziere außerdem (nur qualitativ) einige andere der Mengen
Nc , und zwar in blau für c > 0 und in rot für c < 0.
(6 Punkte)
1
Aufgabe 10.3 (Eindeutigkeit des Differentials)
Sei U ⊂ Rn offen, und sei f : U → R eine Funktion, die im Punkt x ∈ U differenzierbar
ist. Beweise, dass das Differential dfx eindeutig bestimmt ist; mit anderen Worten:
Wenn l, e
l : Rn → R linear sind und es ϕ, ϕ
e : {h ∈ Rn | x + h ∈ U } → R gibt mit
ϕ(h)
e
ϕ(h)
= lim
=0
h→0 khk
h→0 khk
lim
und
f (x + h) = f (x) + l(h) + ϕ(h) ,
f (x + h) = f (x) + e
l(h) + ϕ(h)
e
für alle h mit x+h ∈ U , dann folgt l = e
l.
(Tip: Subtrahiere die beiden Gleichungen und dividiere durch khk).
(3 Punkte)
Aufgabe 10.4 (partiell differenzierbar ; differenzierbar)
Sei f : R2 → R definiert durch
f (x, y) =





xy 2
für (x, y) 6= (0, 0)
x2 + y 4
0
für (x, y) = (0, 0) .
Zeige:
a) Die Funktion f ist in jedem Punkt des R2 (auch im Nullpunkt!) partiell differenzierbar.
b) In (0, 0) ist f nicht stetig. (Tip: Betrachte f ◦c mit c : R 3 t 7→ (t2 , t) ∈ R2 ).
(4 Punkte)
Aufgabe 10.5 (Abstand)
Betrachte die Funktion r : Rn → R definiert durch
q
r(x1 , . . . , xn ) := kxk = x21 + · · · + x2n .
Zeige, dass die Richtungsableitung ∇v r(0) an der Stelle 0 ∈ Rn in der Richtung von irgend
einem gewählten Vektor v ∈ R2 , kvk = 1, unabhängig von v ist. Das heißt, vom Ursprung
aus gesehen wächst der Abstand in allen Richtungen gleich schnell.
Was ist die Richtungsableitung ∇v r(x) an der Stelle x ∈ Rn , x 6= 0?
Bestimme die partiellen Ableitungen von r(x1 , . . . , xn ), und finde Nährungswerte für die
Zahlen
√
√
α := 3.042 + 3.962 , β := 2.952 + 4.072 .
(Es liegt nahe die lineare Approximation um den Punkt (x, y) = (3, 4) zu betrachten).
(4 Punkte)
2