sowohl gegebenen

Lösungen
Lineare Algebra für Physiker, Serie 5
Abgabe am 15.11.2007
1. Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Linearität über
R →R ,
(c ) Q → R,
(e ) Abb (R, R) → R,
(a )
2
2
T1 (x , y ) = (3x + 2y ,x ),
p
T3 (x , y ) = x + 2y ,
2
T5 (f ) = f (1),
R
K.
R → R,
(d ) C → C,
(f ) C → C,
(b )
T2 (x ) = a x + b,
T4 (z ) = z ,
T6 (z ) = z ,
dabei seien in (b) a ,b ∈ gegebene reelle Zahlen, in (c) sei der Grundkörper
und in (d) sei = ; in allen anderen Fällen sei = .
K C
K R
K=Q
6P
Lösung. Es ist jeweils zu überprüfen, ob bei den gegebenen Abbildungen das Bild einer
Linearkombination zweier Vektoren gleich der Linearkombination der Bilder dieser
Vektoren ist. Dazu sei λ, µ ∈ .
K
(a) T1 λ(x 1 , y 1 ) + µ(x 2 , y 2 ) = T1 (λx 1 + µx 2 , λy 1 + µy 2 )
= 3(λx 1 + µx 2 ) + 2(λy 1 + µy 2 ), λx 1 + µx 2 = λ(3x 1 + 2y 1 ,x 1 ) + µ(3x 2 + 2y 2 ,x 2 )
= λT1 (x 1 , y 1 ) + µT1 (x 2 , y 2 )
(b) Da T2 (0) = b, ist T2 nur linear für b = 0.
(c) T3 λ(x 1 , y 1 ) + µ(x 2 , y 2 ) = T3 (λx 1 + µx 2 , λy 1 + µy 2 )
p
p
p
= λx 1 + µx 2 + 2(λy 1 + µy 2 ) = λ(x 1 + 2y 1 ) + µ(x 2 + 2y 2 )
= λT1 (x 1 , y 1 ) + µT1 (x 2 , y 2 )
(d) Da T4 (λz ) = λz = λ̄z̄ , ist T4 nicht linear, z.B. T4 (i · 1) = −i · 1 6= i T4 (1).
(e) T5 (λf + µg ) = (λf + µg )(1) = λf (1) + µg (1) = λT5 (f ) + µT5 (g )
(f) T6 (λz + µw ) = (λz + µw ) = λ̄z̄ + µ̄w̄ = λz̄ + µw̄ = λT6 (z ) + µT6 (w )
R
2. Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Linearität über .
p
(a) T : 3 → , T (x 1 ,x 2 ,x 3 ) = x 12 + x 22 + x 32 ,
(b) S : 2×2 → 2×2 , S(A) = B · A, wobei B ∈ 2×2 eine gegebene Matrix ist.
(c) F : 2 [x ] → 2 [x ], F (a x 2 + b x + c ) = (a + 1)x 2 + (b + 1)x + (c + 1).
(d) G : [x ] → [x ] , (G p )(x ) = p (x − 1).
(e) H : m ×n → n ×m , H (A) = A ⊤ .
(f) lim: c → , lim((x n )) = limn →∞ x n , dabei sei c ⊂ ω der Raum der konvergenten
reellen Folgen.
6P
R R
R R
R
R
R
R
R
R
R
R
1
Lösung.
(a) T (λ(x 1 ,x 2 ,x 3 )) = T (λx 1 , λx 2 , λx 3 )
p
p
= (λx 1 )2 + (λx 2 )2 + (λx 3 )2 = |λ| x 12 + x 22 + x 32 = |λ|T (x 1 ,x 2 ,x 3 ),
p
also speziell T ((−1)(1, 1, 1)) = 1 · 3 6= (−1)T (1, 1, 1). Folglich ist T nicht linear.
(b) S λA 1 + µA 2 = B · λA 1 + µA 2 = λB · A 1 + µB · A 2 = λS(A 1 ) + µS(A 2 )
(c) Da (F (0))(x ) = (0 + 1)x 2 + (0 + 1)x + (0 + 1) = x 2 + x + 1 6= 0 ist F nicht linear.
(d) G (λp + µq ) (x ) = (λp + µq )(x − 1) = λp (x − 1) + µq (x − 1)
= λ G (p ) (x ) + µ G (q ) (x )
⊤
(e) H λA 1 + µA 2 = λA 1 + µA 2 = λA ⊤1 + µA ⊤2 = λH (A 1 ) + µH (A 2 )
(f) Sei (x n ), (y n ) ∈ c , so ist auch die Folge (z n ), z n := λx n + µy n , konvergent mit
lim z n = λ lim x n + µ lim y n
n →∞
n →∞
n →∞
⇒
lim(λ(x n )) + µ(y n )) = lim((z n )) = lim z n = λ lim((x n )) + µ lim((y n ))
n →∞
3. Die Vektoren b 1 = (1, 2, 1), b 2 = (2, 9, 0) und b 3 = (3, 3, 4) bilden eine Basis des
lineare Abbildung T : 3 → 2 sei gegeben durch
R
R
T (b 1 ) = (1, 0),
T (b 2 ) = (−1, 1),
R . Eine
3
T (b 3 ) = (0, 1).
Bestimmen Sie T (7, 13, 7), T (x 1 ,x 2 ,x 3 ) und T (0, 3a 2 + 2b 2, 2a 2 − b 2).
R
3P
Lösung. Achtung: Die Zahlen wurden geändert. Jedes x ∈ 3 besitzt die Darstellung
x = λ1b 1 + λ2b 2 + λ3b 3 mit eindeutig bestimmten λ j ∈ . Wegen der Linearität von T
gilt
T (x ) = λ1 T (b 1 ) + λ2 T (b 2 ) + λ3 T (b 3 ).
R
Somit müssen diese Koordinaten λ j eines Vektor x bez. der Basis b 1 ,b 2 ,b 3 bestimmt
werden. Es ist
(7, 13, 7) = −b 1 + b 2 + 2b 3
⇒
T (7, 13, 7) = −(1, 0) + (−1, 1) + 2(0, 1) = (−2, 3)
Für den allgemeinen Fall bestimmen wir die Darstellung der Einheitsvektoren des
bez. der Basis b 1 ,b 2 ,b 3 :
R
3
e 1 = −36b 1 + 5b 2 + 9b 3, e 2 = 8b 1 − b 2 − 2b 3 , e 3 = 21b 1 − 3b 2 − 5b 3 .
Wegen x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 ist dann
λ1 = −36x 1 + 8x 2 + 21x 3 , λ2 = 5x 1 − x 2 − 3x 3 , λ3 = 9x 1 − 2x 2 − 5x 3
⇒ T (x 1 ,x 2 ,x 3 ) = λ1 (1, 0) + λ2(−1, 1) + λ3 (0, 1)
= (−41x 1 + 9x 2 + 24x 3 , 14x 1 − 3x 2 − 8x 3 )
Anmerkung: Die Koordinaten der Vektoren (7, 13, 7), e 1 , e 2 , e 3 bez. der Basis b 1 ,b 2 ,b 3
können mittels Gaußschem Algorithmus aus linearen Gleichungssystemen bestimmt
werden, die alle dieselbe Koeffizientenmatrix haben. Deshalb kann deren Lösung simultan erfolgen, indem man die verschiedenen rechten Seiten gleichzeitig mit umformt.
2
R
R
R
R
4. Gegeben seien die Abbildungen T1 : 4 → 2 , T2 : 2 → 3 über
 


x1
y1 + y2
  x 1 + 2x 2 + x 3
y1

x 2 

T1   =
, T2
= y 1 − y 2  .
x
x
−
x
y
 3
1
4
2
3y 1
x4
(a) Bestimmen Sie Matrizen A 1 , A 2 mit T1 (x ) = A 1 x , x ∈
(Matrixprodukt).
(b) Bestimmen Sie T2 ◦T1 und A 2 A 1 .
R , und T (y ) = A y , y ∈ R
4
2
2
2
3P
R
5. Eine Matrix quadratische A ∈ n ×n heißt symmetrisch, wenn gilt A ⊤ = A, sie heißt
schiefsymmetrisch, wenn gilt A ⊤ = −A. Die Menge der symmetrischen n -reihigen Matrizen bezeichnen wir mit sym (n ), die Menge der schiefsymmetrischen Matrizen mit
alt (n ).
(a) Zeigen Sie, dass sym (n ) und alt (n ) Unterräume von
weils eine Basis und die Dimensionen der Räume.
(b) Zeigen Sie: Ist B ∈
schiefsymmetrisch.
(c) Zeigen Sie:
R
n ×n
R
n ×n ,
R
n ×n
sind, bestimmen Sie je-
so ist S := 12 (B + B ⊤ ) symmetrisch und A := 12 (B − B ⊤ )
= sym (n ) ⊕ alt(n ).
3+1+2P
Lösung. (a) Wir zeigen, dass jeweils das Unterraumkriterium erfüllt ist. Beide Räume
sind nichtleer, da die Nullmatrix sowohl symmetrisch als auch schiefsymmetrisch ist:
0⊤ = 0 = −0⊤ .
Da das Transponieren eine lineare Abbildung ist, siehe Aufgabe Serie 5.2 (e), gilt für
alle A 1 , A 2 ∈ sym (n ), λ1 , λ2 ∈ :
R
(λ1 A 1 + λ2 A 2 )⊤ = λ1 A ⊤1 + λ2 A ⊤2 = λ1 A 1 + λ2 A 2 .
Folglich gilt λ1 A 1 + λ2 A 2 ∈ sym (n ). Damit ist die Bedingung (L) des Unterraumkriteriums erfüllt und sym (n ) ist ein Unterraum von n ×n . Analog folgt aus A 1 , A 2 ∈ alt (n ),
dass
(λ1 A 1 + λ2 A 2 )⊤ = λ1 A ⊤1 + λ2 A ⊤2 = −λ1 A 1 − λ2 A 2 = −(λ1 A 1 + λ2 A 2 ).
R
Somit gilt also λ1 A 1 + λ2 A 2 ∈ alt (n ) und alt (n ) ist ein Unterraum von
R
n ×n .
(b) Für alle B gilt wegen der Linearität des Transponierens und wegen (B ⊤ )⊤ = B
 €
Š
Š‹ 1 €
Š 1€
1
⊤
B+B
B ⊤ + (B ⊤ )⊤ =
B ⊤ + B = S;
S =
=
2
2
2
⊤
also ist S ∈ sym (n ). Analog ist
 €
Š
Š‹ 1 €
Š 1€
1
⊤
A =
B−B
B ⊤ − (B ⊤ )⊤ =
B ⊤ − B = −A;
=
2
2
2
⊤
Somit gilt A ∈ alt (n ).
(c) Wegen (b) gilt für alle B ∈
B=
R
n ×n :
Š 1€
Š
1€
B + B⊤ +
B − B ⊤ = S + A ∈ sym (n ) + alt (n ).
2
2
3
Jede quadratische Matrix B lässt sich also als Summe einer symmetrischen Matrix S
und schiefsymmetrischen Matrix A darstellen. Nach Bemerkung 2.5 (b) ist die Summe
U + V zweier Unterräume genau dann direkt, wenn U ∩ V = {0}. Sei also C ∈ sym (n ) ∩
alt (n ), das heißt
C ⊤ = C und C ⊤ = −C .
Damit gilt aber C = −C also 2C = 0, also C = 0. Die Nullmatrix ist die einzige quadratische Matrix, die sowohl symmetrisch als auch schiefsymmetrisch ist. Die Summe ist
somit direkt.
4