Arbeitsblatt IX: Matrizen

Mathematische Methoden der Physik I
WS 16/17
Arbeitsblatt IX
Diese Woche befassen wir uns mit Matrizen, mit ihren Eigenschaften und mit ihren Anwendungen.
Aufgabe 26:
Gegeben sind die beiden folgenden Matrizen:
3 −2 4
A=
2 1 −5


1 3
B = 2 0 
0 −1
(a) Berechnen Sie die Produkte AB und BA.
(b) Überzeugen

 Sie sich davon, dass die Gleichung AX = A von der (3 × 3)-Einheitsmatrix
1 0 0
X = 0 1 0 gelöst wird.
0 0 1
Welche Matrix Y löst die Gleichung YA = A? Welche Matrizen Z jeweils die Gleichungen BZ =
B bzw. ZB = B? Man beachte dabei: Zahl der Zeilen der ersten Matrix des Matrizenproduktes
= Zahl der Zeilen der Produktmatrix, Zahl der Spalten der zweiten Matrix = Zahl der Spalten
der Produktmatrix (siehe Vorlesung).
(c) Zeigen Sie, dass die Matrix X aus (b) die Gleichung AX = A für jede (2 × 3)-Matrix A
(d.h. die Elemente Aij dieser Matrix können ganz beliebig sein) löst. Sie löst die Gleichung
sogar für beliebige (N × 3)-Matrizen A (mit beliebiger Zeilenanzahl N ) – überzeugen Sie sich
auch davon.
Aufgabe 27:
Zeigen Sie, dass sich das Vektorprodukt ω
~ × ~x mit einem festen Vektor ω
~ (z.B. die Winkelgeschwindigkeit) auch mit Hilfe einer Matrix Ω schreiben lässt, nämlich in der Form
ω
~ × ~x = Ω ~x
 
x1

wobei ~x = x2  ist (z.B. der Ortsvektor). Wie lautet die Matrix Ω?
x3
Aufgabe 28:
P
Dass die Definitionen der Matrixmultiplikation (AB)ij =
Aik Bkj und der Anwendung einer
k
P
Matrix auf einen Vektor (A~x)k = Akj xj konsistent miteinander sind bzw. dass z.B. die erste
j
aus der zweiten hergeleitet werden kann, sieht man wie folgt.
A11 A12
(a) Betrachten Sie zunächst beispielhaft die (2 × 2)-Matrizen A =
und B =
A
21 A22
B11 B12
x1
sowie den Vektor ~x =
. Berechnen Sie nun AB~x in dem Sie erst B auf ~x
B21 B22
x2
und danach A auf das Ergebnis anwenden. Schreiben Sie den sich ergebenden Ausdruck so um,
dass eine einzige Matrix auf ~x angewendet ist, also als C~x. Überzeugen Sie sich davon, dass die
Elemente der Produktmatrix C = AB der oben angegebenen Formel genügen.
(b) Wiederholen Sie diese Rechnung für den Fall allgemeiner Matrizen unter Ausnutzung der
Summenschreibweise.
=⇒
b.w.
VA 14:
Herr Dr. S.B. Preuß gibt seinen Studierenden das Gleichungssystem
x − y + z = 4
x + y − z = −2
2x + 3y − 4z = −9
und bittet diese, es in Matrixform A ~x = ~b umzuschreiben und mit Hilfe der inversen Matrix
A−1 zu lösen. Zur Kontrolle soll auch das Produkt AA−1 berechnet werden.
VA 15:
Herr Dr. S.B. Preuß verbindet gerne zunächst getrennt gelernte Themen miteinander. Diesmal sind es komplexe Zahlen und die Taylorentwicklung. Er gibt seinen Studierenden (zur
übenden Wiederholung ,) nämlich die Aufgabe, die Taylorentwicklung des skalaren Feldes
φ(~r) = exp(i~k ·~r) an der Stelle ~r0 = ~0 für alle (!) Ordnungen n zu berechnen unter der Vorgabe,
dass ~k ein konstanter Vektor ist. Er verspricht, dass man ein zu erwartendes Ergebnis erhält:
Welches ist das?
Der Begriff Matrix wurde im Jahre 1850 von James Joseph Sylvester, einem englischen Mathematiker, in seiner Arbeit Additions to the Articles ’On a new class of theorems’ and ’On Pascal’s
theorem’ (Philosophical Magazine, 363-370, 1850) erstmals benutzt.
Dort heißt es:
[...] For this purpose we must commence, not with a square, but with an
oblong arrangement of terms consisting, suppose, of m lines and n columns.
This will not in itself represent a determinant, but is, as it were, a Matrix out of which we may form various systems of determinants by fixing
upon a number p, and selecting at will p lines and p columns, the squares
corresponding of pth order.
James Joseph Sylvester (1814 – 1897) hat
auch im Jahre 1878
Die Bezeichung leitete er vermutlich von ’Mutter (=mater) von De- das heute noch existieterminanten’ ab. Der Begriff Determinante war (in seinem heutigem rende Anerican JourSinne) bereits im Jahre 1812 von Augustin-Louis Cauchy eingeführt nal of Mathematics
gegründet.
worden.