Der Vollständigkeit halber und weil die Tafel dafür wirklich nicht

Der Vollständigkeit halber und weil die Tafel dafür wirklich nicht gereicht
hat: Die Lösungen zum Aufgabenblatt 2.
P.S. Es gilt hier: Die Menge N der natürlichen Zahlen enthält die 0 nicht ;-) .
1.
2.
√
a) Ist n keine Primzahl, so existiert ein Teiler t von n mit 2 ≤ t ≤ n. Für
√
jeden Primteiler p von t gilt dann p|n und p ≤ t ≤ n.
b) Es gilt 7|2233, also ist 2233 keine Primzahl.
c) Zu prüfen ist, ob die Zahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 und
47 Teiler von 2237 sind. Das ist nicht der Fall, und 2237 ist daher eine
Primzahl.
a) Zum Beispiel ist 25 = 52 = 32 + 42 .
b) Die Zahlen x und y können nicht beide ungerade sein, denn mit x = 2a +
1, y = 2b + 1 würde folgen x2 + y 2 = 4a2 + 4b2 + 4a + 4b + 2, was nicht durch
4 teilbar ist. Die Quadratzahl z 2 müsste jedoch durch 4 teilbar sein, wenn
sie gerade ist.
Sei x gerade, also x = 2 · x1 (anderenfalls kann man x und y einfach vertauschen). Es ist x2 + y 2 = z 2 genau dann, wenn
x2 = 4x21 = z 2 − y 2 = (z + y)(z − y).
Ist z + y gerade, so sind entweder y und z beide gerade oder beide ungerade.
Damit muss auch z − y gerade sein. Umgekehrt muss auch z + y gerade
sein, wenn z − y es ist. Da wegen der obigen Gleichung mindestens einer der
Faktoren z + y oder z − y gerade ist, sind es beide. Daher darf gesetzt werden
z + y = 2 · u und z − y = 2 · v
mit passenden u, v ∈ N.
Daraus folgt z = u + v, y = u − v, u · v = x21 . Die letzte dieser drei
Gleichungen kann nur gelten, wenn alle zu u bzw. zu v gehörigen Primfaktoren entweder doppelt vorkommen oder sowohl in u wie auch in v einfach
auftreten, damit das Produkt ein Quadrat sein kann. Es existiert also eine
Darstellung u = k · m2 , v = k · `2 , das heißt
x = 2 · x1 = 2 · k · m · `, y = u − v = k · (m2 − `2 ),
z = u + v = k · (m2 + `2 ).
Jede Lösung x, y, z der Gleichung x2 + y 2 = z 2 mit x, y, z ∈ N hat also
(bis auf die Reihenfolge) eine solche Darstellung mit k, m, ` ∈ N, m > `.
Umgekehrt erfüllen die so dargestellten Zahlentripel x, y, z diese Gleichung,
wie man direkt nachrechnen kann.
Die Lösungen von x2 + y 2 = z 2 mit natürlichen Zahlen x, y und z heißen
pythagoreische Tripel. Dahinter steckt natürlich der Satz des Pythagoras: In
einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate über den Katheten gleich dem Quadrat über der Hypotenuse.
I
3.
a) 3 und 5, 5 und 7, 11 und 13, 17 und 19, 29 und 31, 41 und 43 usw.
b) Es ist stets eine der aufeinanderfolgenden Zahlen n, n + 1, n + 2 durch 3
teilbar. Sind also p und p + 2 nicht durch 3 teilbar, dann p + 1 und damit
auch p + 4.
4. Es ist
n4 − 6n3 + 23n2 − 18n = (n4 − 6n3 − n2 + 6n) + 24(n2 − n).
Nun ist offensichtlich 24 genau dann ein Teiler von n4 − 6n3 + 23n2 − 18n, wenn
dieses für m := n4 − 6n3 − n2 + 6n zutrifft, sofern dieses auch eine natürliche Zahl
ist. Durch formale Rechnung bekommt man
m = n(n3 − 6n2 − n + 6) = (n − 1)n(n + 1)(n − 6)
(man beachte, dass eine solche Faktorisierung für n4 − 6n3 + 23n2 − 18n nicht
existiert!). Also ist m ∈ N, falls n ≥ 7 gilt. Für n = 2, . . . , 6 kann man die
Behauptung direkt bestätigen. Es ergibt sich
n
2
3
4
5
6
n4 − 6n3 + 23n2 − 18n
24
72
168
360
720
= 1 · 24
= 3 · 24
= 7 · 24
= 15 · 24
= 30 · 24
Nun sei n eine natürliche Zahl n ≥ 7.
1. Fall: n ist ungerade.
Dann sind n − 1 und n + 1 gerade und von drei aufeinander folgenden Zahlen
ist immer genau eine durch 3 teilbar. Außerdem muss n − 1 oder n + 1 durch 4
teilbar sein, weil von zwei aufeinanderfolgenden geraden Zahlen immer eine durch
4 teilbar ist. Also ist in diesem Fall (n − 1) · n · (n + 1) durch 4 · 3 · 2 = 24 teilbar.
2. Fall: n ist gerade.
Dann ist auch n − 6 gerade, also durch 2 teilbar. Außerdem ist n genau dann
durch 4 teilbar, wenn n − 2 und damit auch n − 6 = n − 2 + 4 dies nicht ist, das
heißt, entweder n oder n − 6 ist durch 4 teilbar. Also ist (n − 1) · n · (n + 1)(n − 6)
durch 3 · 4 · 2 = 24 teilbar, da wie im ersten Fall jedenfalls (n − 1) · n · (n + 1)
durch 3 teilbar ist.
II