Serie 9 - D-MATH

D-INFK
Marc Pollefeys
Roman Glebov
Lineare Algebra
HS 2014
Musterlösung 9
1.
a) Es sind zwei Dinge zu zeigen.
Wir beginnen mit dem Beweis, dass G ◦ F ein Isomorphismus ist.
Es ist bijektiv: Sei z ∈ Z. Da F ein Isomorphismus ist, gibt es ein eindeutiges y ∈ Y , so
dass F (y) = z. Da G ein Isomorphismus ist, gibt es aber ein eindeutiges x ∈ X, so dass
G(x) = y. Deshalb gibt es zusammengefasst zu jedem z ∈ Z ein eindeutiges x ∈ X, so
dass (G ◦ F )(x) = G(F (x)) = G(y) = z, deshalb ist G ◦ F bijektiv.
Ausserdem ist G ◦ F linear als Komposition linearer Abbildungen: Es gilt für alle α ∈
R, x, x0 ∈ X, dass
(G ◦ F )(αx + x0 ) = G(F (αx + x0 )) = G(αF (x) + F (x0 )) = αG(F (x)) + G(F (x0 )) .
Nach Lemma 5.1 ist (G ◦ F )−1 auch linear, also ist G ◦ F ein linearer Isomorphismus.
Es bleibt zu zeigen, dass G ◦ F orthogonal ist. Dazu rechnen wir die Definition nach.
Seien x, x0 ∈ X beliebig.
hG(F (x)), G(F (x0 ))iZ = hF (x), F (x0 )iY = hx, x0 iX ,
wobei im ersten Schritt ausgenutzt wurde, dass G orthogonal ist und im zweiten Schritt,
dass F orthogonal ist.
b) τB ist ein Isomorphismus wie im Kapitel 5 der Vorlesung besprochen wurde. Um zu
sehen, dass τB orthogonal ist, ist zu prüfen, ob für alle v, w ∈ V gilt, dass
hτB (v), τB (w)iRn = hv, wiV .
Dies entspricht aber genau der Parseval’schen Formel aus Satz 6.5. Deshalb ist dieser Teil
bewiesen.
c) Wir rechnen
hAv, Awi = v> A> Aw .
⇒) Sei die Abbildung A orthogonal. Mit dem oben Berechneten gilt dann für alle v, w ∈
Rn
v> A> Aw = v> w .
Wir betrachten Einheitsvektoren ei , ej . Es gilt für die Einträge der Matrix (A> Aij ,
dass für v, w in diese Formel ein, so erkennt man, dass
>
>
(A> A)ij = e>
i A Aej = ei ej ,
also ist A−1 = A> .
Bitte wenden!
⇐) Sei A eine orthogonale Matrix. Dann gilt für alle v, w ∈ Rn wie vorher:
>
>
hAv, Awi = v> A
| {zA} w = v w = hv, wi ,
=I
womit A eine orthogonale Abbildung ist, was die Behauptung war.
d) Im Beweis von Teilaufgabe a) haben wir unter anderem bewiesen, dass G ◦ F orthogonal
ist, falls F und G orthogonale Abbildungen (jedoch keine Isomorphismen) sind.
Wir bezeichnen mit τBX , τBY die entsprechenden Koordinatenabbildungen zu den Basen
BX , BY wie in der obigen Teilaufgabe b). Nach der Teilaufgabe c) reicht es zu zeigen,
dass die Abbildung τBY ◦ (F ◦ τB−1
) ein orthogonal ist, da diese Abbildung genau der
X
Linksmultiplikation mit der Matrix von F bezüglich BX , BY entspricht.
Nach Teilaufgabe a) reicht es zu zeigen, dass beide Faktoren τBY und (F ◦ τB−1
) orthoX
gonale Abbildungen sind. Der erste Faktor τBY ist ein orthogonaler Isomorphismus nach
Teilaufgabe b). Im zweiten Faktor müssen wir nochmals a) anwenden. F ist orthogonal
nach Voraussetzung, und da nach Teilaufgabe b) τBX ein orthogonaler Isomorphismus ist,
auch orthogonal.
ist τB−1
X
) orthogonal. Nach Teilaufgabe a) ist also
Deshalb ist auch der zweite Faktor (F ◦ τB−1
X
)
eine
orthogonale
Abbildung
und nach Teilaufgabe c) ist die Matrix von
τBY ◦ (F ◦ τB−1
X
F also auch orthogonal.
2. Die Funktion sphere_p kann folgendermassen implementiert werden:
function []=sphere_p(p1)
% Plots unit spheres in R^2 with respect to the p-norm for p=1,2,infty,p1
figure;
hold on;
% p=1
h=plot([-1 0 1 0 -1],[0 1 0 -1 0],’-r’,’LineWidth’,1);
legend(h,’p=1’);
% p=2
N=100;
x=[linspace(1,-1,max(2,N))];
y=sqrt(1-x.^2);
h=plot([x fliplr(x)],[y -fliplr(y)],’-g’,’LineWidth’,1);
legend(h,’p=2’);
% p=infinity
h=plot([-1 1 1 -1 -1],[1 1 -1 -1 1],’-k’,’LineWidth’,1);
legend(h,’p=infty’);
Siehe nächstes Blatt!
% p=p1
N=100;
x=[linspace(1,-1,max(2,N))];
y=(1-abs(x).^p1).^(1/p1);
h=plot([x fliplr(x)],[y -fliplr(y)],’-b’,’LineWidth’,2);
legend(h,sprintf(’p=%.2f’,p1));
legend(’Location’,’NorthEastOutside’);
legend boxoff;
axis(1.4*[-1 1 -1 1]);
print(’-depsc2’,’sphere_p.eps’);
return
end
Ein Aufruf dieser Funktion wäre z.B. sphere_p(5).
p=1
p=2
p=infty
p=5.00
1
0.5
0
−0.5
−1
−1
−0.5
0
0.5
1
3. Die MATLAB Funktionen können wie folgt implementiert werden
a) function [ R ] = rotiereZ(phi)
R = [ cos(phi), -sin(phi), 0;
sin(phi), cos(phi), 0;
Bitte wenden!
0, 0, 1];
end
b) function [S] = skaliere(f)
S = diag(f);
end
c) S = skaliere([1.5 1 1])
R = rotiereZ(30/180*pi)
P2 = R*S*P;
plot3(P2(1,:), P2(2,:), P2(3,:))
axis vis3d
axis([-2 2 -2 2 -1 2])
grid on
Die kombinierte Abbildung lässt sich mit R*S berechnen:
[ 1.2990 -0.5000
0
0.7500
0.8660
0
0
0
1.0000 ]
Abbildung 1: Das skalierte und rotierte Haus.
d) Eine Verschiebung ist keine lineare Abbildung. Sie gehört zu den affinen Abbildungen,
siehe Kapitel 5.4 im Skript. Eine Translation wird als Vektoraddition dargestellt, die
Funktion müsste also einen 3-Vektor zurückgeben den man zu jeden Punkt addiert.
T (p) = p + t
T (p + q) = (p + q) + t = (p + t) + q 6= T (p) + T (q)
T (αp) = αp + t 6= αT (p)
Siehe nächstes Blatt!
4. Online-Multiple-Choice-Aufgaben
Bitte wenden!
1. Sei `0 := {(a1 , a2 , . . . ) : aj ∈ R, j ∈ N} der Raum aller Folgen mit reellen Komponenten.
Für zwei Elemente x = (xj )j∈N und y = (yj )j∈N von `0 definieren wir
X
hx, yi :=
x j yj .
j≥1
Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
√
(a)
`0 ist ein reeller Vektorraum.
Mit komponentenweise Skalarmultiplikation und Addition.
(b)
h , i ist ein Skalarprodukt auf `0 .
Falls z.B. xj = yj = 1 für alle j ∈ N, so ist hx, y, i nicht endlich.
√
(c)
Auf `2 := {x = (xj )j∈N ∈ `0 :
2
j≥1 |xj |
P
< ∞} definiert h , i ein Skalarprodukt.
Die Eigenschaften des Skalarproduktes (Bilinearität, Symmetrie und positive Definitheit) sind
offensichtlich gegeben. Es ist nicht klar, dass h(xj )j , (yj )j i < ∞ für alle Folgen (xj )j , (yj )j
in `2 . Um dies einzusehen, rechnen wir den Beweis von Cauchy-Schwarz nach und finden,
dass
X
X
h(xj )j , (yj )j i2 ≤ h(xj )j , (xj )j i h(yj )j , (yj )j i =
|xj |2 ·
|yj |2 < ∞ ,
j
j
nach der Definition von `2 .
(d)
Auf `2 ist die Menge xn = (xnj )j∈N , wobei
xnj
(
j
:=
0
falls j = n
sonst
eine Orthonormalbasis.
Z.B. hx2 , x2 i = 4 6= 1.
√
(e)
Auf `2 ist die Menge en = (enj )j∈N , wobei
enj
(
1
:=
0
falls j = n
sonst
eine Orthonormalbasis.
Folgt aus der Definition des Skalarproduktes.
Siehe nächstes Blatt!
√
(f)
Die Abbildung
F : `2 → `2 ,
(xj )j∈N 7→ (0, x1 , x2 , . . . )
ist orthogonal.
Es gilt für alle (xj )j , (yj )j ∈ `2 , dass
hF ((xj )j ), F ((yj )j )i = 0 +
X
xj yj = h(xj )j , (yj )j i .
j≥1
(g)
Die Abbildung
G : `2 → `2 ,
(xj )j∈N 7→ (x2 , x3 , . . . )
ist orthogonal.
Betrachte die Folgen x := (1, 0, . . . ), y := (1, 1, 0, . . . ) ∈ `2 . Dann gilt:
hx, yi = 1 6= hG(x), G(y))i = 0 .
(h)
Die Abbildung F von oben ist surjektiv.
Folgen in `2 , die nicht mit einer 0 beginnen, liegen nicht im Bild von F .
√
(i)
Die Abbildung G von oben ist surjektiv.
Jede Folge (x1 , x2 , . . . ) ∈ `2 hat mindestens ein Urbild unter G, gegeben durch z.B. (0, x1 , x2 , . . . )
√
(j)
Die Abbildung F von oben ist injektiv.
Offensichtlich ist die einzige Folge, die auf (0, 0, . . . ) ∈ `2 abgebildet wird, die konstante
Nullfolge.
(k)
Die Abbildung G von oben ist injektiv.
Die konstante Nullfolge (0, 0, . . . ) ∈ `2 hat nichttriviale Urbilder: Für alle λ ∈ R gilt, dass
G((λ, 0, 0, . . . )) = (0, 0, . . . ) .
{z
}
|
6=(0,0,... )
Bitte wenden!
2. Seien V, W zwei relle Vektorräume mit Skalarprodukten, sei B eine Orthonormalbasis von
V und sei F : V → W eine orthogonale Abbildung (sh. Aufgabe 1). Welche der folgenden
Aussagen sind richtig?
√
(a)
kF (v)kW = kvkV für alle v ∈ V .
Folgt direkt aus der Definition von der Skalarprodukt-induzierten Norm und der Orthogonalität
von F .
√
(b)
F ist winkeltreu, d.h. für alle v, w ∈ V gilt, dass ](F (v), F (w)) = ](v, w).
Folgt direkt aus der Definition des Winkels und der Orthogonalität von F .
(c)
F ist ein Isomorphismus.
Die vorherige MC-Frage beinhaltet ein Gegenbeispiel: Die Abbildung F ist dort orthogonal,
aber kein Isomorphismus.
√
(d)
F ist injektiv.
Wir beweisen Injektivität durch Widerspruch: Nehme an, F sei nicht injektiv, aber orthogonal.
Dann gibt es ein 0 6= v ∈ V , so dass F (v) = 0 ist. Dann gilt:
0 6= hv, viV = hF (v), F (v)iW = h0, 0iW = 0 .
Dies ist ein Widerspruch (0 6= 0). Deshalb ist es nicht möglich, dass F nicht injektiv, aber
orthogonal ist.
√
(e)
F ist ein Isomorphismus auf das Bild von F .
F ist wie vorher gezeigt injektiv und offensichtlich surjektiv auf sein Bild. Da die Inversen von
linearen Abbildungen auch linear sind, ist F also ein Isomorphismus.
(f)
Die Menge der Bilder F (B) ist eine Orthonormalbasis von W .
Betrachte wieder die Abbildung F der vorigen MC-Aufgabe und die Standardbasis in l2 .
√
(g)
Die Menge der Bilder F (B) ist eine Orthonormalbasis von Im(F ).
Dies folgt aus der Isomorphismen-Eigenschaft von F aus der obigen Frage.
√
(h)
Falls es existiert ist F −1 : Im(F ) → V orthogonal.
Es existiert wie oben gesehen. Dass die Inverse orthogonal ist, folgt direkt aus der Definition
von orthogonalen Abbildungen.