technische universität münchen

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
P ROF. D R . D R . J ÜRGEN R ICHTER -G EBERT , D R . VANESSA K RUMMECK , DANIELA S CHAFSTADLER
Lineare Algebra II für Lehramt Gymnasium (Sommersemester 2011)
— Aufgabenblatt 8 (28. Juni 2011) —
— Präsenzaufgaben —
Aufgabe 47. Orthogonale Vektoren sind linear unabhängig.
Gegeben seien paarweise orthogonale Vektoren v1 , . . . vk ∈ Rn \ {0} mit k ≤ n.
Zeigen Sie: Die Vektoren v1 , . . . , vk sind linear unabhängig.
Aufgabe 48. Orthonormalbasen.
Gegeben seien die Vektoren v1 , v2 , ..., vr ∈ Rn mit r ≤ n. Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
1.) v1 , v2 , ..., vr ist eine Orthonormalbasis des Rn bezüglich eines Skalarprodukts s : Rn × Rn → R.
2.) Für alle v ∈ Rn gilt:
kvk2s =
r
P
|s(v, vi )|2 .
i=1
3.) Für alle v, w ∈ Rn gilt:
s(v, w) =
r
P
s(v, vi ) · s(w, vi ).
i=1
Aufgabe 49. Diagonalisierung von symmetrischen Matrizen.
1.) Bestimmen Sie zu der symmetrischen Matrix A ∈ R3×3


7 4 −4
1
8  ∈ R3×3
A=  4 1
9
−4 8
1
eine Matrix B ∈ R3×3 derart, dass B −1 AB Diagonalgestalt hat.
2.) Überprüfen Sie, dass die symmetrische Matrix A aus Aufgabenteil 1 nur reelle Eigenwerte besitzt
und dass Eigenvektoren von A zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal zueinander sind.
3.) Weisen sie nach, dass für einen komplexen Vektor v ∈ Cn und seinen komplex konjugierten Vektor
v̄ ∈ Cn immer gilt, dass
v̄ T v ∈ R und v̄ T v ≥ 0.
4.) Zeigen Sie: Für jede reelle symmetrische Matrix A ∈ Rn×n gilt:
a.) A hat nur reelle Eigenwerte.
b.) Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten von A sind zueinander orthogonal.
— Hausaufgaben —
Aufgabe 50. Matrixpuzzle einer orthogonalen Matrix.
1.) Eine Matrix A ∈ Rn×n heißt orthogonal, wenn ihre Spaltenvektoren bezüglich des Standardskalarproduktes eine Orthonormalbasis des Rn bilden, d.h. also, wenn ihre Spaltenvektoren paarweise
orthogonal sind und jeder Spaltenvektor die Länge 1 hat.
Zeigen Sie: Ist A ∈ Rn×n eine orthogonale Matrix, so bilden auch die Zeilenvektoren von A eine
Orthonormalbasis. (Hinweis: Verwenden Sie AT .)
2.) Welche rationalen Zahlen müssen für die Sterne eingetragen werden, damit die Matrix
1 2

3
3 ∗


A =  ∗ 13 ∗ 
∗
1
3
∗
orthogonal wird? Geben Sie alle möglichen Lösungen an.
Aufgabe 51. Gram-Schmidt.
Im R4 seien die drei Vektoren


1
 1

a1 = 
−1,
−1


3
−1

a2 = 
 1,
−3


−1
 1
4

a3 = 
 1 ∈ R
3
bezogen auf eine Orthonormalbasis des R4 gegeben.
1.) Bestimmen Sie die Winkel zwischen den Vektoren a1 , a2 , a3 .
2.) Bestimmen Sie für Span(a1 , a2 , a3 ) nach Gram-Schmidt eine Orthonormalbasis {b1 , b2 , b3 }.
3.) Ergänzen Sie die Basis {b1 , b2 , b3 } von Span(a1 , a2 , a3 ) zu einer Orthonormalbasis {b1 , b2 , b3 , b4 }
des R4 .
4.) Bezüglich der Standardbasis des R4 sei der Vektor


7
 5

x=
12
12
gegeben. Bestimmen Sie die Koordinaten von x bezüglich der Basis {b1 , b2 , b3 , b4 }.
Aufgabe 52.√Skalarprodukte in der Analysis.
Sei B := ( 21 2, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . . ) und
W := Span B ⊂ C([0, 2π]; R) = V.
In Aufgabe 42 war gezeigt worden, dass durch
1
hf, gi =
π
Z2π
f (x)g(x)dx
0
ein Skalarprodukt auf V definiert ist.
Zeigen Sie: B ist eine Orthonormalbasis bezüglich h , i von W .
Abgabe der Hausaufgaben:
am Dienstag, 05.07.2011 zu Beginn der Tutorübung/ Ergänzungsübung.
Rückmeldung:
zu den Präsenzaufgaben bis Montag, 27.06.2011, 19:00 Uhr
zu den Hausaufgaben bis Mittwoch 29.06.2011, 19:00 Uhr.