Technische Universität München Übungsblatt 10

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Mathematik 1 (Elektrotechnik)
Prof. Dr. Anusch Taraz | Dr. Michael Ritter
Übungsblatt 10
Hausaufgaben
Aufgabe 10.1
Berechnen Sie die Winkel zwischen den folgenden beiden Vektoren. Verwenden Sie dafür jeweils
das angegebene Skalarprodukt.
a) Im R3 mit hx, yi := xT y


1


x := −2 ,
0
b) Im P2 mit hp, qi :=
R1
0


2


y := −1
1
p(x)q(x)dx:
p(x) := x2 − 2x + 2,
q(x) := 3x2 + x − 3
Aufgabe 10.2
Bestimmen Sie mit Hilfe des Gram-Schmidt-Verfahrens jeweils eine Orthonormalbasis der folgenden Vektorräume. Verwenden Sie dafür jeweils das angegebene Skalarprodukt. Ergänzen Sie
die Basis anschließend zu einer Orthonormalbasis des gesamten Vektorraumes. Dazu ergänzen
Sie die Orthonormalbasis des Unterraums zunächst zu einer Basis des gesamten Vektorraums
und bilden daraus dann mit dem Gram-Schmidt-Verfahren eine Orthonormalbasis.
a) U1 := lin {x, y} ⊆ R3 mit hx, yi := xT y, wobei


1


x := −1 ,
0
b) U2 := lin {2x + 1, 2x − 1} ⊆ P2 mit hp, qi :=


0


y := −1 .
1
R1
0
p(x)q(x)dx.
Aufgabe 10.3
Sei U ⊆ R3 der von den orthonormalen Vektoren
 
1
1  
b1 := √ 1 ,
2 0


1
1  
b2 := √ −1
3 1
Bitte wenden!
aufgespannte Untervektorraum des R3 . Berechnen Sie die orthogonale Projektion der Geraden
n
o
G := (1, −2, 3)T + λ(1, 0, 1)T
auf U .
Aufgabe 10.4
Sei W := Kern(A) ⊆ R5 mit


1 1 2 −1 1

1 0
A := 2 2 2

1 1 −1 0 1
und W ⊥ := {v ∈ V : hv, wi = 0 für alle w ∈ W }.
a) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von W .
b) Welche Dimension haben W bzw. W ⊥ ?
c) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von W ⊥ .
Aufgabe 10.5
Sei W ein Untervektorraum eines Vektorraums V , h·, ·i ein Skalarprodukt auf V und W ⊥ :=
{v ∈ V : hv, wi = 0 für alle w ∈ W } der Orthogonalraum von W .
a) Zeigen Sie: W ⊥ ist ein Untervektorraum von V .
b) Zeigen Sie: W ∩ W ⊥ = {0}
c) Sei BW eine Basis von W und B eine Basis von V , die BW enthält. Zeigen Sie: B \ BW
ist eine Basis von W ⊥ .
d) Folgern Sie die Dimensionsformel dim(W ) + dim(W ⊥ ) = dim(V ).
Aufgabe 10.6
Im R4 sei der Untervektorraum U ⊆ R4 gegeben als
U :=

 
 

1
0
1 





−1  2  −5

 
 

lin   ,   ,   .

 0  −2  4 






2
1
0
Bestimmen Sie die orthogonale Projektion des Vektors v := (1, 2, −2, −1)T auf den Untervektorraum U . Geben Sie eine Zerlegung von v = u+u⊥ mit u ∈ U und u ∈ U ⊥ an und berechnen
Sie den Abstand von v zu U .
Aufgabe 10.7
Welche der folgenden Abbildungen sind linear? Geben Sie jeweils eine kurze Begründung bzw.
ein Gegenbeispiel an.
a) f1 : R → R3 , f1 (x) := (x + 1, 2x, x − 3)T
b) f2 : R4 → R2 , f2 (x1 , x2 , x3 , x4 ) := (x1 + x2 , x1 + x2 + x3 + x4 )T
c) f3 : R4 → R2 , f3 (x1 , x2 , x3 , x4 ) := (x1 · x2 , x3 · x4 )T
 
1
 +
0

x, 
 ..  ·
.
*
n
2
d) f4 : R → R , f4 (x) :=
!
1
2
0
e) f5 : P3 → P4 , f5 (a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ) := (a0 + a1 ) + 2(a1 + a2 )x + 3(a2 + a3 )x2 +
4(a3 + a0 )x3 + 5x4
Aufgaben für die Tutorübung
Aufgabe 10.8
Berechnen Sie die Winkel zwischen den folgenden beiden Vektoren. Verwenden Sie dafür jeweils
das angegebene Skalarprodukt.
a) Im R2 mit hx, yi := xT y:
!
2
y :=
1
!
!
2
y :=
1
1
x :=
,
2
!
2
b) Im R mit hx, yi := x
T
1 2
y:
2 5
!
1
x :=
,
2
Aufgabe 10.9
Bestimmen Sie mit Hilfe des Gram-Schmidt-Verfahrens jeweils eine Orthonormalbasis der folgenden Vektorräume. Verwenden Sie dafür jeweils das angegebene Skalarprodukt. Ergänzen Sie
die Basis anschließend zu einer Orthonormalbasis des gesamten Vektorraumes. Dazu ergänzen
Sie die Orthonormalbasis des Unterraums zunächst zu einer Basis des gesamten Vektorraums
und bilden daraus dann mit dem Gram-Schmidt-Verfahren eine Orthonormalbasis.
a) U1 := lin {x, y} ⊆ R2 mit hx, yi := xT y, wobei
!
1
x :=
,
1
!
2
y :=
.
1
!
2
b) U2 := lin {x, y} ⊆ R mit hx, yi := x
T
1 2
y, wobei
2 5
!
1
x :=
,
1
!
−1
y :=
.
1
Bitte wenden!
Aufgabe 10.10
Sei U ⊆ R3 der von den orthonormalen Vektoren
 
1
1  
b1 := √ 1 ,
2 0


1
1  
b2 := √ −1
3 1
aufgespannte Untervektorraum des R3 . Berechnen Sie die orthogonale Projektion des Punktes
v := (−1, 2, −3)T auf U und bestimmen Sie den Abstand von v zu U .
Aufgabe 10.11
Welche der folgenden Abbildungen sind linear? Geben Sie jeweils eine kurze Begründung bzw.
ein Gegenbeispiel an.
a) f1 : R4 → R4 , f1 (x1 , x2 , x3 , x4 ) := (x1 + x3 , x4 − 2x2 , x2 + x1 , x2 − x3 )T
b) f2 : R → R3 , f2 (x) := (2x, 3x, 4x)T
 
1
 +
0

x, 
 .. 
.
*
c) f3 : Rn → R, f3 (x) :=
0
d) f4 : P3 → P3 , f4 (a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ) := a1 + 2a2 x + 3a3 x2