L3 Euklidische Geometrie: Längen, Winkel, senkrechte Vektoren

L3 Euklidische Geometrie: Längen, Winkel, senkrechte Vektoren...
(benötigt neue Struktur über Vektorraumaxiome hinaus)
Sei
Länge von
nach Pythagoras:
Länge
quadratisch in Komponenten!
- Für
: Skalarprodukt
- Mathematische Abstraktion: inneres Produkt
- Länge
- Winkel zwischen zwei Vektoren
- Orthonormalbasis (alle Basisvektoren sind normiert, und zueinander orthogonal)
- Falls Basisvektoren nicht orthonormal sind: Metrik
L3.1 Sklararprodukt in
zu einer reellen Zahl:
Def: Skalarprodukt ist eine Verknüpfung v. zwei Vektoren in
Sei
Skalarprodukt:
(Skalar)
Notation verdeutlicht,
dass diese Zahl v. zwei
Vektoren abhängt
Index-Konvention: Indizes
vom 'linken Vektor' unten,
vom 'rechten Vektor' oben
Beispiel:
in Physik bevorzugte Notation
mit
Unten/Oben Notation ist nützlich
für Verallgemeinerungen; zB.
- zu Vektorräumen mit 'nichtorthogonalen Basisvektoren'
(siehe 'Metrik');
- oder zu kompl. Vektorraum,
Für
wäre die Notation
genauso sinnvoll/nützlich!
Eigenschaften des Skalarprodukts:
(i) Symmetrie:
(ii) Linearität bzgl. Vektoraddition:
(iii) Linearität bzgl. Skalarmultiplikation:
(iv) Positiv definit:
'wenn, und nur wenn'
Eigenschaften (i) bis (iv) gelten offensichtlich:
(i) Symmetrie: per Konstruktion
(ii) & (iii) Linearität: denn Skalarprodukt is linear in Komponenten v.
(iv) Positiv definit: denn
und
ausgestattet mit Skalarprodukt heißt 'Euklidischer Raum':
[derselbe Name wie für Vektorraum plus Ursprung ! Grund: sie sind isomorph!, siehe AD-L3.3]
Definition: Norm [Länge] (Skalarprodukt zweier gleichen Vektoren)
Länge nach Pythagoras
alternative Notation für Norm in
Es gilt:
Norm beantwortet die Frage: 'wie lang ist ein Vektor'
Skalarprodukt beantwortet die Frage: 'wie parallel sind zwei Vektoren?'
Cauchy-Schwarz Ungleichung (CSU)
Beweis:
Betrachte
(a
zunächst beliebig)
wähle
nun:
Skalare
Umstellen:
Geometrische Interpretation der CSU:
gilt Gleichheitszeichen in CSU:
Für 'kolineare', d.h. 'parallele' Vektoren,
Check:
im Vergleich zu
Umkehrschluss: je kleiner
je weniger sind
und
'parallel'.
CSU impliziert die Dreiecksungleichung:
Geometrische Anschauung in
'gilt für beide Vorzeichen'
Beweis:
'Winkel' zwischen zwei Vektoren
Definition eines
'Relativwinkels':
bereits bekannt aus CSU
In
entspricht
dem geometrischem Winkel zwischen
und
Begründung: einerseits gilt
andrerseits gilt, aus geometrischer Anschauung:
'Cosinus-Satz'
Vergleich v. (2) und (3) liefert:
(wir nutzen 'Hut' für Enheitsvektoren)
Def. Einheitsvektor
Für
'normiere einen Vektor' =
'bilde kolinearen Einheitsvektor'
ist
ein 'Einheitsvektor' / 'normierter Vektor', kolinear zu
werden sie 'orthogonale Vektoren' genannt:
Falls
'Projektion' v.
auf
'Orthogonales Komplement' zu
Check:
'Zerlegung von
bezüglich
:
Beispiel:
Zerlege
entspricht der Erwartung aus der Skizze !
Check:
Def: der Satz v. Vektoren
- ist 'orthogonal' falls
- ist 'orthonormalen' falls
(d.h. orthogonal und normiert)
- bildet eine 'Orthonormalbasis' falls er orthonormal und vollständig ist
Unsere Notationskonvention
für Orthonormalbasis:
[manchmal auch ohne ']
Kanonisches Beispiel: (L2.5h.2)
Rotierte Version von (4):
Jeder Vektor
Entwicklungskoeffizient
hat eindeutige Entwicklung bzgl. Orthonormalbasis:
entspricht der 'Projektion' von (1) auf Basisvektor
Kompaktversion mit ES-Notation:
Beispiel:
Gram-Schmidt-Verfahren
Gegeben eine Basis von V:
vollständig, linear unabhängig,
aber nicht orthogonal, nicht normiert
Konstruiere daraus eine Orthonormalbasis!
Strategie: orthogonalisiere, normalisiere, und wiederhole das iterativ:
L3.3 Innere Produkträume
Verallgemeinerung des Skalarprodukts auf allgemeinen
('reeller Vektorraum'):
Vektorraum
'Inneres Produkt' ist eine bilineare Abbildung von zwei Vektoren auf eine Zahl,
mit folgenden Eigenschaften [identisch zu Seite(3.1) ]:
(i) Symmetrie:
(ii) Linearität bzgl. Vektoraddition:
(iii) Linearität bzgl. Skalarmultiplikation:
(iv) Positiv definit:
'wenn, und nur wenn'
Vektorraum ausgestattet mit innerem Produkt heißt 'Euklidischer Vektorraum'
[schon wieder derselbe Name wie vorhin! Grund: sie sind isomorph!, siehe AD-L3.3]
Orthonormalbasis definiert einen Isomorphismus zwischen n-dim V
und
Gegeben
Isomorphismus:
Inneres Produkt in V
Inneres Produkt in
liefern dasselbe Ergenis!
Das innere Produkt von zwei Vektoren in V entspricht dem standard-Skalarprodukt ihrer
Komponenten bezüglich einer Orthonormalbasis von V.
In diesem Sinne:
Nicht-orthonormale Basis in V: Metrik
Was passiert, wenn Basis
Sei
[nur zur Kenntnisnahme]
v. V nicht orthonormal ist?
(g wird 'Metrik' genannt; bisher:
Entwicklung v. zwei
beliebigen Vektoren
Inneres
Produkt in V:
Verallgemeinerung des
StandardSkalarprodukts
für nicht-trivale Metrik
mit
Falls Metrik 'nicht-trivial' ist, bringt oben-unten-Konvention für Indizes wirklich einen Mehrwert!
Zusammenfassung L3
Euklidische Vektorräume
(V: reeller Vektorraum)
Inneres Produkt:
Zahl
(i) Symmetrie, (ii-iii) Linearität bzgl.
und
(iv) Positiv definit
Wichtigstes Beispiel: Skalarprodukt in
Norm:
Cauchy-Schwarz
Ungleichung (CSU):
Dreiecksungleichung:
Winkel:
Einheitsvektor:
'Projektion' v.
auf
'Orthogonales Komplement' zu
Orthonormalbasis: vollständig, normiert, orthogonal:
Gram-Schmidt-Verfahren liefert Orthonormalbasis: