L3 Euklidische Geometrie: Längen, Winkel, senkrechte Vektoren

L3 Euklidische Geometrie: Längen, Winkel, senkrechte Vektoren...
(benötigt neue Struktur über Vektorraumaxiome hinaus)
Sei
Länge von
nach Pythagoras:
Länge
quadratisch in Komponenten!
- Mathematische Abstraktion: inneres Produkt
- Spezialisiert auf
: Skalarprodukt
- Länge
- Winkel zwischen zwei Vektoren
- Orthonormalbasis (alle Basisvektoren sind normiert, und zueinander orthogonal)v.
L3.1 Inneres Produkt
Def: Inneres Produkt ist eine Verknüpfung v. zwei Vektoren in einem
Vektorraum
'reeller Vektorraum'
zu einer reellen Zahl,
mit folgenden Eigenschaften:
Notation verdeutlicht, dass diese
Zahl v. zwei Vektoren abhängt
(i) Symmetrie:
(ii) Linearität bzgl. Vektoraddition:
(iii) Linearität bzgl. Skalarmultiplikation:
(iv) Positiv definit:
'wenn, und nur wenn'
Vektorraum ausgestattet mit innerem Produkt heißt 'Euklidischer Vektorraum'
Konkretes Beispiel:
Das innere Produkt in
heißt 'Skalarprodukt', bezeichnet mit
und ist definiert durch:
Eigenschaften (i) bis (iv) gelten offensichtlich:
(i) Symmetrie: per Konstruktion
(ii) & (iii) Linearität: denn Skalarprodukt is linear in Komponenten v.
(iv) Positiv definit: denn
und
ausgestattet mit Skalarprodukt heißt 'Euklidischer Raum':
Zurück zum allgemeinen Fall, Vektorraum V, inneres Produkt
Definition: Norm (Inneres Produkt zweier gleichen Vektoren)
Verallgemeinerung des
Begriffs "Länge"
Länge nach Pythagoras
Für
alternative Notation für Norm in
Es gilt:
Norm beantwortet die Frage: 'wie lang ist ein Vektor'
Inneres Produkt beantwortet die Frage: 'wie parallel sind zwei Vektoren?'
Cauchy-Schwarz Ungleichung (CSU)
Beweis:
Betrachte
(a zunächst beliebig)
wähle
nun:
Skalare
Umstellen:
Geometrische Interpretation der CSU:
Gleichheitszeichen gilt für 'kolineare',
d.h. 'parallele' Vektoren:
Check:
Umkehrschluss: je kleiner
je weniger sind
und
im Vergleich zu
'parallel'.
CSU impliziert die Dreiecksungleichung:
Geometrische Anschauung in
'gilt für beide Vorzeichen'
(weiterhin für V; alles gilt natürlich
ebenso für
, mit
'Winkel' zwischen zwei Vektoren
)
Definition eines
'Relativwinkels':
bereits bekannt aus CSU
In
entspricht
dem geometrischem Winkel zwischen
und
denn:
'Cosinus-Satz' !
Def. Einheitsvektor
(wir nutzen 'Hut' für Enheitsvektoren)
Für
'normiere einen Vektor' =
'bilde kolinearen Einheitsvektor'
ist
ein 'Einheitsvektor' / 'normierter Vektor', kolinear zu
werden sie 'orthogonale Vektoren' genannt:
Falls
'Projektion' v.
auf
'Orthogonales Komplement' zu
Check:
'Zerlegung von
bezüglich
:
Beispiel:
Zerlege
entspricht der Erwartung au s der Skizze !
bilden 'orthogonalen Satz' falls
bilden 'orthonormalen Satz' falls
(d.h. orthogonal und normiert)
Ist der Satz v. Vektoren zudem vollständig, bildet er eine 'Orthonormalbasis'
In so einer Basis gilt:
Sei
Beitrag nur von Term j.
Bestimme Entwicklungskoeffizienten durch 'Projektion' auf Basisvektoren!
(4) in (3):
Gram-Schmidt-Verfahren
Gegeben eine Basis von V.
vollständig, linear unabhängig,
aber nicht orthogonal, nicht normiert
Konstruiere daraus eine Orthonormalbasis!
Strategie: orthogonalisiere, normalisiere, und wiederhole das iterativ:
Inneresprodukt ist unabhängig von Wahl d. Basis:
Seien
und
zwei Orthornormalbasen von V
'Inneres Produkt ist 'invariant unter Basistransformationen'.
Orthonormalbasis definiert einen Isomorphismus zwischen n-dim V
und
Gegeben
Isomorphismus:
Inneres Produkt in V
Inneres Produkt in
liefern dasselbe Ergenis!
Zusammenfassung: Inneres Produkt erlaubt es, Winkel und Längen zu messen;
Euklidische Geometrie
Abstraktion: der Begriff "inneres Produkt" ist definiert durch die Eigenschaften
(i) Kommutativität, (ii) Distributivität, (iii) Bilinearität, (iv) Positivität (Seite 19)
ausgestattet mit Skalarprodukt heißt 'Euklidischer Raum':