9. Hausaufgabe 15.12.2008

Rinkens/Dingemans/Frischemeier
Elemente der Analysis WS 08/09
Hausaufgabe 9
(Abgabe in den Tutorien vom 6.1.2009 bis 9.1.2009)
1. Bestimmung des Parabelsegments mit der Streifenmethode
Bestimme die Fläche A* des Parabelsegments y = x 2 zwischen –b und b. Dazu reicht es aus,
die Fläche zu bestimmen, welche von der y-Achse, der x-Achse, der Gerade x = a und der
Parabel y = x 2 eingeschlossen wird. (Warum?) Bezeichne diese Fläche mit A.
a. Fertige eine Skizze an, in der du die oben beschriebene Situation verdeutlichst.
Das Intervall [0;b] wird in n äquidistante (gleichlange) Teilintervalle unterteilt. Über jedes
Intervall werden das größtmögliche Rechteck unter dem Graphen und das kleinstmögliche
Rechteck über dem Graphen gezeichnet. Von diesen Rechtecken kannst du jeweils die Fläche
bestimmen. Nimm auch diese Gedanken in deine Skizze auf.
b. Betrachte nun das k-te Teilintervall.
I. Bestimme die Breite des k-ten Rechtecks.
II. Bestimme die Länge Mk und die Fläche Fk des k-ten Rechtecks über der Kurve.
III. Bestimme die Länge mk und die Fläche fk des k-ten Rechtecks unter der Kurve.
c. Zeige, dass die Fläche On=F1+F2+...+Fn aller Rechtecke über der Kurve zusammen gleich
On =
b3
6
 2 + 3 + 1 
n n2 

n (n +1)(2n +1)
ist. (Nutze dabei: 12 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 =
)
6
d. Zeige, dass die Fläche Un=f1+f2+...+fn aller Rechtecke unter der Kurve zusammen gleich
Un =
e.
b3
6
 2 − 3 + 1 
n n2 

(
6
n (n +1)(2n +1)
ist. (Nutze dabei: 12 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 =
)
6
)
n
3
O n O n = b 2 + 3 + 12
n
(
3
und Un Un = b 2 − 3 + 12
6
n
n
)
sind Folgen. Was beschreiben
sie? Bestimme jeweils die ersten 5 Folgenglieder. Was beschreibt der Grenzwert der
Folgen <On> und <Un>?
f. Begründe mit Hilfe der Grenzwertsätze und des Einschachtelungssatzes, dass A gleich
ist.
g. Wie groß ist die Fläche des Parabelsegments A*?
b3
3
2. Die Streifenmethode als Intervallschachtelung
Du hast in der Veranstaltung die Idee der Intervallschachtelung kennen gelernt. Eine
Intervallschachtelung ist eine Folge ineinander geschachtelter, abgeschlossener Intervalle,
wobei die Folge der Intervalllängen eine Nullfolge ist.
Interpretiere nun die Streifenmethode am Beispiel von Aufgabe 1 als Intervallschachtelung.
a. Schreibe die ersten 5 Glieder der Folge [U n | O n ] auf.
b. Schreibe die ersten 5 Glieder der Folge von Intervalllängen dn = On − Un
auf. Zeige
mit Hilfe der Grenzwertsätze, dass die Folge <dn> eine Nullfolge ist.
c. Welche Zahl wird durch die Folge der Intervalle beschrieben?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Rückblick zur Wiederholung in den Ferien
(Diese Aufgabe soll nicht abgegeben werden! Sie dient lediglich als Leitfaden, um die ersten
beiden Kapitel Revue passieren zu lassen.)
Zahlsysteme der Mathematik
Im ersten Kapitel geht es um die Entwicklung der reellen Zahlen als Zahlbereich für die
Analysis, ausgehend von den natürlichen Zahlen.
Zählen:
Erkläre den „Mechanismus“ der vollständigen Induktion. Welche Bedeutung hat der
Induktionsschritt? Warum musst du die Aussage für einen Anfang nachprüfen? Wie lassen
sich Induktionsanfang und Induktionsschritt zu einer Aussage über alle natürlichen Zahlen
verbinden?
Grenze die Begriffe potentiell unendlich und aktual unendlich voneinander ab.
Messen:
Was bedeutet „Die Diagonale und Seite im Quadrat haben kein gemeinsames Maß“? Wie
kann man das einsehen? Was bedeutet das, wenn man das Verhältnis von Seite zu Diagonale
als Zahl darstellt? Erkläre die Zahlbereichserweiterung von den rationalen Zahlen zu den
reellen Zahlen unter dem Gesichtspunkt der Messbarkeit.
Zahlengerade und Dezimalbrüche:
Erkläre die Idee der Intervallschachtelung. Warum kann es höchstens eine Zahl geben, die in
allen Intervallen der Intervallschachtelung liegt? Wie kann man einsehen, dass nicht jede
rationale Intervallschachtelung (die Grenzen sind rational) zu einem Ergebnis in den
rationalen Zahlen führt?
Begründe mit Hilfe der Idee der Intervallschachtelung, dass 0, 9 = 1 gilt.
Konvergenz und Grenzwert
Im zweiten Kapitel lernst du das Objekt Folge kennen. Aus Sicht der Anwendungen dienen
Folgen zur Modellierung von unendlichen Prozessen.
Eine konvergente Folge von reellen Zahlen beschreibt eine Zahl – den Grenzwert – mit Hilfe
von unendlich vielen Zahlen – den Folgengliedern.
Du kannst eine Intervallschachtelung auf der Zahlengeraden interpretieren. Jedes Intervall
entspricht einer Strecke. Was beschreibt die Folge der so entstandenen Strecken?
Versuche nun die Idee des „Beschreibens“ näher zu untersuchen.
Wann beschreibt eine Folge von Zahlen die Zahl Null; oder anders ausgedrückt: wann ist eine
Folge eine Nullfolge?
Erläutere das „ε-Spiel“.
Wann beschreibt eine Folge <an> die Zahl a, d.h. wann hat die Folge <an> den Grenzwert a?
Was ist eine Reihe?
Was ist eine arithmetische, geometrische, harmonische Folge, Reihe? Was kannst du über ihre
Konvergenz sagen?
Nutze die geometrische Reihe um periodische Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche
umzuwandeln. Begründe mit Hilfe der geometrischen Reihe, dass 0, 9 = 1 gilt.
Das Bestimmen eines Grenzwertes ist ein mühsames Unterfangen: Zunächst musst du einen
Grenzwert für eine Folge vermuten und anschließend mit dem ε-Spiel beweisen, dass der
vermutete Grenzwert auch tatsächlich Grenzwert ist. Um dieses zu umgehen, kannst du die
Grenzwertsätze nutzen. Dabei beziehst du dich auf den Grenzwert bereits bekannter Folgen.
Welche Grenzwertsätze gibt es?
Oft ist die Frage nach dem konkreten Grenzwert einer Folge gar nicht zentral. Vielmehr
interessiert die Frage, ob eine Folge überhaupt einen Grenzwert besitzt.
Diese Frage kannst du mit Hilfe des Monotoniekriteriums oder des Cauchy-Kriteriums
beantworten. Erkläre die Ideen der beiden Kriterien.
Erkläre die Intervallschachtelungseigenschaft der reellen Zahlen. Argumentiere, warum
Analysis im Zahlbereich der reellen Zahlen und nicht im Bereich der rationalen Zahlen
betrieben wird.
Wir wünschen Euch allen ein
frohes Weihnachtsfest und einen guten
Rutsch ins Jahr 2009!!!