Gesamtes Skript FS 2016

Physikalisches Institut
Praktikum für Studierende
der Physik und Astronomie
ANLEITUNG
ZUM
PHYSIKPRAKTIKUM
STAMMNUMMER: 652
Prof. Peter WURZ
FÜR STUDIERENDE IM 2. SEMESTER
MIT HAUPTFACH
PHYSIK ODER ASTRONOMIE
FS2016
http://www.space.unibe.ch/physprak/
Inhaltsverzeichnis
1 Organisation und Regeln für das Praktikum
1.1 Verbindliche Regeln für das Praktikum . . . .
1.1.1 Organisation des Praktikums . . . . .
1.1.2 Testat . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Verschiedenes . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Bemerkungen zum Praktikum . . . . . . . . .
1.2.1 Praktikumsbericht . . . . . . . . . . .
1.3 Support . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9
9
9
9
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11
2 Statistische Verteilungen
2.1 Messungen und Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Mittelwert und Varianz . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Klassenbildung und Häufigkeit . . . . . . . . . . . .
2.4 Wahrscheinlichkeitsverteilungen . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4 Poissonverteilung . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Zentraler Grenzwertsatz. Verteilung des Mittelwerts
2.6 Lineare Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Standardfehler der Schätzung . . . . . . . . .
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24
25
3 Fehlerrechnung
3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Wieso messen wir? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Voraussetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Grenzen der Messgenauigkeit und Zweck der Fehlerrechnung . . . .
3.1.4 Direkte und indirekte Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Klassifizierung der Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Systematische und statistische Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Fehler der Beobachtungsgrössen und Fehler indirekter Messungen . .
3.2.3 Absolutfehler und Relativfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Statistischer Fehler der Beobachtungsgrösse . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Streuen der Messwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Der Durchschnitt als Schätzwert des wahren Wertes der Messgrösse
3.3.3 Die Standardabweichung als Mass für die Streuung der Messwerte .
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4
INHALTSVERZEICHNIS
3.4
3.5
3.3.4
Fehler des Mittelwertes“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
”
3.3.5 Darstellung der Messergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . .
Fortpflanzung der Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Problemstellung bei indirekten Messungen . . . . . . . . . .
3.4.2 Fehlerfortpflanzungsgesetz von Gauß . . . . . . . . . . . . .
Zusammenstellung der Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Direkte Beobachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Indirekte Beobachtung: Fehler zusammengesetzter Grössen
4 Einführung ins experimentelle Arbeiten
4.1 Galton-Brett . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Theorie . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Übungen . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Versuchsaufgaben . . . . . . . . . .
4.1.5 Auswertung . . . . . . . . . . . . .
4.2 Würfel-Versuch . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Theorie . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Versuchsaufgaben und Auswertung
4.3 Fallzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Theorie . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . .
4.3.4 Versuchsaufgaben und Auswertung
5 Stossversuch
5.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Energieübertragung beim Stoss
5.3 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . .
5.5 Versuchsaufgaben und Auswertung . .
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6 Transversalschwingung einer gespannten Saite
6.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Begriff der Welle und ihre physikalische Beschreibung .
6.2.2 Eindimensionale Wellengleichung für den Saitenversuch
6.2.3 Lösung durch Separation der Variablen.
Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Versuchsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
5
7 Erzwungene Schwingung
7.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Die freie, ungedämpfte Schwingung . . .
7.2.2 Die freie, gedämpfte Schwingung . . . .
7.2.3 Die erzwungene, gedämpfte Schwingung
7.3 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Versuchsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 Erzwungene Schwingung . . . . . . . . .
7.4.2 Freie Schwingung . . . . . . . . . . . . .
7.5 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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78
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83
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88
88
8 Gekoppelte Pendel
8.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Das physikalische Pendel . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2 Bewegungsgleichungen zweier gekoppelter Pendel
8.2.3 Anfangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.4 Kopplungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Versuchsaufgaben und Auswertung . . . . . . . . . . . .
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91
91
91
93
97
98
9 Kreisel
9.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Die Präzessionsgeschwindigkeit des
9.3 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Versuchsaufgaben . . . . . . . . . . . . . .
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105
107
108
108
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Kreisels
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10 Tragflächenmodell im Windkanal
10.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1 Einige Definitionen . . . . . . . . . . . .
10.2.2 Bernoulli-Theorem . . . . . . . . . . . .
10.2.3 Druckmessung . . . . . . . . . . . . . .
10.2.4 Zirkulation . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.5 Luftkräfte an der Tragfläche . . . . . . .
10.2.6 Polardiagramm nach Otto von Lilienthal
10.3 Versuchsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . .
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119
119
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122
123
125
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11 Linsen
11.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.1 Allgemeine Prinzipien der geometrischen Optik
11.2.2 Linsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.3 Brennweitenbestimmung nach Bessel . . . . . .
11.2.4 Brennweitenbestimmung bei Zerstreuungslinsen
11.2.5 Messung von grossen Brennweiten . . . . . . .
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6
INHALTSVERZEICHNIS
11.3 Übung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4 Versuchsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142
142
12 Prismenspektrometer
12.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.1 Ablenkung im Prisma und Brechungsindex . .
12.2.2 Auflösungsvermögen des Prismenspektrometers
12.3 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4 Versuchsaufgaben und Auswertung . . . . . . . . . . .
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13 Molare Wärmekapazität
13.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.1 Molare Wärmekapazität . . . . .
13.2.2 Adiabatische Zustandsänderung .
13.3 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . .
13.4 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.5 Versuchsaufgaben und Auswertung . . .
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165
14 Spezifische Ladung des Elektrons e/m
14.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2.1 Das bewegte Elektron im Magnetfeld
14.2.2 Magnetfeld in Helmholtzspulen . . .
14.3 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.4 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . .
14.5 Versuchsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . .
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170
170
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Kapitel 1
Organisation und Regeln für das
Praktikum
1.1. VERBINDLICHE REGELN FÜR DAS PRAKTIKUM
1.1
1.1.1
9
Verbindliche Regeln für das Praktikum
Organisation des Praktikums
• Das Praktikum wird in Gruppen an jeweils einem Nachmittag pro Woche durchgeführt.
Zwei Studenten/-innen arbeiten gemeinsam an einem Versuch.
• Die Studierenden bleiben ein Semester lang in der gleichen Praktikumsgruppe. Die
Assistierenden führen dauernd Kontrolle über die ausgeführten Versuche, die Präsenz
und die Anerkennung der Versuchsberichte aller Studierenden ihrer Gruppe.
• Das Praktikum findet wöchentlich statt und beinhaltet 3 Stunden Arbeit und 15 Minuten Pause. Die Blockzeiten sind einzuhalten.
• Das Praktikum soll in der ersten oder zweiten Semesterwoche beginnen. Die Assistierenden können nach Bedarf für einzelne Versuche zwei Praktikumsnachmittage verwenden.
• Das Praktikum endet nachdem alle Versuche ausgeführt sind.
Wichtig: Alle Ausnahmen von diesen Regeln müssen von einem Leiter des Praktikums bewilligt werden bevor die Studierenden informiert werden.
1.1.2
Testat
• Die Studierenden führen jeden Versuch durch.
• Jeder Praktikumsversuch inklusive des Berichts wird von den Assistierenden beurteilt.
Für ein positives Testat müssen alle Versuche positiv durchgeführt werden. Die Testatnote ist der Mittelwert über alle Einzelnoten.
1.1.3
Verschiedenes
• Ein Versuch gilt als durchgeführt wenn das entsprechende Experiment am Praktikumsnachmittag durchgeführt, ein Praktikumsbericht erstellt, und allfällige nachträgliche
Ergänzungen des Berichts gemacht worden sind.
• Die Dispensation von Versuchen aufgrund von Vorkenntnissen ist nach Absprache mit
dem Praktikumsleiter möglich.
• Wer allenfalls einen Versuch nicht mit seiner Gruppe durchführen kann, orientiert frühzeitig
die Assistentin oder den Assistenten, damit die Ausführung des Experiments mit einer
anderen Gruppe organisiert werden kann.
• Bitte Absenzen so früh wie möglich mitteilen, damit ein Ersatztermin gefunden werden
kann. Absenzen sind nur in gut begründeten Fällen erlaubt.
• Alle Versuche sind zuhause vorzubereiten. Die Einleitung im Praktikumsheft ist dann
bereits gemacht.
10
1. ORGANISATION UND REGELN FÜR DAS PRAKTIKUM
• Für den Praktikumsbericht gelten die Regeln der Universität Bern betreffend Plagiate:
www.unibe.ch/e152701/e322683/e325102/e323212/ul rl plagiate ger.pdf
Jeder Praktikumsbericht ist mit folgendem unterschriebenen Text1 einzureichen: “Ich
erkläre hiermit, dass ich die vorliegende schriftliche Arbeit selbstständig verfasst und
keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe. Alle Stellen
der Arbeit, die anderen Werken dem Wortlaut oder dem Sinn nach entnommen wurden,
habe ich in jedem Fall unter Angabe der Quelle als Entlehnung kenntlich gemacht. Das
Gleiche gilt auch für evt. beigegebene Zeichnungen und Darstellungen. Mir ist bekannt,
dass ich andernfalls ein Plagiat begangen habe, dass dieses mit der Note 1 bestraft wird
und dass ich vom Dekan einen Verweis erhalte.”
1.2
1.2.1
Bemerkungen zum Praktikum
Praktikumsbericht
• Ziel des Praktikumsberichts ist die knappe, aber präzise und vollständige Dokumentation des Versuches und dessen Auswertung. Anhand eines Praktikumsberichts sollten
die Versuche reproduziert werden können.
• Alle Informationen gehören ins Praktikumsheft. Es dürfen keine losen Blätter oder Ringordner verwendet werden.
• Typische Gliederung:
– Titelzeile mit Versuchstitel, Autoren und Datum
– Einleitung
∗ Ziel des Versuchs
∗ Zusammenstellung der für die Auswertung benötigten Formeln mit Erklärungen
inkl. Formeln für Fehlerrechnung. Verwendete Symbole einführen.
∗ Theoretische Aufgaben
– Versuchsaufbau und -durchführung
∗ Versuchsaufbau mit Skizze, Gerätenummern und Beschreibung
∗ Beschreibung, wie und was gemessen wurde
∗ Messergebnisse als Tabelle der direkten Messwerte mit Einheiten und den abgeschätzten Fehlern der Messwerte. Noch keine Auswertung.
– Auswertung der Messungen
∗ Statistische Auswertung der Messgrössen und die daraus hergeleiteten Grössen
inkl. Fehlerrechnung
∗ Tabellarische und/oder grafische Darstellung der Ergebnisse und ihrer Fehler,
wenn möglich zusammen mit den erwarteten Ergebnissen aus der Theorie. Grafische Darstellungen sind als Computergrafik mit korrekter Achsenbeschriftung
und Fehlerbalken zu erstellen.
– Diskussion
1
Dieser Text ist dem “Leitfaden für das Verfassen von schriftlichen Arbeiten, Version 1.9” des Departements
Sozialwissenschaften der Universität Bern, www.sowi.unibe.ch, entnommen.
1.3. SUPPORT
11
∗ Stimmen die Ergebnisse im Rahmen ihrer Fehler mit den Vorhersagen der
Theorie überein? Wenn nein: Wo liegen mögliche Fehlerquellen, die in der
Fehlerrechnung nicht berücksichtigt wurden?
∗ Allenfalls zusätzliche Kommentare und Anmerkungen, z.B. zu Schwierigkeiten
während der Messung, die (aus Zeitmangel oder wegen technischer Probleme)
nicht behoben werden konnten.
– Literaturverzeichnis (wenn zusätzliche Literatur nebst dem Praktikumsskript verwendet wurde)
1.3
Support
Das Physikpraktikum für die unterschiedlichen Studiengängefindet im U2 des Gebäudes der
Exakten Wissenschaften in den Räumen 801A - C, 701A - C, 811 - 814 und 819 statt. Für
den Support des Praktikums d.h. Organisation und Bereitstellen der Versuche, Reparaturen
etc. ist Herr F. Marbacher (Tel. 37 85) zuständig. Im Notfall vertritt ihn Herr U. Lauterburg
(Tel. 44 88).
Weil die zur Verfügung stehenden Räumlichkeiten für die Praktika sehr beschränkt sind, ist
ein tägliches Umstellen und Neueinrichten der Versuchsanordnungen notwendig. Damit der
Arbeitsaufwand in einem vernünftigen Rahmen bleibt, ist das Support-Personal auf die Mithilfe der beteiligten AssistentInnen und StudentInnen angewiesen. Dabei sind die folgenden
Richtlinien zu beachten:
Für die nicht vor dem Semester festgelegten Praktika müssen die gewünschten Versuche mindestens eine Woche vor der Durchführung am Stöpselbrett im 1. UG mit Angabe der Anzahl
benötigter Versuche (Stöpselindex) gesteckt werden. Dies gilt sowohl für Theoriestunden ohne
Experimente wie auch für ausfallende und nachzuholende Praktikas. Die maximal mögliche
Anzahl Versuchsanordnungen pro Experiment ist der Tabelle neben dem Stöpselbrett zu entnehmen. Allenfalls sind die Prioritäten unter den Assistenten abzusprechen, dies stets unter
Berücksichtigung der festen Zuteilungen für MedizinerInnen, VeterinärmedizinerInnen, BiologInnen und PharmazeutInnen. Die weisse Tafel gegenüber dem Hörsaal 099 bei der Loge,
zeigt die Raumzuteilung für den jeweiligen Tag unter dem Namen der PraktikumsassistentInnen oder der Gruppenbezeichnungen an.
Wir bitten die verantwortlichen AssistentInnen
• die Studierenden vor dem Experimentieren gründlich über die Handhabung der aufgestellten Apparate und Geräte zu informieren.
• zu schauen, dass die Versuche sorgfältig durchgeführt und die Apparaturen schonend
behandelt werden.
• die defekten Geräte sofort zur Reparatur in den Vorbereitungsraum 903 zu bringen
oder ausserhalb der Arbeitszeiten den Defekt mit einem Zettel markiert kurz zu beschreiben. Aus Zeitgründen können beim Aufstellen der Versuche keine umfänglichen
Funktionskontrollen sämtlicher Apparate gemacht werden.
12
1. ORGANISATION UND REGELN FÜR DAS PRAKTIKUM
• nach Abschluss der Praktika dafür zu sorgen, dass die Versuche in ihren ursprünglichen
Zustand gebracht werden, d.h. die Geräte gemäss Inventarlisten in die Kästen einordnen,
fest angeschlossene Netzkabel unter die Traggriffe der Geräte rollen und die Experimentierkabel in die Kabelrechen hängen, damit nachfolgende Gruppen die Experimente,
Tische und Räume in einem ordentlichen Zustand vorfinden.
• die Geräte nicht aus dem Praktikum zu entfernen. Zur Vorbereitung und zum Ausprobieren, stehen die Versuche und Räume im Prinzip ausserhalb des normalen Stundenplans
zur Verfügung (Herren Marbacher oder Lauterburg fragen).
• zu schauen, dass Messinstrumente, Geräte und Pulte nicht beschriftet plus Snacks und
Drinks nur ausserhalb der Räume konsumiert werden.
• Nach dem Praktikum Fenster und Türen abzuschliessen.
Wir hoffen auf eine gute Zusammenarbeit im Sinne aller Beteiligten.
1.3. SUPPORT
13
Kapitel 2
Statistische Verteilungen
für den ständigen Gebrauch im Praktikum
2.1. MESSUNGEN UND FEHLER
2.1
17
Messungen und Fehler
Wir unterscheiden zwei grundsätzlich verschiedene Arten von Messungen:
• Vergleichsmessungen, z. B. Messen einer Länge, Masse oder Zeit. Sie liefern Werte aus
einem kontinuierlichen Wertebereich, also Werte aus Q bzw. R.
• Zählmessungen, z. B. Anzahl β − -Zerfälle in 1 Gramm 3 H pro Sekunde. Sie liefern Werte
aus einem diskreten Wertebereich, also Werte aus N.
Wir beschränken uns hier auf direkte Messungen, indirekte werden unter dem Stichwort Fehlerfortpflanzung im Skript zur Fehlerrechnung (s. Kapitel 3) behandelt.
Eine physikalische Grösse kann durch Messung nie genau bestimmt werden, denn diese ist immer mit einem Fehler behaftet. Trotzden ist die Annahme wesentlich, dass die Grösse einen
eindeutigen Wert, den wahren Wert“ µ hat, auch wenn dieser der Messung grundsätzlich
”
unzugänglich ist. Die Quellen der Messfehler werden wiederum im Skript zur Fehlerrechnung
behandelt.
2.2
Mittelwert und Varianz
Betrachten wir eine Serie von n Messungen, welche die Werte x1 , x2 , . . . xn geliefert habe.
Dabei beobachten wir meist eine Häufung dieser Werte um einen bestimmten Wert x:
n
1X
x=
xi
n
(2.1)
i=1
x heisst arithmetischer Mittelwert der n Werte xi ; er ist ein guter Schätzwert für den wahren
Wert µ in dem Sinne, dass die Summe der Abweichungsquadrate S 2 minimal wird:
2
S =
n
X
i=1
(xi − x)2 = Min. ⇔ x = x
(2.2)
Als Mass für die durchschnittliche Abweichung der xi von x verwenden wir die Varianz
n
s2 =
n
1 X
1 X 2
xi − nx2 )
(
(xi − x)2 =
n−1
n−1
i=1
(2.3)
i=1
Ihre positive Wurzel s heisst Standardabweichung der Werte xi . Sie hat die gleiche Dimension
wie die Variable x und ist ein Mass für die Breite der Verteilung der Messwerte xi um den
Mittelwert x.
Bemerkung: Der Nenner n−1 in Gleichung (2.3) (statt n, wie man vielleicht erwarten könnte)
ist die Anzahl Freiheitsgrade der Summe der n Quadrate (xi − x)2 . Die n Freiheitsgrade der n
unabhängigen Messungen werden durch die Bedingung in Gleichung (2.2) um Eins reduziert
(s. [4], S. 39, 168 ff).
18
2.3
2. STATISTISCHE VERTEILUNGEN
Klassenbildung und Häufigkeit
Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Vergleichsmessung einen ganz bestimmten Wert x zu erhalten, ist vom Mass Null. Es ist deshalb einfacher, den Wertebereich in Intervalle (Klassen) zu
unterteilen und nach der Wahrscheinlichkeit zu fragen, mit der ein Messwert in eine bestimmte Klasse fällt, denn diese wird eine endliche Zahl sein. Wir teilen also den Wertebereich in
m Intervalle Ij [xlj , xrj ], wobei sich diese berühren sollen, d.h. xrj = xlj+1 . Alle Messwerte xi
mit xlj < xi < xrj betrachten wir danach als gleich und ordnen ihnen einen einheitlichen Wert
xj zu, z.B. die Klassenmitte xj = (xlj + xrj )/2. Die Anzahl fj der n Messwerte, welche in die
Klasse j fallen, heisst absolute Klassenhäufigkeit. Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung
den Wert xj zu finden, beträgt also
pj = fj /n
(2.4)
pj heisst auch relative Klassenhäufigkeit.
Übung: Zeige, dass die Normierungsbedingung
n
X
pj = 1
(2.5)
j=1
erfüllt ist. Die Normierungsbedingung sagt aus, dass bei einer Messung mit Wahrscheinlichkeit Eins ein beliebiger Wert gemessen wird.
Übung: Zeige, dass sich Mittelwert und Varianz mit Hilfe der pj folgendermassen schreiben
lassen:
m
X
x=
pj x j
(2.6)
j=1
m
n X
pj (xj − x)2
s =
n−1
2
(2.7)
j=1
2.4
2.4.1
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Allgemeines
Zeichnet man die pj als Funktion der xj auf, erhält man das Wahrscheinlichkeitsdiagramm.
Dieses geht im Grenzwert n → ∞ und xlj → xrj ∀j, d.h. für beliebig viele Messungen und
beliebig schmale Klassen, in die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ϕ(x) über.
Vorsicht: ϕ(x) ist nicht die Wahrscheinlichkeit, den Wert x zu messen! Sinnvoll ist nur die
Frage nach der Wahrscheinlichkeit, einen Wert im (infinitesimalen) Intervall [x, x + dx] zu
finden. Diese ist natürlich auch infinitesimal und beträgt
dp(x) = ϕ(x)dx
(2.8)
Die Wahrscheinlichkeit, einen Messwert xi im Intervall [xlj , xrj ] zu erhalten, wird durch Integration ermittelt:
2.4. WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN
p(xlj
< xi ≤
xrj )
=
Z
19
xrj
ϕ(x)dx
(2.9)
xlj
Ebenso beträgt die Wahrscheinlichkeit für xi < xj
Z xj
p(xi < xj ) =
ϕ(x)dx
(2.10)
−∞
Die Normierungsbedingung (Gleichung (2.5)) bleibt natürlich beim Grenzübergang erhalten,
also
Z ∞
ϕ(x)dx = 1
(2.11)
−∞
Etwas anders liegen die Verhältnisse bei Zählmessungen: Da nur eine abzählbare Zahl von
Resultaten in Frage kommt, ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung diskret und die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung (Zählung) ein ganz bestimmtes Resultat ni zu erhalten, endlich:
p(ni ) = ϕi
(2.12)
Die Normierungsbedingung lautet in diesem Fall
∞
X
ϕi = 1
(2.13)
i=0
Übung: Wie lauten bei Zählmessungen die analogen Ausdrücke für die Gleichungen (2.9) und
(2.10)?
2.4.2
Normalverteilung
Die Erfahrung zeigt, dass bei Vergleichsmessungen die Wahrscheinlichkeitsverteilungen oft
folgende Bedingungen erfüllen:
• Messwerte xi mit kleinen Abweichungen εi = xi − x vom Mittelwert x sind häufiger als
solche mit grossen εi und sehr grosse εi kommen praktisch nicht vor.
• Man findet etwa gleich häufig positive wie negative Abweichungen εi , d.h. die Verteilung
ist symmetrisch um x.
Eine analytische Funktion mit diesen Eigenschaften ist z.B.
ϕ(x) = N e−(x−a)
2 /(2 σ 2 )
,
(2.14)
falls die beiden Parameter a und σ mit dem Mittelwert x bzw. der Standardabweichung s
der Messwerte identifiziert werden. N ist nicht etwa ein freier Parameter, sondern festgelegt
durch die Forderung, dass ϕ(x) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung sein soll und deshalb die
Normierungsbedingung erfüllen muss, also
Z ∞
1
ϕ(x)dx = 1 ⇔ N = √
(2.15)
2πσ
−∞
20
2. STATISTISCHE VERTEILUNGEN
Übung: Zeige dies!
Die so erhaltene Wahrscheinlichkeitsverteilung
ϕ(x; a, σ) = √
1
2
2
e−(x−a) /(2 σ )
2πσ
(2.16)
heisst Normal- oder Gaußverteilung. In vielen Fällen ist die Annahme gerechtfertigt, dass die
Resultate von Vergleichsmessungen gemäss (2.16) verteilt sind. Die beiden Parameter a und
σ haben einfache geometrische Deutungen: Während a den Ort des Maximums angibt, liegen
die beiden Wendepunkte bei a ± σ. 2σ wird deshalb auch als Breite der Verteilung bezeichnet.
Die Summenfunktion Φ(x; a, σ) gibt die Wahrscheinlichkeit an, bei der Messung einer normalverteilten Grösse einen Wert xi ≤ x zu finden:
Z x
′
′
ϕ(x ; a, σ)dx
(2.17)
Φ(x; a, σ) = p(xi ≤ x) =
−∞
Dieses lntegral ist nicht elementar; man findet aber die Funktion Φ(x) in Tabellen,1 jedoch
nur für a = 0 und σ = 1.
Übung: Zeige, dass man durch eine geeignete Variablentransformation die Summenfunktion
Φ(x; a, σ) für beliebige Werte von a und σ aus den tabellierten Werten für a = 0 und σ = 1
berechnen kann.
Die Wahrscheinlichkeit, einen Messwert im Intervall a ± ξ zu finden, lässt sich mit Φ schreiben
als
p(a − ξ < xi ≤ a + ξ) = Φ(a + ξ; a, σ) − Φ(a − ξ; a, σ) = 1 − 2Φ(a − ξ; a, σ)
(2.18)
Wählt man ξ = σ, 2σ oder 3σ, findet man
ξ=σ:
p(a − σ < xi ≤ a + σ)
= 68.27%
ξ = 2σ : p(a − 2σ < xi ≤ a + 2σ) = 95.45%
(2.19)
ξ = 3σ : p(a − 3σ < xi ≤ a + 3σ) = 99.73%
d.h. gut 2/3 der Messwerte einer normalverteilten Grösse liegen innerhalb einer ±1σ-Umgebung
um den Mittelwert a und weniger als drei Promille ausserhalb einer ±3σ-Umgebung!
2.4.3
Binomialverteilung
Experimente, für deren Ausgang nur zwei Möglichkeiten existieren, führen auf die Binomialverteilung. Beispiele:
• Münzenwurf: Zahl oder nicht Zahl
• Würfel: Sechs oder nicht Sechs
• Zeitmessung: t < 1 s oder t ≥ 1 s
1
z.B. Bronstein und Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, Harri Deutsch, Thun, 1982, oder Abramowitz and Stegun, Handbook of Mathematical functions, Dover, New York 1968
2.4. WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN
21
Ereignis A treffe mit der Wahrscheinlichkeit w ein, das dazu komplementäre Ereignis A wegen
der Normierungsbedingung also mit Wahrscheinlichkeit 1 − w. Was ist nun die Wahrscheinlichkeit pn (k), bei n voneinander unabhängigen Messungen (z.B. Münzenwürfen usw.) genau
k mal (in beliebiger Reihenfolge) das Resultat A zu finden?
pn (k) ist das Produkt aus der Wahrscheinlichkeit pn (k, geordnet), k mal das Resultat A in
einer bestimmten Reihenfolge zu bekommen, und der Anzahl M der möglichen Reihenfolgen,
mit denen man in n Messungen k mal das Resultat A erhält. Da die Ereignisse unabhängig
sind, ist pn (k, geordnet) das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten:
pn (k, geordnet) = wk (1 − w)n−k
Die Anzahl der Reihenfolgen (Permutationen) ist:
n!
n
M=
=
k
k!(n − k)!
(2.20)
(2.21)
Die gesuchte Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet demnach
n!
wk (1 − w)n−k
(2.22)
k!(n − k)!
Durch Vergleich mit dem binomischen Lehrsatz sieht man, dass sie bereits normiert ist, d.h.
sie erfüllt die Bedingung
pn (k) = M × pn (k, geordnet) =
n
X
pn (k) = 1
(2.23)
k=0
(siehe auch [1]).
Die Binomialverteilung ist unhandlich und wird deshalb wo immer möglich durch die Normaloder die Poissonverteilung approximiert. Eine Näherung durch die Normalverteilung ist möglich
für grosse n und nichtextreme w (d.h. w weder zu nahe bei 0 noch bei 1).
Beweis: s. [4], Anhang 1 (gute Übung für den Umgang mit unendlichen Reihen).
2.4.4
Poissonverteilung
Die Poissonverteilung tritt immer dann auf, wenn die Wahrscheinlichkeit w eines Ereignisses
klein und die Anzahl n der Messungen gross ist.
Beispiele:
• Anzahl Druckfehler pro Buchseite
• Anzahl Sechser pro Ziehung des Zahlenlottos
• Anzahl Zerfälle in 1 Gramm
210 Pb
pro Sekunde
Sie ist wie die Binomialverteilung diskret und asymmetrisch, da sie nur für Werte aus N0
definiert ist. Ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet
pm (k) =
mk −m
e
k!
(2.24)
22
2. STATISTISCHE VERTEILUNGEN
Sie hat den einzigen Parameter m = wn, der Mittelwert und Varianz zugleich darstellt (d.h.
√
m ist proportional zur Breite der Verteilung). Der Faktor e−m ergibt sich übrigens aus der
Normierungsbedingung, denn es ist
∞
X
mk
k=0
k!
= em
(2.25)
also
∞
X
pm (k) = em e−m = 1
(2.26)
k=0
Oft wird die Poissonverteilung zur Approximation der Binomialverteilung benützt. Dies ist
immer dann möglich, wenn n gross und w klein ist (konkret heisst dies etwa n > 8 und
W < 1/8). Dies ist bei den meisten Zählexperimenten erfüllt, weshalb sie für ihre Analyse
das wichtigere (und einfachere) Werkzeug darstellt.
Übung: Erstelle Wertetabellen der Binomialverteilung mit n =4, w =1/4; n =8, W =1/8 und
n =100, W =1/100 für jeweils einige k und vergleiche sie mit der Poissonverteilung mit m =1.
Zeige dann:
lim lim
n→∞ w→0
n
k
wk (1 − w)n−k =
(nw)k −nw
e
k!
(2.27)
Hinweis: Die Grenzwerte sind so auszuführen, dass nw konstant bleibt.
Übung (schwierig): Zeige, dass die Poissonverteilung für grosse m (d.h. etwa m > 8) in die
√
Normalverteilung mit Mittelwert m und Standardabweichung m übergeht:
mk −m
1
2
e
=√
e−(k−m) /(2m)
m→∞ k!
2πm
lim
(2.28)
Verwende dabei zur Approximation der Fakultät die Stirling-Formel
k! ≃
√
2πk k k exp(−k +
1
)
12k
(2.29)
Abbildung 2.1 zeigt eine Übersicht über die verschiedenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen
und die Zusammenhänge zwischen ihnen. In Abbildung 2.2 sind Beispiele der Verteilungsfunktionen graphisch dargestellt.
2.5
Zentraler Grenzwertsatz. Verteilung des Mittelwerts
Führt man eine Serie von n Messungen mehrmals durch, so wird man natürlich nicht jedesmal
den gleichen Mittelwert finden, sondern diese werden auch gemäss einer Wahrscheinlichkeitsverteilung um den wahren Wert verteilt sein. Der Mittelwert x von n Messungen xi ist also
wie diese mit einem Fehler behaftet; man findet durch anwenden des Fehlerfortpflanzungsgesetzes auf die Formel für den Mittelwert (Gleichung (2.1))
2.5. ZENTRALER GRENZWERTSATZ. VERTEILUNG DES MITTELWERTS
23
Binomialverteilung:
n gross, p nicht extrem
ϕ(k; n, w) =
n
k
wk (1 − w)n−k
✲ a = nw, σ 2 = nw(1 − w)
k→x
❄
❄
Normalverteilung:
n gross, w klein
m = nw
1
2
2
ϕ(x; a, σ) = √ e−(x−a) /(2σ )
σ 2π
❄
✻
Poissonverteilung:
ϕ(k; m) =
m gross
✲ a = m, σ 2 = m
mk −m
e
k!
k→x
Abbildung 2.1: Zusammenfassung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen
sx =
"
n X
∂x 2
i=1
∂xi
s2x
#1/2
"
#1/2
n
X
1
1
(xi − x)2
= √ sx =
n(n − 1)
n
(2.30)
i=1
wo sx der Fehler der Einzelmessung sei (siehe Gleichung (2.3)). Bei n Messungen verkleinert
√
sich der Fehler also um einen Faktor 1/ n. Dies bedeutet, dass der Mittelwert durch Vergrössern der Messserie beliebig nahe zum wahren Wert µ gebracht werden kann.
Satz: (Zentraler Grenzwertsatz)
Die Mittelwerte xi einer mehrmals wiederholten Messserie sind in jedem Fall näherungsweise
normalverteilt um den wahren Wert µ, und zwar unabhängig vom jeweiligen Verteilungsgesetz
der Einzelmessungen. Die Güte der Näherung ist proportional der Anzahl Einzelmessungen.
24
2. STATISTISCHE VERTEILUNGEN
Beweis: Siehe z.B. [3], S. 119 ff.
Dies erlaubt uns analoge Aussagen für den Mittelwert von beliebig verteilten Messungen wie
für die normalverteilte Einzelmessung (Gleichung (2.19)):
p(µ − sx < x ≤ µ + sx ) = 68.27%
p(µ − 2sx < x ≤ µ + 2sx ) = 95.45%
(2.31)
p(µ − 3sx < x ≤ µ + 3sx ) = 99.73%
Ebenso gilt die Umkehrung:
p(x − sx < µ ≤ x + sx ) = 68.27%
(2.32)
usw., d.h. der unbekannte wahre Wert liegt mit Wahrscheinlichkeit 2/3 im Intervall [x − sx ,
x + sx ]. Als Standardfehler bezeichnet man üblicherweise die 68 %-Fehlergrenze (auch 1σFehler genannt). Als Ergebnis einer Serie von Einzelmessungen schreibt man also
x = x ± sx
(2.33)
und meint damit den 1σ-Fehler, wenn nicht etwas anderes angegeben wird. Bei Zählmessungen,
deren Werte poissonverteilt sind, kann dieses Verfahren sogar noch vereinfacht werden: Anstatt viele Messungen über kurze Zeiten zu machen, können wir uns mit einer einzigen entsprechend ausgedehnten Messung begnügen. Aus dem so erhaltenen Wert m kann natürlich kein
Mittelwert berechnet werden; wir müssen ihn deshalb direkt als Schätzung für den wahren
Wert µ nehmen. Die Standardabweichung σ ist jedoch vorerst unbekannt. Wir wissen aber
(siehe Übung 2.4.4), dass die Poissonverteilung für grosse m in eine Normalverteilung mit
√
√
Mittelwert m und Standardabweichung m übergeht. m ist deshalb ein guter Schätzwert
für σ (sogar ein besserer als m für µ). Der Absolutfehler dieser Zählmessung mit Resultat m
√
ist also s= m, und damit können wir das Resultat angeben als
M =m±
√
m
(2.34)
(68 %-Fehlerschranke).
Übung: Eine ausgedehnte Messung einer poissonverteilten Grösse habe das Resultat m er√
geben, ihr Fehler ist also s= m. Zeige, dass eine Unterteilung dieser Messung in n Einzelmessungen mit m1 + m2 + . . . + mn = m (mi seien die Resultate der Einzelmessungen) auf
√
denselben Fehler m führt. (Verwende dazu das Fehlerfortpflanzungsgesetz.)
2.6
Lineare Regression
Oft wissen wir aus der Theorie oder stellen aus den Resultaten fest, dass zwei gemessene
Variablen x und y einer Serie von n Messungen einen (ev. näherungsweisen) linearen Zusammenhang erfüllen. Es stellt sich daher das Problem, eine Gerade
y = ax + b
(2.35)
2.6. LINEARE REGRESSION
25
zu finden, welche die n Datenpaare (xi , yi ) möglichst gut approximiert. Eine solche Gerade
is leicht zu finden, falls
• die Fehler sx vernachlässigbar und
• die Fehler sy unabhängig von x und y sind.
Andernfalls ist das Vorgehen komplizierter, siehe z.B. [3], S. 315 ff.
Als optimale Gerade definieren wir jene, für welche die Quadratsumme der (senkrecht zur
x-Achse) gemessenen Differenzen zwischen Datenpunkt und Gerade minimal wird, also
D=
n
X
i=0
[y(xi ) − yi ]2 =
n
X
i=0
(axi + b − yi )2 = Min.
(2.36)
Die beiden freien Parameter a und b werden durch die Extremalbedingung dD = 0 festgelegt:
∂D
=0 ;
∂a
Ausführen der partiellen Ableitungen führt auf
a
n
X
x2i
+b
xi =
i=1
i=1
a
n
X
∂D
=0
∂b
n
X
xi + b n =
n
X
i=1
n
X
(2.37)
x i yi
(2.38)
yi
i=1
i=1
und damit ergibt sich für die Parameter der Regressionsgeraden
a =
b =
P
P P
x i y i − x i yi
P
P
n x2i − ( xi )2
P P 2 P P
y i x i − x i x i yi
P
P
,
n x2i − ( xi )2
n
(2.39)
wobei alle Summen über i = 1 bis n laufen.
Bemerkung: Wie erwähnt werden die Abstände zur Bildung der Quadratsumme D senkrecht
zur x-Achse gemessen, da die sx als vernachlässigbar angenommen wurden. Diese Voraussetzung ist im Praktikum normalerweise erfüllt, muss in der Praxis aber immer geprüft werden.
2.6.1
Standardfehler der Schätzung
Weil die Regressionsgerade durch das Verfahren der kleinsten Quadrate (3.36) gebildet wird,
geht sie durch den Mittelpunkt der Variablen (x, y). Die mittlere (und auch totale) gemessene
Differenz zwischen den Datenpunkten und der Regressionsgerade ist somit gleich Null.
n
n
i=1
i=1
1X
1X
[y(xi ) − yi ] =
di = d = 0
n
n
(2.40)
26
2. STATISTISCHE VERTEILUNGEN
Die durch die Regressionsgerade definierten Werte liefern nur im Durchschnitt richtige Resultate, einzelne Datenpunkte werden von ihr über- beziehungsweise unterschätzt (liegen oberhalb oder unterhalb der Regressionsgeraden). Wichtig ist jedoch nicht, dass die Schätzungen
im Durchnitt richtig sind, sondern dass auch jede davon so nahe wie möglich am wahren Wert
liegt. Als Indikator dafür kann die Quadratsumme D verwendet werden, die ja gerade die
Abweichungen der prognostizierten Werte von den wahren Werten angibt. Um den Einfluss
der Anzahl Messungen zu eliminieren wird noch durch deren Anzahl dividiert.
Pn
d2
D
= i=1 i
(2.41)
n
n
Weil d = 0 gilt, kann man obige Gleichung auch umschreiben zu
n
n
n
i=1
i=1
i=1
1X 2
1X 2
1X 2
di =
[di − 0] =
di − d
n
n
n
(2.42)
Der letzte Term entspricht dabei der Varianz der Differenzen (Residuen). Oft wird die Quadratsumme nicht durch die Anzahl Messungen n dividiert sondern durch ( n − k ), wobei k
die Anzahl freier Variablen ist. Die Quadratwurzel daraus wird Standardfehler der Schätzung
genannt und berechnet sich für die lineare Regression folgendermassen
r
D
sy =
(2.43)
n−2
Mit x und b als freien Variablen in der Geradengleichung.
Auch der Regressionskoeffizient a kann mehr oder weniger um seinen wahren Wert schwanken. Als Mass dafür lässt sich wieder dessen Varianz verwenden. Diese kann jedoch nicht
direkt gebildet werden, da der wahre Wert von a nicht bekannt ist. Stattdessen kann mit der
folgenden Abschätzung gearbeitet werden.
Var(d)
Var(x) · n
p
sa = Var(a)
r
1 D
sa =
σx n
Var(a) =
(2.44)
(2.45)
(2.46)
wo σx die Standardabweichung der xi und D die Quadratsumme aus Gleichung (2.36) ist.
Der Fehler sb des Achsenabschnitts b kann nicht unabhängig von sa angegeben werden, denn
die Regressionsgerade geht immer durch den Punkt (x, y).
Übung: Beweise dies!
Daher ist durch die Angabe von sa das Intervall bereits bestimmt, in dem b liegen kann.
Übung: Aus der Theorie sei bekannt, dass eine Serie von Datenpunkten (xi , yi ) durch eine
Gerade durch den Ursprung approximiert werden könne. Finde analog dem oben skizzierten
2.6. LINEARE REGRESSION
27
Verfahren den Parameter a der Geradengleichung
y = ax,
(2.47)
welche die Wertepaare (xi , yi ) optimal approximiert. (Die Bedingungen an die Fehler sx , sy
seien erfüllt.)
Die Voraussetzung b = 0 wird bei einigen Versuchen des Praktikums gemacht (z.B. Saite,
Kreisel).
28
2. STATISTISCHE VERTEILUNGEN
Wahrscheinlichkeitsdichte
Binominalverteilung
n=4
w = 0.5
m=2
0.3
n = 200
w = 0.01
m=2
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.0
0.0
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
5
k
k
6
7
8
9
10
Poissonverteilung
Wahrscheinlichkeitsdichte
0.25
m = 10
m=2
0.20
0.20
0.15
0.15
0.10
0.10
0.05
0.05
0.00
0.00
0
1
2
3
4
5
k
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
k
Normalverteilung
a=2
σ = a1/2
0.30
0.25
Wahrscheinlichkeitsdichte
0.25
a = 10
σ = a1/2
0.30
0.25
0.20
0.20
0.15
0.15
0.10
0.10
0.05
0.05
0.00
-5
0
5
x
10
5
10
x
Abbildung 2.2: Graphische Darstellungen zu den Wahrscheinlichkeitsverteilungen
15
20
0.00
25
Literaturverzeichnis
[1] E. Kreyszig (1991), Statistische Methoden und ihre Anwendungen, Vandenhoek & Ruprecht, Göttingen [Bibliothek ExWi: KAE 233].
[2] P. R. Bevington und D. K. Robinson (2003), Data Reduction and Error Analysis for the
Physical Sciences, McGraw-Hill, New York.
[3] S. Brandt (1992), Datenanalyse: mit statistischen Methoden und Computerprogrammen,
B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim [Bibliothek ExWi: KAE 205].
Kapitel 3
Fehlerrechnung
für den ständigen Gebrauch im Praktikum
3.1. EINLEITUNG
3.1
3.1.1
33
Einleitung
Wieso messen wir?
Die Physik will die Natur mit mathematischen Mitteln möglichst genau und vollständig beschreiben. Aus gemessenen Daten sollen Theorien (physikalische Gesetze) entwickelt werden.
Diese Gesetze sollen durch verschiedene Messungen immer wieder überprüft werden. Das
Messen und die Interpretation von Messungen sind zentrale Punkte der Physik.
3.1.2
Voraussetzungen
Beim Messen physikalischer Grössen nehmen wir immer gewisse Voraussetzungen als gegeben
an. Wichtige Voraussetzungen, die stillschweigend als richtig angenommen werden, sind:
• Die physikalischen Gesetze gelten global und zu allen Zeiten.
• Es gibt Messeinheiten, die weder vom Ort noch von der Zeit abhängig sind.
• Es existiert ein wahrer und eindeutiger Wert für jede Messgrösse.
Mit derartigen Fragen und dem Problem, wie weit der Mensch überhaupt fähig ist, Dinge
wirklich sicher wahrzunehmen, beschäftigt sich die Erkenntnistheorie, ein Zweig der Philosophie.
3.1.3
Grenzen der Messgenauigkeit und Zweck der Fehlerrechnung
Braucht auch ein guter Physiker, der keine Fehler macht, die Fehlerrechnung zu kennen?
Einerseits hat wohl sogar Albert Einstein hin und wieder einen Fehler gemacht. Anderseits
wird hier das Wort Fehler“ in einem ganz anderen Sinn verwendet. Fehler“ steht hier für
”
”
geschätzte Abweichung vom wahren Wert“. Den wahren Wert kennen wir nie genau. Die
”
Fehlerrechnung soll ein Mass für die zu erwartende Abweichung der Messergebnisse vom
wahren Wert“ liefern. Die Abweichungen sind eine Folge der beschränkten Genauigkeit jeder
”
Messung. Die Fehlerrechnung gibt auf folgende Fragen eine Antwort:
• Entspricht ein Resultat innerhalb der Fehlergrenzen dem überprüften Gesetz?
• Welche Messfehler liefern den Hauptbeitrag zum Gesamtfehler?
• Wie muss die Methode verbessert werden, wenn der Fehler verkleinert werden soll?
Der Ausdruck Fehlerrechnung“ ist zwar allgemein üblich, aber teilweise irreführend: Einer”
seits geht es nicht um Fehler im üblichen Sinn, anderseits findet man mit Rechnen allein die
Antwort auf die oben aufgeführten Fragen nicht.
3.1.4
Direkte und indirekte Messungen
Längen, Zeiten, Kräfte und einiges mehr können wir direkt an relativ einfachen Messgeräten
ablesen. Solche Messungen nennen wir direkte Messungen. Wollen wir die mittlere Fallgeschwindigkeit eines Apfels vom Ast auf den Boden bestimmen, müssen wir die Höhe des
Astes und die Fallzeit messen und die mittlere Fallgeschwindigkeit aus den Messergebnissen
ausrechnen. Die Bestimmung der Fallgeschwindigkeit ist eine indirekte Messung. Mit direkten Messungen ermittelte Grössen heissen auch Beobachtungsgrössen. Beobachtungsgrössen
34
3. FEHLERRECHNUNG
müssen immer unmittelbar und ohne vorherige Umrechnung im Protokoll notiert werden, damit die wichtige Forderung nach Reproduzierbarkeit eines Experiments erfüllt werden kann.
Würden nur die Resultate indirekter Messungen notiert, wäre es später unmöglich, allfällige
Rechen- oder Programmierfehler zu finden! Schon die Umrechnung einer gemessenen Frequenz
auf die Periode bedeutet, dass diese nur indirekt gemessen wurde.
3.2
3.2.1
Klassifizierung der Fehler
Systematische und statistische Fehler
Bei einem Experiment unterscheiden wir phänomenologisch zwei Arten von Fehlern: Der statistische Fehler sorgt dafür, dass der gemessene Wert zufällig um den tatsächlichen Wert einer
Grösse schwankt, wenn dasselbe Experiment mehrmals durchgeführt wird. Der statistische
Fehler lässt sich mit Methoden der Statistik quantifizieren (Mittelwert aus den Einzelmessungen bilden) und durch Wiederholen des Experiments reduzieren. Systematische Fehler
verfälschen dagegen das Messresultat in einer nicht-zufälligen Weise. Eine Fehlerrechnung
aufgrund der verschiedenen Fehlerquellen ist nötig, um deren Effekt auf das Endergebnis
abzuschätzen.
Beispiel: Bestimmung der Energie eines schwingenden Pendels durch Messung der Amplitude
des ersten Ausschlags, den das Pendel nach dem Anstossen ausführt. Zum einen werden wir
die Amplitude nie ganz genau ablesen können. Wiederholen wir die Messung, werden wir
jedesmal ein etwas anderes Resultat erhalten. Je häufiger wir die Messung wiederholen, desto
genauere Aussagen über die Amplitude können wir machen. Zum andern lässt sich nicht
vermeiden, dass nach dem Anstossen das Pendel bereits während des ersten Ausschlags einen
Teil seiner kinetischen Energie durch Luftreibung verliert. Dies ist ein systematischer Fehler;
er wird nicht kleiner, auch wenn wir noch so oft messen.
Systematische Fehler sind schwieriger zu erkennen, da sie bei Wiederholen des Experiments
nicht zu einem anderen Messergebnis führen müssen. Beispiele sind Vernachlässigung kleiner Einflüsse (Luftwiderstand bei Fallversuchen), Fehler an Messgeräten oder grobfahrlässige
Fehler wie die Verwechslung von Einheiten oder das Einstellen eines falschen Messbereichs.
Bei grobfahrlässigen Fehlern hilft nur eines: Überprüfen und evtl. Wiederholen der Messung.
Für alle anderen Fälle nehmen wir fürs Anfängerpraktikum an, dass die Fehler klein im
Verhältnis zum Resultat sind und dass die verschiedenen Fehlerquellen (egal ob systematisch
oder statistisch) voneinander unabhängig sind. Unter diesen Bedingungen kann der Einfluss
von systematischen wie von statistischen Fehlern aufs Resultat mittels Fehlerfortpflanzungsgesetz (s. Abschnitt 3.4) abgeschätzt werden.
Es ist ein wesentliches Ziel des Anfängerpraktikums, die Suche nach Fehlern und den Umgang mit ihnen zu üben. Aufgespürte Quellen systematischer Fehler sollten unbedingt im
Versuchsprotokoll erwähnt werden.
3.2.2
Fehler der Beobachtungsgrössen und Fehler indirekter Messungen
Wie sich die Fehler der direkten Messungen auf den Fehler der daraus berechneten indirekten
Messung auswirken, beschreibt das Fehlerfortpflanzungsgesetz (vgl. Abschnitt 3.4).
3.3. STATISTISCHER FEHLER DER BEOBACHTUNGSGRÖSSE
3.2.3
35
Absolutfehler und Relativfehler
Ein Fehler kann in den Einheiten der Messgrösse ( Absolutfehler“) oder als (dimensionsloser)
”
Bruchteil des der gemessenen Grösse ( Relativfehler“) angegeben werden. Bei der Anwen”
dung des Fehlerfortpflanzungsgesetzes erweist sich die Rechnung mit relativen Fehlern oft als
einfacher.
3.3
3.3.1
Statistischer Fehler der Beobachtungsgrösse
Streuen der Messwerte
Beispiel:
Wir bestimmen die Tourenzahl eines Grammophontellers, wenn 33 RPM eingestellt sind. Mit
einer Stoppuhr, welche Hundertstelsekunden anzeigt, messen wir 20 Mal die Zeit, in welcher
der Teller eine Umdrehung macht:
Laufnummern
1 1.77
6
2 1.85
7
3 1.91
8
4 1.79
9
5 1.79 10
(1. . . 20) und gemessene Zeiten (in s)
1.82 11 1.78 16 1.85
1.76 12 1.81 17 1.72
1.86 13 1.73 18 1.84
1.85 14 1.81 19 1.82
1.81 15 1.84 20 1.93
Vermutlich läuft das Grammophon regelmässig, aber wir starten und stoppen die Zeit nur auf
etwas weniger als eine Zehntelsekunde genau, weswegen wir fast jedesmal einen anderen Wert
ablesen. Als zusammenfassendes Resultat unserer zwanzig Messungen sollten wir aber einen
Schätzwert für die wahre Umlaufszeit angeben. Mit einer weiteren Zahl sollte das Streuen der
Messwerte quantitativ beschreiben werden.
3.3.2
Der Durchschnitt als Schätzwert des wahren Wertes der Messgrösse
Unsere Schätzung der Messgrösse (z.B. Umlaufszeit des Grammophontellers“) sollte möglichst
”
”
nahe“ beim unbekannten wahren Wert liegen. Der am häufigsten gebrauchte Schätzwert ist
das arithmetische Mittel der Messwerte, der sogenannte Durchschnitt“.
”
x̄ :=
N
P
xi
i=1
N
(3.1)
xi : Werte der Einzelmessungen
N : Anzahl der Messungen oder Umfang der Stichprobe“
”
Je grösser N , desto näher wird x̄ im Allgemeinen beim wahren Wert liegen. Je mehr Messungen
wir also ausführen, desto besser wird unsere Schätzung, sofern keine systematischen Fehler
vorliegen.
Der Durchschnitt ist nur eine von mehreren möglichen Definitionen eines Mittelwerts. Andere
Beispiele, die aber hier nicht definiert werden: Median oder Zentralwert, häufigster Wert, usw.
36
3. FEHLERRECHNUNG
3.3.3
Die Standardabweichung als Mass für die Streuung der Messwerte
Definition der Standardabweichung
Als Mass für die Streuung der einzelnen Messwerte wird am Häufigsten die sogenannte Standardabweichung verwendet:
v
u
N
u 1 X
t
(xi − x̄)2
(3.2)
sx :=
N −1
i=1
xi : Werte der Einzelmessungen
x̄: Durchschnitt der Stichprobe
N : Anzahl der Messungen oder Umfang der Stichprobe“
”
Ausser von der Standardabweichung sx spricht man auch von ihrem Quadrat, der Varianz s2x .
Die Standardabweichung ist nicht vom Umfang der Stichprobe abhängig, wenn alle Messungen
nach der gleichen Methode ausgeführt werden. Die Standardabweichung wird etwa auch Feh”
ler der Einzelmessung“ genannt. Als Absolutfehler hat sie dieselbe Einheit wie die Messwerte.
Aufgabe 1:
Berechne den Durchschnitt und die Standardabweichung für das Beispiel in 3.3.1. [Lösung:
x̄ = 1.817 s, sx = 0.053 s]
Aufgabe 2:
P
Zeige, dass die Summe (xi − c)2 am kleinsten wird für c = x̄. Was bedeutet das?
Spezialfälle
Es gibt Fälle, wo die Standardabweichung offensichtlich kein vernünftiges Resultat für die
Streuung der Messwerte liefert.
Beispiele:
• Der Zeiger der Stoppuhr springt jeweils um eine ganze Zehntelsekunde.
• Digitale Messgeräte zeigen oft nur so viele Stellen an, wie ihrer Eichgenauigkeit entspricht.
Der Raster der möglichen Anzeigewerte ist bei diesen Geräten so grob, dass kleine Schwankungen der Messwerte gar nicht bemerkt werden. Übrigens kann meistens aus der Feinheit
des Rasters ungefähr auf die Genauigkeit eines Gerätes geschlossen werden.
3.3.4
Fehler des Mittelwertes“
”
Wir haben den Durchschnitt einer Stichprobe bestimmt. Können wir voraussagen, wie stark
die Durchschnitte vieler weiterer Stichproben gleichen Umfangs streuen werden?
Die Streuung dieser Durchschnitte wäre ein Mass für die zu erwartende Abweichung unseres
Durchschnitts vom wahren Wert, d. h. für den Fehler unseres mit Hilfe einer Stichprobe
bestimmten Durchschnitts. Wir erwarten, dass der Durchschnitt aus mehreren Messungen
3.3. STATISTISCHER FEHLER DER BEOBACHTUNGSGRÖSSE
37
tendenziell weniger vom - unbekannten - wahren Wert abweicht als eine einzelne Messung;
das ist auch der Grund, warum wir eine Grösse mehrmals messen müssen.
√
Durchschnitte aus je N Messungen streuen um 1/ N weniger stark als die Einzelmessungen.
Wir schreiben also den “Fehler des Mittelwerts” als
v
u
u
sx̄ := t
N
X
1
1
(xi − x̄)2 = √ sx
N (N − 1)
N
i=1
(3.3)
Aufgabe 3:
Berechne den Fehler des Mittelwerts“ im Beispiel in Unterabschnitt 3.3.1!
”
[Lösung: sx̄ = 0.0118 s]
3.3.5
Darstellung der Messergebnisse
Als Resultat einer mehrmaligen Messung der Grösse x werden der Durchschnitt x̄ der Stichprobe sowie dessen für weitere Messungen vorausgesagte Streuung sx̄ , genannt Fehler des
”
Mittelwerts“, angegeben. Der Fehler lässt sich meistens auf ein bis zwei signifikante Stellen
abschätzen. Mittelwert und Fehler sollen mit gleich vielen Dezimalstellen geschrieben werden.
Erklärung:
Die folgenden Ausdrücke haben zwei signifikante Stellen“: 0.0012, 0.012, 0.12, 1.2, 12.
”
Sowohl zum Durchschnitt ( Mittelwert“) als auch zum Fehler des Mittelwerts gehören Ein”
heiten. Die Einheit ist für beide dieselbe wie für die Messgrösse.
Beispiel:
Umlaufszeit des Plattentellers: T = (1.817 ± 0.012) s
Die Streuung der Mittelwerte kann auch als relativer Fehler angegeben werden:
T = 1.817 s ±0.65 %
Bemerkung:
Als Messung“ können wir, statt jede einzelne der Beobachtungen, auch die Gruppe von N
”
Beobachtungen ansehen, die das Resultat T̄ für die Grösse T liefert. Darum ist es sinnvoll,
als Fehler des Resultats immer den Fehler des Mittelwerts“ anzugeben.
”
38
3.4
3.4.1
3. FEHLERRECHNUNG
Fortpflanzung der Fehler
Problemstellung bei indirekten Messungen
In den wenigsten Fällen wird in einem Experiment die gesuchte Grösse unmittelbar gemessen
werden können. Meistens müssen wir verschiedene Grössen messen und sie mit Hilfe mehr
oder weniger komplizierter Formeln verknüpfen, um das gesuchte Resultat zu erhalten. Wie
wirken sich nun die Streuungen der direkten Messungen einzelner Grössen auf das Resultat
der indirekten Messung aus?
3.4.2
Fehlerfortpflanzungsgesetz von Gauß
Die folgenden Überlegungen helfen, das Gaußche Fehlerfortpflanzungsgesetz zu verstehen.
Nur eine unabhängige Grösse
Wir haben in einer Serie von N Messungen einer Beobachtungsgrösse den Mittelwert x̄ und
seinen Fehler sx̄ bestimmt. Es stellt sich nun die Frage, welchen Wert wir für eine von x
abhängige Grösse f (x) (indirekte Messung) angeben sollen.
Wir könnten natürlich die fi := f (xi ) rechnen und den Mittelwert f¯ dieser N Funktionswerte
angeben. sf¯, der Fehler von f¯, könnte dann aus den fi bestimmt werden.
Gesucht ist aber eine Methode, die es erlaubt, f¯ und sf¯ näherungsweise direkt aus x̄ und
sx̄ zu berechnen. Man kennt nämlich nicht immer alle Messwerte xi , aus welchen x̄ und sx̄
berechnet worden sind.
Die ersten zwei Terme der Entwicklung von f (x) in eine Taylorreihe erfüllen für kleine dx die
Näherung (siehe Abb. 3.4.2):
f (x + dx) ∼
= f (x) + f ′ (x) dx
(3.4)
Das heisst: Sind an der Stelle x die Werte der Funktion f (x) und ihrer Ableitung f ′ (x) ≡ df /dx
bekannt, so lässt sich der Funktionswert an einer Nachbarstelle x + dx nach obiger Formel
annähern. Die Näherung wird umso besser, je kleiner die Abstände dx sind.
Da wir (hoffentlich!) in den meisten Fällen nicht mit grossen Fehlern zu arbeiten haben
werden, kann diese Formel bei unserem Problem helfen:
Mit den Abkürzungen
gilt nach Taylor:
dxi := xi − x̄
f (xi ) ∼
= f (x̄) + dfi
und
df dfi :=
dxi
dx x=x̄
Näherung für f (x̄):
N
1 X
¯
Bei der Mittelbildung f =
f (xi ) verschwindet die Summe der Abweichungen dxi .
N
i=1
3.4. FORTPFLANZUNG DER FEHLER
39
f (x+dx)
df = f ' (x) d
dx
f (x)
x
x+dx
Abbildung 3.1: Erste Näherung nach Taylor
Deshalb gilt:
f¯ ∼
= f (x̄)
(3.5)
Näherung für sf¯:
N
s2f¯
1 1 X
∼ 1 1
=
(fi − f¯)2 =
N N −1
N N −1
i=1
Das heisst:
s2f¯
∼
=
2
df s2x̄
dx x=x̄
oder
2 X
N
df (dxi )2
dx x=x̄
(3.6)
i=1
df ∼
sx̄
sf¯ = dx x=x̄
(3.7)
Wird einmal nur der zahlenmässige Wert von sf¯ gesucht, kann die Formel von Taylor wie
folgt verwendet werden (sx̄ anstelle von dx setzen):
sf¯ ∼
= |f (x̄ + sx̄ ) − f (x̄)|
(3.8)
Anwendung auf ausgewählte Funktionen f (x)
f (x) = ax
(a = const)
df =a
dx x=x̄
(3.9)
40
3. FEHLERRECHNUNG
s2f¯ ∼
= a2 s2x̄
oder
sf¯ ∼
= |a| sx̄
1
f (x) =
x
df 1
=− 2
dx x=x̄
x̄
(3.10)
1
1
s2f¯ ∼
oder
sf¯ ∼
= 4 s2x̄
= 2 sx̄
x̄
x̄
Das Resultat sieht in beiden Fällen (Gleichungen (3.9) und (3.10)) einfacher aus, wenn mit
dem relativen statt mit dem absoluten Fehler gerechnet wird:
sf¯
sx̄
∼
=
¯
|x̄|
|f |
(Die relativen Fehler sind einander gleich!)
f (x) = x b
(3.12)
f¯ ∼
= x̄ b
(3.13)
df = bx̄ b−1
dx x=x̄
s2f¯ ∼
= (b x̄ b−1 )2 s2x̄
sf¯
sx̄
∼
= |b|
¯
|x̄|
|f |
Berechne sf¯ und sf¯/|f¯| selber für:
(3.11)
oder
sf¯ ∼
= |b x̄ b−1 | sx̄
(3.14)
(3.15)
(|b|-facher Relativfehler!)
(3.16)
f (x) = sin x
(3.17)
f (x) = cos x
(3.18)
f (x) = ex
(3.19)
f (x) = 5x2 + k
f (x) = ax2 − bx
(k konstant)
(3.20)
(a, b konstant)
(3.21)
Zwei oder mehrere unabhängige Grössen
Etwas schwieriger wird es, wenn die zu berechnende Grösse f von zwei mit Fehlern behafteten
Beobachtungsgrössen x und y abhängt: f = f (x, y)
Die Formel von Taylor lautet hier (für kleine dxi , dyi ):
wobei:
f (xi , yi ) ∼
= f (x̄, ȳ) + dfi
∂f ∂f dfi =
dx
+
dyi
i
y=ȳ
y=ȳ
∂x x=x̄
∂y x=x̄
(3.22)
(3.23)
3.4. FORTPFLANZUNG DER FEHLER
41
Erklärung: ∂f /∂x heisst partielle Ableitung“ der Funktion f (x, y, z, . . .) nach der Varia”
blen x. Partiell ableiten bedeutet: Wir bilden von einer Funktion f (x, y, z, . . .) die Ableitung
nach einer Variablen und halten dabei die übrigen Variablen fest. (Wir können anschliessend
nach einer anderen Variablen ableiten und wiederum die übrigen als Konstanten betrachten,
usw.)
Man kann nach dem Muster von Unterabschnitt 3.4.2 selber herleiten, dass somit:

2
2

∂f
∂f
 s2x̄ + 
 s2ȳ
f¯ ∼
= f (x̄, ȳ) und s2f¯ ∼
=
∂x y=ȳ
∂y y=ȳ
x=x̄
(3.24)
x=x̄
Wäre sȳ = 0, so hätten wir den zuerst behandelten Fall der Abhängigkeit von nur einer
Variable
2
∂f 2
2
∼
(3.25)
s2x̄
(Definition des Symbols sf¯(x) )
sf¯ ≡ sf¯(x) =
∂x x=x̄
Man kann für den Fall zweier Variablen auch schreiben:
s2f¯(x,y) = s2f¯(x) + s2f¯(y)
s2f¯(x)

2
∂f ∼
 s2x̄
=
y=ȳ
∂x x=x̄
und
wobei:
s2f¯(y)
(3.26)
2
∂f ∼
 s2ȳ
=
y=ȳ
∂y x=x̄

(3.27)
In einem Satz: Der von sx̄ herrührende Fehler sf¯(x) und der von sȳ herrührende Fehler sf¯(y)
werden quadratisch addiert, was den Fehler sf¯ von f¯ ergibt. Das ist das Fehlerfortpflanzungsgesetz von Gauß für f (x, y).
Die Erweiterung auf den Fall, wo f von mehr als zwei Variablen abhängt, lässt sich erraten
(und beweisen):
s2f¯(x,y,z,...) = s2f¯(x) + s2f¯(y) + s2f¯(z) + . . .
(3.28)
Das ist die praktisch wichtigste Form des Gaußchen Fehlerfortpflanzungsgesetzes: Zuerst wird
der von jeder Eingangsgrösse (x, y, z, . . .) herrührende Fehler einzeln formelmässig und numerisch erfasst; anschliessend werden die numerischen Werte quadratisch addiert, um den
numerischen Fehler des Schlussresultates zu berechnen.
Anwendung auf ausgewählte Funktionen
f (x, y) = x + y
s2f¯ = s2x̄ + sȳ2
(3.29)
f¯ ∼
= x̄ + ȳ
∂f ∂f =1
=1
y=ȳ
y=ȳ
∂x x=x̄
∂y x=x̄
(Quadratische Addition der absoluten Fehler!)
Suche selber:
f (x, y) = x − y
f (x, y) = x · y
f¯ ∼
= x̄ · ȳ
(3.30)
(3.31)
42
3. FEHLERRECHNUNG
∂f = ȳ
y=ȳ
∂x x=x̄
∂f = x̄
y=ȳ
∂y x=x̄
s2f¯ = ȳ 2 · s2x̄ + x̄2 · s2ȳ
Vereinfachung:
s2f¯
s2ȳ
s2x̄
=
+
x̄2 ȳ 2
f¯2
Das heisst, dass hier die relativen Fehler quadratisch addiert werden!
x
(3.32)
y
Konkretes Beispiel: Wir wollen mit Hilfe eines mathematischen Pendels die Erdbeschleunigung g bestimmen. Wie genau können wir das? (vgl. DMK/DPK, S. 181)
Suche selber:
Aus
1/2
L
T = 2π
g
f=
T : Schwingungsdauer
(3.33)
4π 2 L
d. h. g = g(L, T )
T2
Wir messen L und T , die mit den Fehlern sL und sT behaftet sind.
folgt
g=
Bemerkung: Die Schätzwerte für L und T sowie ihre Fehler haben wir zwar aus einer Mittelwertbildung erhalten, aber für die Fehlerfortpflanzung spielt das keine Rolle (Siehe Bemerkung
unter 3.3.5!). Wir schreiben deshalb L, T , sL und sT statt L̄, T̄ , sL̄ und sT̄ .
Aufgabe 4:
• Wie schreibt man das Messresultat nach vorigem Beispiel auf, wenn mit folgenden Zahlenwerten gerechnet wird:
T = (2.00 ± 0.02) s,
L = (99.8 ± 0.3) cm
√
• Streuung der Mittelwerte: In Unterabschnitt 3.3.4 steht sx̄ = sx / N . Beweise dies mit
Hilfe des Fehlerfortpflanzungsgesetzes von Gauß!
Bemerkungen zum Fehlerfortpflanzungsgesetz von Gauß
• Der Fehler des Endresultats ist kleiner als die Summe der Fehler der einzelnen Messgrössen: sf < sf (x) + sf (y)
• Die partiellen Ableitungen geben das Gewicht“ an, das der Fehler der entsprechenden
”
Messgrösse bei der Berechnung des Gesamtfehlers hat.
• Ohne auf den Geltungsbereich weiter einzugehen, wollen wir annehmen, dass das Gaußche Fehlerfortpflanzungsgesetz immer angewandt werden darf, sofern die betrachteten
Grössen nicht voneinander abhängig sind.
• Oft wirkt sich die Streuung einer Beobachtungsgrösse viel stärker auf das Endresultat
aus als die Streuung der übrigen Beobachtungsgrössen, so dass diese vernachlässigt
werden können. Eine grobe Abschätzung erspart oft mühsames Rechnen!
3.5. ZUSAMMENSTELLUNG DER FORMELN
3.5
43
Zusammenstellung der Formeln
3.5.1
Direkte Beobachtung
Durchschnitt oder arithmetischer Mittelwert
x̄ =
N
1 X
xi
N
i=1
N : Anzahl Messungen oder Umfang der Stichprobe“
”
(3.34)
Standardabweichung
Standardabweichung der Einzelmessungen oder Fehler der Einzelmessung“:
”
v
uN
uX
1
t (x − x̄)2
sx = √
i
N − 1 i=1
Standardabweichung der Durchschnitte oder Fehler des Mittelwerts“:
”
v
uN
uX
1
t (x − x̄)2
sx̄ = p
i
N (N − 1) i=1
(3.35)
(3.36)
Relativer Fehler des Mittelwerts“:
”
rx̄ =
3.5.2
sx̄
sx̄
≡
· 100%
|x̄|
|x̄|
(3.37)
Indirekte Beobachtung: Fehler zusammengesetzter Grössen
Zwischen einer Messgrösse x und ihrem geschätzten Wert (z. B. x̄) wird im Folgenden nicht
mehr unterschieden. (Siehe Bemerkung unter 3.3.5!)
Streuung s von f (allgemein)
Fehlerfortpflanzungsgesetz
s2f = s2f (x) + s2f (y) + . . . ≡
∂f
∂x
2
s2x +
∂f
∂y
2
s2y + . . .
(3.38)
Die Werte der partiellen Ableitungen werden dabei an der Stelle (x = x̄, y = ȳ) berechnet.
Spezialfälle
Summe und Differenz
f =x+y
und
s2f = s2x + s2y
f =x−y
(3.39)
(3.40)
Produkt und Quotient
f =x·y
und
f=
x
y
und
f=
y
x
(3.41)
44
3. FEHLERRECHNUNG
Potenz
sf
f
2
=
s 2
x
x
+
sy
y
2
(3.42)
f = xa
(3.43)
sf
sx
= |a|
|f |
|x|
(3.44)
Literaturverzeichnis
[1] P. R. Bevington und D. K. Robinson (2003), Data Reduction and Error Analysis for the
Physical Sciences, McGraw-Hill, New York.
[2] DMK/DPK/DCK (2013), Formeln, Tabellen, Begriffe, orell füssli, Zürich.
[3] W.H. Gränicher (1994), Messung beendet - was nun?, Stuttgart.
[4] E. Kreyszig (1991), Statistische Methoden und ihre Anwendungen, Vandenhoek & Ruprecht, Göttingen [Bibliothek ExWi: KAE 233].
Kapitel 4
Einführung ins experimentelle
Arbeiten
4.1. GALTON-BRETT
4.1
4.1.1
49
Galton-Brett
Einleitung
In einem schräggestellten Brett stecken (z. B.) 14 Reihen Stifte, in exakt gleichen Abständen
von Stift zu Stift. Zuoberst wird eine Kugel losgelassen, welche am unteren Ende des Bretts
in das mittelste von 15 Fächern rollen würde, wenn nicht in jeder Reihe ein Stift die Kugel
stoppen und mit gleichen Wahrscheinlichkeiten (je 0.5) nach links oder nach rechts hinunter
rollen liesse. Dank dieser Hindernisse kommt die Kugel in irgend eines der 15 Fächer zu liegen,
und zwar nicht jedesmal in dasselbe.
Es ist der Vorteil dieser Anordnung, dass jeder sich unter einem dealen Galtonbrett dasselbe
vorstellt. Ferner ist es leicht, für diese Idealvorstellung (das Modell) die Wahrscheinlichkeit
zu berechnen, mit welcher die Kugel in ein bestimmtes Fach rollen wird. Beispiel: Sie muss
14 Mal hintereinander nach links abgelenkt werden, um das äusserste Fach links zu erreichen;
die Wahrscheinlichkeit dieses Falls ist also 0.514 = 6.1 × 10−5 .
Mit wenigen Kugeln (oder Messungen) lässt sich nicht erkennen, wie gut das von unseren
Mechanikern fabrizierte Brett dem Modell entspricht. Betrachtet man die Verteilung von 50
Kugeln auf die 15 Fächer, gibt es schon Fälle, bei denen man Mühe hat, an ein präzis konstruiertes Brett zu glauben: Nämlich wenn Belegungen vorkommen, die weit“ weg von den
”
berechneten Werten sind.
Schärfer wird das Urteil, wenn man 20 Mal je 50 Kugeln rollen gelassen hat und die (evtl. aufsummierten) Fächerbelegungen mit den nach dem Modell erwarteten (berechneten) Werten
vergleicht: Bereits kleinere Unregelmässigkeiten in der Stiftanordnung zeigen sich an. Auch
bei einer sehr hohen Zahl von Versuchen ( Messungen“) bleibt aber ein Rest an Ungewissheit
”
bestehen.
Diese Situation ist ähnlich wie bei den meisten (allen?) physikalischen Messungen. Deshalb
werden alle physikalischen Messresultate mit einem sorgfältig abgeschätzten sogenannten Fehler angegeben, der diesen Rest von Ungewissheit für den Kenner quantifiziert.
4.1.2
Theorie
Bitte schlage in der Formelsammlung
[2] das Kapitel über Kombinatorik (Binomischer Lehr
satz, Binomialkoeffizienten nk ) auf!
Für unser Galton-Brett gilt:
Anzahl Reihen von Stiften: n = 14
Fächer-Nummerierung: x = 0...n (n + 1 = 15 Fächer)
Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel nach dem Auftreffen auf einen Stift links von ihm hinunterrollt: p = 0.5
Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel nach dem Auftreffen auf einen Stift rechts von ihm hinunterrollt: q := 1 − p = 0.5
Jeder Nagel erzwingt einen Entscheid links oder rechts“. Um in das Fach Nr. x zu gelangen,
”
muss sich die Kugel in x von n Fällen für links“ entschieden haben. Nach den Gesetzen der
”
Kombinatorik
x zu landen:
ist dann die Wahrscheinlichkeit, imFach
n
n!
n x (n−x)
:=
p q
wobei (Definition):
Pn (x) =
x
x
x! (n − x)!
Pn (x) ist die Binomialverteilung. Sie entspricht der Wahrscheinlichkeit, aus einer Urne mit
50
4. EINFÜHRUNG INS EXPERIMENTELLE ARBEITEN
sehr vielen Kugeln1 , wovon der Bruchteil p rot ist, in n Einzelzügen x Mal eine rote Kugel
zu erwischen (in der FoSa wird k statt x gebraucht.) Für das ideale Galtonbrett nehmen wir
p = q = 1/2 an.
4.1.3
Übungen
1. Zeige, dass
n
n
=
k
n−k
gilt!
2. Wie sieht man am Einfachsten, dass
n X
n
k=0
k
= 2n
gilt?
n
n−1
3. Kann k
auch als n
geschrieben werden? (freiwillig)
k
k−1
n
2
4. Forme k
entsprechend um! (freiwillig)
k
Pn
5. Wieviel ist
(Beweis leicht!)
x=0 Pn (x) ?
6. In einer Urne liegen 1000 rote und 500 weisse Kugeln. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass man in einem Zug von 4 Kugeln 3 rote erwischt? (Die Antwort braucht nur
fast genau zu sein.)
7. Wieviele Zahlen gibt es, welche in der Binärdarstellung aus 3 Einsen und 5 Nullen
bestehen?
Um nun zu berechnen, welche Belegung für ein bestimmtes Fach etwa zu erwarten ist, wenn
N = 50 Kugeln die n = 14 Nagelreihen passiert haben, muss die Wahrscheinlichkeit mit N
multipliziert werden:
F (x) = N Pn (x)
8. Rechne aus, welche Belegung für jedes Fach etwa zu erwarten ist (wird fürs Experiment
benötigt)!
Es ist instruktiv, sich vorzustellen, dass mit jeder Kugel eine Messung ausgeführt wird, deren
Resultat irgend eine ganze Zahl x zwischen 0 und 14 (die Nummer des Fachs) sein kann.
Da das Modell bekannt ist, können Durchschnitt µ und Standardabweichung σ dieser Messung ungefähr vorausgesagt werden, ja sogar die Standardabweichung σµ des Durchschnitts
von N = 50 Messungen:
µ :=
n
X
x Pn (x)
x=0
n
X
=
Pn (x)
n
X
x=0
x Pn (x) =
n
X
x F (x)/N = pn = 7
x=0
x=0
1
Enthält die Urne nur wenige Kugeln, muss man die jeweils gezogene Kugel sofort wieder zurücklegen, um
dieses Resultat zu erhalten! (Warum?)
4.1. GALTON-BRETT
51
n
X
x=0
σ 2 :=
Pn (x) (x − µ)2
n
X
=
n
X
x=0
F (x) (x − µ)2
N
Pn (x)
= npq = 3.5
x=0
σ
σµ = √
N
Bei der σ−Formel steht im Nenner N , nicht etwa N − 1, da der erwartete Durchschnitt
bekannt ist (µ = pn) und nicht aus den Stichprobenwerten geschätzt werden muss.
9. Mit welcher Standardabweichung wird die durchschnittliche Fachnummer bei einem, bei
50 und bei 1000 Versuchen um 7 herum streuen?
4.1.4
Versuchsaufgaben
Nun hat man schon sehr konkrete Vorstellungen über die mit einem idealen Galton-Brett zu
erwartenden Messresultate!
In einem ersten Schritt lässt man 50 Kugeln hinunterrollen, schreibt sich die Fächerbelegungen
auf und zeichnet das entsprechende Balkendiagramm, dazu in einer anderen Farbe das Balkendiagramm der für N = 50 Kugeln erwarteten Belegungen.
Ein Muster aus der Praxis (Sommer 1999):
x
f (x)
0
0
1
0
2
0
3
2
4
1
5
6
6
10
7
9
8
15
9
3
10
3
11
1
12
0
13
0
14
0
In einem zweiten Schritt lässt man insgesamt 1000 Kugeln hinunterrollen, um die Statistik
zu verbessern.
Überprüfe anschliessend für die kleine (N = 50) und die grosse Stichprobe (N = 1000) die
Übereinstimmung der gemessenen mit der berechneten Verteilung hinsichtlich der Fachnummern und der Belegungen:
4.1.5
Auswertung
Fachnummern
Stimmen Durchschnitt und Standardabweichung der Fachnummern in der Stichprobe (x̄ und
sx ) und in der Modellverteilung (µ und σ) etwa überein? Beim Durchschnitt kann man die
Antwort sogar quantifizieren!
Man erwartet (für N = 50):
x̄ ≈ µ = 7
und
sx ≈ σ =
√
3.5 = 1.87
52
4. EINFÜHRUNG INS EXPERIMENTELLE ARBEITEN
oder, mit der Standardabweichung des Durchschnitts, sx̄ , geschrieben:
r
3.5
x̄ ± sx̄ ≈ 7 ±
= 7.00 ± 0.26
50
Die Ausrechnung der Mustermessung zeigt in der Tat:
x̄ = 7.020
sx = 1.720
und der Durchschnitt der Fachnummern (7.02) liegt tatsächlich innerhalb der erwartenen
Grenzen (7.00 ± 0.26), also weniger als 4 % vom erwarteten Wert entfernt!
In den meisten Experimenten hat man aber vorerst keine Ahnung von den zu erwartenden
Werten µ und σ und muss halt von den aus der Stichprobe geschätzten Werten x̄ und
√ sx
ausgehen. Wüsste man also (wie meistens vor einer Messung) nichts von µ = 7 und σ = 3.5,
würde man nach dieser Messung (N = 50 Kugeln) trotzdem behaupten dürfen:2
√
µ = 7.020 ± 1.720/ 50 = 7.02 ± 0.24
Belegungen
Sind in den einzelnen Fächern etwa soviele Kugeln zu finden, wie zu erwarten gewesen wären?
Eigentlich fragt man sich umgekehrt, ob für ein ganz bestimmtes Fach x eine so grosse oder
eine so kleine Belegung f bei einem idealen Brett nicht sehr unwahrscheinlich wäre. Ein Urteil
ist nicht so leicht zu fällen, da die gemessenen Zahlen immer ziemlich von den berechneten
abweichen werden, jedenfalls wenn man die relativen, resp. prozentualen, Abweichungen betrachtet.
Um etwas besser sehen zu können, wie stark denn die einzelnen Fächerbelegungen etwa
schwanken dürfen, nehmen wir noch weitere 19 Stichproben und gewinnen so eine Stichprobe vom Umfang N = 1000.
Für jedes Fach x gilt nun: Die Fächerbelegung f (x) schwankt
um den erwarteten Wert
p
F (x) = N P14 (x) mit einer Standardabweichung von etwa F (x). Die Wahrscheinlichkeit
r, dass eine Kugel in ein bestimmtes Fach x fällt, ist r = Pn (x) = nx 2−n (meist klein:
0 < r ≪ 1). Die Wahrscheinlichkeiten, dass von N = 1000 Kugeln genau f (f = 0 . . . 1000)
in dieses Fach fallen, lassen sich wieder nach einer Binomialformel berechnen:
N f
r (1 − r)(N −f )
R(f ) =
f
Der Mittelwert und das Quadrat der Standardabweichung von f sind, wie bei jeder Binomialverteilung, leicht anzugeben:
f¯ :=
N
X
f =0
f R(f ) = N r
und
(f − f¯)2 = N r(1 − r)
2
Wie gross die Wahrscheinlichkeit ist, dass diese Behauptung stimmt, kann man nicht sagen; mit eher wahr
”
als unwahr“ ist man aber nicht weit daneben. Die Angabe einer Wahrscheinlichkeit setzt eine Annahme über die
Verteilung der x voraus, und diese ist hier keine Gauss- oder Normalverteilung, sondern eine Binomialverteilung.
4.2. WÜRFEL-VERSUCH
53
Man stellt erfreut fest, dass mit r ≪ 1 gilt: 1−r ≈ 1, das heisst, dass tatsächlich die Standardabweichung in den meisten interessanten Fällen fast genau der Wurzel aus der berechneten
mittleren Belegung f¯ = F (x) entsprechen sollte!
Wie schwanken die Belegungen über 20 Stichproben (zu je N = 50) für jedes der 15 Fächer
tatsächlich? (Nur wenige Fächer rechnen!)
Beurteile nun Deine beiden Stichproben (N = 50 und N = 1000)
— erstens nach Fachnummern:
Liegt die durchschnittliche Fachnummer im erwarteten Intervall?
Vermuteter Grund für eine eventuelle Abweichung?
Entspricht die Standardabweichung aller Fachnummern qualitativ (etwa) dem Modellwert?
Besser als bei N = 50?
— und zweitens nach Belegungen:
Sind einzelne Fächer signifikant über- oder
p unterbelegt?
Signifikant heisst: |f (x) − F (x)| > 2...3 F (x).
Vermuteter Grund?
Versuche, das von Deiner Gruppe getestete Brett (Nummer aufschreiben!) zu charakterisieren. Mache zahlenmässige Angaben darüber, ob und gegebenenfalls um wieviel es von einem
idealen Brett abweicht! Kannst Du dem Erbauer vorschlagen, wie er daraus ein noch idealeres
Brett machen könnte? Für welche Aussagen hätten N = 50 Messungen gereicht?
4.2
4.2.1
Würfel-Versuch
Einleitung
Mit Hilfe von Würfelexperimenten sollen die Begriffe der elementaren Statistik an praktischen
Beispielen veranschaulicht werden. Dieser Versuch gibt zudem eine erste Gelegenheit, sich im
Protokollieren und Darstellen von Messergebnissen zu üben.
4.2.2
Theorie
Die Kenntnis der Begriffe Mittelwert, Varianz, Standardabweichung, mittlerer Fehler der Einzelmessung, mittlerer Fehler des Mittelwerts sowie die einschlägigen Formeln zu deren Berechnung werden für diesen Versuch vorausgesetzt (Siehe [2], Statistik).
n Würfe mit 2 idealen Würfeln
Apriori Häufigkeitsverteilungen für die Summe der beiden Augenzahlen: Dreiecksverteilung.
Beispiel für n = 72.
xj
nj
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
11
11
12
12
54
4.2.3
4. EINFÜHRUNG INS EXPERIMENTELLE ARBEITEN
Versuchsaufgaben und Auswertung
Aufgabe 1
Wirf einen Würfel 144 mal und halte die geworfenen Augenzahlen in einer Urliste fest. Erstelle
ein Histogramm mit den Häufigkeiten für die verschiedenen möglichen Augenzahlen. Berechne
den empirischen Mittelwert und die empirische Varianz der Messreihe und vergleiche sie mit
Erwartungswert und Varianz für den idealen Würfel.
Aufgabe 2
Bilde die Summe der Augenzahlen je zweier aufeinanderfolgender Würfe aus Aufgabe 1 und
führe dieselbe Analyse durch. Wie weicht die empirische Häufigkeitsverteilung von der idealen
ab? (Abschnitt 4.2.2).
Aufgabe 3
Bilde die Summe der Augenzahlen von je 4 aufeinanderfolgenden Würfen aus Aufgabe 1
und teile die erhaltenen Werte in Klassen ein. Nach welchen Gesichtspunkten wählst du
die Klasseneinteilung? Berechne Mittelwert und Varianz nach den Formeln für in klassen
zusammengefasste Messungen und vergleiche sie mit Erwartungswert und Varianz für das
ideale Würfelquartett.
Aufgabe 4
Vergleiche Deine Ergebnisse mit denen der anderen Gruppen. Wie stark streuen die Mittelwerte?
4.3. FALLZEIT
4.3
4.3.1
55
Fallzeit
Einleitung
Es gibt heute eine Vielzahl von Methoden, um die Fallzeit eines frei fallenden Objektes präzise
zu messen, z.B. Zeitmessung mit Photozellen, Intervall-Photographie und Messmethoden mit
Ultraschall. Bereits mit einem Demonstrationsversuch für den Unterricht haben Schoch und
Winiger [2] eine Genauigkeit von 0.03% bei der Bestimmung der Erdbeschleunigung g aus
nur einer Messung der Fallzeit einer Kugel erreicht.
Die Messung der Fallzeit von Hand mit einer Stoppuhr scheint im ersten Moment eine relativ ungenaue Methode zur Bestimmung der Fallzeit zu sein. Dieses Verfahren eignet sich
jedoch sehr gut, um den Umgang mit Messfehlern in der Physik kennenzulernen [3], was der
Hauptzweck dieses Praktikums Versuches ist.
4.3.2
Theorie
Der Umgang mit Messfehlern in der Physik ist ausführlich im vorangehenden Kapitel “Fehlerrechnung”beschrieben.
Die Fallzeit eines Objektes aus der Höhe h ist, unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes,
bekanntlich durch die folgende Formel gegeben:
1
h = gt2
2
(4.1)
Die Abhängigkeit der Fallbeschleunigung g (in m/s2 ) von der geographischen Breite Φ und
der Höhe H (in m über Meereshöhe) kann näherungsweise wie folgt parametrisiert werden
[3]:
g = 9.80616 − 0.025928cos2Φ + 0.000069cos2 Φ − 3.086 · 10−7 H
(4.2)
wobei wir für Bern Φ = 47
4.3.3
o
und H = 550 m einsetzten können.
Versuchsaufbau
• Stativ mit einstellbarer Höhe (1-2 m) mit Magnethalter (DC)
• Magnetische Auslösevorrichtung mit Knopfdruckschalter
• Mehrere Scheiben (Durchmesser ca. 1.5 cm, Dicke 1 mm)
• Messstab oder Messband
• Stoppuhr (mit Anzeige von Hundertstelsekunden)
• Auffangschale mit Dämpfungsmaterial - Netzgerät für Relais
4.3.4
Versuchsaufgaben und Auswertung
Bestimme aus 200, mit der Stoppuhr gemessenen, Fallzeiten einer kleinen Metallscheibe aus
einer Höhe von 1.5 m bzw. 1 m die mittlere Fallzeit, deren Fehler, sowie die Streuung der
Einzelmessung (Standardabweichung). Berechne aus der mittleren Fallzeit die Fallbeschleunigung unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes und vergleiche den erhaltenen Wert mit
dem Wert von [3] für Bern, bzw. mit dem Tabellenwert aus der Formelsammlung. Diskutiere
56
4. EINFÜHRUNG INS EXPERIMENTELLE ARBEITEN
allfällige Abweichungen.
Nach einer “Trainingszeit“ von ca. 10 - 20 Messungen sollen die Messwerte fortlaufend während
der Messung in ein Histogramm mit geeigneten Zeitintervallen eingetragen werden. Die Urliste
der Messwerte, sowie die genauen Angaben über die verwendeten Messinstrumente, gehören
ebenfalls in das Versuchsprotokoll.
Falls die Zeit ausreicht, so soll die Messserie durch den Partner bzw. die Partnerin wiederholt,
oder die Fallzeit für eine zweite Höhe h bestimmt werden. Vergleiche die Resultate aus den
unterschiedlichen Messserien.
Beispiel: In drei Messserien mit je 200 Messungen (Stoppuhr: EPA-04-1682) sind die folgenden mittleren Fallzeiten t̄ gefunden worden, die in der Tablle mit den für Bern berechneten
Fallzeiten tT heorie verglichen werden:
h (cm)
150
150
100
Aufhängung der Scheibe
horizontal
vertikal
vertikal
t̄ (s)
0.5255 ± 0.0024
0.5274 ± 0.0022
0.4305 ± 0.0019
Abbildung 4.1: Versuchsanordnung
tT heorie (s)
0.553
0.553
0.452
Literaturverzeichnis
[1] DMK/DPK/DCK (2013), Formeln, Tabellen, Begriffe, orell füssli, Zürich.
[2] F. Schoch und W. Winiger (1991), The Physics Teacher, 29, 98-101.
[3] R. Ehrlich und M.L. Hutchinson (1994), The Physics Teacher, 32, 51-53.
Kapitel 5
Stossversuch
5.1. EINLEITUNG
5.1
61
Einleitung
In diesem Versuch soll die Frage beantwortet werden, ob die aus Impuls und Energieerhaltung
abgeleiteten Formeln experimentell bestätigt werden können.
Weiter soll der Anteil der kinetischen Energie bestimmt werden, der beim Stoss verloren geht.
Folgendes Vorgehen ist vorgesehen:
• Herleitung der Formeln und Berechnung der theoretischen Werte, die für den Vergleich
mit den Messungen nötig sind.
• experimentelle Überprüfung der berechneten Werte.
5.2
Theorie
Folgende Begriffe und Gesetze werden als bekannt vorausgesetzt (vgl. dazu Vorlesungsskript
“Physik I”):
• Zentraler Stoss zweier Teilchen.
• Energieübertragung beim elastischen und vollkommen unelastischen zentralen Stoss.
5.2.1
Energieübertragung beim Stoss
Parameterwahl:
Masse:
Geschwindigkeit:
vor dem Stoss
1.Teilchen 2.Teilchen
m1
m2
~v1
~v2
nach dem Stoss
1.Teilchen 2.Teilchen
m′1 = m1
m′2 = m2
′
~v1
~v2 ′
Impulssatz:
m1~v1 + m2~v2 = m1~v1 ′ + m2~v2 ′
(5.1)
Im Praktikum ist ein Teilchen in Ruhe, also:
~v2 = 0
(5.2)
Da es sich um einen zentralen Stoss handelt, sind ~v1 ′ und ~v2 ′ entweder parallel oder antiparallel zu ~v1 . Wir legen nun die x-Achse in die ~v1 -Richtung, damit die y- und die z-Komponente
der Geschwindigkeit Null werden. v1 , v1′ und v2′ sollen die jeweiligen x-Komponenten der Geschwindigkeiten bezeichnen.
Der Impulssatz lautet nun also:
m1 v1 = m1 v1′ + m2 v2′
(5.3)
62
5. STOSSVERSUCH
Was geschieht mit der Anfangsenergie T1 = 12 m1 v12 ? (T heisst Energie der Translationsbewegung).
Beim elastischen Stoss:
T ′ := T1′ + T2′ = T1
(5.4)
T ′ := T1′ + T2′ < T1
(5.5)
Beim unelastischen Stoss:
Wird T’ minimal, spricht man von einem vollkommen unelastischen Stoss.
Übertragung von Translationsenergie:
(~v2 = 0 gilt immer noch.)
T2′
T1
A=
m2
m1
(5.6)
1. Beim elastischen Stoss:
m1 v1 = m1 v1′ + m2 v2′
Impulskomponente in x-Richtung
1
1
1
′
′
m1 v12 = m1 v12 + m2 v22
Energie
2
2
2
(5.7)
(5.8)
Löst man Gleichung (5.7) und (5.8) nach v1′ auf und setzt die beiden gleich, so folgt:
v2′ = v1
2
2m1
= v1
m1 + m2
1+A
(5.9)
Es gilt weiter:
1
m2 v22
4A
T2′
= 21
=
2
T1
(A + 1)2
2 m1 v1
′
Das heisst also, dass
der Massen.
T2′
T1
(5.10)
unabhängig von v1 ist und invariant gegen eine Vertauschung
2. Beim vollkommen unelastischen Stoss:
Gleiches Vorgehen wie beim elastischen Stoss, unter Berücksichtigung, dass v1′ = v2′ = v ′
ist. Anstelle von Gleichung (5.9) folgt:
v ′ = v1
m1
1
= v1
m1 + m2
1+A
(5.11)
Prüfe nach!
T2′
m1 m2
A
=
=
2
T1
(m1 + m2 )
(1 + A)2
Die Übertragung von Translationsenergie ist also vier mal kleiner.
(5.12)
5.3. ÜBUNGEN
5.3
63
Übungen
1. Zentraler, elastischer Stoss zweier Teilchen (~v2 = 0). Bruchteil
verbliebenen Translationsenergie?
T1′
T1
der dem Teilchen 1
2. Wie Aufgabe 1, aber vollkommen unelastischer Stoss: Bruchteil TQ1 der Translationsenergie, der in andere Energieformen umgewandelt wird? Q bezeichnet den Energieanteil der
ursprünglichen Translationsenergie, der dem System beim Stoss verloren geht. Welche
Energieformen tragen zu Q bei?
3. Bestimme die Energieübertragung:
T2′
T1
′
=
m2 v22
m1 v12
′
Drücke die Geschwidigkeiten v12 und v22 durch die Auslenkungen a1 und a2 aus. Nutze aus, dass beim Pendel kinetische Energie in potentielle umgewandelt wird und dass
zwischen der Höhe des Totpunktes und der Horizontalauslenkung eine einfache geometrische Beziehung besteht; vergleiche dazu Abbildung 5.1 (Pythagoras, Näherung für
kleine Auslenkungen!).
Die Massen m1 und m2 sind auf den Kugeln eingraviert.
ϕ
l
l
F
a1
A
h
ϕ
mg
B
Abbildung 5.1: Wirkende Kräfte beim Pendel
T′
4. Stelle die Kurven, welche den Verlauf von T21 in Abhängigkeit von A angeben, graphisch
dar; erstelle je einen Graph für die elastischen und die vollkommen unelastischen Stösse.
T′
(A = 0 bis 6, Maximum für T12 ?)
64
5. STOSSVERSUCH
5.4
Versuchsaufbau
Im Praktikum steht die in Abbildung 5.2 gezeigte Anordnung zur Verfügung.
Eine um a1 ausgelenkte Stahlkugel der Masse m1 wird im Punkt A losgelassen und stösst im
Punkt B auf eine zweite Kugel mit Masse m2 . In der Folge schlägt die Kugel zwei um a′2 aus.
Die Ausschläge können anhand integrierter aber verstellbarer Massstäbe abgelesen werden
(siehe dazu Abbildung 5.3).
A
C
m1
m2
B
a1
a’2
Abbildung 5.2: Versuchsanordnung
Für einen unelastischen Stoss klebt man etwas Plastilin auf die Stossstelle, so dass beide
Kugeln nach dem Stoss aneinander haften.
Als Material steht zur Verfügung:
• 3 Stahlkugeln (Massen ca. 1050g, 540g, 225g)
• Aufhängevorrichtung für zwei Kugeln mit verstellbarem Kugelabstand. Die Pendellänge
ist fest: 605mm±0.5mm.
Verstellbare Vorrichtung zur Messung der Auslenkung.
5.5
Versuchsaufgaben und Auswertung
1. Überlege, wie a′2 mit der gegebenen Messanordnung möglichst präzise bestimmt werden
kann.
2. Vergleiche für jeden ausgemessenen Stoss (für die beiden Stossarten sind je 7 KugelT′
kombinationen möglich) das Verhältnis der Translationsenergien T12 mit dem theoretisch
5.5. VERSUCHSAUFGABEN UND AUSWERTUNG
m1
65
m2
a1
a’2
Abbildung 5.3: Messaufbau
bestimmten Wert. Für die unelastischen Stösse soll zudem
und mögliche Unterschiede diskutiert werden.
Q
T1
mit der Theorie verglichen
3. Zeichne die experimentell gemessenen Werte und deren Fehler zu den in Abschnitt 5.3
hergeleiteten theoretischen Kurven.
Kapitel 6
Transversalschwingung einer
gespannten Saite
6.1. EINLEITUNG
6.1
69
Einleitung
Ziel dieses Versuchs ist es, die stationäre Lösungen der Wellengleichung experimentell zu
bestätigen und den Zusammenhang von Tönen und Oberschwingungen zu erkennen.
6.2
Theorie
Die Wellenlehre handelt von den Gesetzen der Übertragung von Energie durch sich periodisch
ausbreitende Störungen.
6.2.1
Begriff der Welle und ihre physikalische Beschreibung
Eine periodische Störung, die sich örtlich und zeitlich ausbreitet, nennt man Welle. Man
nennt eine Welle harmonisch, wenn die Störung im Erregungszentrum durch eine harmonische
Schwingung beschrieben wird. Für eine sinusförmige Welle mit der Geschwindigkeit v ist die
Auslenkung am Ort x und zur Zeit t gegeben durch ξ = A sin ω( xv − t). Eine harmonische
Welle hat somit folgende zwei Perioden:
• Für eine bestimmte Zeit t = const = t0 : die räumliche Periode oder Wellenlänge λ.
ξ = A sin ω(
=⇒ ω(
x
− t0 )
v
x+λ
x
− t0 ) = ω( − t0 ) + 2π
v
v
2πv
v
somit λ =
=
ω
f
wobei f die Frequenz der Anfangsstörung ist.
• Für jeden Ort x = x0 : die zeitliche Periode T
x0
ξ = A sin ω( − t)
v
x0
x0
=⇒ ω( − (t + T )) = ω( − t) − 2π
v
v
1
2π
=
somit T =
ω
f
Die Wellenzahl k ist definiert durch k = 2π
λ . Damit ist eine in positiver x-Richtung laufende
harmonische Welle gegeben durch:
ξ = A sin(kx − ωt).
Bei Transversalwellen ist die Auslenkung der Massenpunkte normal zur Fortpflanzungsrichtung der Welle, bei Longitudinalwellen schwingen die Massenpunkte in der Ausbreitungsrichtung.
70
6. TRANSVERSALSCHWINGUNG EINER GESPANNTEN SAITE
Abbildung 6.1: Harmonische Welle
Stehende Wellen
Durch die Überlagerung einer in positiver x-Richtung laufenden Welle ξ1
ξ1 = A sin(kx − ωt) = A sin(2π(
x
t
− ))
λ T
(6.1)
und einer in negativer x-Richtung laufenden Welle ξ2
ξ2 = A sin(2π(
x
t
+ ))
λ T
(6.2)
entsteht eine stehende Welle:
x
t
ξ = ξ1 + ξ2 = 2A sin(2π ) cos(2π )
λ
T
(6.3)
Schwingungsknoten sind Punkte mit ξ = 0 ∀t. Somit:
und
6.2.2
2πx
= nπ , wobei n ein ganze Zahl ist
λ
(6.4)
λ
nλ
x = 0, , λ, ..,
2
2
(6.5)
Eindimensionale Wellengleichung für den Saitenversuch
Unter der Annahme, dass das Gewicht eines Saitenelements (µ = Masse pro Länge) gegenüber
der Zugkraft K vernachlässigbar ist, lautet die Wellengleichung für die bei x = 0 und x = l
eingespannte, schwingende Saite:
2 ∂ ξ
K ∂2ξ
=
(6.6)
∂t2 x=const.
µ ∂x2 t=const.
Die Wellengleichung (6.6) wird durch die allgemeinste Lösung
ξ = f (x ± vt)
(6.7)
6.2. THEORIE
71
erfüllt. Durch zweimaliges Ableiten von Gleichung (6.7) nach x und t erhält man:
∂2ξ
= f ′′ (x ± vt)
∂x2
(6.8)
und
∂2ξ
= v 2 · f ′′ (x ± vt)
(6.9)
∂t2
Durch Einsetzen in Gleichung (6.6) lässt sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit v berechnen.
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit v einer Welle nennt man Phasengeschwindigkeit.
s
s
r
K
K
σ
v=
=
=
(6.10)
µ
ρS
ρ
Wobei
S = Querschnittsfläche
ρ = Dichte
σ = Zugspannung
6.2.3
Lösung durch Separation der Variablen.
Randbedingungen
Wir verwenden einen Separationsansatz der Form ξ(x, t) = X(x) · T (t).
Ansatz:
ξ(x, t) = ψ(x) · eiωt
d2 ψ iωt
∂2ξ
=
·e
∂x2
dx2
(6.11)
(6.12)
und
∂2ξ
= ψ(x) · eiωt (−ω 2 )
∂t2
Eingesetzt in die Wellengleichung (6.6):
−ω 2 ψ(x) =
oder mit k 2 =
K d2 ψ
·
µ dx2
(6.13)
(6.14)
ω2 µ
K :
d2 ψ
+ k2 ψ = 0
(6.15)
dx2
Die Gleichung (6.15) ist die Differentialgleichung für stehende Wellen. Die Zeit kommt in der
Gleichung nicht vor. Diese hat dieselbe Form wie die zeitunabhängige Schrödingergleichung
in der Wellenmechanik. Eine Lösung von Gleichung (6.15) ist ψ = sin(kx), vorerst für jedes
k. Somit ist
ξ(x, t) = A(k) sin(kx) · eiωt
(6.16)
eine Lösung der Wellengleichung (6.6).
Aus der Theorie der linearen Differentialgleichungen wissen wir, dass die Randbedingungen
nur für die Eigenwerte von k erfüllt werden können. Die Randbedingungen für die Saite sind:
Für x = 0 und für x = l muss ψ(x) = 0 sein.
72
6. TRANSVERSALSCHWINGUNG EINER GESPANNTEN SAITE
Aus (6.16) folgt mit den Randbedingungen:
sin(kx)|x=l = 0 und kn · l = nπ wobei n eine ganze Zahl ist
(6.17)
Die Werte von kn sind die möglichen Eigenwerte der Gleichung (6.15) und die zu jedem kn
gehörigen Funktionen ψk = An sin(kn x) sind die Eigenfunktionen. Aus den Eigenwerten kn
kann man nun die Eigenfrequenzen fn der Saite finden:
kn
ωn
=
fn =
2π
2π
s
K
n
=
µ
2l
s
K
mit n = 1, 2, ..
µ
(6.18)
Mit n = 1 ergibt sich die Grundfrequenz (die niedrigste Frequenz), mit der die Saite schwingen
kann.
1
n = 1; f1 =
2l
Ausserdem gilt v =
6.3
q
K
µ
s
K
µ
(6.19)
und v = λ · f so dass für n = 1 die Wellenlänge λ = 2l ist.
Versuchsaufbau
Abbildung 6.2 zeigt die Versuchsanordnung der schwingenden Saite mit Resonanzkörper. Mit
einem Reiter (1) kann die Länge l der Saite eingestellt werden. An der Saite ist eine Spannvorrichtung (2) montiert. Die Zugkraft K kann an einer Federwaage (3) abgelesen werden. Der
Magnet (4), an einer geeigneten Stelle der Saite montiert, bringt diese dazu, in der horizontalen Ebene zu schwingen, sofern die Frequenz des Oszillators (wave-generator, 5) geeignet
ist. Der Oszillator wird über einen Verstärker (6) an die Saite angeschlossen. Das Multimeter, welches man als Messgerät für die Frequenz verwendet, wird am Oszillator parallel zum
Verstärker eingesteckt.
6.4. VERSUCHSAUFGABEN
73
Abbildung 6.2: Versuchsanordnung
6.4
Versuchsaufgaben
1. Miss für konstantes l und zwei verschiedene K die Frequenz f der Grundschwingung
(n = 1) und verschiedene Oberschwingungen.
2. Berechne als Kontrolle für deine Messungen µ für alle Messwerte.
3. Bestimme die Wellengeschwindigkeiten v für beide K.
4. Schätze die Gesamtenergie der schwingenden Saite mit Hilfe von E = Ekin + Epot <
1
1
2
2 2
2 mvmax ab. Für die Grundschwingung, n = 1, gilt: E = 4 µl ω A
6.5
Auswertung
Für die Auswertung zeichnest du deine Messwerte (inkl. Fehlerbalken) für die Frequenz f
und die Wellenlänge λ in einen doppellogarithmischen x-y Plot mit log(f ) als y- und log(λ)
als x-Achse. Ergänze den Plot für jedes K mit der zu erwartenden Geraden, welche du aus
µav (Mittelwert aller µ aus Versuchsaufgabe 2) berechnen kannst. Wie gross ist die mittlere
quadratische Abweichung der Messpunkte zu der mit µav berechneten Geraden? Diskutiere
den Plot.
Kapitel 7
Erzwungene Schwingung
7.1. EINLEITUNG
7.1
77
Einleitung
In diesem Praktikum wollen wir uns mit den Eigenschaften von harmonischen Schwingungen befassen. Viele Vorgänge in der Natur sind von Schwingungen begleitet, die, wenn sie
einmal angeregt worden sind, einige Zeit fortdauern und dabei immer schwächer werden.
Erdbeben, eine angeschlagene Saite oder Molekülschwingungen gehören beispielsweise zu den
gedämpften, harmonischen Schwingungen.
Für viele technische Anwendungen wird versucht, ein System in einer wohldefinierten Schwingung zu halten. Zu diesen sogenannten erzwungenen Schwingungen gehören taktgebende Quarze in Armbanduhren oder Computern, der Schwingkreis im Radioempfänger, aber auch das
Kind auf der Schaukel.
Erzwungene Schwingungen können katastrophale Folgen haben, wenn nämlich das schwingende System durch die äussere Kraft zu immer grösseren Amplituden angeregt wird. Dies
muss in vielen technischen und architektonischen Anwendungen berücksichtigt werden. Dass
dies nicht immer einfach ist, zeigt das Beispiel der Tacoma Narrows Bridge in Abbildung 7.1.
Abbildung 7.1: Die Tacoma Narrows Bridge in Washington State, USA, veranschaulicht die Kraft der Resonanz. Am 7. November 1940, wenige Monate nach der Fertigstellung, verursachte ein nur 60 km/h starker
Wind eine Resonanzkatastrophe. Er schaukelte eine kleine Schwingung der Brücke in ihrer Eigenfrequenz so
weit auf, bis die Brücke brach.
In einem ersten Teil dieses Skriptums werden die Differentialgleichungen der gedämpften
und der erzwungenen Schwingung hergeleitet und deren Lösungen diskutiert. Im praktischen
Teil steht uns ein Drehpendel (Abb. 7.2) mit Antriebsmechanik und variabler Dämpfung zur
Verfügung. Damit können wir die Resonanz studieren und verstehen, wie die Dämpfung eines
Systems aus der Beobachtung hergeleitet werden kann.
78
7. ERZWUNGENE SCHWINGUNG
Abbildung 7.2: Die Versuchsanordnung für die erzwungene Schwingung.
7.2
7.2.1
Theorie
Die freie, ungedämpfte Schwingung
Die Bewegungsgleichung für die Rotation eines starren Körpers (z. B. Drehtisch) um eine
feste Drehachse lautet:
X
J · ϕ̈ =
Mi
(7.1)
i
wobei
und
ϕ
J
Mi
Drehwinkel,
Trägheitsmoment bezüglich der Drehachse,
Drehmomente bezüglich der Drehachse sind.
Bei der freien, ungedämpften Schwingung wirkt nur ein einziges, z.B. von einer Feder herrührendes, rücktreibendes Drehmoment MF , dessen Betrag proportional zur Auslenkung ist:
MF = −D · ϕ
(7.2)
7.2. THEORIE
79
Definieren wir nun
. D
ωo2 =
J
so lautet die Differentialgleichung für die freie, ungedämpfte Schwingung
ϕ̈ + ωo2 ϕ = 0
(7.3)
(7.4)
Die allgemeine Lösung dieser homogenen, linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung lautet:
ϕ(t) = A1 cos(ωo t) + A2 sin(ωo t)
(7.5)
Die beiden Integrationskonstanten A1 und A2 werden durch die Anfangsbedingungen festgelegt.
Beispiel: zur Zeit t = 0 sei ϕ(0) = ϕo und ϕ̇(0) = 0. In Gleichung (7.5) eingesetzt ergibt sich
ϕo = A1
(7.6)
0 = A2
(7.7)
und somit für die spezielle Lösung der Schwingungsgleichung
ϕ(t) = ϕo cos(ωo t)
7.2.2
(7.8)
Die freie, gedämpfte Schwingung
Die Bewegungsgleichung
Bei der vorhergehenden Diskussion haben wir die Reibung des schwingenden Körpers nicht
betrachtet. Die Reibung erzeugt ein zusätzliches Moment MR , welches proportional zu der
Winkelgeschwindigkeit ist:
MR = −Rϕ̇
(7.9)
Die Bewegungsgleichung lautet somit:
J ϕ̈ + Rϕ̇ + Dϕ = 0
was wiederum eine homogene, lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung darstellt.
(7.10)
80
7. ERZWUNGENE SCHWINGUNG
Als Lösungsansatz wählen wir
ϕ(t) = Ceκt
(7.11)
In die Differentialgleichung (7.10) eingesetzt erhalten wir
JCκ2 eκt + RCκeκt + DCeκt = 0
(7.12)
was eine quadratische Gleichung in κ darstellt:
κ2 +
R
D
κ+
=0
J
J
(7.13)
r
(7.14)
mit den Lösungen
κ1,2
Setzen wir
R
±
=−
2J
. R
α=
2J
R2
D
−
4J 2
J
und
so ergibt sich
κ1,2 = −α ±
. D
ωo2 =
J
p
α2 − ωo2
(7.15)
(7.16)
Die schwach gedämpfte, harmonische Schwingung
Wir betrachten zunächst den Fall, dass die Dämpfung R im Verhältnis zum rücktreibenden
Moment D klein ist:
α2 − ωo2 < 0
(7.17)
Dies bedeutet, dass die Grössen κ1 und κ2 komplex werden.
Setzen wir in diesem Fall
. p
ω = ωo2 − α2
(7.18)
so ist
κ1,2 = −α ± ıω
(7.19)
womit sich für die beiden Lösungen von (7.10) ergibt:
ϕ1 = eκ1 t = e−αt+ıωt
(7.20)
ϕ2 = eκ2 t = e−αt−ıωt
(7.21)
und
Die allgemeine Lösung von (7.10) ergibt sich als Linearkombination von (7.20) und (7.21) zu
ϕ(t) = (C1 eıωt + C2 e−ıωt )e−αt
(7.22)
Mit der Umformung
ϕ1 + ϕ2
2
ϕ
−
ϕ2
1
ϕ∗2 =
2ı
ϕ∗1 =
= e−αt
= e−αt
eıωt + e−ıωt
2
eıωt − e−ıωt
2ı
.
= e−αt cos(ωt)
(7.23)
.
= e−αt sin(ωt)
(7.24)
7.2. THEORIE
81
ergibt sich aus der Linearkombination
ϕ(t) = A1 ϕ∗1 + A2 ϕ∗2
(7.25)
eine leichter interpretierbare Lösung von (7.10)
ϕ(t) = [A1 cos(ωt) + A2 sin(ωt)] e−αt = Ae−αt cos(ωt − β)
(7.26)
Diese Gleichung stellt eine harmonische Schwingung mit exponentiell abfallender Amplitude
A dar. Die beiden Integrationskonstanten A und β werden wiederum durch die Anfangsbedingungen festgelegt.
Beispiel: zur Zeit t = 0 sei ϕ(0) = ϕo und ϕ̇(0) = 0. In Gleichung (7.26) eingesetzt ergibt
sich
ϕo = A cos(−β)
0 = −αA cos(−β) − ωAsin(−β)
und daraus
tan(β) =
A =
α
ω
r
α2
ϕo
= ϕo 1 + 2
cos β
ω
(7.27)
(7.28)
Abbildung 7.3 zeigt den zu diesen Anfangsbedingungen gehörenden Verlauf der schwach
gedämpften, harmonischen Schwingung.
Die aperiodische Bewegung (starke Dämpfung)
Wir betrachten nun den Fall, dass die Reibung grösser als das rücktreibende Moment der
Feder ist. Formal heisst das:
α 2 − ωo 2 > 0
(7.29)
jHtL
10
A e-at
5
5
10
15
20
25
30
t
-5
-10
T
Abbildung 7.3: Die schwach gedämpfte, harmonische Schwingung mit den im Beispiel angegebenen Anfangsbedingungen. Der exponentielle Abfall der Amplitude ist ebenfalls eingezeichnet.
82
7. ERZWUNGENE SCHWINGUNG
Somit sind die Grössen κ1 und κ2 reell. Setzen wir
. p
ω = α2 − ωo2
(7.30)
so ergeben sich für den Lösungsansatz (7.11) die beiden folgenden Lösungen der Gleichung
(7.10)
ϕ1 = eκ1 t = e−αt+ωt
(7.31)
ϕ2 = eκ2 t = e−αt−ωt
(7.32)
und
Die allgemeine Lösung von (7.10) stellt eine Linearkombination dieser zwei Lösungen dar:
ϕ(t) = (A1 eωt + A2 e−ωt )e−αt
(7.33)
Die Integrationskonstanten A1 und A2 werden wiederum durch die Anfangsbedingungen festgelegt.
Aufgabe: zur Zeit t = 0 sei ϕ(0) = ϕo und ϕ̇(0) = 0. Bestimme A1 und A2 .
Die Funktion (7.2.2) enthält keine harmonische Funktionen, d.h. es treten keine Schwingungen
auf. Gelten die oben genannten Anfangsbedingungen, so kehrt der Körper asymptotisch in
die Ruhelage zurück (siehe Abbildung 7.4).
jHtL
12
10
8
6
4
a2 >w2o
2
a2 =w2o
5
10
15
20
25
30
t
Abbildung 7.4: Verlauf der aperiodischen Bewegung (α2 > ωo2 ) und der aperiodische Grenzfall (α2 = ωo2 ).
7.2. THEORIE
83
Der aperiodische Grenzfall (kritische Dämpfung)
Ein Speziallfall der stark gedämpften Bewegungsgleichung liegt vor, falls
α 2 − ωo 2 = 0
und somit
. p
ω = ωo2 − α2 = 0
(7.34)
(7.35)
Wir erhalten somit nur eine Lösung für den Ansatz (7.11)
ϕ(t) = eκt = e−α
(7.36)
Da wir es aber mit einer Differentialgleichung zweiter Ordnung zu tun haben, wissen wir,
dass wir zwei linear unabhängige Lösungen finden müssen. Als weiterer Ansatz kann folgendes
benützt werden:
ϕ(t) = Cteκt
(7.37)
Durch Einsetzen des neuen Ansatzes in die Bewegungsgleichung (7.10) unter der Berücksichtigung, dass α2 = ωo2 ist, folgt die zusätzliche Lösung
ϕ′ (t) = te−α
(7.38)
Durch die Linearkombination von (7.36) und (7.38) ergibt sich die allgemeine Lösung
ϕ(t) = (A1 + A2 t)e−αt
(7.39)
Wie bei der aperiodischen Bewegung kehrt der Körper ohne Schwingung in die Ruhelage
zurück. Allerdings folgt die Bewegung des Körpers einem anderen Verlauf, wie dies in Abbildung 7.4 gezeigt ist.
7.2.3
Die erzwungene, gedämpfte Schwingung
Die Bewegungsgleichung
Wir betrachten nun den Fall, dass neben dem rücktreibenden Federmoment MF und dem
Reibungsmoment MR ein zusätzliches zeitabhängiges Moment Mt angreift:
1 ıΩt
(e − e−ıΩt )
2ı
(7.40)
1 ıΩt
(e − e−ıΩt )
2ı
(7.41)
Mt = Mo sin(Ωt) = Mo
Die Bewegungsgleichung lautet somit
J ϕ̈ + Rϕ̇ + Dϕ = Mo
Diese Gleichung stellt eine inhomogene, lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung dar.
Aus der Mathematik wissen wir folgendes:
Satz: Die allgemeine Lösung einer inhomogenen, linearen Differentialgleichung erhält man,
indem zur allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung eine spezielle
( partikuläre“) Lösung der inhomogenen Differentialgleichung addiert wird.
”
In unserem Fall haben wir die zugehörige homogene Differentialgleichung (7.10) schon gelöst.
Wir müssen also nur noch eine partikuläre Lösung von (7.41) finden.
84
7. ERZWUNGENE SCHWINGUNG
Ansatz für die partikuläre Lösung der Bewegungsgleichung
Die Vermutung liegt nahe, dass nach einer gewissen Zeit der Drehtisch mit der Frequenz
des Anregers schwingen wird. Seine Auslenkung wird aber in der Phase gegen das anregende Moment verschoben sein. Wir machen daher für diese partikuläre Lösung den folgenden
Ansatz:
A
ϕ(t) = A sin(Ωt − δ) = (eı(Ωt−δ) − e−ı(Ωt−δ) )
(7.42)
2ı
Durch zweimaliges Ableiten und Einsetzen in Gleichung (7.41) erhalten wir
e
ıΩt
e
−ıδ
Mo
JAΩ2 RAΩ DA
+
+
−
=
−
2ı
2
2ı
2ı
e
−ıΩt
JAΩ2 RAΩ DA
Mo
e
−
−
+
−
2ı
2
2ı
2ı
ıδ
(7.43)
was eine Gleichung mit zwei Unbekannten Ω und δ darstellt. Da die Gleichheit jedoch zu jedem
beliebigen Zeitpunkt erfüllt sein muss, müssen die beiden eckigen Klammern verschwinden:
Mo = e−ıδ A(−JΩ2 + ıRΩ + D)
(7.44)
Mo = eıδ A(−JΩ2 − ıRΩ + D)
(7.45)
und
Durch Multiplikation der beiden Gleichungen ergibt sich
h
i
h
i
2
2
Mo2 = A2 D − JΩ2 + R2 Ω2 = A2 J 2 ωo2 − Ω2 + 4α2 Ω2
und
A =
Mo
1
q
·
J
(Ω2 − ωo2 )2 + 4α2 Ω2
(7.46)
(7.47)
Die Division der Gleichungen (7.44) und (7.45) liefert
1 = e−2ıδ
und
tan δ = +
—
2
2
−JΩ2 + ıRΩ + D
−2ıδ ωo − Ω + 2ıαΩ
=
e
−JΩ2 − ıRΩ + D
ωo2 − Ω2 − 2ıαΩ
2αΩ
− Ω2
ωo2
(7.48)
(7.49)
Allgemeine Lösung für die erzwungene, gedämpfte Schwingung
Die allgemeine Lösung der inhomogenen, linearen Differentialgleichung (7.41) ergibt sich nach
dem oben erwähnten Satz als Summe der partikulären Lösung (7.42) und den zugehörigen
Lösungen (7.26), (7.2.2), (7.39) der homogenen Gleichung (7.10).
ϕ(t) = A sin(Ωt − δ) + Be−αt cos(ωt − β)
für α2 < ωo2
ϕ(t) = A sin(Ωt − δ) + (B1 eωt + B2 e−ωt )e−αt für α2 > ωo2
ϕ(t) = A sin(Ωt − δ) + (B1 + B2 t)e−αt
für α2 = ωo2
(7.50)
7.2. THEORIE
85
Die allgemeine Lösung stellt somit eine Superposition aus einer abklingenden, gedämpften
Bewegung nach Abschnitt 7.2.2 und einer harmonischen, ungedämpften Schwingung der Frequenz Ω mit der von Ω abhängigen Amplitude A dar. Für den Fall der schwachen Dämpfung
(α2 < ωo2 ) erwarten wir in einer ersten Phase eine Überlagerung zweier Schwingungen mit
ungleicher Frequenz (Ω 6= ω), d.h. eine Schwebung mit der Frequenz |Ω−ω|. Nach einiger Zeit
ist die Eigenschwingung so weit abgeklungen, dass nur noch die erzwungene Schwingung mit
der eingeprägten Frequenz Ω übrig bleibt, die gegenüber dem äusseren Moment eine Phasendifferenz δ besitzt. Im Falle der starken Dämpfung tritt keine Schwebung auf und das System
wird sich schnell dem äusseren Moment anpassen und mit dessen Frequenz Ω schwingen.
Die Resonanz
Aus der Gleichung (7.46) geht hervor, dass die Amplitude der angeregten, gedämpften Schwingung von der Anregungsfrequenz Ω abhängt. Die Amplitude A erreicht bei einer Frequenz ΩR ,
der Resonanzfrequenz, einen Maximalwert:
i− 3 !
Mo h 2
∂A
2
2 2
2 2
· 4Ω Ω2 − ωo2 + 8α2 Ω = 0
Ω − ωo + 4α Ω
=−
∂Ω
2J
Daraus ergibt sich
4Ω
und
Ω2 − ωo2 + 2α2 = 0
ΩR =
(7.51)
(7.52)
p
ωo2 − 2α2
(7.53)
Die Resonanzkurve ist nicht symmetrisch in Bezug auf die Resonanzfrequenz. Dies ist leicht
ersichtlich, in dem wir die Amplitudenwerte für die möglichen Extremwerte von Ω betrachten:
Mo
Mo
=
2
Jωo
D
A(Ω → ∞) = 0
(7.54)
A(0) =
(7.55)
Die Resonanzkurve zeigt etwa den in Abbildung 7.5 angegebenen Verlauf.
AHWL
Mo
D
WR wo
W
Abbildung 7.5: Die Resonanzkurve zeigt die Abhängigkeit der Amplitude A von der Anregungsfrequenz Ω.
Im Falle einer starken Dämpfung weicht die Resonanzfrequenz ΩR stark von der Eigenfrequenz ωo ab.
86
7. ERZWUNGENE SCHWINGUNG
Die Resonanzbreite
Im Falle einer geringen Dämpfung, d.h. einem kleinen α, liegt, wie aus Gleichung (7.53)
ersichtlich ist, die Resonanzfrequenz ΩR nahe bei der Eigenfrequenz ωo des frei schwingenden
Systems. Definieren wir in diesem Fall die neue Variable
.
σ = Ω − ωo
(7.56)
und setzen diese in die Amplitudenfunktion (7.46) ein, so ergibt sich unter Vernachlässigung
der Werte σ 2 , α2 σ 2 , α2 σωo gegen σωo und α2 ωo2
.
A(Ω − ωo ) = A∗ (σ) ∼
=
M
Mo
p
√ o
=
2
2
2
2
2Jωo σ 2 + α2
J 4σ ωo + 4α ωo
(7.57)
Diese angenäherte Resonanzkurve ist symmetrisch um ωo ≃ ΩR und besitzt das Maximum
.
A∗max = A∗ (0) =
Mo
2Jωo α
(7.58)
σ1,2 seien nun die beiden Werte, für welche gilt
A∗max
A∗ (σ1,2 ) = √
2
(7.59)
oder eingesetzt
damit werden σ1,2 zu
M
q o
2 + α2
2Jωo σ1,2
=
M
√ o
2 2Jωo α
σ1,2 = ±α
(7.60)
(7.61)
√
2,
Daraus folgt, dass die halbe Breite der Resonanzkurve, gemessen in der Höhe A∗max
gleich der Dämpfungskonstanten α ist.
7.3. VERSUCHSAUFBAU
87
AHWL
a=0
a=
wo
10
a=
wo
8
a=
wo
6
a=
wo
4
a=
3 wo
8
a=
wo
2
a=
a=w0
wo
"2
a=2w0
a=8w0
W
Abbildung 7.6: Die Kurvenschar zeigt die Abhängigkeit der Resonanzkurve von der Dämpfung α.
7.3
Versuchsaufbau
Wie in Abbildung 7.2 gezeigt, besteht die Apparatur aus einer Drehscheibe mit einer rücktreibenden Spiralfeder. Mit Hilfe einer elektrisch gespeisten Wirbelstrombremse lässt sich
eine zusätzliche Dämpfung erzeugen. Eine rotierende Scheibe mit kontinuierlich verstellbarer
Drehfrequenz liefert ein periodisches, externes Moment. Die Drehfrequenz kann mit einer
Stoppuhr gemessen werden.
88
7.4
7. ERZWUNGENE SCHWINGUNG
Versuchsaufgaben
Bestimme auf zwei Arten die Kreisfrequenz ωo der ungedämpften Eigenschwingung der Drehscheibe und die Dämpfungskonstante α für verschiedene Einstellungen der Wirbelstrombremse
(zwischen 0 und 1 Ampere).
7.4.1
Erzwungene Schwingung
Nimm die Resonanzkurve der erzwungenen Schwingung auf und bestimme α aus der Breite
der Resonanzkurve und ωo aus der Lage des Maximums, wie dies in Abschnitt 7.2.3 hergeleitet
wurde. Beachte, dass der Ausschlag im Maximum der Resonanzkurve noch im Ablesebereich
liegen sollte! Bei welchen Frequenzen braucht man für die Auswertung Ablesungen?
7.4.2
Freie Schwingung
Miss für genau dieselben Werte des Dämpfungsstromes wie in Punkt 1 die Kreisfrequenz
ω der freien Schwingung und registriere den Verlauf der maximalen Ausschläge Φ. Stelle diese im logarithmischen Massstab als Funktion der Zeit dar. Bestimme graphisch die
Dämpfungskonstante α.
7.5
Auswertung
Diskutiere die Genauigkeit der beiden Methoden und die Übereinstimmung der Resultate.
Berechne mit der in Aufgabe 7.4.2 experimentell bestimmten Dämpfungskonstanten und mit
A∗max aus Aufgabe 7.4.1 die theoretische Resonanzkurve und zeichne diese über die in Aufgabe
7.4.1 gemessene Kurve A(Ω − ωo ) ein.
Kapitel 8
Gekoppelte Pendel
8.1. EINLEITUNG
8.1
91
Einleitung
Das hier zu behandelnde Problem gekoppelter mechanischer Schwingungen findet sich in anderen Gebieten der Physik wider, wie z.B. gekoppelte elektrische Schwingkreise oder Atombau.
Für eine möglichst einfache Realisierung verwenden wir zwei identische Stabpendel, die durch
eine Feder aneinander gekoppelt sind.
8.2
8.2.1
Theorie
Das physikalische Pendel
Als physikalisches Pendel bezeichnet man einen starren Körper, der unter Wirkung der
Schwerkraft Drehschwingungen um eine feste Achse O ausführen kann (Abb. 8.1). Sei J
das Trägheitsmoment des Pendels in bezug auf die Drehachse O und M das rücktreibende
Drehmoment. Dann lautet die Bewegungsgleichung:
J · ϕ̈ = M = −mgl · sin ϕ
(8.1)
Solange der Ausschlag so klein ist, dass sin ϕ ≈ ϕ gesetzt werden kann, gilt:
J · ϕ̈ = −mglϕ.
Führt man das Direktionsmoment D = mgl ein, so ergibt sich die Schwingungsgleichung:
ϕ̈ +
D
ϕ = 0.
J
(8.2)
Ihre Lösung stellt eine ungedämpfte harmonische Schwingung
ϕ(t) = A · sin(ω0 t + δ)
q
π
mit der Frequenz ω0 = D
J = 2 T0 und der Phasenkonstante δ dar. Die Schwingungsdauer
des Pendels beträgt also:
r
J
(8.3)
T0 = 2π
D
Denkt man sich die ganze Masse m eines physikalischen Pendels im Schwerpunkt S konzentriert, der von der Drehachse den Abstand l hat, so erhält man den idealisierten Fall des
mathematischen Pendels. Seine Schwingungsdauer beträgt:
s
s
m · l2
l
= 2π
(8.4)
T0 = 2π
mgl
g
8.2.2
Bewegungsgleichungen zweier gekoppelter Pendel
Wir untersuchen nun die Schwingung zweier identischer Pendel, welche in der gleichen Ebene schwingen können und durch eine weiche Feder gekoppelt sind (Abbildung 8.1). Jedes
Pendel besitzt die Masse m im Abstand l von der Drehachse. Für beide Pendel beträgt das
rücktreibende Moment M infolge der Schwerkraft bei kleinen Auslenkungen ϕ:
M = −mglϕ = −Dg · ϕ
92
8. GEKOPPELTE PENDEL
An beiden Pendeln greift weiterhin ein Kopplungsmoment an, welches von Federkonstante
und Angriffspunkt der Kopplungsfeder und von der Differenz der beiden Auslenkungen ϕ1
und ϕ2 abhängt. Wir bezeichnen das Kopplungsmoment mit DF · (ϕ1 − ϕ2 ).
Durch die Vorspannung der Feder entsteht ein weiteres Moment M0 . Die Feder soll nämlich
bereits eine gewisse Spannung besitzten, wenn sich die Pendel in paralleler Lage befinden.
Die beiden Pendel zeigen in ihrer Ruhelage einen Ausschlag α (bzw. −α) in bezug auf die
Vertikallage. Setzt man nun diese Ruhelage voraus und berechnet die Auslenkungen von der
Ruhelage ϕ1 und ϕ2 (in Pfeilrichtung positiv), so fällt das Moment der Vorspannung M0
aus der Rechnung heraus, da es bei beiden Pendeln durch ein Moment mglα (bzw. −mglα)
kompensiert wird.
Abbildung 8.1: Grundschema der beiden gekoppelten Pendel
Somit lauten die Momentgleichungen für Pendel 1 und 2:
M1 = −Dg · ϕ1 + Df · (ϕ1 − ϕ2 )
M2 = −Dg · ϕ2 − Df · (ϕ1 − ϕ2 )
(8.5)
Durch Einsetzen der Momentgleichungen (8.5) in die Bewegungsgleichung (8.1) ergeben sich
schliesslich die simultanen Differentialgleichungen:
d 2 ϕ1
dt2
d 2 ϕ2
J·
dt2
J·
= −Dg · ϕ1 + Df · (ϕ2 − ϕ1 )
= −Dg · ϕ2 − Df · (ϕ2 − ϕ1 )
(8.6)
Addition bzw. Subtraktion dieser Gleichungen führt zu den Differentialgleichungen für die
8.2. THEORIE
93
Winkelsumme (ϕ1 + ϕ2 ) bzw. die Winkeldifferenz (ϕ1 − ϕ2 ):
d2 (ϕ2 + ϕ1 )
dt2
2
d (ϕ2 − ϕ1 )
J·
dt2
J·
= −Dg · (ϕ2 + ϕ1 )
= −(Dg + 2Df ) · (ϕ2 − ϕ1 )
(8.7)
Beide stellen ungedämpfte harmonische Schwingungen dar. Die Lösungen lauten:
(ϕ2 + ϕ1 ) = 2A · cos(ωt + δ)
(ϕ2 − ϕ1 ) = 2B · cos(Ωt + ∆)
(8.8)
mit den beiden Kreis- oder Eigenfrequenzen
r
Dg
und
J
r
Dg + 2Df
.
Ω =
J
ω =
(8.9)
Die Grössen 2A und 2B sind die Amplituden der Summe bzw. Differenz der Winkelausschläge
beider Pendel, δ und ∆ sind die Phasenkonstanten. Um den Bewegungsablauf der einzelnen
Pendel zu beschreiben, trennt man die Variablen ϕ1 und ϕ2 durch Subtrahieren bzw. Addieren
der Gleichungen 8.8:
ϕ1 = A · cos(ωt + δ) − B · cos(Ωt + ∆)
ϕ2 = A · cos(ωt + δ) + B · cos(Ωt + ∆)
(8.10)
Man erkennt, dass die allgemeinste Bewegung jedes Pendels durch eine Überlagerung von
zwei harmonischen Schwingungen verschiedener Frequenzen, einer sogenannten Schwebung,
dargestellt wird. Die Zahl der Eigenschwingungen entspricht der Zahl der Freiheitsgrade des
Systems (ein Pendel, ein Freiheitsgrad, eine Eigenschwingung; zwei Pendel, zwei Freiheitsgrade, zwei Eigenschwingungen). Wegen der speziellen Art der Kopplung stimmt in unserem
Fall die eine der beiden Eigenfrequenzen ω gerade mit der Eigenfrequenz des ungekoppelten
Pendels (s. Abschnitt 8.2.1) überein.
8.2.3
Anfangsbedingungen
Zur Bestimmung der vier Grössen A, B, δ und ∆ benötigt man vier zusätzliche unabhängige
Bedingungsgleichungen oder Anfangsbedingungen, die sich durch die drei nachfolgenden Spezialfälle realisieren lassen.
1. Fall: Man lässt beide Pendel zur gleichen Zeit t = 0 in einer Lage ϕ1 = ϕ2 = φ los, so
dass sie im gleichen Sinn schwingen. Dies ist in Abbildung 8.2 dargestellt. Für t = 0
ergeben sich so die folgenden Anfangsbedingungen:
ϕ1 = φ
dϕ1
= 0
dt
ϕ2
dϕ2
dt
=
φ
=
0
(8.11)
94
8. GEKOPPELTE PENDEL
Aus (8.10) und (8.11) folgt:
A cos δ − B cos ∆ =
A cos δ + B cos ∆
=
φ
−Aω sin δ + BΩ sin ∆ = −Aω sin δ − BΩ sin ∆ =
0,
ω und Ω 6= 0.
Damit ergibt sich für die gesuchten Grössen: A = φ, B = 0, δ = 0 und ∆ = unbestimmt.
Die Schwingung des Systems stellt sich somit durch folgende Gleichung dar:
ϕ1 = ϕ2 = φ · cos(ωt)
(8.12)
Diese Schwingung enthält nur die eine Eigenfrequenz ω und wird in der Physik als
symmetrisch bezeichnet. Die Bezeichnung bezieht sich nicht auf die Symmetrie der Bewegung sondern auf die der Gleichungen. Es lässt sich gut beobachten, wie hier die
Kopplung gar nicht zur Geltung kommt: die Feder bleibt andauernd im selben Spannungszustand.
Die Schwingungsdauer beträgt:
2π
= 2π
τω =
ω
s
J
Dg
(8.13)
Abbildung 8.2: Schema für Fall 1: Beide Pendel werden zu t = 0 um denselben Winkel φ ausgelenkt.
2. Fall: Man lässt beide Pendel zur Zeit t = 0 in einer Lage ϕ1 = −φ bzw. ϕ2 = +φ los, so
dass sie in entgegengesetztem Sinn schwingen (s. Abbildung 8.3). Unter diesen Voraussetzungen lassen sich die Anfangsbedingungen (also für t = 0) wie folgt formulieren:
ϕ1 = −φ
dϕ1
= 0
dt
ϕ2
dϕ2
dt
=
+φ
=
0
(8.14)
8.2. THEORIE
95
Aus (8.10) und (8.14) folgt:
−A cos δ + B cos ∆ =
A cos δ + B cos ∆
=
φ
−Aω sin δ + BΩ sin ∆ = −Aω sin δ − BΩ sin ∆ =
0,
ω und Ω 6= 0.
Für die gesuchten Grössen ergibt sich somit A = 0, B = φ, δ = unbestimmt und ∆ = 0
und die Schwingungsgleichung lautet:
ϕ2 = −ϕ1 = φ · cos(Ωt)
(8.15)
Auch hier tritt nur eine Frequenz Ω auf. Man nennt diese Schwingungsform asymmetrisch. Die Schwingungsdauer beträgt:
2π
τΩ =
= 2π
Ω
s
J
Dg + 2Df
(8.16)
Abbildung 8.3: Schema für Fall 2 mit ϕ1 = −φ und ϕ2 = +φ.
3. Fall Man hält Pendel 2 in der Lage ϕ2 = φ und Pendel 1 in der Lage ϕ1 = 0 fest
und lässt beide zur gleichen Zeit t = 0 los (Abbildung 8.4). Dies führt zu folgenden
Anfangsbedingungen (t = 0):
ϕ1 = 0
dϕ1
= 0
dt
ϕ2 = φ
dϕ2
= 0
dt
(8.17)
96
8. GEKOPPELTE PENDEL
Aus (8.10) und (8.17) folgt:
ϕ1 (0) =
ϕ2 (0) =
A cos δ − B cos ∆
= 0
A cos δ + B cos ∆
= φ
−Aω sin δ + BΩ sin ∆ = 0
−Aω sin δ − BΩ sin ∆ = 0,
wobei ω und Ω 6= 0
Die gesuchten Grössen haben somit folgende Werte: A = φ2 , B = φ2 , δ = 0 und ∆ = 0.
Damit erhält man folgende Schwingungsgleichungen:
ϕ1 =
ϕ2 =
φ
(cos(ωt) − cos(Ωt))
2
φ
(cos(ωt) + cos(Ωt))
2
Abbildung 8.4: Schema für Fall 3 mit ϕ2 = φ und ϕ1 = 0
Zur Veranschaulichung werden diese nun umgeschrieben. Dazu verwendet man nachfolgende Beziehung:
β+α
β−α
cos α + cos β = 2 cos
cos
2
2
β−α
β+α
sin
cos α − cos β = 2 sin
2
2
Man erhält:
ϕ1
ϕ2
Ω+ω
Ω−ω
= φ sin
t · sin
t
2
2
Ω+ω
Ω−ω
= φ cos
t · cos
t
2
2
(8.18)
8.2. THEORIE
97
Bei schwacher Kopplung
(Df ≪ Dg) wird nach (8.9) Ω − ω klein gegen Ω + ω. Die
t
und
cos Ω−ω
t ändern sich also langsam gegen sin Ω+ω
t und
Funktionen sin Ω−ω
2
2
2
Ω+ω
cos 2 t. Man kann somit die Bewegung jedes einzelnen Pendels als Schwingung mit
der Frequenz Ω+ω
2 auffassen, deren Amplitude einer langsamen periodischen Änderung
mit der Frequenz Ω−ω
unterworfen ist. Letzteres bezeichnet man als Schwebung. Zwi2
schen den Bewegungen der beiden Pendel besteht dabei ein Phasenunterschied von π2 .
Wenn das eine Pendel die maximale Amplitude erreicht, kommt das andere zum Stillstand. Die Schwingungsenergie wandert also andauernd zwischen beiden Pendeln hin
und her. Im Experiment wird sie schliesslich infolge der Lager– und Luftreibung langsam in Wärme überführt. Diese Dämpfung wurde in der Rechnung allerdings nicht
berücksichtigt.
Der Schwingungsfrequenz
Ω+ω
2
entspricht eine Schwingungsdauer
τ=
4π
.
Ω+ω
(8.19)
Als Schwebungszeit Ts definiert man die Zeit zwischen zwei Stillständen des selben
Pendels. Stillstand für ein Pendel tritt ein, wenn gilt:
Ω−ω
π 3π
t = , , . . . bzw. 0, π, 2π, . . .
2
2 2
Daraus folgt:
TS =
2π
Ω−ω
(8.20)
Die vier charakteristischen Zeiten τω , τΩ , τ und Ts der Fälle 1–3 sind durch folgende einfache
Beziehung miteinander verknüpft:
1
1 1
1
=
+
(8.21)
τ
2 τω
τΩ
1
1
1
(8.22)
=
−
TS
τΩ τω
8.2.4
Kopplungsgrad
Das Kopplungsmoment Df kann dynamisch aus den Schwingungszeiten ermittelt werden,
wenn das Trägheitsmoment der Pendel bekannt ist. Nach (8.13) und (8.16) gilt
4π 2 J
1 4π 2 J
Dg =
− Dg
und Df =
τω2
2
τΩ2
1
1
2
− 2 .
(8.23)
und damit
Df = 2π J
τω
τΩ2
D
f
Als Kopplungsgrad k definiert man das Verhältnis k = Dg +D
. Setzt man in diese Definition
f
die Werte für Dg und Df ein, so ergibt sich:
1
− τ12
2π 2 J τ12 − τ12
τω2 − τΩ2
τ2
ω
Ω
ω
= 1Ω
=
=k
(8.24)
1
2 + τ2
1
4π 2 J
1
τ
2J
+
2
2
ω
Ω
−
+
2π
τω
τΩ
τ2
τ2
τ2
ω
Ω
ω
98
8. GEKOPPELTE PENDEL
k und Df können weiterhin statisch bestimmt werden. Hierzu werden die Auslenkungen der
beiden Pendel verglichen. Wird z.B. Pendel 2 in der Lage φ2 festgehalten, so stellt sich bei
Pendel 1 die Auslenkung φ1 ein (siehe Abbildung 8.5). Unter Berücksichtigung der Masse m′
des Pendelschaftes gilt:
m′
Df (φ2 − φ1 ) = Dg φ1 = gl m +
φ1
2
φ1
m′
.
(8.25)
⇐⇒
Df = gl m +
2 φ2 − φ1
Der Kopplungsgrad ist nun das Verhältnis der beiden Auslenkungen:
D g φ1
φ
φ2 −φ1 = 1 = k
φ2
1
Dg 1 + φ2φ−φ
1
(8.26)
Abbildung 8.5: Statische Methode zur Bestimmung des Kopplungsgrads
8.3
Versuchsaufgaben und Auswertung
Aufgabe 1: Man messe die Schwingungsdauer T0 eines einzelnen Pendels und untersuche
die Abweichung vom idealisierten Fall des mathematischen Pendels.
Zur Messung der Schwingungsdauer:
• Die Kopplungsfeder wird entfernt.
• Der Massstab wird hinter das Pendel gelegt und der Nulldurchgang bestimmt.
• Als Pendellänge l ist die angeschriebene Strecke d zu verwenden.
8.3. VERSUCHSAUFGABEN UND AUSWERTUNG
99
Aufgabe 2: Man messe die vier charakteristischen Zeiten τω , τΩ , τ und Ts der gekoppelten
Pendel für zwei verschiedene Kopplungsgrade. τω lässt sich für den im vorigen Abschnitt
als Fall 1 beschriebenen Spezialfall beobachten, τΩ ergibt sich aus Fall 2, und Fall 3
erlaubt die Bestimmung von τ und Ts . Die Werte für τ und Ts sind nach (8.21) und(8.22)
aus τω und τΩ zu berechnen und mit den direkt gemessenen zu vergleichen.
Zur Messung der Schwingungszeiten:
• Beide Pendel werden mit Hilfe der Reguliermutter auf gleiche Schwingungsdauer
eingestellt.
• Die Kopplungsfeder wird eingehängt und bei beiden Pendeln in gleicher Höhe befestigt. Der Kopplungsgrad lässt sich durch die Höhe ändern; Feder hoch = schwacher
Kopplungsgrad, Feder tief = starker Kopplungsgrad.
• Der Massstab wird hinter die Pendel gelegt und die Nulldurchgänge bestimmt.
• Die Zeiten τω , τΩ und τ werden dreimal aus je 50 Schwingungen bestimmt und die
Resultate gemittelt.
• Ts wird fünfmal aus 5 aufeinanderfolgenden Stillständen eines Pendels bestimmt.
Das Endresultat wird über Mittelung gewonnen.
Bei allen Messungen ist darauf zu achten, dass die Pendelausschläge so klein sind, dass sich
die Kopplungsfeder nie ganz entspannt.
Aufgabe 3: Man berechne das Trägheitsmoment J der Pendel (s. Anhang) und mit Hilfe
der Schwingungszeiten τω und τΩ das Kopplungsmoment Df (vgl. Gleichung (8.23))
und den Kopplungsgrad k (vgl. Gleichung (8.24); dynamische Methode). Man messe
Kopplungsmoment und Kopplungsgrad statisch (vgl. Gleichungen (8.25) und (8.26)).
Welche der beiden Methoden ist deiner Meinung nach besser?
100
8. GEKOPPELTE PENDEL
Abbildung 8.6: Versuchsanordnung
Anhang: Berechnung des Trägheitsmomentes eines gekoppelten
Pendels
Das Trägheitsmoment eines Pendels JP setzt sich aus den Trägheitsmomenten des Zylinders Jg , des Stabes JS und dem der Reguliermutter JR zusammen. Diese können durch das
Trägheitsmoment eines Hohlzylinders ausgedrückt werden, das deshalb im folgenden hergeleitet wird (vgl. z.B. Greiner, Mechanik I und II).
Das Trägheitsmoment JgS ist das Integral über den Abstand s2 aller Einzelmassen dm vom
Zentrum des Körpers der Dichte ρ. Da es sich um einen Zylinder handelt, werden zur Berechnung Zylinderkoordinaten verwendet, d.h. r′ , ϕ und z . Die Rotation erfolgt im Falle des
Pendels um die y–Achse. Das karthesische x kann über den Zylinderradius r′ und den Winkel
ϕ zwischen x und r′ ausgedrückt werden (Abbildung 8.7): x = r′ cos ϕ. Nach Pythagoras lässt
sich der Abstand s eines Massenpunktes von der Drehachse y als s2 = x2 + z 2 formulieren.
Das Volumenelement drückt sich in Zylinderkoordinaten als dV = r′ dr′ dϕdz aus, wobei Massenelement dm und dV über die Dichte ρ verknüpft sind: dm = ρdV . Somit ergibt sich für
das Trägheitsmoment eines Massenelementes dm des Zylinders:
dJgS = s2 dm = (x2 + z 2 )ρr′ dr′ dϕdz
(8.27)
Um das Trägheitsmoment des gesamten Zylinders zu erhalten, muss das Volumenintegral ge-
8.3. VERSUCHSAUFGABEN UND AUSWERTUNG
101
Abbildung 8.7: Schema zur Berechnung des Trägheitsmoments in zylindrischen Koordinaten
bildet werden. Hierzu müssen zunächst die Integrationsgrenzen der einzelnen Koordinaten
festgelegt werden. Der Radius r′ des Hohlzylinders geht vom Innenrand, d.h. r, bis zur Aussenwand, d.h. R. Der Winkel ϕ zwischen der x–Achse und r′ kann eine volle Umdrehung
beschreiben, d.h. ϕ liegt zwischen 0 und 2π. Die Höhe des Zylinders h verläuft parallel zur
z–Achse. Um den Ursprung 0 im Zentrum des Zylinders zu halten wird diese von z = − h2 bis
+ h2 ausgedrückt.
102
8. GEKOPPELTE PENDEL
Damit ergibt sich für das Trägheitsmoment Jgs :
h
JgS = ρ
Z+ 2 Z2π ZR
x2 + z 2 r′ dr′ dϕdz
r
0
−h
2
h
= 2ρ
Z2 Z2π ZR
0
r
0
h
2
= 2ρ
Z Z2π h
2
Z Z2π 0
0
h
2
= 2ρ
r′4
r′2
cos2 ϕ + z 2
4
2
0
0
= 2ρ
r′3 cos2 ϕ + z 2 r′ dr′ dϕdz
Z dϕdz
r
cos2 ϕ
2
2
2 z
R −r
+ R −r
dϕdz
4
2
4
R4 − r 4
0
R
4
2π
z2
π
R
+ R2 − r 2
· 2π dz, wobei cos2 dϕ = π
4
2
0
h
π
3 2
2
2 z
= 2ρ R − r
z+ R −r
π
4
3 0
3
4
4 πh
2
2 h
= 2ρ R − r
+ R −r
π
42
24
1 h2
+
= ρπ R2 − r2 h R2 + r2
4 12
4
4
Mit dem Volumen des Hohlzylinders von VZ = π(R2 − r2 )h und der Masse des Zylinders
mZ = ρVZ erhält man:
m
3 R2 + r2 + h2
JgS =
12
In Abbildung 8.8 ist die Zusammensetzung des Pendels dargestellt. Es wird klar, dass die
einzelnen zylindrischen Massen in einem gewissen Abstand von ihrer Rotationsachse (also
der y–Achse) schwingen, da das Pendel am oberen Ende befestigt ist. Somit muss also das
Trägheitsmoment des Pendels bezüglich des Aufhängepunktes berechnet werden. Da dieser
auf einer Parallelen zur Rotationsachse liegt, kann der Satz von Steiner angewandt werden:
Jg = JgS + md2 ,
Das korrigierte Trägheitsmoment Jg setzt sich also aus dem Trägheitsmoment JgS bei Schwingung um die durch den Schwerpunkt führende Rotationsachse und einem weiteren Term, der
den Abstand d des Aufhängepunktes vom Schwerpunkt berücksichtigt, zusammen. Man erhält
also:
mg Jg =
3 R2 + r2 + h2 + 12d2 ,
12
wobei mg = 214.15 g die Masse des Eisengewichtes ist (ρF e = 7.8 g cm−3 ).
8.3. VERSUCHSAUFGABEN UND AUSWERTUNG
103
Analog zu obiger Herleitung ergibt sich für das Trägheitsmoment des Aluminiumstabes JS
der Masse mS = 21.37 g und der Dichte ρAl = 2.7 g cm−3 :
JS = JSS +
mS
mS
l2
3r2 + l2 + 3l2 =
3r2 + 4l2
mS =
4
12
12
Das Trägheitsmoment der Reguliermutter JR wird mit dem eines Hohlzylinders mit den Radien RR = 4.75 mm, rR = 2.5 mm und der Höhe h′ = 5 mm angenähert:
JR = JRS + d′2 mR =
m
2
2
3 RR
+ rR
+ h′2 + 12d′2 ,
12
wobei mR = 2 g die Masse der Reguliermutter (aus Eisen) ist.
Das Trägheitsmoment des Pendels JP lautet somit:
JP = Jg + JS + JR .
Abbildung 8.8: Dimensionen des verwendeten Pendels
Literaturverzeichnis
[1] W. Greiner (1977), Theoretische Physik, Bd. 1/2: Mechanik I/II, 2. Auflage, Harry
Deutsch, Thun/Frankfurt am Main. Kapitel Trägheitsmoment.
[2] H. Vogel (1995), Gerthsen Physik, 18. Auflage, Springer Verlag, Berlin/Heidelberg [Bibliothek ExWi: ODA 206].
Kapitel 9
Kreisel
9.1. EINLEITUNG
9.1
107
Einleitung
Unter einem Kreisel versteht man einen starren Körper, der um einen festen Punkt 0 frei
beweglich ist (Abb. 9.1). Die Bewegung des Kreisels besteht in einer Rotation um eine momentane Drehachse, die zu jedem Zeitpunkt im Raume und innerhalb des starren Körpers
eine andere Lage einnehmen kann. Im allgemeinen führt ein solcher Kreisel eine sehr komplizierte Bewegung aus, die mathematisch schwer zu behandeln ist. Beschränkt man sich jedoch
auf den praktisch häufig auftretenden Fall des rasch rotierenden rotationssymmetrischen
Kreisels, so lassen sich die Bewegungsgesetze in verhältnismässig einfacher Form darstellen.
Das Beharrungsvermögen der Drehimpulsachse eines kräftefreien Kreisels und der Widerstand, den er einem senkrecht zu dieser Achse wirkenden Drehmoment bietet, werden zu
Navigationszwecken ausgenutzt (Kreiselkompass, Trägheitsnavigation). In der Waffentechnik wird die Kreiselwirkung zur Geschossstabilisierung verwendet. Auch die Erde ist
ein Kreisel, der wegen der Abplattung an den Polen, der Neigung seiner Rotationsachse und
der Gravitationswirkung von Sonne und Mond nicht völlig kräftefrei ist.
In diesem Versuch geht es darum, das Verhalten eines rasch rotierenden Kreisels unter dem
Einfluss der Schwerkraft, die ein Drehmoment auf den Kreisel ausübt, zu untersuchen. Die
Winkelgeschwindigkeit der durch das Drehmoment auf den Kreisel bedingten Präzessionsbewegung wird rechnerisch und experimentell bestimmt und ihre Abhängigkeit vom Drehimpuls
des Kreisels und vom wirkenden Drehmoment untersucht.
Li
vi
mi
0
ri
0
Abbildung 9.1: Links: Beispiel eines nicht-symmetrischen Kreisels
~ i eines Massenelements mi .
Rechts: Drehimpulsvektor L
Ortsvektor ~ri und zum Geschwindigkeitsvektor ~vi .
~i
L
ist
senkrecht
zum
108
9.2
9. KREISEL
Theorie
Die Bewegungsgleichung für die Rotation eines Körpers lautet
~
~ = dL .
M
dt
(9.1)
~ gleich dem wirkenden Drehmoment
Sie besagt, dass die zeitliche Änderung des Drehimpulses L
~ ist. Man versteht unter dem Drehimpuls des um den festen Punkt 0 (Abb. 9.1) rotierenden
M
Körpers die Grösse
X
~ =
~ i,
L
L
(9.2)
i
wobei die
~ i = ~ri × p~i = mi · (~ri × ~vi )
L
(9.3)
die Drehimpulsvektoren der einzelnen Massenpunkte mi darstellen. Gleichung (9.1) ist eine
Vektorgleichung; sie sagt demnach nicht nur über die Grösse, sondern auch über die Richtung der Drehimpulsänderung etwas aus. Auf den in Abb. 9.2 dargestellten symmetrischen
Kreisel angewendet bedeutet dies folgendes:
Der Kreisel rotiere mit grosser Winkelgeschwindigkeit um eine durch 0 gehende Achse, die
in diesem Fall mit der Figurenachse übereinstimmen möge. Zur Zeit t sei der Drehimpuls L.
Nun wirkt auf den Kreisel stets die Schwerkraft, die im Schwerpunkt angreift und auf den
Kreisel das Drehmoment M in Bezug auf den Punkt O ausübt. Nach Gleichung (9.1) erfährt
~ in der infinitesimalen Zeit dt eine vektorielle Änderung dL,
~ die parallel zu
der Drehimpuls L
M steht. Zur Zeit t + dt hat der Drehimpuls und damit die Figurenachse die ursprüngliche
Lage verlassen und eine neue Lage eingenommen. Bemerkenswert ist, dass die Figurenachse
des rasch rotierenden Kreisels stets senkrecht zur wirkenden Kraft ausweicht! Dies ist jedoch
aufgrund der Beziehung
~ = ~r × F~
M
(9.4)
~ ) und Gleichung (9.1) leicht einzusehen. Wirkt die Kraft dauernd, was bei
(Definition von M
der Schwerkraft einer konstanten Masse natürlich der Fall ist, so ändert sich die Lage von
Drehimpuls- und Figurenachse fortwährend. Diese Bewegung heisst Präzession des Kreisels.
~ zusammen, so führt sie noch eine weitere,
Fällt die Figurenachse nicht mit dem Drehimpuls L
der Präzession überlagerte Bewegung aus, die so genannte Nutation (Nickbewegung). Diese
ist jedoch recht schwierig zu verstehen und ausserdem für den vorliegenden Versuch unwichtig,
so dass wir darauf verzichten, sie näher zu beschreiben.
9.2.1
Die Präzessionsgeschwindigkeit des Kreisels
Die im letzten Abschnitt erwähnten Erscheinungen lassen sich an einem speziell konstruierten Kreisel (Abbildungen 9.3 und 9.6) gut beobachten und im Falle der Präzession sogar
zahlenmässig überprüfen. Es sei aber betont, dass die hier vorgestellte Rechnung nur den
Gleichgewichtszustand betrachtet. Die Berechnung des Einsetzens der Präzession ist erheblich schwieriger.
Der Kreisel im Praktikumsversuch ist ein schweres Scheibenrad, das mittels einer Antriebswelle mit einem Elektromotor fest verbunden ist. Die Welle ist im Punkt 0 horizontal und
vertikal frei drehbar gelagert, so dass der Kreisel um diesen Punkt frei beweglich ist (Abb. 9.3).
9.2. THEORIE
109
Präzessionskegel
t
dL
t.dt
L (t.dt)
Schwerpunkt
Kreisel
M
0
G
Abbildung 9.2: Präzession eines Spielkreisels als Beispiel eines symmetrischen Kreisels
~ befindet
Das System ist ausbalanciert, d.h. der Schwerpunkt des Kreisels (ohne Gewicht G)
sich in 0.
Der Kreisel, d.h. das bezüglich seiner Drehachse symmetrische Rad rotiere rasch mit der
Winkelgeschwindigkeit ω
~ um seine Figurenachse.
~ mit der Drehachse zusammen und lässt sich einfach
In diesem Fall fällt der Drehimpuls L
berechnen, wie folgende Überlegung zeigt:
Zu jedem Massenpunkt mi gehört im symmetrischen Kreisel ein “Zwillingspunkt” mi′ , mit
mi = mi′ . Aus Abb. 9.4 ergibt sich für den Drehimpuls eines solchen symmetrischen Paares
von Massenpunkten:
~ ′ = 2 · mi · (~ri × ~vi )
(9.5)
L
ii
Da gilt:
~vi = ω
~ × ~ri
(9.6)
wird der Drehimpuls des ganzen Kreisels somit:
~ =
L
X
~
mi ri2 ω
(9.7)
i
P
Nun ist aber i mi ri2 = J das Trägheitsmoment des Kreisels bezüglich der Figurenachse.
Für den Drehimpuls hat man daher die folgende einfache Beziehung:
~ =J ·ω
L
~
(9.8)
110
9. KREISEL
0
w
Motor
L
dL
M
G
WP
Abbildung 9.3: Skizze des im Praktikum verwendeten Kreisels
w
Figurenachse
mi'
-ri
vi
ri
-vi
mi
r0i
0
Abbildung 9.4: Skizze zur Berechnung des Drehimpulses eines um seine Symmetrieachse rotierenden
Kreisels
~ ω | = ω:
und für den Betrag L
= L mit |~
L=J ·ω
(9.9)
In diesem speziellen Fall des symmetrischen Kreisels ist also der Drehimpuls gleich
dem Produkt aus Trägheitsmoment J und Winkelgeschwindigkeit ω, beide bezüglich der Figurenachse. Dies ist analog zum linearen Impuls bei der Translationsbewegung: p~ = m · ~v ; m
entspricht J und ~v entspricht ω
~.
Solange der Kreisel (Abb. 9.3) im Schwerpunkt unterstützt ist und kein Drehmoment auf ihn
ausgeübt wird, ist nach Gleichung (9.1) wegen M = 0:
~ =M
~ dt = 0,
dL
~ = const,
also L
(9.10)
9.2. THEORIE
111
d.h. der Drehimpuls bleibt zeitlich konstant.
~ in Bezug auf den Punkt
Übt man nun durch Anhängen eines Gewichtes ein Drehmoment M
~
O aus, so ändert sich der Drehimpuls L nach Gleichung (9.1) derart, dass die Drehim~ gleich dem Vektor M
~ dt ist; dL
~ liegt somit parallel zu M
~ (Abb. 9.5). Der
pulsänderung dL
~ hat sich im Zeitelement dt also in der Horizontalebene etwas nach vorne gedreht.
Vektor L
~ wirkt: Der Kreisel präzediert.
Dies geschieht solange, wie das Drehmoment M
Für die Berechnung der Präzessionswinkelgeschwindigkeit ΩP nehmen wir nun den in
~ in der yz-Ebene liegt
Abb. 9.5 gezeigten allgemeinen Fall an, dass der Drehimpulsvektor L
und mit der z-Achse den Winkel ϑ bildet.
z
w = (0,wy,wz)
L
L = (0,Ly,Lz)
J
0
w
dj'
dj
l
dL
y
L + dL
j
dL
G
M
x
Abbildung 9.5: Drehimpulsänderung durch Anhängen eines Gewichts
Die Winkelgeschwindigkeit der Präzessionsbewegung beträgt
ΩP =
dϕ
,
dt
(9.11)
wobei dϕ der Winkel ist, um den sich die Projektion der Figurenachse auf die xy-Ebene im
Zeitintervall dt gedreht hat. Aus
~
d L Bogen
(9.12)
= dϕ =
Radius
~ · sin ϑ
L
und (nach Gleichung (9.1))
~ ~
M
·
dt
=
d
L
(9.13)
112
9. KREISEL
ergibt sich
woraus folgt:
~
M · dt
,
dϕ = ~ · sin ϑ
L
(9.14)
~
M .
ΩP = ~ · sin ϑ
L
(9.15)
~ = ~l × G,
~
M
(9.16)
M = mg · l · sin ϑ,
(9.17)
~ = m~g
Setzt man noch das Drehmoment des Gewichtes G
d.h.
und für den Drehimpuls Gleichung (9.9) ein, so findet man:
ΩP =
mg · l
J ·ω
(9.18)
Der Kreisel präzediert also umso schneller, je geringer sein Drehimpuls (d.h. bei festem
Trägheitsmoment seine Winkelgeschwindigkeit) und je grösser das Drehmoment ist, das den
Kreisel aus seiner Gleichgewichtslage zu bringen versucht.
9.3
Versuchsaufbau
Aufhängungspunkt O
Scheibenrad
l
Motor
Halter
Welle
.
160 od.460 g
Halterung für
Bestimmung von J
Variac
Abbildung 9.6: Schematischer Versuchsaufbau
Material:
1 Kreisel, 1 Stoppuhr, 4 Gewichte (160 g, 460 g, 1 kg, 2 kg), 1 Halter für Gewichte (30 g oder
40 g), 1 Massstab, 1 Stroboskop, 1 Transformator mit variabler Ausgangsspannung (Variac)
zum Regulieren der Kreiseldrehzahl, 1 Polsterunterlage für Fallversuch.
9.4. VERSUCHSAUFGABEN
9.4
113
Versuchsaufgaben
1. Bestimmen Sie das Trägheitsmoment J des Kreisels nach der folgenden Methode:
Die Kreiselachse wird in horizontaler Lage fixiert. Um das Scheibenrad wird eine Schnur
gewickelt, an deren anderen Ende die Masse m hängt (Abb. 9.7). Lässt man die Masse in der Höhe h über dem Boden los, so fällt sie beschleunigt nach unten und erteilt
dem Rad eine zunehmende Winkelgeschwindigkeit. Die Endgeschwindigkeit sei ω
~ 0 . Das
Trägheitsmoment des Kreisels lässt sich dann am einfachsten mit dem Energiesatz berechnen. Die Summe der potentiellen und kinetischen Energie zu Beginn und nach dem
Fall ist gleich gross.
w
q
R
m
h
Abbildung 9.7: Fallversuch
• Leiten Sie die entsprechende Formel für J her. Resultat:
J=
2mgh
− mR2
ω02
(9.19)
• Bestimmen Sie J experimentell aus Fallversuchen mit 2 verschiedenen Gewichten
(eher die leichten Gewichte verwenden). Überprüfen Sie, ob das Resultat einem
realistischen Trägheitsmoment für eine metallene Scheibe entspricht.
2. Bestimmen Sie die Präzessionsperiode TP = 2π/ΩP in Abhängigkeit von der Rotationsfrequenz f = ω/2π für verschiedene Drehmomente M = G · l. Der Kreisel wird nun mit
dem Elektromotor betrieben (Variac einschalten). Wählen Sie für f Werte zwischen ca.
700 und 1400 U/min. und 1-2 verschiedene Werte für M . Die Frequenz f wird mit einem
Stroboskop (Blitzlampe mit einstellbarer Anzahl von Blitzen pro Minute) gemessen. Zu
diesem Zweck befindet sich am Kreiselrad ein radial verlaufender weisser Strich, welcher mit dem Stroboskop angeleuchtet wird. Die Stroboskop-Frequenz wird von hohen
Werten her (warum?) solange nach unten gedreht, bis der Strich scheinbar stillsteht
(Erklärung dieses Effektes?); f lässt sich dann am Stroboskop ablesen.
Zeichnen Sie die (nach der Theorie und nach dem in Aufgabe 1 gemessenen Trägheitsmoment) zu erwartenden Funktionskurven Tp (f ) für die verschiedenen gewählten Drehmomente! Liegen die gemessenen Punkte auf den Kurven? Sind die Abweichungen theoretisch oder nach Ihrer Fehlerbeurteilung zu erklären?
114
9. KREISEL
Hinweise zur Versuchsdurchführung
• Stroboskop vor dem Messen 10–15 Minuten laufen lassen
• Vor Betrieb des Kreisels mit dem Elektromotor die Halterung zwischen Aufhängungspunkt und Scheibenrad ganz nach unten bewegen
• Bei der Berechnung der theoretischen Präzessionsperiode das Gewicht des Halters berücksichtigen
Abbildung 9.8: Versuchsanordnung
Literaturverzeichnis
[1] H. Vogel (1995), Gerthsen Physik, 18. Auflage, Springer Verlag, Berlin/Heidelberg [Bibliothek ExWi: ODA 206].
[2] P.A. Tipler und G. Mosca (2008), Physics for Scientists and Engineers, 6. edition, W.H.
Freeman and Company, New York [Bibliothek ExWi: ODA216].
Kapitel 10
Tragflächenmodell im Windkanal
10.1. EINLEITUNG
10.1
119
Einleitung
Die Dynamik von Fluiden, und damit sind sowohl Flüssigkeiten wie Gase gemeint, findet in
weiten Bereichen Anwendung, sei es bei der Konstruktion von Schiffen, Flugzeugen, Pipelines
oder gar Sanitäranlagen oder auch bei der Behandlung von Strömungen in der Atmosphäre
oder in Ozeanen, im interstellaren Medium oder im Phasenraum von Sternhaufen. Der vorliegende Versuch soll Dir anhand des Tragflächenprinzips die Grundlagen der Fluiddynamik
näherbringen. Eine Tragfläche wurde deshalb gewählt, weil ihr Funktionsprinzip vielerorts anzutreffen ist, z. B. bei Flugzeug- und Vogelflügeln, Turbinenschaufeln, Segeln, Rudern, Düsen,
Ahornsamen usw. Kommt hinzu, dass ein kleiner Windkanal mit Tragfläche eine greifbare und
wartungsfreundliche Einrichtung fürs Labor ist.
10.2
Theorie
10.2.1
Einige Definitionen
Für die Herleitung des Bernoulli-Theorems und das Verständnis des Tragflächenprinzips sind
einige grundlegende Definitionen notwendig. Es ist jeweils die Rede von der Strömung, bzw.
dem Strömungsfeld. Damit ist ~v (~x, t) gemeint. Da dies ein Vektorfeld ist, wird es mit Feldlinien
(Stromlinien) charakterisiert, d.h. in jedem Punkt einer Stromlinie ist die Tangente parallel
zum Feld:
vi dxi (10.1)
= ∀ i, j .
dxj ~x vj ~x
v
~
In diesem Versuch beschränken wir uns auf stationäre Strömungen, d.h. ∂~
∂t = 0. In der
Natur findet zwischen den Partikeln Wechselwirkung in Form von Kohäsion (d.h. Reibung)
statt, was die Ursache der Zähflüssigkeit oder Viskosität η ist. Demgegenüber steht das
Modell der reibungsfreien Strömung mit η = 0. Wenn das Medium inkompressibel ist,
gilt
~ v = 0 ⇔ ∂v1 + ∂v2 + ∂v3 = 0 ,
∇~
(10.2)
∂x1 ∂x2 ∂x3
d. h. das Strömungsfeld ~v (~x) besitzt keine Quellen oder Senken (ρ = konstant). Flüssigkeiten
und langsam strömende Gase (bis ca. einem Drittel der Schallgeschwindigkeit) sind nahezu
inkompressibel. Beide werden als Fluide behandelt (Hydro- oder Fluiddynamik), während die
Aerodynamik die Kompressibilität miteinbezieht. Eine weitere mögliche Strömungseigenschaft
ist die Wirbel- oder Rotationsfreiheit
~ × ~v = 0 ⇔ ∂vi − ∂vj = 0 ∀ i, j .
∇
∂xj
∂xi
(10.3)
Die Vektoranalysis sagt, dass sich solche Strömungen als Gradienten eines Potentials Φ(~x)
~
beschreiben lassen: ~v = −∇Φ.
Daher kommt auch das Synonym Potentialströmung. Man
würde meinen, dass in derartigen Strömungen keine Kreisbewegungen von Teilchen stattfin~ × ~v = 0
den. Tatsächlich gibt es aber sogenannte Zirkulationsströmungen, für welche ∇
1
erfüllt ist. In ihnen nimmt die Strömungsgeschwindigkeit |~v | mit r ab, wo r der Abstand vom
Drehzentrum ist (das Medium ströme nur ausserhalb eines gewissen Radius’ R, ansonsten die
Achse eine Singularität darstellte).
120
10.2.2
10. TRAGFLÄCHENMODELL IM WINDKANAL
Bernoulli-Theorem
Das Bernoulli-Theorem ist eines der wichtigsten Werkzeuge in der Strömungslehre, da mit
ihm die Druckverhältnisse in einer Strömung beschrieben werden können. Je nach den Eigenschaften der Strömung hat es ein unterschiedliches Antlitz. Wir leiten es her für stationäre,
nichtviskose, inkompressible und wirbelfreie Strömungen. Zur Herleitung benötigt man die
Kontinuitätsgleichung, welche auf der Erhaltung der Masse beruht. Man betrachte eine gekrümmte, geschlossene Fläche A (z. B. eine Sphäre), welche in einer Strömung untergebracht
ist. Die pro Zeit durch A hindurchfliessende Nettomasse ist dann
I
I
~ = ρ ~v · dA,
~
(10.4)
ṁ = ~j · dA
A
A
mit ~j der Massenflussdichte. Im Falle der Inkompressibilität ist der Wert 0, d.h. es strömt
genau soviel Masse hinein wie heraus. Nun sei A die Oberfläche eines durchströmten Röhrenabschnitts (vgl. Abbildung 10.1). Die Stirnflächen seien A1 , A2 , A3 . Durch die Seitenwände
~ und das Strömungsfeld ~v (~x) sei homogen über einen Querfliessen keine Teilchen, d.h. ~v k dA
schnitt. Dann geht Gleichung (10.4) in die Kontinuitätsgleichung über:
ṁ = −ρ |~v1 | A1 + ρ |~v3 | A3 = 0 ⇐⇒ ∀A : ρ |~v | A = ρ V̇ = konstant ⇐⇒ V̇ = konstant .
(10.5)
Abbildung 10.1: In einem stationären Strömungsfeld ist der Volumenstrom V̇ = ṁ
= A |~v | = A | ds
| konρ
dt
stant.
∆s 1
∆s 2
∆s 3
Nun ein Gedankenexperiment (beachte erneut Abbildung 10.1): Das Einbringen eines Volumens △V1 = A1 △s1 durch die Querschnittsfläche A1 erfordert die Arbeit W1 = p1 △V1 =
p1 A1 △s1 , wenn der Druck dort p1 beträgt. Die Kontinuitätsgleichung verlangt bei Inkompressibilität, dass an der Querschnittsfläche A3 das gleiche Volumen austritt: △V1 = △V3 .
Letzteres verrichtet dort die Arbeit W3 = p3 △V3 = p3 A3 △s3 . Dies ergibt ein △W von
△W = p3 △V3 − p1 △V1 . Diese gewonnene oder aufgewendete Arbeit wird der kinetischen und
potentiellen Energie des strömenden Mediums entzogen oder hinzugefügt:
1
ρ △V1 ~v12 + ρ △V1 g h1
2
1
= ρ △V3 ~v32 + ρ △V3 g h3 ,
2
Etot,1 = Ekin,1 + Epot,1 =
Etot,3
(10.6)
mit h1,3 den entsprechenden Höhen. Wegen der Energieerhaltung ist
△W = Etot,1 − Etot,3 ,
(10.7)
beziehungsweise (geordnet nach Indices)
p1 +
1
1 2
ρ ~v1 + ρ g h1 = p3 + ρ ~v32 + ρ g h3 .
2
2
(10.8)
10.2. THEORIE
121
Dies bedeutet nichts anderes als die Bernoulligleichung
p
|{z}
+
ρgh
|{z}
+
Betriebsdruck
geodätischerDruck
|
{z
statischerDruck
1 2
ρ ~v
2
| {z }
= konstant.
(10.9)
dynamischerDruck
}
..
Ubergang
..
..
gestorte Stromung,
.. z. B.
Umgebung Tragflache
..
ungestorte
..
Stromung
p statisch
pdynamisch
p
ausserhalb
..
Stromung
Die drei Summanden heissen nacheinander Betriebsdruck, Schwere- oder geodätischer
Druck und Stau- oder dynamischer Druck. Betriebs- und geodätischer Druck bilden zusammen den statischen Druck. Statischer und dynamischer Druck addieren sich zum Gesamtdruck. Eine Bemerkung: Gemäss Abbildung 10.1 haben wir für diese Betrachtung eine
homogene Strömung verwendet und deshalb △V als zylindrischen Abschnitt des Volumenstroms betrachtet. Somit ist der Gesamtdruck konstant ∀Ax und ∀~x ∈ Ax . Im Falle von Inhomogeneität wird ein Volumenstrom durch ihn begrenzende Stromlinien definiert. Im Konzept
der Stromlinien kann der Durchmesser also derart klein gewählt werden, dass das Geschwindigkeitsfeld im Innern als homogen gelten darf, womit obige Betrachtung auf den allgemeinen
Fall angewendet werden kann. Ergo gilt das Bernoulli-Theorem entlang eine Stromlinie (auf
ihr ist der Gesamtdruck also konstant). Die Höhenunterschiede für die Strömungen dieses
Praktikums sind vernachlässigbar.
x
10.2.3
Abbildung 10.2: Veranschaulichung des
Bernoulli-Theorems: Zum statischen Druck
ausserhalb der Strömung (z. B. Zimmerumgebung) gesellt sich innerhalb der Strömung
eine dynamische Komponente, verursacht
durch eine kollektive Bewegung der Luftmoleküle. In der Umgebung eines umströmten
Körpers, z. B. einer Tragfläche, verändern
sich die Proportionen von statischem und
dynamischem Druck, ihre Summe jedoch
ist konstant gemäss Bernoulli-Theorem. Die
Doppelpfeile bezeichnen jene Komponenten,
welche mit Hilfe des Prandtl-Rohres und des
Manometers gemessen werden können (bei
geschicktem Anschliessen).
Druckmessung
In diesem Versuch wird für die Druckmessungen ein Prandtl-Rohr verwendet. Seine Funktionsweise setzt sich aus der einer Drucksonde und eines Pitot-Rohres zusammen (siehe
Abbildung 10.3). Mit der Drucksonde wird der statische Druck in einer Strömung gemessen:
Da dieser isotrop ist und der dynamische Druck nur in Strömungsrichtung wirkt (als kinematische Komponente), kann mit einer zur Strömung parallelen Öffnung der statische Druck
auf den einen Schenkel des Manometers gebracht werden. Der andere Schenkel ist mit einem Referenzdruck verbunden, z. B. der Zimmerluft. Im Gegensatz dazu ist die Öffnung des
Pitot-Rohres an der Stirnseite angebracht und folglich neben dem statischen auch dem dynamischen Druck ausgesetzt. Der aufs Manometer gebrachte Druck ist somit der Gesamtdruck.
Für die Geschwindigkeitsmessung, u. a. bei Flugzeugen, interessiert alleine die dynamische
122
10. TRAGFLÄCHENMODELL IM WINDKANAL
ρ v2
2
q
2p
dyamisch
⇔v=
auf die Geschwindigkeit geKomponente, da dann mit pdynamisch =
ρ
schlossen werden kann. Hierfür muss vom Gesamtdruck die statische Komponente abgezogen
werden. Dies wird bewerkstelligt, indem je ein Schenkel des Manometers (beim Fahrtmesser
des Flugzeugs handelt es sich um eine Aneroiddose) an den Gesamt- und an den statischen
Druck angeschlossen wird. Die ablesbare Differenz ist der dynamische Druck. Bei schnellen
Flugzeugen muss infolge der Kompression noch eine Machkorrektur vorgenommen werden.
10.2.4
Zirkulation
Im folgenden ist von Objekten die Rede, welche einer Strömung ausgesetzt sind. Dabei soll
es keine Rolle spielen, ob sich das Objekt durch ein stehendes Medium bewegt, oder ob der
Körper in Ruhe ist und angeströmt wird. Unser Bezugssystem sei auf dem Körper fixiert.
Wie erwähnt tritt in einer viskosen Strömung innere Reibung auf. Eine Konsequenz daraus
ist die Grenzschicht, welche sich an der Oberfläche von umströmten Körpern bildet. Ein
Modell: Man denke sich das Medium in unmittelbarer Nähe der Körperoberfläche in parallele
Schichten zerlegt. Die am Körper anliegende Schicht haftet aufgrund der Adhäsion. Jede weitere Schichte reibt an der darunterliegenden (wird also gebremst) aufgrund der Kohäsion, bis
man schliesslich soweit von der Oberfläche entfernt ist, dass zwischen den Schichten “keine”1
Reibung mehr auftritt. Somit ist die Grenzschicht der Bereich, in dem das Strömungsfeld
v|
inhomogen ist, d. h. wo ein Geschwindigkeitsgefälle d|~
dr 6= 0 auftritt (r ist der Abstand von
der Oberfläche). Die hier beschriebene Grenzschicht ist laminar, da die Teilchenbahnen parallel sind, die Partikeln bewegen sich also in Laminaten. Überschneiden sich die Teilchenbahnen oder sind sie verdrillt, so ist die Grenzschicht turbulent. Dann tritt neben der (sogar
erhöhten) Reibung auch noch ein Drehimpuls der Luftmasse (parallel oder antiparallel zur
Strömungsrichtung) auf.
Wird ein Zylinder umströmt, so präsentiert sich das Bild der Stromlinien symmetrisch (siehe
Abbildung 10.4, links). Auf Ober- und Unterseite verdichten sich die Stromlinien, die Strömungsgeschwindigkeit ist erhöht und gemäss Bernoulli ist der statische Druck zu beiden Seiten
reduziert. Es tritt jedoch keine resultierende Kraft auf. Rotiert hingegen der Zylinder (Abbildung 10.4, Mitte), so wird die innerste Strömungsschicht mitgedreht, und zwar mit (Ober1
“Keine Reibung” ist nur dann vollständig richtig, wenn die Strömung fern des Körpers homogen ist, z.B.
wenn die Körperoberfläche eben ist.
Abbildung 10.3: Funktionsprinzipien von Drucksonde, Pitot-Rohr und Prandtl-Rohr (v.l.n.r.). Die Drucksonde misst mittels einer strömungsparallelen Öffnung den statischen Druck, da dieser isotrop wirkt. Beim
Pitot-Rohr wirkt noch zusätzlich die kinematische (also gerichtete) Komponente als dynamischer Druck. Das
Prandtl-Rohr bringt beide Drücke auf je einen Schenkel des Manometers und ermöglicht so die Messung des
dynamischen Drucks als Differenzdruck.
10.2. THEORIE
123
seite) und entgegen der Anströmungsrichtung (Unterseite). Dadurch bildet sich oberhalb des
Zylinders eine schnellere Strömung aus als unterhalb. Nach Bernoulli ist dies mit einer Zunahme des dynamischen Drucks verbunden, was zu einer statischen Druckabnahme führt
(u. u. auf der Unterseite). Insgesamt resultiert eine Kraft nach oben (Magnuseffekt). Die
asymmetrische Umströmung kann zerlegt werden in eine Zirkulations- und eine Translationsströmung. Letztere hat die Geschwindigkeit ~v∞ , d.h. die Geschwidigkeit der ungestörten
Strömung fernab vom Körper, wo demzufolge das Strömungsfeld homogen ist. Die Zirkulation
Abbildung 10.4: Veranschaulichung der Zirkulation: Das Stromlinienbild eines ruhenden Zylinders ist symmetrisch (links). Eine Rotation dreht auch die Grenzschicht mit. Aus der asymmetrischen Umströmung resultieren
unterschiedliche Strömungsgeschwindigkeiten unter- und oberhalb, welche gemäss Bernoulli zu einer resultierenden Luftkraft führen (Magnuseffekt, Mitte). Die asymmetrische Umströmung ist die Überlagerung einer
Translationsströmung mit v∞ und einer Zirkulation (rechts).
wird folgendermassen quantifiziert:
Γ=
I
~ ,
~v · dl
(10.10)
P rof il
mit l dem Weg um das Profil entlang der Oberfläche.
10.2.5
Luftkräfte an der Tragfläche
Auch für die Auftriebskraft an einer Tragfläche ist eine Zirkulationsströmung verantwortlich, welche der translatorischen Bewegung der Partikeln überlagert ist und zu ungleichen
Umströmungsgeschwindigkeiten auf Ober- und Unterseite führt. Der Auftrieb entsteht auch
hier durch den statischen Druckunterschied gemäss Bernoulli-Theorem. Wie entsteht aber
die Zirkulation um ein Tragflächenprofil, welches ja nicht rotiert? Stelle Dir letzteres vor
(oder betrachte Abbildung 10.5) in einem anfänglich ruhenden Medium. Im Moment, da die
Umströmung einsetzt, wird das Medium an der Eintrittskante geteilt. An der Austrittskante des Profils vereinigen sich die Luftmassen wieder. Da der Weg über das Profil länger ist
als unten durch, wird die obere Grenzschicht über einen weiteren Weg abgebremst als jene
auf der Unterseite. An der Austrittskante trifft deshalb die obere Strömung mit einem Geschwindigkeitsdefizit auf die untere Strömug. Da in einem realen Gas/Fluid innere Reibung
auftritt, führt dies zum sogenannten Anfahrwirbel hinter der Austrittskante. Aus Gründen
der Drehimpulserhaltung (es wirkt kein Drehmoment von aussen ein) entsteht die Zirkulation
ums Profil mit entgegengesetztem Drehsinn zum Anfahrwirbel (Abbildung 10.5, links). Die
Zirkulationsströmung wirkt der soeben beschriebenen Reibung der oberen und unteren Luftmasse entgegen, welche hinter der Austrittskante stattfindet. Abbildung 10.5, rechts, zeigt die
resultierende Umströmung, deren Geschwindigkeitsunterschied zum Auftrieb führt. Beachte,
124
10. TRAGFLÄCHENMODELL IM WINDKANAL
dass in einer reibungsfreien Strömung kein aerodynamischer Auftrieb existieren kann und dass
auch auf der Unterseite der statische Druck sinken kann (an der dicksten Stelle des Profils).
voben
8
v
vunten
Abbildung 10.5: Anfahrwirbel mit einsetzender Zirkulationsströmung (links) und resultierende Umströmung
(rechts).
An den Flügelenden eines Flugzeugs findet Druckausgleich zwischen Ober- und Unterseite
statt, was zu den sog. Randwirbeln führt (Abbildung 10.6). Mit Anfahrwirbel und Zirkulation
bilden sie einen geschlossenen Wirbelring: Ein von Zürich nach Ouagadugu fliegender Airliner
hinterlässt seinen Anfahrwirbel am Pistenanfang in Kloten und zieht den Wirbelring bis an
die Destination (wenngleich sich der Ring nach einigen Minuten vom Startort her aufzulösen
beginnt).
Abbildung 10.6: An den Flügelenden eines Flugzeugs findet Druckausgleich zwischen Ober- und Unterseite statt, was zu
Randwirbeln führt (wake turbulence). Eine
Folge davon ist der induzierte Widerstand
eines auftriebserzeugenden Körpers. Er entsteht, weil der Luftmasse ein Drehimpuls
übertragen wird.
Der Widerstand eines Flügels oder Flugzeugs setzt sich aus mehreren Teilkräften zusammen.
Die wichtigsten sind Reibungs-, Druck- und induzierter Widerstand:
Beim Umströmen eines Körpers muss den Teilchen des Mediums eine Geschwindigkeitsänderung beigebracht werden. Die nötige Arbeit geht an die Strömung (d. h. die Teilchen folgen
dem Druckgefälle). Die investierte Arbeit wird zurückerstattet auf der Lee-Seite des Körpers,
wo die Teilchen wieder zusammenströmen. Dort müssen sie die gewonnene kinetische Energie
wieder gegen das Druckgefälle aufwenden. In einer inkompressiblen reibungsfreien Strömung
fehlen dissipative Kräfte und die Energiebilanz ist 0. In einem viskosen Medium, wie die Luft
eines ist, tritt jedoch innere Reibung auf zwischen den Strömungsschichten in der Grenzschicht
(in welcher ja ein Geschwindigkeitsgradient herrscht). Daraus ergibt sich der Reibungswiderstand, welcher der laminaren Strömung permanent Energie entzieht.
Ist der Energieverlust durch Dissipation so stark, dass die Teilchen im hinteren Teil des
umströmten Körpers nicht mehr gegen den statischen Druckanstieg ankommen, so bremst
sich die Strömung auf beinahe Null ab oder wird gar rückläufig (wenn z. B. Teilchen von
der Unterseite des Profils um die Austrittskante herum zur Oberseite gedrückt werden). Die
darüberliegende schnellere Strömung rollt die langsame Schicht zu Wirbeln auf, welche sich
periodisch ablösen (bei genügend hoher Frequenz entsteht ein Rauschen). Der statische Druckverlust durch die Dissipation, sowie der statische Unterdruck in den Wirbelzentren (erhöhte
Strömungsgeschwindigkeit!), führen zu einem Druckgefälle zwischen Luv- und Lee-Seite des
Körpers und somit zum Druck- oder Wirbelwiderstand von turbulenten Strömungen.
10.2. THEORIE
125
2
Reibungs- und Druckwiderstand sind je proportional zu ρ 2~v , und so können sie einzeln wie
auch als Summe (empirisch) wie folgt beschrieben werden:
|F~w | =
ρ ~v 2
cw A⊥ .
2
(10.11)
cw ist der (dimensionslose) Widerstandskoeffizient, der abhängig von Form und Oberfläche
des Körpers ist. Es gibt je einen cw für den Reibungswiderstand, den Druckwiderstand oder
deren Summe. A⊥ ist je nach Literatur und Thema die Projektion des Körpers auf eine
Fläche senkrecht zu ~v∞ , oder die grösste Querschnittsfläche senkrecht zu ~v∞ oder das Quadrat
einer typischen Abmessung des Körpers senkrecht zu ~v∞ . Entsprechend ist der jeweilige cw
angepasst.
Der induzierte Widerstand entsteht durch die oben erwähnten Randwirbel: Der Luftmasse wird ein Drehimpuls übertragen, was Arbeit erfordert. Dieser Widerstand ist durch den
Auftrieb induziert und somit eine davon untrennbare Begleiterscheinung. Er reduziert sich
mit zunehmender Strömungsgeschwindigkeit.
Analog zu Gleichung (10.11) lässt sich der Auftrieb empirisch beschreiben:
|F~a | =
ρ ~v 2
ca A′ .
2
(10.12)
A′ ist die Projektion der auftriebserzeugenden Fläche auf eine Ebene parallel zu ~v∞ , und ca ,
der Auftriebskoeffizient, ist wiederum von der Form abhängig.
Eine alternative Beschreibung der Auftriebskraft in Abhängigkeit der Zirkulation stammt
von den Herren Kutta und Joukowsky. Die detaillierte Herleitung derselben befindet sich im
Appendix. Zu ihrem Verständnis sind Kenntnisse über holomorphe Funktionen (Analysis 4)
nötig. Die folgende Abschätzung ist sehr stark vereinfacht, dient aber der Veranschaulichung.
Beachte erneut Abbildung 10.5 rechts: Seien im Mittel ~voben = ~v∞ +∆~v und ~vunten = ~v∞ −∆~v
(mitunter ist an der dicksten Stelle auf der Unterseite die Strömung schneller als |~v∞ |!). Mit
diesen Geschwindigkeiten lässt sich gemäss Bernoulli-Theorem der statische Druckunterschied
zwischen Ober- und Unterseite bestimmen: ∆p = ρ2 (|~v∞ | + |∆~v |)2 − (|~v∞ | − |∆~v |)2 =
ρ
v∞ ||∆~v | = 2ρ |~v∞ ||∆~v |. Daraus folgt der Auftrieb zu |F~a | = A′ · ∆p = b l′ · 2ρ |~v∞ ||∆~v |.
2 4|~
Hierbei ist A′ = b · l′ erneut die (auf die Richtung von ~v∞ ) projizierte auftriebserzeugende
Fläche mit b der Breite des Körpers (z.B. Spannweite der Tragfläche) und l′ der Projektion
der Profilsehne (Definition siehe Abschnitt 10.2.6). Wenn man nun annähert, 2 l′ sei etwa
der Umfang des Profils, so ergibt sich 2 l′ ∆~v ≃ Γ und der Auftrieb kann notiert werden als
Auftriebsformel von Kutta-Joukowsky:
|F~a | = b ρ Γ |~v∞ | .
(10.13)
Merke:
F~res = F~a + F~w ,
(10.14)
wobei F~res die resultierende Luftkraft ist und F~a ⊥ ~v∞ , F~w ||~v∞ . F~w bezeichnet den resultierenden Widerstand aus Druck-, Reibungs- und induziertem Widerstand.
10.2.6
Polardiagramm nach Otto von Lilienthal
Der Anstellwinkel α ist der Winkel zwischen der Richtung von ~v∞ und der Profilsehne.
Letztere ist definiert als die Verbindungsgerade von Austrittskante und Zentrum des kleinsten
126
10. TRAGFLÄCHENMODELL IM WINDKANAL
Krümmungskreises der Eintrittskante. Aus Gründen der Einfachheit gehe für diesen Versuch
die Profilsehne entlang der Unterseite des Profils (vgl. Abbildung 10.8). Für jeden Anstellwinkel ändern ca und cw , da sich dadurch ja die “Form” in Referenz zur Anströmung verändert.
Jedoch ist die Beziehung zwischen ca und cw nicht linear, und so ergibt sich für ein Profil bei
bestimmter Geschwindigkeit eine charakteristische Kurve, wenn |F~a | in Funktion von |F~w | aufgetragen wird. Dies ist das Polardiagramm nach Otto von Lilienthal, 1848 - 1896. Betrachte
dazu Abbildung 10.7: Je nach Literatur werden die c- oder die |F~ |-Werte verwendet, woraus
sich für ein und dasselbe Profil zwei verschiedene Kurven ergeben, da sich c- und |F~ |-Wert
um den erwähnten Faktor einer (mit α variierenden) Fläche unterscheiden. Die Polare verrät
einige Eigenschaften des Profils: Der Anstellwinkel mit maximalem Verhältnis ccwa (Punkt E,
Berührpunkt der Tangenten durch den Ursprung) führt zur besten Gleitzahl. Auf ein Flugzeug bezogen heisst dies, dass der Höhenverlust pro zurückgelegter Strecke minimal wird. Um
Höchstgeschwindgkeit zu erreichen, wählt man den Anstellwinkel für minimalen cw (Punkt
M). Bei ca = 0 (Nullauftrieb, Punkt P) ist der Flug ballistisch. Der Auftrieb wird maximal am
obersten Punkt S der Polaren (z. B. für Start und Landung oder wenn hohe Zentralbeschleunigung erforderlich ist im Kurvenflug). Jenseits davon nimmt nur noch der Widerstand zu.
Im Punkt D ist die Steiggeschwindigkeit eines Flugzeugs maximal (bei gegebener Leistung),
respektive die Sinkgeschwindigkeit minimal (für ein Segelflugzeug). Unterhalb der Abszisse
wird Abtrieb erzeugt. Dieser Bereich wird z. B. für den Rückenflug genutzt.
Abbildung 10.7: Polardiagramm eines Flugzeugs. Jeder
Punkt entspricht einem Anstellwinkel. Wird nur der Flügel
berücksichtigt, so verschiebt sich
die Kurve insgesamt nach links,
da ein Grossteil des Widerstandes wegfällt bei nur geringfügig
kleinerem Auftrieb. Bei asymmetrischem Profil (asymmetrisch
bezüglich der Profilsehne) ergibt
bereits ein Anstellwinkel von ≤ 0
einen Auftrieb (aus “Aerodynamik und Flugmechanik”, Willy
Eichenberger, Bundesamt für
Zivilluftfahrt, 1974).
10.3. VERSUCHSAUFGABEN
10.3
127
Versuchsaufgaben
1. Erstelle für eine bestimmte Strömungsgeschwindigkeit ein Polardiagramm |F~a | vs. |F~w |
und interpretiere dieses (kommentiere die oben erwähnten Eigenschaften bezogen auf
das vorliegende Profil). Die Strömungsgeschwindigkeit soll gross genug gewählt werden,
damit man auch bei kleinen Anstellwinkeln hinreichend grosse Auftriebs- und Widerstandskräfte bei vernünftigem relativem Fehler messen kann. Die Kräfte werden via
Wägen bestimmt. Erwähne kurz, wieso man mit wägen direkt auf die Kraft schliessen
kann (Drehmomente).
2. Bestimme die Auftriebskraft für einen Anstellwinkel und eine Strömungsgeschwindigkeit
auf verschiedene Arten und vergleiche die Genauigkeit der verschiedenen Methoden.
Achte auch hier darauf, dass Strömungsgeschwindigkeit und Anstellwinkel gross genug
gewählt werden. Wende folgende Methoden an:
a) Miss die Auftriebskraft mittels Wägen wie in Aufgabe 1.
b) Verwende die statische Druckverteilung um das Profil herum: Projiziere hierzu die
Messpunkte auf die Anströmrichtung (d.h. auf eine Gerade parallel zu ~v∞ ). Die
statischen Drücke sind nun die Funktionswerte an den projizierten Stellen. Hierdurch ergeben sich zwei Kurven als Druckverläufe der Ober- und Unterseite. Deren
Unterschied – der Druckunterschied – kann nun integriert werden, woraus man die
Auftriebskraft erhält. Werde Dir darüber klar, dass sich diese Integration über die
Projektion der auftriebserzeugenden Fläche erstreckt, d.h. über die Projektion des
Profils mal die Breite (welche Breite?). Eine andere elegante Methode um diesen
Aufgabenteil zu lösen ist die folgende: Sei jede Öffnung an der Oberfläche das Zentrum eines Oberflächenelements. Wenn nun der lokale statische Druck mit dem
dazugehörigen Oberflächenvektor multipliziert wird, so kann die Luftkraftresultierende als Vektorsumme gefunden werden. Deren Komponente senkrecht zu ~v∞ ist
der gesuchte Auftrieb.
Die Integration/Addition erfolgt graphisch mittels Computer.
c) Fakultativ: Verwende die Auftriebsformel von Kutta-Joukowsky. Hierzu benötigst
Du die Zirkulation, d.h. die Strömungsgeschwindigkeiten an verschiedenen Stellen der Profiloberfläche. Letztere können aus der statischen Druckverteilung und
dem Gesamtdruck in der ungestörten Strömung abgeleitet werden. Beachte Abbildung 10.2 zum Bernoulli-Theorem, verwende also nicht die Prandtl-Sonde zur Messung. Beschreibe dieses Verfahren und erstelle einen Plot der Strömungsgeschwindigkeit als Funktion des Ortes auf dem Umfang l des Profils. Beachte, dass an zwei
~ ⇈ ~vStrömung zu dl
~ ↑↓ ~vStrömung und
Stellen die Orientierungen umschlagen von dl
umgekehrt. Die Geschwindigkeit wird hier also als Skalar aufgefasst (ihre Richtung
~ ergibt das Vorzeichen). Für die Bestimmung von
bezüglich dem Weginkrement dl
ρ brauchst Du Zimmerdruck und -temperatur.
Für die Polare macht eine Fehlerabschätzung wenig Sinn, da die erhaltenen charakteristischen
Werte mit nichts verglichen werden. Hingegen soll je eine Abschätzung gemacht werden für
die Auftriebsmessungen der Aufgabe 2. Die nach Deiner Meinung genaueste Methode kann
als Referenz dienen.
128
10. TRAGFLÄCHENMODELL IM WINDKANAL
Das Ablesen des Druckes am Manometer bietet keine Probleme, wenn man sich auf ein Ablesekriterium festlegt (die Oberfläche der Flüssigkeitssäule ist u. a. aufgrund der Adhäsion
gekrümmt). Achte auf die exakte Nivellierung des Manometers.
Abbildung 10.8: Versuchsanordnung
Anhang: Detaillierte Herleitung der Auftriebsformel von KuttaJoukowsky
Behandelt man Strömungsprobleme um Körper, deren Querschnitt in einer Richtung sehr weit
ausgedehnt ist (z.B. eine Tragfläche), so lässt sich das Problem aus translationssymmetrischen
Gründen auf eine zweidimensionale Betrachtung in R2 reduzieren. Die resultierende Luftkraft
ist dann:
I
I
I
ρ 2 ~
~ × ~e3 ) =
~ × ~e3 ) −
~v b (dl × ~e3 )
F~res =
p b (dl
konst · b (dl
2
P rof il
P rof il
P rof il
I
I
(10.15)
ρ 2 ~
bρ
2
2 ~
=0−
~v b (dl × ~e3 ) = −
(v1 + v2 ) (dl × ~e3 ) ,
2
2
P rof il
P rof il
wo b die Breite des Körpers, p den Druck und e~3 den Einheitsvektor in die Ebene R2 hinein
bedeuten. Das Vektorprodukt mit dem Weginkrement ist nötig, damit das Kraftinkrement
die Richtung ins Körperinnere und senkrecht zur Oberfläche hat. Weiter durfte das BernoulliTheorem angewendet werden (Substitution von p durch konst. − ρ2 ~v 2 ), weil der Integrationsweg entlang der Oberfläche führt (d.h. insbesondere entlang einer Stromlinie). Um das letzte
Integral zu lösen, gebrauchen wir die Sätze von Cauchy und die Laurent-Entwicklung, welche
10.3. VERSUCHSAUFGABEN
129
auf holomorphe Funktionen in C (s. Analysis 4) anwendbar sind. Hierzu ist ein Exkurs nötig:
Aus der Inkompressibilität (Gleichung (10.2)), der Wirbelfreiheit (Gleichung (10.3)) und der
∂v
Translationssymmetrie in Richtung ~e3 (d.h. ∂xj3 = 0) folgt
∂v2
∂v1
∂v2
∂v1
=
∧
=−
.
∂x1
∂x2
∂x2
∂x1
(10.16)
Gleichung (10.16) ist aber gerade die Bedingung dafür, dass eine Funktion holomorph ist.
Wenn man also R2 nach C transformiert, so stellt die Geschwindigkeit eine holomorphe
Funktion der komplexen Zahlenebene dar. Daraus folgt weiter, dass auch der Inhalt des Integrals von Gleichung (10.15) eine holomorphe Funktion ist (da konforme Abbildung der
Geschwindigkeit). Folglich dürfen die Sätze von Cauchy und die Laurent-Entwicklung zum
~ = (dx1 , dx2 ) ↔
Lösen des Integrals gebraucht werden. Wir wählen also die Transformation dl
dz = dx2 + i dx1 = dl(cos α + i sin α), und wir wählen aus rechentechnischen Gründen genau
diese Transformation (d.h. die Anordnung wird an der ersten Winkelhalbierenden gespiegelt).
~ ×~e3 auf dl(cos(α + π ) + i sin(α + π )) = −dx1 + i dx2 = (−1)(dx1 − i dx2 )
Daraus folgt, dass dl
2
2
abgebildet wird. Die Kraft von Gleichung (10.15) ergibt sich so zu
I
bρ
Fc =
(v12 + v22 ) (dx1 − i dx2 ) .
(10.17)
2
P rof il
Da v1 dx2 − v2 dx1 = 0 gemäss Gleichung (10.1), darf der Term 2i(v1 dx2 − v2 dx1 )(v1 − iv2 )
unter dem Integral addiert werden:
I
bρ
c
[(v12 + v22 ) (dx1 − i dx2 ) + 2i(v1 dx2 − v2 dx1 )(v1 − iv2 )]
F =
2
P rof il
I
I
I
(10.18)
bρ
bρ
bρ
2
2
2
=
(v1 − i v2 ) (dx + i dy) ≡
w (dx + i dy) =
w dz .
2
2
2
P rof il
P rof il
P rof il
w = v1 − i v2 heisst konjugiert komplexe Geschwindigkeit. Wenn der Ursprung ins Innere
des Körpers verschoben wird, kann
w in eine Laurent-Reihe entwickelt werden: w = w∞ +
H
a−2
a−1
Γ
1
w
dz
= 2πi
+
. Γ ist die altbekannte Zirkulation, welche unter
+
.
.
.
mit
a
=
−1
z
2πi
z2
der Transformation natürlich nicht gelitten hat. Wird diese Reihe nun in Gleichung (10.18)
eingesetzt, so tragen nur die Glieder der Ordnung -1 bei:
I I
I
2
bρ
bρ
bρ
a−1 a−2
a−1
Γ/2πi
+ 2 + . . . dz =
dz =
dz
w∞ +
2 w∞
2 w∞
2
z
z
2
z
2
z
P rof il
P rof il
P rof il
I
b ρ 2 Γw∞
1
b ρ 2 Γw∞
=
dz =
2πi = b ρ Γ w∞ = b ρ Γ (v1,∞ − i v2,∞ ).
2 2πi
z
2 2πi
P rof il
(10.19)
Die Luftkraftresultierende wird hier also in zwei orthogonale Anteile zerlegt dargestellt. Da
man i.d.R. die eine Achse des Koordinatensystems parallel zu ~v∞ wählt, entspricht obige
Zerlegung in Real- und Imaginärteil der Aufteilung in Auftrieb und Widerstand, und die
Auftriebsformel von Kutta-Joukowsky lautet schlussendlich
|F~a | = b ρ Γ |~v∞ | .
(10.20)
Literaturverzeichnis
[1] H. Vogel (1995), Gerthsen Physik, 18. Auflage, Springer Verlag, Berlin/Heidelberg [Bibliothek ExWi: ODA 206].
[2] P.A. Tipler und G. Mosca (2008), Physics for Scientists and Engineers, 6. edition, W.H.
Freeman and Company, New York [Bibliothek ExWi: ODA216].
Kapitel 11
Linsen
11.1. EINLEITUNG
11.1
133
Einleitung
Die geometrische Optik (oder Strahlenoptik) umfasst denjenigen Bereich der Optik, welcher
durch die Vernachlässigung der endlichen Grösse der Wellenlänge gekennzeichnet ist. Dieser
Grenzübergang λ → 0 ist dann erlaubt, wenn die Dimensionen aller Begrenzungsflächen
(Spalten, Blenden) eines Lichtbündels gross gegenüber der Wellenlänge des Lichts sind. In
diesem Fall entspricht der Fortpflanzung von Licht die Ausbreitung von Lichtstrahlen, welche
geometrische Kurven durchlaufen.
In diesem Praktikum werden wir die Prinzipien der geometrischen Optik mit Hilfe von Glaslinsen experimentell überprüfen.
11.2
Theorie
11.2.1
Allgemeine Prinzipien der geometrischen Optik
Die drei Grundgesetze der geometrischen Optik sind (siehe [2]):
a) Geradlinige Lichtausbreitung: In Medien mit konstantem Brechnungsindex breitet
sich Licht geradlinig aus (deshalb kann man von Lichtstrahlen sprechen).
b) Reflexionsgesetz: Der Ausfallswinkel eines an einer Ebene reflektierten Lichtstrahles ist
gleich dem Einfallswinkel:
α1 = α1′
(11.1)
c) Brechungsgesetz von Snellius: Ein Lichtstrahl wird an der Grenzfläche zweier Medien mit verschiedenem Brechungsindex zum Teil gebrochen, zum Teil reflektiert. Der
einfallende, der gebrochene und der reflektierte Strahl liegen in einer Ebene. Es gilt:
n1 · sin α1 = n2 · sin α2
(11.2)
n1 und n2 sind Materialkonstanten; sie heissen Brechungsindizes.
Die eigentliche Ursache der Brechung ist die, dass die Lichtgeschwindigkeit ci in einem
Medium mit ni > 1 kleiner ist als die Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum. Es gilt:
ci =
c
ni
(11.3)
134
11. LINSEN
Lot
Einfallender Strahl
Reflektierter Strahl
α 1 α’1
n1
n2
α2
n1 < n 2
gebrochener Strahl
Abbildung 11.1: Reflektion und Brechung
Die drei Grundgesetze der geometrischen Optik lassen sich alle aus dem “Fermatschen Prin-
x2
zip“ ableiten:
wobei gilt:
Z
−
→
x
2
−
→
x
1
dx = minimal
oder
Z
−
→
x
2
−
→
x
1
→
n(−
x )ds = minimal
(11.4)
−
ds = |d→
x|
x1
−
→
x
→ und −
→ verläuft der Lichtstrahl so, dass der Lichtweg R−
→
−
2
d.h. zwischen zwei Punkten −
x
x
→ n( x )ds
1
2
x
1
→
minimal wird. Dabei bedeutet n(−
x ) den im allgemeinen örtlich veränderlichen Brechungsindex. Der Brechungsindex n hängt im Allgemeinen nicht nur vom Medium, sondern auch von
der Wellenlänge des Lichts ab. Diese Abhängigkeit n(λ) nennt man Dispersion. Diese wird im
nächsten Experiment “Prismenspektrometer” untersucht werden.
Medium
Vakuum
Luft
H2 O
Glas
Diamant
Brechungsindex n
(T = 20o C, λ = 5900 Å)
1
1.0003
1.333
1.5 - 1.6
2.42
Tabelle 11.1: Brechungsindex für verschiedene Medien
11.2. THEORIE
11.2.2
135
Linsen
a) Allgemeines: Da die Dimensionen von Linsen merklich grösser sind als die Wellenlänge
des Lichts, kann die Abbildung durch Linsen in erster Näherung mit Hilfe der geometrischen Optik berechnet werden.
Eine Linse hat, je nach ihrer Form die Fähigkeit ein paralleles Lichtbündel entweder zu
zerstreuen, oder zu sammeln.
Optische
Achse
F
F
Zerstreuungslinse
Sammellinse
Abbildung 11.2: Zerstreuugslinse und Sammellinse
Die Sammellinse vereinigt alle Strahlen eines Lichtbündels, das parallel zur optischen
Achse einfällt, in einem Punkt auf der optischen Achse, dem Brennpunkt F . Der Abstand zwischen Linse (genauer: Hauptebene) und Brennpunkt heisst Brennweite f der
Linse.
Die Zerstreuungslinse (konkave Begrenzungsflächen zerstreut die Strahlen eines parallel
zur Achse einfallenden Lichtbündels so, als ob sie aus einem vor der Linse liegenden
Achsenpunkt kämen. Man schreibt ihr entsprechend eine negative Brennweite zu. Der
Kehrwert der Brennweite heisst Brechkraft D:
D =
1
f
(11.5)
(Einheit: 1 Dioptrie = 1 dpt = 1 m−1 )
b) Abbildung durch Linsen: Der in Abbildung 11.3 skizzierte Strahlengang durch eine
dünne Linse (h1 ≃ h2 ) lässt sich aus dem Brechungsgesetz von Snellius berechnen. Für
kleine Winkel (α1 ≈ tan α1 , α2 ≈ tan α2 ) stehen die Gegenstandsdistanz g und die
Bilddistanz b in folgendem Verhältnis zueinander:
1
1
+
= (n − 1) ·
g
b
1
1
+
r1
r2
(11.6)
r1 und r2 sind die Krümmungsradien der Kugelflächen, n ist der Brechnungsindex der
Linse (s. Tabelle 11.1 für Zahlenwerte).
Befindet sich der Gegenstandspunkt G unendlich fern (g → ∞), so wird er im Brennpunkt des Bildraums der Linse abgebildet. Die Bilddistanz b ist dann gleich der Brennweite f :
1
1
1
= (n − 1) ·
+
(11.7)
f
r1
r2
Die Brennweite einer Linse ist also umso kleiner, je kleiner die Krümmungsradien r1
und r2 ihrer Begrenzungsflächen sind. Die Krümmungsradien konkaver Flächen sind
negativ einzusetzen. Zerstreuungslinsen mit zwei konkaven Begrenzungsflächen haben
136
11. LINSEN
ϕ
δ
ϕ
α1
β2
z2
G
h1
r1
r2
h2
β1
g
α2
z1
B
b
Abbildung 11.3: Lichtbrechung in der sphärischen Linse
demzufolge negative Brennweiten.
Aus (11.6) und (11.7) ergibt sich die bekannte Linsengleichung
1
1
1
+
=
g
b
f
(11.8)
Lage und Grösse des Bildes eines gegebenen Gegenstandes lassen sich bei bekannter
Brennweite f der Linse durch eine einfache Konstruktion finden:
Sammellinse:
Mittelebene M
der Linse
Gegenstandsraum
Bildraum
G
f
F2
f
F1
B
g
b
Abbildung 11.4: Bildkonstruktion für eine dünne Sammellinse
- Achsenparallele Strahlen des Gegenstandsraumes verlaufen durch den Brennpunkt
des Bildraumes und umgekehrt.
- Strahlen durch den Schnittpunkt der Achse mit der Mittelebene gehen unabgelenkt
durch die Linse.
11.2. THEORIE
137
Für die Vergrösserung ergibt sich aus Abb. 11.4 (Strahlensatz!)
v =
b
B
=
G
g
(11.9)
Zerstreuungslinse:
M
Gegenstandsraum
G
F1
B
F2
|f|
|f|
b<0
g
Abbildung 11.5: Bildkonstruktion für eine dünne Zerstreuungslinse
- Achsenparallele Strahlen des Gegenstandsraumes verlaufen auf der anderen Seite der
Linse so, dass ihre Verlängerung in den Gegenstandsraum den Brennpunkt schneidet und umgekehrt.
- Strahlen durch den Schnittpunkt der Achse mit der Mittelebene gehen unabgelenkt
durch die Linse.
Mit f = −|f | ergibt sich die Linsengleichung (11.8) in der Form
− |f1 | =
1
b
+
1
g
oder
1
b
= − |f1 | −
1
g
d.h. es ist immer b < 0, das Bild befindet sich auf derselben Seite der Linse wie der Gegenstand; es lässt sich - ohne weitere Linse - nicht auf einen Schirm oder eine Mattscheibe
abbilden, da sich nicht die wirklichen Strahlen, sondern nur deren Verlängerungen in
einem Punkt treffen. Solche Bilder heissen virtuell. Bilder, die man auf einem Schirm
abbilden kann, heisen reell.
c) Das ideale Linsendublett: Zwei hintereinandergestellte ideale (dünne) Linsen bezeichnet man als ideales Linsendublett (Abb. 11.6). Die Abbildung durch ein solches Linsendublett kann in derselben Art wie vorher konstruiert werden, wenn man zwei zusätzliche
Hilfslinien, die sogenannten Hauptebenen H1 und H2 einführt. Man erhält die Hauptebene H1 , indem man vom linksseitigen Brennpunkt (des gesamten Dubletts) die totale
Brennweite f nach rechts abträgt. Analog erhält man H2 , indem man vom rechtsseitigen Brennpunkt f nach links abträgt.
138
11. LINSEN
Die totale Brennweite zweier (dünner) Linsen ist wie folgt gegeben ([2], S. 356):
1
1
1
d
=
+
−
f
f1
f2
f1 · f2
(11.10)
Hierbei bedeuten f die totale Brennweite des Dubletts, f1 ,f2 die Brennweiten der Linsen
L1 und L2 sowie d der Abstand der beiden Linsen. Für die fokalen Schnittweiten s1 und
s2 gelten folgende Beziehungen ([2], S. 351):
s1 =
(f2 − d) · f1
f1 + f2 − d
s2 =
(f1 − d) · f2
f1 + f2 − d
(11.11)
Die Konstruktion der Abbildung durch das Linsendublett ist nun sehr einfach:
Strahlen, die auf den Schnittpunkt der optischen Achse mit H1 hinlaufen, verlassen
den Schnittpunkt der optischen Achse mit H2 als paralleler Strahl. Strahlen, die von
links achsenparallel einfallen, laufen von H2 an auf F2 zu, Strahlen, welche durch F1
gehen laufen von H1 an achsenparallel. Misst man g, b und f von den zugehörigen
Hauptebenen aus, so gilt die Linsengleichung in unveränderter Form.
d
s1
1
0
0
1
111
000
000
111
0
1
000
111
000
111
0
1
000
111
000
111
0
1
000
111
000
111
0
1
000
111
000
111
0
1
000
111
000
111
0
1
000
111
000
111
0
1
000
111
000
111
0
1
000
111
000
111
0
1
000
111
000
111
0
1
000
111
000
111
0
1
000
111
000
111
0
1
F1 1
000
111
000
111
0
000
111
000
111
0
1
000
111
000
111
0
1
000
111
000
111
0
1
H2
000
111
000
111
0
1
000
111
000
111
0
1
000
111
000
111
0
1
000
111
000
111
0
1
000
111
000
111
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
f
s2
H1
11
00
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
f
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
F2
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
b
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
0
1
0
1
0
1
0
1
g
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
11111111111111111111111
00000000000000000000000
0
1
0
1
0000000
1111111
11111111111
00000000000
000000000000
111111111111
11111111111
00000000000
0000000
1111111
0
1
0
1
0
1
0000000
1111111
000000000000
111111111111
0000000
1111111
0
1
0
1
0
1
0000000
1111111
000000000000
111111111111
0000000
1111111
0
1
0
1
0
1
0000000
1111111
000000000000
111111111111
0000000
1111111
0
1
0
1
0
1
0000000
1111111
000000000000
111111111111
0000000
1111111
0
1
0
1
000000000000000000
111111111111111111
00000000000
11111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0
1
0
1
G
0
1
000000000000000000
111111111111111111
00000000000
11111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0
1
0
1
0
1
000000000000000000
111111111111111111
00000000000
11111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0
1
0
1
0
1
000000000000000000
111111111111111111
00000000000
11111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0
1
0
1
00000000000
11111111111
1111111
0000000
11111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000
1111
0000
111111111
000000000
0
1
0
1
000000000000000000
111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
F
F
00000000000
11111111111
0
1
0
1
000000000000000000
111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
1
2
00000000000
11111111111
0
1
0
1
000000000000000000
111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
B
00000000000
11111111111
0
1
0
1
000000000000000000
111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
0
1
0
1
000000000000000000
111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
0
1
0
1
000000000000000000
111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
0
1
0
1
000000000000000000
111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
111111111111111
000000000000000
111111111111
000000000000
0000000000000000
1111111111111111
0
1
0
1
000000000000000000
111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0
1
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0
1
H2
0
1
H1
0
1
0
1
0
1
0
1
Abbildung 11.6: Bildkonstruktion für ein ideales Linsendublett
11.2. THEORIE
139
d) Dicke Linsen: Für dicke Linsen (Dicke nicht klein gegen Krümmungsradius) lassen sich
genauso wie für das ideale Dublett zwei Hauptebenen angeben. Für die Details der
Konstruktion sei auf [2] (S. 361 ff.) verwiesen.
Für uns hier wichtig ist der Abstand der beiden Hauptebenen ∆, dieser berechnet sich
wie folgt:
!
1
1
≈ DL · 1 −
∆ = DL · 1 −
(11.12)
n
n − DLr1·(n−1)
+r2
Hierbei bedeutet DL die Dicke der Linse, r1 , r2 die Radien der die Linse begrenzenden
Kugelflächen.
Abbildung 11.7: Bildkonstruktion für eine dicke Linse
140
11.2.3
11. LINSEN
Brennweitenbestimmung nach Bessel
Im folgenden sei a = g + b eine festgehaltene Grösse, d.h. Gegenstand und Bildschirm in Abb.
11.8 seien fix, nur die Linse soll verschoben werden können.
Position 1
G
g1
b1
B
Position 2
G
g2
b2
B
e
a
Abbildung 11.8: Brennweitenbestimmung nach Bessel für eine dünne Linse
Dann gibt es zu einer gegebenen Linsenbrennweite f < a4 genau zwei mögliche Linsenpositionen, welche vom Gegenstand G ein scharfes Bild auf dem Bildschirm liefern. Eines der Bilder
ist vergrössert, das andere verkleinert. Die beiden Linsenpositionen sind gegeben durch
b1,2
a
=
±
2
r a 2
2
g1,2 = a − b1,2 = b2,1
−a·f
a
∓
=
2
(11.13)
r a 2
2
−a·f
(11.14)
(Beweise diese Beziehung mit Hilfe der Linsengleichung, unter Benützung von a = g + b!)
Ist f > a4 , so entsteht kein reelles Bild.
Ist f = a4 , ergibt sich für b = g = a2 ein einziges reelles Bild.
Nach (11.13) ist
b1 − b2 = 2 ·
.
Mit e = b1 − b2 ergibt sich
f =
q
a 2
2
a 2 − e2
4·a
−a·f
(11.15)
11.2. THEORIE
141
Die Brennnweite kann also bestimmt werden durch Messung von a und e. Das Besselsche
Verfahren hat gegenüber der direkten Messung von b und g (und nachfolgender Berechnung
von f ) den Vorteil, dass es auch für dicke Linsen und Linsensysteme angewandt werden kann:
Für eine dicke Linse bzw. ein Linsensystem gilt (vgl. Abb. 11.9)
g 2 + b2 = a − ∆
g 2 − b2 = e
wobei ∆ der Abstand der beiden Hauptebenen ist.
Die Linsengleichung ergibt
f =
(a − ∆)2 − e2
4 · (a − ∆)
(11.16)
(für ∆ = 0 stimmt (11.16) mit (11.15) überein).
G
B
H1
H2
g1
b1
∆
H1
H2
g =b
2
1
b2 =g 1
∆
e
a
Abbildung 11.9: Brennweitenbestimmung nach Bessel für eine dicke Linse
Um e zu messen, kann man irgendeinen Punkt der Linse oder des mit der Linse starr verbundenen Halters als Bezugspunkt wählen. Damit überhaupt bei 2 Positionen ein scharfes
(reelles) Bild entsteht, muss wie oben erwähnt
0 < f <
a
4
sein.
Wenn die Distanz a (z.B. durch die Länge der optischen Bank) beschränkt ist, können nur
Brennweiten bis f = a4 direkt gemessen werden. Linsen mit grösseren Brennweiten und Zerstreuungslinsen (negative Brennweiten) müssen mit Sammellinsen bekannter Brennweiten zusammen gemessen werden (vgl. Gleichung (11.10)).
142
11.2.4
11. LINSEN
Brennweitenbestimmung bei Zerstreuungslinsen
Das Bild, welches die Zerstreuungslinse von einem Gegenstand entwirft, ist virtuell und kann
nicht auf einem Schirm aufgefangen werden. Setzt man aber eine Sammellinse bekannter
Brennweite fs und eine Zerstreuungslinse unbekannter Brennweite fz (|fz | > fs ) hintereinander, dann lässt sich nach dem Besselschen Verfahren die Gesamtbrennweite f des Systems
messen und folglich auch die Brennweite der Zerstreuungslinse berechnen.
Nach Gleichung (11.10) ist
1
f
=
1
fs
+
1
fz
−
d
fs ·fz
d.h.
fz =
11.2.5
f · (fs − d)
fs − f
(11.17)
Messung von grossen Brennweiten
Wie in Abschnitt 11.2.3 erwähnt, können Brennweiten f > a4 nicht direkt gemessen werden.
Setzt man eine solche Linse mit Brennweite fx und eine Sammellinse bekannter Brennweite
fs hintereinander, so gilt analog zu Gleichung (11.17)
fx =
11.3
f · (fs − d)
fs − f
(11.18)
Übung
Eine Linse mit 80 mm Brennweite und eine Linse mit unbekannter Brennweite werden im Besselschen Verfahren ausgemessen. Der Abstand d zwischen den beiden Linsen beträgt 10 mm.
Bei einer Länge a von 600 mm wird für e 255.3 mm gemessen. Wie gross sind die Brennweiten des Linsendubletts und der zweiten Linse und wie gross ist ∆? Wie verändert sich das
d2
Resultat für fx , wenn ∆ = 0 gesetzt wird? Tipp: ∆ = f1 +f
2 −d
11.4
Versuchsaufgaben
1. Man messe die Brennweite der fünf Linsen nach der Methode von Bessel. Jede einzelne
Messung sollte 5 mal wiederholt werden. Berechne Mittelwerte und Standardabweichungen.
2. Stelle die gemessenen Linsenbrennweiten (inkl. Fehler) zusammen und diskutiere mögliche
Fehlerquellen.
Tipps: Drei der fünf Linsen können direkt gemessen werden, allerdings hat eine davon
eine so kurze Brennweite, dass es schwierig ist ein scharfes Bild zu erzielen. Die beiden
restlichen Linsen können nur indirekt, mittels Kombination mit einer Linse bekannter
Brennweite, vermessen werden (vgl. Abschnitte 11.2.4 und 11.2.5). Linsen können fix
aufeinander montiert werden. Für die Auswertung von Linsendublett-Messungen kann
in guter Näherung ∆ = 0 gesetzt werden (Fakultativ: wie gross ist der dadurch eingeführte Fehler aufs Endresultat?)
11.4. VERSUCHSAUFGABEN
143
3. Versuche die Beziehung (11.9) experimentell zu überprüfen. Mit den zur Verfügung stehenden Mitteln ist keine Präzisionsmessung, sondern nur eine qualitative Überprüfung
von (11.9) möglich.
Bemerkung: Die Abstandsmessung kann mit einem Stab bekannter Länge geeicht werden.
Literaturverzeichnis
[1] E. Hecht (2002), Optik, 3. Auflage, Oldenbourg, München [Bibliothek ExWi: TDA 230].
[2] Frauenfelder und Huber (1963), Einführung in die Physik II, 2. Auflage, Ernst Reinhardt
Verlag [Bibliothek ExWi: ODD 112, 133 und 135]. Seiten 335 ff.
[3] H. Vogel (1995), Gerthsen Physik, 18. Auflage, Springer Verlag, Berlin/Heidelberg [Bibliothek ExWi: ODA 206]. Abschnitt über geometrische Optik.
Abbildung 11.10: Versuchsanordnung
Kapitel 12
Prismenspektrometer
12.1. EINLEITUNG
12.1
147
Einleitung
Ein Spektroskop ist ein Gerät zur Untersuchung der spektralen Zusammensetzung von Licht,
z.B. von atomaren Spektrallinien. Je nach seiner Wirkungsweise unterscheidet man Prismen-,
Gitter- und Interferenzspektrometer (z.B. Fabry-Perot Spektrometer). Spektrometer werden
vielfach in der Atomphysik und der Astronomie verwendet, sind aber auch in der Technik von
grosser Bedeutung (insbesondere chemische Analyse).
In diesem Versuch wird ein Prismenspektrometer untersucht. Ziel ist es, den Brechungsindex des Prismas als Funktion der Wellenlänge sowie das Auflösungsvermögen des Prismas
zu bestimmen.
12.2
Theorie
Die Funktion eines Prismenspektrometers beruht auf der Dispersionsrelation des Prismenmaterials (Glas), d.h. auf der Tatsache, dass sein Brechungsindex von der Wellenlänge des
einfallenden Lichts abhängig ist.
12.2.1
Ablenkung im Prisma und Brechungsindex
Eine ebene, monochromatische Welle der Wellenlänge λ treffe unter dem Winkel α1 auf das
Prisma. Sie wird auf den Winkel β1 gebrochen und verlässt das Prisma unter dem Winkel β2 .
Beim Austritt aus dem Prisma findet eine erneute Lichtbrechung auf den Austrittswinkel α2
statt. Aus Abbildung 12.1 ist ersichtlich, dass die Gesamtauslenkung δ zwischen einfallendem
und austretendem Strahl durch
δ = α1 − β 1 + α2 − β 2
(12.1)
β1 + β2 = ϕ,
(12.2)
gegeben ist. Da
wobei ϕ der Winkel bei der brechenden Kante des Primas ist (Abb. 12.1), erhält man:
δ = α1 + α2 − ϕ.
(12.3)
Für die Arbeit mit dem Prisma möchte man die Gesamtablenkung δ minimieren. Dies gilt
einerseits, weil δ im Bereich des Minimums nur wenig vom Einfallswinkel α1 abhängt (Minimumsbedingung) und daher dort genauer messbar ist. Ausserdem ist im Bereich der minimalen Ablenkung auch das Auflösungsvermögen am grössten (siehe Abschnitt 12.2.2). Mit dem
Brechungsgesetz und Gleichung (12.2) lässt sich α2 durch α1 darstellen:
sin α2 = n sin(ϕ − β1 ) = n(sin ϕ cos β1 − cos ϕ sin β1 )
p
= n sin ϕ 1 − (sin(α1 )/n)2 − cos ϕ sin α1
p
= sin ϕ ∗ n2 − sin2 α1 − cos ϕ sin α1
(12.4)
Gleichung (12.3) wird damit:
δ = α1 + arcsin(sin ϕ ∗
p
n2 − sin2 α1 − cos ϕ sin α1 ) − ϕ.
(12.5)
148
12. PRISMENSPEKTROMETER
ϕ
δ
α2
α1
β
β
2
1
Abbildung 12.1: Brechung eines monochromatischen Lichtstrahls im Prisma
Der Eintrittswinkel α1 , für den δ minimal wird, ist die Nullstelle der Ableitung von δ nach
α1 . Die Rechnung ist elementar, aber etwas aufwendig. Sie ist z. B. in Bergmann und Schäfer
(Seite 44ff) dargestellt. Das Ergebnis für den minimalen Ablenkungswinkel δm ist:
δ = δm ,
wenn
α1 = α2
(symmetrischer Strahlengang)
(12.6)
Mit dem Brechungsgesetz und den Gleichungen (12.6), (12.3) und (12.2) lässt sich nun der
Brechungsindex des Prismenglases als Funktion der minimalen Ablenkung und des Winkels
ϕ der brechenden Kante darstellen:
n=
sin(α1 )
sin((δm + ϕ)/2))
=
sin(β1 )
sin(ϕ/2)
(12.7)
Dabei hängen n und daher auch δm von der Wellenlänge des einfallenden Lichtes ab.
12.2.2
Auflösungsvermögen des Prismenspektrometers
Um die Fein- und Hyperfeinstruktur von Spektrallinien oder deren Aufspaltung in elektromagnetischen Feldern analysieren zu können, benötigt man Apparate mit der Fähigkeit, Licht
von sehr nahe benachbarten Wellenlängen auf dem Beobachtungsschirm getrennt abzubilden.
Ein Mass für diese Fähigkeit ist das spektrale Auflösungsvermögen A. Es ist definiert als
A=
λ
,
∆λ
(12.8)
wo ∆λ die minimale Differenz zweier Spektrallinien mit Wellenlänge λ bzw. λ + ∆λ ist, die
auf dem Beobachtungsschirm gerade noch getrennt abgebildet werden.
Was aber heisst gerade noch getrennt abbilden“? Um ein Kriterium dafür angeben zu können,
”
muss man bedenken, dass auch als streng ebene Welle einfallendes monochromatisches Licht
vom Spektrometer nicht als scharfer Punkt abgebildet wird. Da dieses nämlich immer endliche
Abmessungen hat, wirkt es auf die einfallende Welle wie ein Spalt, und man wird statt eines
12.2. THEORIE
149
scharfen Bildes eine ausgedehnte Beugungsfigur beobachten. Besteht das einfallende Licht aus
der Überlagerung zweier ebener Wellen der Wellenlängen λ und λ + ∆λ, so gelten die beiden
entstehenden Beugungsfiguren dann als getrennt abgebildet, wenn das Hauptmaximum der
einen mit dem Minimum erster Ordnung der anderen zusammenfällt oder weiter aussen liegt
(siehe Abbildung 12.2).
Wir berechnen das Auflösungsvermögen des Prismenspektrometers im Fall minimaler Ablenkung, also δ = δm und α1 = α2 . Abbildung 12.3 zeigt den Strahlengang zweier benachbarter
Wellenlängen λ und λ + ∆λ im Fall minimaler Ablenkung. Die Sammellinse L dient lediglich
dazu, das Spektrum für den Beobachter sichtbar zu machen; ihr Einfluss auf das Auflösungsvermögen wird hier vernachlässigt.
Die beiden Wellenlängen λ und λ + ∆λ sind dann gerade noch trennbar, wenn die Differenz
∆δm der Ablenkungswinkel der Breite des 1. Beugungsmaximums Ψ entspricht.
∆δm = δm (λ + ∆λ) − δm (λ) = Ψ
(12.9)
Das Prisma wirkt auf das Licht wie ein Beugungsspalt der Abmessung x. Aus der Theorie
der Beugung am Spalt erhält man für die Breite des Beugungsmaximums:
Ψ ≈ sin(Ψ) = λ/x
(12.10)
Hier ist die Näherung sin Ψ ≈ Ψ zulässig, da λ ≪ x. Gleichung (12.10) macht auch plausibel, dass das Auflösungsvermögen im Bereich der minimalen Ablenkung (δ = δm ) maximal wird: Nur für den symmetrischen Strahl (α1 = α2 ) wird die gesamte Grösse des Prismas ausgenutzt und daher wird x in diesem Fall maximiert. Die genaue Berechnung des
Auflösungsvermögens als Funktion von δ ist allerdings kompliziert, da auch die Abhängigkeit
von ∆δm von δ berücksichtigt werden muss.
Zur Berechnung von ∆δm wird δm (λ + ∆λ) durch eine Taylor-Reihe angenähert:
δm (λ + ∆λ) ≈ δm (λ) +
dδm
∆λ
dλ
(12.11)
Damit wird Gleichung (12.9):
∆δm =
dδm
dn
dn
dδm dn
1
2 sin(ϕ/2)
∆λ =
∆λ =
∆λ =
∆λ = λ/x
dλ
dn dλ
dn/dδm dλ
cos((δm + ϕ)/2)) dλ
(12.12)
Hierzu wurde Gleichung (12.7) verwendet. Damit erhält man für das Auflösungsvermögen A:
A=
dn
2 sin(ϕ/2)
λ
=
x
∆λ
cos((δm + ϕ)/2)) dλ
(12.13)
Diese Formel wird viel einfacher, wenn x zugunsten der Basislänge a des Prismas eliminiert
wird: Aus Abbildung 12.3 ist der folgende Zusammenhang ersichtlich:
x=
a cos(α2 )
2 sin(ϕ/2)
(12.14)
Durch Einsetzen von Gleichung (12.14) in (12.13) und Berücksichtigung von α2 = (δm + ϕ)/2
(siehe Gleichung (12.3)) ergibt sich schliesslich:
dn
(12.15)
dλ
Das spektrale Auflösungsvermögen eines Prismas hängt also nur von seiner Basislänge a und
von der Dispersionsrelation ab, nicht aber vom Winkel ϕ bei der brechenden Kante. Der
Vorteil hoher Auflösung für grosse Basislängen wird aber durch die zunehmende Absorption
im Prisma aufgehoben.
A=a
150
12. PRISMENSPEKTROMETER
1.0
Relative Intensität
0.8
0.6
λ
λ + ∆λ
0.4
0.2
0.0
P(λ)
relative Position
P´(λ+∆λ)
Abbildung 12.2: Überlappung zweier Beugungsfiguren auf dem Beobachtungsschirm im Fall, wo sie als ge”
rade noch getrennt abgebildet“ gelten. Die vertikale gestrichelte Linie ist an der Position des Hauptmaximums
für λ + ∆λ und des Minimums für λ
12.3
Versuchsaufbau
Der Aufbau des im Praktikum verwendeten Spektrometers ist in Abbildung 12.4 skizziert. Es
besteht im Wesentlichen aus den folgenden Teilen:
• Eine Quecksilber-Dampf-Lampe, deren Licht durch einen Kollimator (Spaltrohr)
geführt wird, der das Licht auf das Prisma bündelt.
• Ein drehbares Prisma als dispersives Element.
• Ein Fernrohr, das das Beugungsbild des Spaltes (als einzelne Striche für jede vorhandene Wellenlänge sichtbar) auf die Netzhaut des beobachtenden Auges abbildet.
12.3. VERSUCHSAUFBAU
151
S
δ + ∆δ
δ
ϕ
L
α1
α2
F
.
x
ψ
a
P(λ )
P’( λ + ∆λ)
Abbildung 12.3: Auflösungsvermögen des Prismas. Die Wellenlängen λ (Strahlengang als durchgezogene
Linie) und λ+∆λ (Strahlengang als gestrichelte Linie) können gerade noch getrennt werden, wenn der Abstand
′
zwischen P (λ) und P (λ + ∆λ) gleich dem Abstand zwischen Beugungsmaximum und erstem Minimum für λ
ist (siehe auch Abbildung 12.2).
Nonius 1 fest an
Kollimator
Hg−Dampf−Lampe
0
Fernrohr
senkrechter Spalt
0
.
Beobachter
Nonius 2 fest an
Fernrohr
Okularlinse
Kollimator (Winkelstellung fest mit
Gerätesockel verbunden)
Objektivlinse
ϕ
Justierbarer Prismentisch
mit 3 Stellschrauben
Drehteller
Abbildung 12.4: Bestandteile der Spektrometereinrichtung. Mit Hilfe der beiden Nonien können alle nötigen
Winkel am Drehteller abgelesen werden. Die Spektrometerachse verläuft senkrecht zur gezeichneten Ebene
durch den Schnittpunkt von Fernrohr- und Kollimatorachse.
152
12. PRISMENSPEKTROMETER
Damit das Gerät gute Messungen erlaubt, müssen die folgenden Bedingungen erfüllt sein:
• Die Kollimatorlinse erzeugt paralleles Licht.
• Die Fernrohrlinse bündelt paralleles Licht.
• Die Kollimator-, Fernrohr- und Spektrometerachse schneiden sich alle in einem Punkt.
Dabei ist die Spektrometerachse die vertikale Achse durch den Mittelpunkt des Spektrometers.
• Die brechende Kante (d. i. die Kante beim brechenden Winkel ϕ des Prismas) steht
parallel zur Spektrometerachse.
• Die Kollimatorachse steht senkrecht auf der Spektrometerachse.
12.4
Versuchsaufgaben und Auswertung
1. Justieren des Spektrometers mit dem Gaußschen Okular
Die folgenden Schritte werden durchgeführt, um das Spektrometer zu justieren, also die
fünf im letzten Abschnitt genannten Bedingungen für exakte Messungen zu erfüllen:
• Fernrohr-und Kollimatorachse werden von Auge“ durch Änderung der Drehtisch”
neigung möglichst senkrecht zur Spektrometerachse gestellt.
• Nun muss man das Prisma auf die Mitte des Drehtellers stellen und die Okularlinse
im Fernrohr durch das Gaußsche Okular ersetzen. Im Gaußschen Okular befindet
sich zwischen dem Okular und dem Fadenkreuz des Fernrohrs eine dünne, um 45o
geneigte Glasplatte (Abbildung 12.5). Durch diese Platte wird das Licht einer seitlich angebrachten Lichtquelle auf das Fadenkreuz geworfen. Das Licht trifft dann
durch das Objektiv auf eine Prismenfläche. Das von der Prismenfläche reflektierte
Bild kann durch Verschieben des Objektives scharf gestellt werden. Wenn nun das
Fadenkreuz in der Brennebene des Objektivs liegt, d.h. das Licht das Objektiv
als paralleles Bündel verlässt, dann fällt auch das Bild des Fadenkreuzes in die
Brennebene, sofern die Prismenfläche senkrecht zum einfallenden Lichtstrahl ist.
Dazu wird zunächst eine Prismenseite ins Bildfeld gebracht, so dass das Bild des
Fadenkreuzes sichtbar wird. Durch Drehung des Prismas und Änderung der Neigung des Prismentisches wird erreicht, dass das Fadenkreuz und sein Bild übereinstimmen. Das Bild des Fadenkreuzes wird durch Änderung der Objektivdistanz
scharf gestellt (Fernrohr auf unendlich eingestellt). Man kontrolliert dies dadurch,
dass man das Auge vor dem Okular hin und her bewegt. Fadenkreuz und Bild
dürfen sich dann nicht gegeneinander verschieben (Verschwinden der Parallaxe!).
Nach diesem Schritt wird die Okulareinstellung während des ganzen
Versuchs nicht mehr verändert.
• Das Prisma vom Drehteller nehmen. Das beleuchtete Bild des Kollimatorspaltes in
die Mitte des Fernrohrgesichtsfeldes bringen und am Spaltrohr scharf stellen.
• Prisma wieder so auf den Drehteller stellen, dass die milchige Seite gegenüber des
Winkels φ in Abb. 12.4 liegt. Das Prisma auf dem Drehteller mit der Stellschraube
befestigen. Die stärkeren Spektrallinien (Tabelle 12.1) sollten getrennt sichtbar
sein. Von jetzt an das Prisma selber nicht mehr bewegen, sondern nur
noch den Drehteller!
12.4. VERSUCHSAUFGABEN UND AUSWERTUNG
153
Prisma
Okular
Fadenkreuz
45o Glasplatte
Objektiv
Im Fokus wird Fadenkreuz
auf sich selbst abgebildet
..
12 V~
Abbildung 12.5: Funktionsweise des Gaußschen Okulars. Gezeigt werden Strahlen, die von der Lampe reflektiert und auf das Fadenkreuz geworfen werden. Wenn das Fernrohr auf unendlich eingestellt ist und das Prisma
senkrecht zur Fernrohrachse steht, wird das Fadenkreuz am Prisma reflektiert und auf sich selbst abgebildet.
Der an der Glasplatte durchgehende Strahl kann durch das Okular beobachtet werden.
• Drehteller in 60◦ -Schritten drehen und dabei mit dem Gaußschen Okular überprüfen,
dass der Drehteller waagrecht liegt. Andernfalls Stellschrauben nachjustieren.
2. Winkel und Seitenlänge des Prismas messen
Nach der Justierung (Aufgabe 1) nacheinander alle Seiten des Prismas senkrecht zur
Fernrohrachse stellen und den Winkel am Drehteller ablesen1 . Daraus können Sie die
Winkel des Prismas berechnen. Für die nachfolgende Berechnung des Auflösungsvermögens
(Aufgabe 5) benötigen Sie auch die Seitenlänge a des Prismas.
3. Messung der minimalen totalen Ablenkung δm der Linien des Quecksilberspektrums und Berechnung des Brechungsindexes n(λ)
Beleuchten Sie den Kollimatorspalt mit der Quecksilberlampe. Dann wird das Prisma
durch Drehung des Prismentisches mit einer der Flächen, die durch die brechende Kante geht, in den Lichtstrahl gestellt. Gebrochenen Strahl mit dem Fernrohr finden. Das
Prisma (den Prismentisch) weiterdrehen und der Bewegung des gebrochenen Strahls
mit dem Fernrohr folgen, bis der Punkt minimaler Ablenkung erreicht ist. An diesem
Punkt kehrt der Drehsinn des gebrochenen Strahls um.
Durch Hin- und Herbewegen des Prismas lässt sich die genaue Minimallage feststellen.
Diese wird für alle Spektrallinien (siehe Tabelle 12.1 im Anhang) ermittelt und am
Drehteller abgelesen. Danach dreht man die andere Fläche, die durch die brechende
Kante geht, in den Lichtstrahl und sucht auch hier die Minimallage für alle Linien.
Für jede Linie kann man dann aus den beiden gemessenen Winkeln γ1 und γ2 die
minimale Ablenkung δm = (γ2 − γ1 )/2 ermitteln (siehe Abbildung 12.6). Daraus wird
dann mit Gleichung (12.7) der Brechungsindex berechnet. Brechungsindex als Funktion
der Wellenlänge graphisch darstellen.
4. Bestimmung der minimalen Basislänge, die notwendig ist, um die gelben
Linien zu trennen
1
Mit Hilfe des Nonius kann man den Winkel auf 0.1◦ genau ablesen.
154
12. PRISMENSPEKTROMETER
δm
Kollimatorachse
δm
γ1
δm =
γ2 − γ1
2
γ2
Abbildung 12.6: Bestimmung des minimalen Ablenkwinkels δm aus den gemessenen Winkelabständen zwischen Kollimatorachse und Fernrohrachse.
Das Prisma in die Stellung minimaler Ablenkung für die gelben Spektrallinien bringen,
das Fernrohr einstellen und fixieren. Nun setzt man den veränderlichen Spalt zwischen
Prisma und Objektivlinse und schliesst diesen so weit, bis die gelben Linien gerade noch
getrennt erscheinen. Aus der abgelesenen Spaltbreite x lässt sich nach der Beziehung
(12.14) die minimale Basislänge berechnen. Ist sie grösser oder kleiner als die tatsächliche
Basislänge a des Prismas?
5. Auflösungsvermögen des Prismas
Bestimmen Sie aus der in Aufgabe 3 erstellten Graphik die Dispersion dn/dλ für die
Wellenlänge der gelben Linien und berechnen Sie mit Hilfe der vorhin bestimmten minimalen Basislänge das Auflösungsvermögen A des Prismas (Gleichung (12.15)). Vergleichen Sie es mit dem Wert λ/∆λ, der mindestens nötig ist, um die beiden gelben Linien
zu trennen.
12.4. VERSUCHSAUFGABEN UND AUSWERTUNG
Abbildung 12.7: Versuchsanordnung
Anhang: Wellenlängen des Quecksilberspektrums
Farbe
dunkelrot
rot
gelb I
gelb II
grün
blaugrün
indigo
violett I
violett II
Intensität
mittelstark
schwach
stark
stark
stark
mittelstark
stark
mittelstark
mittelstark
Wellenlänge λ (nm)
690.8
623.4
579.1
577.0
546.1
491.6
435.8
407.8
404.7
Tabelle 12.1: Wellenlängen des Quecksilberspektrums
155
Literaturverzeichnis
[1] H. Vogel (1995), Gerthsen Physik, 18. Auflage, Springer Verlag, Berlin/Heidelberg [Bibliothek ExWi: ODA 206].
[2] E. Hecht (2002), Optik, 3. Auflage, Oldenbourg, München [Bibliothek ExWi: TDA 230].
Kapitel 13
Molare Wärmekapazität
13.1. EINLEITUNG
13.1
159
Einleitung
In diesem Praktikum untersuchen wir adiabatische Zustandsänderungen von Gasen in einem
Glaskolben, die wir als ideale Gase annähern werden.
13.2
Theorie
13.2.1
Molare Wärmekapazität
Die molare Wärmekapazität eines Gases ist der Quotient aus der Wärmemenge, die pro Mol
dem Gas zugeführt wird (δQ), und der daraus resultierenden Temperaturerhöhung dT . Für
Gase sind zwei molare Wärmekapazitäten wichtig, die molare Wärmekapazität bei konstantem
Volumen Cv und die molare Wärmekapazität bei konstantem Druck Cp . Ziel des heutigen
Versuchs ist es, das Verhältnis dieser beiden Grössen experimentell zu bestimmen.
δQ (13.1)
Cv =
dT V =konst.
δQ Cp =
dT p=konst.
(13.2)
Zur Berechnung von Cv und damit von Cp ist die Kenntnis der inneren Energie als Funktion der Temperatur U (T ) erforderlich. Diese ist abhängig von den Möglichkeiten des Gases,
Energie aufzunehmen. In einem Molekül verteilt sich die Energie auf die Zahl der möglichen
Freiheitsgrade. Die Anzahl unabhängiger Bewegungsmöglichkeiten heisst Anzahl Freiheitsgrade. Anzahl Freiheitsgrade für:
• Translation: 3
• Rotation: Y (Y = 2 für lineare Moleküle (CO2 , C2 H2 ), y = 3 für nicht lineare Moleküle.
wie z.B. H2 O)
• Vibration: X (X = 1 für lineare Moleküle, X = 3 für nicht lineare Moleküle)
Gemäss statistischer Mechanik kann ein Molekül pro Freiheitsgrad der Translation und Rotation die Energie 12 kT (k ist die Boltzmann-Konstante) und pro Freiheitsgrad der Vibration kT
aufnehmen (Äquipartitionsprinzip). Bei den Vibrationen ist zu beachten, dass die kinetische
Energie eines Oszillators im Mittel gleich seiner potentiellen Energie ist. Wenn die kinetische
Energie eines Oszillators 12 kT beträgt, ist seine potentielle Energie ebenfalls 21 kT und die
Gesamtenergie kT .
Ein ideales Gas mit N Teilchen in n Molen hat folgende innere Energie U :
U = Ut + Ur + Uv
(13.3)
1
U = N kT (3 + fr + 2fv )
2
(13.4)
( f : Anzahl Freiheitsgrade, welche bei der Temperatur T angeregt sind, Index t für Translation, r für Rotation, v für Vibration)
160
13. MOLARE WÄRMEKAPAZITÄT
Die innere Energie eines idealen Gases hängt nur von der Temperatur ab.
Wenn das Volumen konstant ist, gilt: δQ = dU
Folglich ist:
δQ
Cv =
dT V =konst.
=
∂Q
∂T
(13.5)
V
Es gilt:
Cv = Cvt + Cvr + Cvv
(13.6)
!
(13.7)
Wobei:
Cvt = N
d
3
2 kT
dT
V
3
3
= N k = nR
2
2
und n die Mol-Zahl ist.
für lineare Moleküle:
Cvr = N k = nR
(13.8)
3
3
Cvr = N k = nR
2
2
(13.9)
für nicht lineare Moleküle:
für zweiatomige Moleküle mit genügend hoher Temperatur existiert nur ein Mode:
Cvv = nR
(13.10)
Die Temperatur ist immer hoch genug für die Gültigkeit des Aequipartitionsprinzips für Translationsenergien. Es gilt auch für Rotations- und Vibrationsenergien, falls die Temperatur hoch
genug ist, dass die Energien als nicht quantisiert betrachtet werden können.
Wenn der Druck konstant ist, gilt: δQ = dU + p dV
Folglich ist:
∂V
δQ
= Cv + p
Cp =
dT p=konst.
∂T p
(13.11)
Für ein Mol (n = 1) gilt also zwischen Cp und Cv die Beziehung:
Cp − Cv = R
(13.12)
Cp ist grösser als Cv , da ausser für die Temperaturerhöhung auch Wärme für die zu leistende
Arbeit verwendet werden muss. Die Temperaturabhängigkeit von Cv ist in den Abbildungen
13.1 und 13.2 dargestellt.
Eine weitere wichtige Grösse ist das Verhältnis:
γ=
Cp
R + Cv
R
=
=1+
Cv
Cv
Cv
(13.13)
13.2. THEORIE
161
Cv
7/ R
2
5/ R
2
3/ R
2
Trot
Tvibr
T
Abbildung 13.1: Zweiatomiges Gas ( z.B. H2 , n = 1 )
Oberhalb Trot sind zusätzlich zu den Translationsfreiheitsgraden zwei Rotationsfreiheitsgrade angeregt. Oberhalb Tvibr beginnt das Molekül in Richtung seiner Achse zu schwingen. (Tvibr ≈ h νk0 , ν0 ist die Eigenfrequenz
der Vibration.) Die Vibrationsfreiheitsgrade sind erst bei hohen Temperaturen (1000 bis 10’000 K) voll aktiv.
Cvt = 23 R, Cvr = R, Cvv = R
Cv
12/ R
2
6/ R
2
3/ R
2
Trot
Tvibr
T
Abbildung 13.2: Dreiatomiges Gas
Wie vorher, nur kann das Molekül um alle drei Achsen rotieren und in allen drei Richtungen schwingen.
Cvt = 23 R, Cvr = 32 R, Cvv = 3R
13.2.2
Adiabatische Zustandsänderung
Thermodynamische Zustandsänderungen, bei denen kein Wärmeaustausch mit der Umgebung
stattfindet (δQ = 0) nennen wir adiabatisch. Prozesse können als adiabatisch angenommen
werden, wenn sie schnell ablaufen, so dass die Zeit für den Wärmeaustausch nicht ausreicht,
oder wenn das Gasvolumen gross ist im Verhältnis zur Fläche, über die der Wärmeaustausch
erfolgt:
Q ∼ r3 , δQ ∼ r2 →
δQ
1
∼
Q
r
(13.14)
162
13. MOLARE WÄRMEKAPAZITÄT
Cv (J mol−1 K−1 )
12.82
12.68
20.79
20.93
28.53
He
Ar
N2
O2
CO2
Cv
R
Cp
Cv
1.54
1.53
2.50
2.52
3.43
1.63
1.65
1.40
1.40
1.29
Tabelle 13.1: Literaturwerte für γ der im Praktikum zur Verfügung stehenden Gase [2]
d.h. wenn r sehr gross ist, dann ist δQ verglichen mit Q verschwindend klein. Dies ist in
unserem Experiment erfüllt (s. Abschnitt 13.3). Der erste Hauptsatz der Thermodynamik
(dU = δQ − p dV ) vereinfacht sich für adiabatische Zustandsänderungen zu
dU = −p dV = Cv dT
(13.15)
Gesucht: p(V )
Aus Gasgleichung:
pV
(n = 1)
R
(13.16)
1
p dV
(p dV + V dp) = −
R
Cv
(13.17)
T =
dT =
Cv
(p dV + V dp) = −p dV
R
Cv
Cv
V dP = −p dV
+1
R
R
mit Cp − Cv = R folgt:
Integriert ergibt dies mit γ =
Cp
Cv :
(13.18)
(13.19)
dV Cp dp
+
=0
V Cv
p
(13.20)
p V γ = konst.
(13.21)
Die Adiabatengleichung (13.21) wird in Abbildung 13.3 verglichen mit der isothermen Zustandsänderung.
13.3
Versuchsaufbau
Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 13.4 skizziert: Man lässt eine kleine Stahlkugel in einem
Glaskolben auf und ab schwingen, der vorgängig mit Argon, Neon oder Kohlendioxid gefüllt
worden ist. Wird die Kugel aus dem Gleichgewicht gebracht, beginnt sie um den Nullpunkt
bei x = 0 zu oszillieren.
Wenn man die Reibung vernachlässigt, wirkt dabei folgende Kraft F auf die Kugel:
F = pi A − pa A − mg = (pi − pa ) A − mg
A: Rohrquerschnitt
(13.22)
13.3. VERSUCHSAUFBAU
163
γ
p
pV = konst. (Adiabate)
pV = konst. (Isotherme)
V
Abbildung 13.3: Adiabatische versus isotherme Zustandsänderung
Für die Position x gilt: V = V0 + Ax
p0 V0γ = pi (V0 + Ax)γ
pi = p0
V0
V0 + Ax
Ax γ
pi = p0 1 +
V0
(Adiabatengleichung)
γ
= p0
1
1 + Ax
V0
!γ
Bedingung: Ax ≪ V0
(13.23)
(13.24)
(13.25)
Potenzreihe:(1 + ε)−γ = 1 − γε + 21 γ (γ + 1) ε2 − . . .
Somit: pi ∼
= p0 1 − Ax γ
V0
F =
γAx
p0 −
p0 − pa A − mg
V0
(13.26)
A
γA2 p0
x = (p0 − pa ) − g
mV0
m
(13.27)
Bewegungsgleichung: mẍ = F
ẍ +
(p0 − pa )
Somit: ẍ +
γA2 p0
mV0 x
= 0;
A
− g = 0;
m
da p0 der Druck im Gleichgewicht ist
(13.28)
Diffgl. für die harmonische Schwingung
ẍ + ω02 x = 0
(13.29)
164
13. MOLARE WÄRMEKAPAZITÄT
x
x=0
pi,V
Abbildung 13.4: Skizze des Versuchs: Kugel im Gleichgewicht bei x = 0, pi (x) ist der Innendruck, pa der
Aussendruck. Im Gleichgewicht gilt: pi = P0 , V = V0 .
Allgemeine Lösung: x (t) = A cos (ω0 t) + b sin (ω0 t); ω0 :
γ=
2π
=
ω0 =
T0
s
ω02 mV0
;
p0 A2
p0 = pa +
Kreisfrequenz
γA2 p0
mV0
(13.30)
mg
A
(13.31)
Der Ansatz der ungedämpften Schwingung gilt nur approximativ. Für die gedämpfte Schwingung setzt man:
ẍ + 2λẋ + ω02 x = 0
(13.32)
mit der Lösung:
x = Ce−λt Aeiωt + Be−iωt
wobei:
q
ω = ω02 − λ2
und
ω=
2π
;
T
T : gemessene Schwingungsdauer der gedämpften Schwingung
(13.33)
(13.34)
(13.35)
Der Verlauf der Amplitude der Stahlkugel in Abhängigkeit der Zeit sollte dabei der schwach
gedämpften Schwingung entsprechen (λ < ω0 ), wie sie in Abbildung 7.3 im Kapitel über
erzwungene Schwingungen gezeigt wurde. Die Dämpfungskonstante λ (in Einheiten s−1 ) ist
das Inverse der Abfallzeit τ , in der die Amplitude der Stahlkugel auf den e-ten Teil des
ursprünglichen Werts abgesunken ist:
1
(13.36)
λ=
τ
13.4. ÜBUNGEN
13.4
165
Übungen
1. Gib die Formel an, mit der du aus der gedämpften Schwingung der Stahlkugel die
Dämpfungskonstante λ herleiten kannst. Nimm dazu an, dass du die maximalen Auslenkungen A0 , A 1 , A1 ... der Stahlkugel und die Periode T zwischen zwei Maxima oder
2
zwei Minima gemessen hast. λ lässt sich dann auf einfache Weise aus dem Verhältnis
Aj
Aj+1 und T berechnen.
2. Bereite die Fehlerrechnung für Versuchsaufgabe 4 vor.
13.5
Versuchsaufgaben und Auswertung
C
Bestimme das Verhältnis γ = Cvp der molaren Wärmekapazitäten für die verschiedenen zur
Verfügung stehenden Gase (Ar, CO2 , N2 ). Für die Auswertung muss der Aussendruck
im Zimmer pa bekannt sein.
Vorgehen:
1. Bestimme die Schwingungsdauer T der Kugel im Rohr (siehe Skizze in Abbildung 13.4).
Dazu ist die Zeit für etwa 3 bis 7 (oder soviel wie wegen der Dämpfung noch sinnvoll
erscheint) Schwingungen zu messen und ein geeigneter Mittelwert zu bilden. Kugel und
Rohr gut putzen!
2. Bestimme die Dämpfungskonstante λ gemäss Übung 1.
3. Aus der gemessenen Frequenz ω und λ ist die ungedämpfte Frequenz ω0 und daraus γ
zu berechnen.
4. Fehlerrechnung nach Gauss durchführen. Die Bestimmung von λ ist recht ungenau;
welchen Einfluss hat dies auf den Wert von ω0 ?
5. Vergleich der gemessenen γ mit den Literaturwerten in Tabelle 13.1.
Literaturverzeichnis
[1] DMK/DPK/DCK (2013), Formeln, Tabellen, Begriffe, orell füssli, Zürich.
Kapitel 14
Spezifische Ladung des Elektrons
e/m
14.1. EINLEITUNG
14.1
169
Einleitung
Während die direkte Bestimmung der Masse oder der Ladung eines Elektrons schwierig ist,
kann man die spezifische Ladung (e/m) auf verschiedene Methoden messen. Eine der genauesten und einfachsten Methoden stammt von H. Busch aus dem Jahr 1922. Bei der Methode,
die wir im Versuch verwenden, wird ein Elektronenstrahl in einem möglichst homogenen Magnetfeld auf eine Kreisbahn gelenkt.
14.2
Theorie
14.2.1
Das bewegte Elektron im Magnetfeld
Die Idee ist, dass Elektronen in einer Fadenstrahlröhre beschleunigt und dann durch ein
äusseres Magnetfeld derart abgelenkt werden, dass sie sich auf einer Kreisbahn bewegen.
Dann ist die Zentripetalkraft Fz gleich gross ist wie die Lorentzkraft FL . Aus
mv 2
r
(14.1)
v
e
=
m
rB
(14.2)
Fz =
und FL = evB folgt:
Die Geschwindigkeit v kann man darstellen mit eU = 12 mv 2 wobei U die Anodenspannung in
der Fadenstrahlröhre zur Beschleunigung der Elektronen ist. Daraus
r
2eU
v=
(14.3)
m
und somit
q
2eU
e
e
2U
m
=
⇒
= 2 2
(14.4)
m
rB
m
r B
Mit dieser Formel kann man die spezifische Ladung aus dem Magnetfeld B, der Spannung U
und dem Radius der Kreisbahn r berechnen.
14.2.2
Magnetfeld in Helmholtzspulen
Die Anordnug zweier Spulen mit je N Windungen und Radius R im Abstand von a = R
parallel zueinander aufgestellt heisst ”Helmholtzspulen”(s. Abbildung 14.1). Falls der Strom
in beiden Spulen in die gleiche Richtung fliesst, erzeugen die Helmholtzspulen ein im Innern
der Spulen annähernd homogenes Feld. Mit Hilfe des Gesetzes von Biot-Savart lässt sich das
Magnetfeld B berechnen. Das Magnetfeld B im Zentrum der Spule entlang der z−Achse ist
Bz (0) =
R2
(R2 +
µ0 N I
a 2 1,5
2 )
und da R = a vereinfacht sich der Ausdruck zu
1,5
4
µ0 N I
Bz (0) =
5
R
(14.5)
(14.6)
170
14. SPEZIFISCHE LADUNG DES ELEKTRONS E/M
z
R
r
a
Abbildung 14.1: Anordnung der Helmholtzspulen
Dabei ist I der Strom, der durch die Spulen fliesst, und z ist die Richtung in Spulenachse
(Abbildung 14.1).
Das Magnetfeld ist homogen, falls a = R und r ≪ R. Mit den vorliegenden Helmholtzspulen
und der Fadenstrahlröhre ist a = R erfüllt. Der Radius der Elektronenbahn r ist zwar nicht
klein im Vergleich zu R, doch die resultierende Inhomogenität des Magnetfelds schlägt sich
auf die Formel (14.6) in einem Relativfehler von weniger als 2% nieder.
14.3
Übungen
• Warum treten beim Heizen (etwa 1100 K) der Bariumoxidkathode in der Fadenstrahlröhre
Elektronen aus?
• Ein Netzgerät gibt 300 V ab. Wie gross muss ein in Serie geschalteter Schutzwiderstand
R gewählt werden, damit ein angeschlossenes Gerät mit unbekannter Leisungsaufnahme
und maximal zulässigem Strom von 30 mA nicht zerstört wird? (Lösung: R=10 kΩ)
• Wie beeinflusst das Magnetfeld der Erde diese Messanordnug? Wie sollten die Helmholtzspulen demnach ausgerichtet werden?
• Fakultativ: Wieso ist die Kreisbahn der Elektronen sichtbar?
Tipp: Vergleiche die mittlere freie Weglänge der Elektronen mit der Länge ihrer Kreisbahn (r sei 3 cm) in der Fadenstrahlröhre. Laut Herstellerangabe beträgt der Innendruck
1,3 Pa, das Röhrengas ist Neon mit einem Atomradius von rA = 1.54 × 10−10 m.
14.4
Versuchsaufbau
Für den Versuch stehen zur Verfügung (s. Abbildung 14.2):
• 1 Helmholtzspulenpaar, ELWE-Modell Nr. 84 81 500
• 1 Fadenstrahlröhre, ELWE-Modell Nr. 84 81 420
• 2 Vielfachmessgeräte um die Anodenspannung U und den Spulenstrom I zu messen
• je 1 Netzgerät für die Anodenspannnung (0 bis 300 V), die Heizspannung (6 bis 8 V)
und für die Elektronenfokussierspannung (0 bis 30 V), sowie 1 Stromspeisung (Model
GPS-1850, 0 bis 5 A) für die Helmholtzspulen
14.4. VERSUCHSAUFBAU
171
• 1 optische Bank mit Lochblende und Kreisschablonen zur Bestimmung von r (s. Abbildung 14.4)
• 1 Kompass
Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 14.4 schematisch wiedergegeben, die genaue Verkabelung
der Fadenstrahlröhre ist in Abbildung 14.3 erklärt (vor Inbetriebnahme durch den Assistenten kontrollieren lassen). Danach müssen nur noch die Helmholtzspulen in Serie an das dafür
vorgesehene Speisegerät angeschlossen werden, um das Experiment zu starten.
Mithilfe des Kompasses kann die Fadenstrahlröhre so ausgerichtet werden, dass der Störeinfluss
des Erdmagnetfelds minimiert wird.
Bei der Inbetriebnahme der Schaltung geht man folgendermassen vor: Zuerst die Anodenspannung auf 300 V hochfahren. Dann die Heizspannung anstellen und bei 6 V solange warten,
bis der Elektronenstrahl sichtbar wird. Hierzu ist es erforderlich, den Raum zu verdunkeln.
Nach etwa einer Minute, wenn der Strahl gut sichtbar ist, die Heizspannung auf 7 oder 8 V
erhöhen und für den Rest des Versuchs konstant lassen. Danach kann man das Magnetfeld
aktivieren, indem man einen Strom zwischen 0 und 5 A auf das Helmholtzspulenpaar schickt.
Jetzt sollten sich die Elektronen auf einer kreisförmigen Bahn befinden. Positioniere für die
eigentliche Messung die Fadenstrahlröhre möglichst symmetrisch innerhalb der Spulen, damit
eine geschlossene Kreisbahn erreicht wird (bringst du auch eine Spirale zustande?). Mit der
Elektronenfokussierspannung, die wir bislang noch nicht gebraucht haben, kannst du auch
noch herumexperimentieren (0 bis 30 V). Das Ziel ist, eine möglichst scharf fokussierte Elektronenkreisbahn zu erhalten.
Abbildung 14.2: Überblick über die Versuchsapparaturen, im Hintergrund die Fadenstrahlröhre zwischen
dem Helmholtzspulenpaar.
172
14.5
14. SPEZIFISCHE LADUNG DES ELEKTRONS E/M
Versuchsaufgaben
1. Versuche, die Elektronen auf eine schöne Kreisbahn zu bringen (Helmholtzspulenspannung und -strom sowie die Elektronenfokussierspannung verändern).
2. Bestimme mehrmals r, U und I bei verschiedenen Einstellungen und berechne daraus
mit Formeln (14.4) und (14.6) (für unsern Versuch sind N = 124 und R = 15.0±0.5 cm)
den Wert für e/m.
Hinweis: Das in der Fadenstrahlröhre befindliche Gitter hat eine Maschenweite von 2 cm
und dient einer ersten groben Orientierung. Um r genauer zu bestimmen, wendet man
gemäss der Abbildung 14.4 den Strahlensatz an.
Netzgerät für
Anodenspannung
Fokussier−
spannung
111
000
000
111
+−
000
111
Heizspannung
V
−
−
E
+
−
+
111
000
000
111
000
111
000
0 111
1
0
1
000
111
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
H F
K A
Abbildung 14.3: Schaltschema der Fadenstrahlröhre mit den 5 Anschlüssen für Anode (A), Kathode (K),
Kathodenheizspannung (H), Fokussierspannung/Wehneltzylinderspannung (F ) und Erde (E).
14.5. VERSUCHSAUFGABEN
173
Abbildung 14.4: Schematischer Versuchsaufbau mit optischer Schiene. Aus den beiden Distanzen und dem
Radius der Plastikschablone kann mittels Strahlensatz der Radius r der Elektronenkreisbahn berechnet werden.
Literaturverzeichnis
[1] Bedienungs- und Experimentieranleitung Fadenstrahlröhre 84 81 420, ELWE Didactic
GmbH, www.elwedidactic.com.
[2] DMK/DPK/DCK (2013), Formeln, Tabellen, Begriffe, orell füssli, Zürich.
[3] H. Vogel (1995), Gerthsen Physik, 18. Auflage, Springer Verlag, Berlin/Heidelberg [Bibliothek ExWi: ODA 206].
[4] Wolf (1927), Eine Präzisionsmessung von e/m0 mach der Methode von H. Busch, Annalen
der Physik IV, 83.

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2 - (sin(α)) · 0 1 - Mathematisches Institut der Universität Bonn

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