Wissensrepräsentation

Wissensrepräsentation
Ziel: geeignete Darstellung des Wissens über einen
bestimmten Anwendungsbereich
Methode: Formalisierung, symbolische Darstellung
Repräsentation von
I
Faktenwissen
I
Regelwissen
Repräsentationsformalismen
Anforderungen:
I
hinreichende Ausdrucksstärke
I
syntaktisch und semantisch eindeutig
I
Möglichkeit der maschinellen Verarbeitung
geeignet: Prädikatenlogik (der ersten Stufe) FOL
I
hinreichende Ausdrucksstärke: meist ja
I
syntaktisch und semantisch eindeutig: ja
I
Möglichkeit der maschinellen Verarbeitung: meist ja
(Unentscheidbarkeit)
und nichtklassische Logiken
I
Beschreibungslogik
I
Temporallogiken
I
Fuzzy-Logik
Wissensrepräsentation in Logiken
Wissensbasis Formelmenge Φ
Problem (Fragestellung): Formel ψ
Folgt ψ aus Φ?
Lösung
I
I
ja / nein
erfüllende Belegung
Möglichkeiten zum Ableiten neuen Wissens (Formel) aus einer
Wissensbasis (Formelmenge)
Folgern (semantisch): Wahrheitswerttabellen
Schließen (syntaktisch): Resolution
Wiederholung Logik
Syntax
Symbol
wahr
t
falsch
f
Junktoren
Konjunktion ∧
Disjunktion ∨
Negation
¬
Implikation
→
Äquivalenz ↔
Atome elementare Formeln
Semantik
Wahrheitswertfunktion
1
0
min
max
x 7→ 1 − x
≤
=
Formeln induktive Definition:
IA: Alle Atome sind Formeln.
IS: Sind j ein n-stelliger Junktor und ϕ1 , . . . , ϕn
Formeln,
dann ist auch j(ϕ1 , . . . , ϕn ) eine Formel.
Aussagenlogik
Atome Aussagenvariablen
Semantik der Formeln: Boolesche Funktionen
Belegung der Aussagenvariablen W : P → {0, 1}
induktive Berechnung des Wertes W (ϕ) der
Formel ϕ unter einer Belegung W :
I für Atome ϕ = p ∈ P gilt W (ϕ) = W (p)
I W (t) = 1 , W (f) = 0
I W (¬ψ) = [¬]W (ψ) = 1 − W (ψ)
I W (ψ1 ∧ ψ2 ) = W (ψ1 )[∧]W (ψ2 ) =
min (W (ψ1 ), W (ψ2 ))
I W (ψ1 ∨ ψ2 ) = W (ψ1 )[∨]W (ψ2 ) =
max (W (ψ1 ), W (ψ2 ))
Modelle (erfüllende Belegungen): W mit W (ϕ) = 1
(Wahrheitswerttabellen)
Beispiele:
I (p ∧ (q → r )) ∨ (r → ¬p)
I ¬p ∧ p
Modellierungsbeispiel (Aussagenlogik)
Geheimnis eines langen Lebens
Problembereich Ernährungsregeln:
I Falls ich kein Bier trinke, esse ich Fisch.
I Falls Bier und Fisch zugleich, dann kein Eis.
I Keinen Fisch, falls Eis oder kein Bier.
Darstellung durch passende Aussagenvariablen (Tafel)
Formeln (Tafel)
Problem Hilft Biertrinken?
Lösung (Tafel)
Weitere Beispiele:
I
n-Damen-Problem
I
Sudoku
I
Graphenfärbung
Wiederholung Prädikatenlogik
Individuenvariablen
Signatur Σ = (ΣF , ΣR )
Terme induktive Definition:
IA: Alle Individuenvariablen sind Terme.
IS: Sind f ein n-stelliges Funktionssymbol und
t1 , . . . , tn Terme,
dann ist auch f (t1 , . . . , tn ) ein Term.
Atome Sind p ein n-stelliges Relationssymbol und
t1 , . . . , tn Terme,
dann ist p(t1 , . . . , tn ) ein Atom.
Formeln zusammengesetzt mit Junktoren (wie
Aussagenlogik) und Quantoren ∀, ∃
Semantik der Formeln: Menge von Modellen (algebraische
Strukturen)
Algebraische Strukturen – Beispiele
Algebraische Struktur:
I
Menge von Objekten mit darauf definierten
I
Funktionen und
I
Relationen
Beispiele:
I Menge aller WHZ-Angehörigen mit
I
I
I
Menge von Elektroteilen und -geräten
(Staubsauger, Mixer, Waschmaschine, . . . )
Teile: Lampe, Motor, Stecker, Steckdose, . . .
I
I
Funktionen: WMS-Dozent, Bachelorarbeit-Betreuer
Relationen: befreundet, größer-als, hat-Buch-geliehen-von,
...
Eigenschaften: Student, Frau, . . .
N
Relationen: Teil-von, steckt-in, . . .
Eigenschaften: ist-Lampe, ist-Mixer, leuchtet, OK, . . .
( , +, 0)
Algebraische Strukturen – Definition
Signatur Σ = (ΣF , ΣR )
A = (A, J·KA ) heißt Σ-Struktur gdw.
I
I
A 6= ∅ (Träger, Universum)
∀n ∈ :
N
I
I
∀(f , n) ∈ ΣF : Jf KA : An −→ S
(Jf KA ist n-stellige Funktion auf A)
∀(R, n) ∈ Σ:R JRKA ⊆ An
(JRKA ist n-stellige Relation auf A)
Prädikatenlogik – Modelle
Menge
X von Individuenvariablen x, y , z, . . . , x1, x2, . . .
(A, β) heißt Σ-Interpretation für eine Formel ϕ ∈ FO(Σ, X ):
gdw.
I
I
A = (A, J·KA ) eine Σ-Struktur und
β:
X → A (Belegung der Individuenvariablen) ist.
Σ-Interpretation (S, β) ist genau dann Modell für die Formel
ϕ ∈ FO(Σ, X ), wenn JϕK(S,β) = 1.
Wiederholung Prädikatenlogik (Semantik)
Wert in Σ-Interpretation (S, β) mit S = (S, J·KS )
I
I
I
I
einer Individuenvariable x ∈ X : JxK(S,β) = β(x) ∈ S
eines Termes t = f (t1 , . . . , tn ) ∈ Term(Σ
F , X ):
JtK(S,β) = Jf KS Jt1 K(S,β) , . . . , Jtn K(S,β) ∈ S
eines Atomes a = p(t1 , . . . , tn ) ∈ Atom(Σ, X ):
JaK(S,β) = JpKS (Jt1 K(S,β) , . . . , Jtn K(S,β) ) ∈ {0, 1}
einer Formel ϕ ∈ FO(Σ, X ):
J¬ϕK(S,β)
Jϕ ∨ ψK(S,β)
Jϕ ∧ ψK(S,β)
J∀xϕK(S,β)
J∃xϕK(S,β)
= 1 − JϕK(S,β)
= max(JϕK(S,β) , JψK(S,β) )
= min(JϕK(S,β) , JψK(S,β) )
= min{JϕK(S,β[x7→a]) | a ∈ S}
= max{JϕK(S,β[x7→a]) | a ∈ S}
Modellierungsbeispiel (Prädikatenlogik)
Problembereich Baustein-Welt:
I Turm aus drei Bausteinen
(von oben nach unten: A,B,C)
I A ist grün.
I C ist nicht grün.
Darstellung (Tafel)
Formeln (Tafel)
Problem Steht ein grüner Baustein direkt auf einem
nicht-grünen?
Lösung (Tafel)
Weitere Beispiele:
I
Staubsauger-Diagnose
I
Familienbeziehungen
I
n-Damen-Problem