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Biologische Physik 1 (Physik für Biologen) EINFÜHRUNG – Was ist Physik, wozu Physik, Messgrößen und Messfehler MECHANIK – Bewegungen, Kraft, Masse, Arbeit, Energie, Impuls, Drehbewegung, Reibungskräfte Zwischen Belebtem und Unbelebtem „Immer wieder haben sich Physik und Biologie in der Vergangenheit getroffen, aber auch wieder voneinander entfernt. Gerade in den letzten Jahrzehnten sind sie sich zunehmend näher gekommen, so dass eine enge und fruchtbare Zusammenarbeit entstanden ist“. „Die Physik ist die Wissenschaft der unbelebten Materie. Doch führen physikalische Entdeckungen immer wieder zu Entwicklungsschüben in der Biologie und Medizin, den Wissenschaften vom Leben“. (aus „Welt der Physik“, DPG) Lotuseffekt Mikro- und Nanostrukturierte hydrophobe Oberflächen sind selbstreinigend ! Die Ursache des Effekts liegt in der besonderen Oberflächenstruktur der Pflanzen. Durch die Oberflächenstruktur der Pflanzen werden gegenüber Wasser riesige Kontaktwinkel erreicht (Superhydrophobie) nur etwa 2 bis 3 % der Tropfenoberfläche haben Kontakt mit der Oberfläche der Pflanze, so dass das Wasser leicht abperlen kann. Aufliegende Schmutzpartikel werden dadurch mitgerissen und weggespült. Wassertropfen haben wie alle Flüssigkeiten die Tendenz zur Minimierung ihrer Oberfläche → Oberflächenspannung. Heute werden mittels Nanotechnologie superhydrophobe Beschichtungen etwa für Hochhäuser verwendet. Aus Protein erzeugt – elastischer „Biostahl“ - Spinnennetz Fadenstärke – ca. 1 – 3 Mikrometer Hier wirken Kräfte ! Besitzen größere Festigkeit uns sind elastischer als vergleichbare Objekte aus Edelstahl Druckfestigkeit von Eichenholz – ca. 50N / mm2 Zugfestigkeit von Spinnenseide – ca. 150N / mm2 Horizontaler Wurf Wurfweite (m) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 -1 Höhe (m) -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 Als Schleuderfrüchte werden Früchte bezeichnet, die durch Schleudereinrichtungen ihre Samen in einem weiten Umkreis um die Mutterpflanze verbreiten. Die Samen werden von der reifen Frucht fortgeschleudert. Der Sumpf-Storchschnabel liegt bei einer Wurfweite von rund 2,50 m. Gegen das Ende der Messlatte liegen Lupine (7,00 m), Stachelbärenklau (9,50 m), Zaubernuss (15,00 m). Die ersten Mikro- und Nanomotoren wurden von der Natur „gebaut“ - Flagellum Rotationsgeschwindigkeiten – einige Hundert bis Tausend Umdrehungen / Minute „Reise“-Geschwindigkeiten – etwa 20 Mikrometer / Sekunde Flagellum Rotor: Access Research Network (Art Battson) Weibel, D.B. et al. (2005): Microoxen: microorganisms to move microscale loads. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 102: 11963–11967 Physik und ihre Aufgabe Physik ist die Wissenschaft von den Naturdingen (gr. - φυσικα), also eine Naturwissenschaft. Physik beschäftigt sich mit der Beobachtung der unbelebten Natur, obwohl viele Erkenntnisse und Gesetzmäßigkeiten auch in der belebten Natur Anwendungen finden. Physik führt Konzepte wie etwa Länge, Masse, Zeit oder Temperatur ein und definiert diese über bestimmte Messvorschriften. Diese so genannten Grund- oder Basisgrößen sind von unseren Erfahrungen inspiriert. Physik ist eine Erfahrungswissenschaft. Sie bezieht ihre Erkenntnisse aus Beobachtungen und einer Interaktion: Experiment – Modell – Simulation – Theorie. Physik ist eine quantitative Wissenschaft – die Merkmale der beobachteten Vorgänge werden Größen genannt. Gründer der klassischen Physik Galileo Galilei (1564- 1642) Isaac Newton (1642-1727) Professor für Mathematik, Physiker Professor für Mathematik und Physik, Cambridge Fall-, Wurf- und Pandelgesetze, Zeitmessung Mechanik (Axiome) Astronomische Beobachtungen Folgerung über die Bewegung der Erde Gravitationsgesetze Optik Infinitesimalrechnung Beobachtung Beobachtung // Erforschung Erforschung der der Natur Natur Physik Physik Sprache der Physik: Mathematische Formulierungen ↔ Differential Differential//Integralrechnung Integralrechnung Lineare LineareAlgebra Algebra • Einsteinsche Relativitätstheorie ↔ Differentialgeometrie Differentialgeometrie • Quantenmechanik ↔ Funktionalanalysis Funktionalanalysis • Quantenfeldtheorie ↔ • Newtonsche (klassische) Mechanik Gruppentheorie Gruppentheorie Topologie Topologie Täuschung-Messung ⇔ Objektive Aussage Täuschung-Messung ⇔ Objektive Aussage Täuschung – Messung ⇔ Objektive Aussage Konzentriere Dich auf das Kreuz in der Mitte. Was passiert mit den rosa Punkten ? Täuschung - Messung ⇔ Objektive Aussage Täuschung-Messung ⇔ Objektive Aussage Mondgröße Der Mond (Sonne) scheint knapp über dem Horizont wesentlich größer zu sein als im Zenit. Wesentlich für die korrekte Größenwahrnehmung eines Gegenstandes ist die ebenso korrekte Information über dessen tatsächliche Entfernung zum Beobachter Da zwischen Mond am Horizont und Betrachter viel mehr Gegenstände (Bäume, Häuser, etc.) liegen („Tiefeninformation“) als zwischen Mond oben am Himmel und Betrachter, wird die Entfernung fälschlicherweise als größer eingeschätzt, bei größerer Entfernung und gleich großer Abbildung auf der Netzhaut müsste der Gegenstand aber größer sein, und somit wird der Mond oder auch die Sonne am Horizont auch größer wahrgenommen (Größentäuschung). Masse → 2 kg; Länge → 7 m Messgrößen Physikalische Größe Einheit → Zahl und (Maß)-Einheit willkürlich: Armlänge, Äquatorlänge,... gegeben durch Normale natürlich: Maßsystem → Wellenlänge von Spektrallinien, ... gegeben durch Naturgesetze Menge von Grundgrößen mit Einheiten Basisgrößen Grundgrößen (Definition willkürlich / natürlich) Reduzible Größen (Zurückführbar auf Basisgrößen) GRUNDGRÖSSEN (7 + 2) Radiant Der Radiant (rad) - ebener Winkel zwischen zwei Radien eines Kreises, die aus dem Kreisumfang einen Bogen der Länge des Radius ausschneiden. Steradiant Der Steradiant (sr) - räumlicher Winkel, dessen Scheitelpunkt im Mittelpunkt einer Kugel liegt und der aus der Kugeloberfläche eine Fläche gleich der eines Quadrats von der Seitenlänge des Kugelradius ausschneidet. Grundgrößen Si-Einheit Größe Zeit Länge Masse Zeiche n s m kg Name Definition Sekunde 1 s ist die Zeit für 9192631770 Perioden einer bestimmten Schwingung des Isotops von Cs-133 Meter 1 m ist die Strecke, die das Licht im Vakuum in der Zeit von 1/299792458 s zurücklegt Kilogramm Ur-Kilogramm, aufbewahrt im Bureau International des Poids et Mesures in Paris Sèvres Grundgrößen Si-Einheit Größe Stromstärke Lichtstärke Zeiche n A cd Name Definition Ampere Die Stromstärke in zwei parallelen Leitern im Abstand von 1m beträgt 1 A, wenn die Ströme, bezogen auf die Länge 1m, die Kraft 2 .10-7 N aufeinander ausüben Candela Lichtstärke, die monochrom. Strahlung mit der Frequenz 540 · 1012 Hz mit einer Leistung von 1/683 Watt pro Steradiant aussendet. Grundgrößen Si-Einheit Größe Temperatur Stoffmenge Zeiche n K mol Name Definition Kelvin Zwischen dem Nullpunkt der thermodynamischen Temperaturskala (absoluter Nullpunkt) und dem Tripelpunkt des Wassers liegen 273,15 K Mol 1 mol eines Stoffes enthält so viele Teilchen, wie Atome in 0,012 kg des Kohlenstoff C-12 enthalten sind. NA = 6,022x1023 Die 11. Generalkonferenz für Maß und Gewicht hat zwei ergänzende SI-Einheiten festgelegt: Bogenmaß: φ [ rad ] 1 rad = s/r = 1 Radiant r s∝r φ Gradmaß: 1 Grad = 1° = ( 2π / 360 ) rad 1 Minute = 1' = 1° / 60 1 Sekunde = 1'' = 1' / 60 r Kreisumfang = 2π r ⇒ Vollkreis hat 2π rad bzw. 360° Kugelfläche Ω Raumwinkel: Ω [ Sterad ] = A /r2 1 sr = 1 Steradiant Kugelfläche = 4π r2 ⇒ Vollkugel hat 4π sr A ∝ r2 r Abgeleitete Größen ⇓ mathematische Kombination von Grundgrößen Dimension: Maßeinheit der abgeleiteten Größe Beispiel: Geschwindigkeit v = d ( Länge ) / d ( Zeit ) = dx / dt [ Distanz] m Dimension: [v] = = = ms −1 [Zeit] s ⇒ ⇒Konsistenztests Konsistenztestsvon vonGleichungen: Gleichungen: 9 9 Haben Habenalle alleSummanden Summandendie diegleiche gleicheDimension Dimension?? 9 9 Haben Habenbeide beideSeiten Seitender derGleichung Gleichungdie diegleiche gleicheDimension Dimension?? Weitere Beispiele: Aus Einheiten können Vielfache der Einheiten durch Multiplikation mit Faktoren gewonnen werden. 0.01 m = 10 cm = 10 mm = 10000 µm 0.000000001 m = 1 nm, oder 1 pm = 1.10-12m Messgenauigkeit und Messfehler (Genaueres wird vor dem Praktikum angeboten) Eine Messung beruht auf einem quantitativen Vergleich der Messgröße mit einem Standard (Normal). Dadurch erhält man einen Informationsgewinn über den Istwert eines Messobjekts. Jede Messung ist mit einem Fehler behaftet. Beispiel: In einer Flüssigkeit mit suspendierten Teilchen soll die Anzahl pro cm3 bestimmt werden. Dies kann z.B. durch Betrachtung eines kleinen Volumens (Mikroskop) und Auszählung bestimmt werden. Inhalt des Volumens ist 0.0025mm3, oder 2.5 x10-6 cm-3. Die Flüssigkeit enthalte im Mittel 1000000 cm-3. Im Messvolumen gibt es im Mittel 1000000 x 2.5 x10-6 = 2.5 Teilchen. Messung A: 2 Teilchen, daraus folgt: 2 Teilchen / Messvolumen = 800000 cm-3 Messung B: 3 Teilchen, daraus folgt: 3 Teilchen /Messvolumen = 1200000 cm-3 Geringe Anzahl von Teilchen → große statistische Schwankung: Ergebnis ⇒ Anzahl ± Anzahl Messgenauigkeit und Messfehler A: (800000 ± 560000) cm-3, oder 800000 cm-3 ± 70% B: (1200000 ± 680000) cm-3, oder 1200000 cm-3 ± 57% Bemerkung: 1. Schlechte Messgenauigkeit, weil zu wenige Teilchen; 2. Ergebnisse annehmbar, weil sich die Fehlerbereiche überschneiden. Messung Messung == Messwert Messwert xx ±± Fehler Fehler σσ • Übliche Wahl: Fehler = Standardabweichung σ •[ x −σx, x +σx ] : Vertrauensbereich Beispiel:Gaußfehler: 68,3 % der Messungen innerhalb ± σ 31,7 % liegen außerhalb!!! • Fehlertypen: statistisch / systematisch Statistische ( bzw. zufällige ) Fehler: → Auflösung der Apparatur / Skala → Statistische Fluktuation ( z.B. Zerfallsrate ) → Rauschen ... Messungen: x1 , x2 , ... , xn Mittelwert: 1 n x = ∑ xk n k =1 jeweils mit Fehler ± σ ⇒ σ σx = n Statistische Statistische Fehler Fehler sind sind durch durch Wiederholung Wiederholung der der Messung Messung beliebig beliebig reduzierbar reduzierbar Beispiele für systematische Fehler: → Falscher Nullpunkt der Apparatur → Fehlkalibration der Skala → Unsicherheiten in Korrektur von Störeffekten Systematische Systematische Fehler Fehler sind sind i.a. i.a. nicht nicht durch durch Wiederholung Wiederholung der der Messung Messung reduzierbar reduzierbar Skalare Größen (Skalare) • Sie sind durch Zahlenwert und Einheit vollständig definiert. Skalare sind z. B. Zeit (t = 0.8 s), Masse (m = 55 kg), Temperatur (T = 303 K). • Zahlenwerte sind reelle Zahlen, Temperaturangaben in Kelvin sind Immer positiv Vektorielle Größen (Vektoren – physikalische Größen mit Richtungssinn) • Sie sind durch Zahlenwert, Einheit und Richtung vollständig definiert. Vektoren sind z.B. Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft • Variablen, die für Vektoren stehen, werden häufig mit einem Pfeil gekennzeichnet r r r r = x2 + y2 + z 2 ist der Betrag (Länge) eines Vektors Bezugssysteme Galilei formulierte die umstrittenen Frage, ob sich eine Kugel an Bord eines fahrenden Schiffes in Bewegung oder in Ruhe befinde. Seine Analyse lautete, dass die Beantwortung der Frage von der Position des jeweiligen Beobachters abhängt: ein Beobachter, der sich ebenfalls an Bord des Schiffes befindet, sieht die Kugel in Ruhe, während ein Beobachter am Ufer die Kugel sich zusammen mit dem Schiff bewegen sieht. Die Eigenschaft, in Bewegung zu sein, ist demnach keine, die der Kugel alleine zukommt, sondern hängt von der Wahl des Bezugssystems ab. Für die Betrachtungen im Rahmen dieser Vorlesung werden wir meistens Erde als Bezugsystem benutzten und annehmen, dass die Erde ruht. Dies ist zwar nicht richtig, für die meisten Überlegungen hier ist es jedoch eine akzeptable Annahme. 3 D Kartesisches Koordinatensystem Geschwindigkeit A.Gleichförmige geradlinige Bewegung Diese Bewegung ist gegeben wenn in gleichen Zeiten gleiche Wege zurückgelegt werden. r r r r r (t 2 ) − r (t1 ) ∆s v= = t 2 − t1 ∆t Z r r (2s) X t=2s r ∆s2 r r (1s ) r r (0 s ) r ∆s1 t=0s t=1s Y [ r ⎡m⎤ [v ] = ⎢ ⎥ = m ⋅ s −1 ⎣s⎦ ] Graphische Darstellung der Bewegung im Weg – Zeit – Diagramm Weg-Zeit-Diagramm r r ∆s v= ∆t Umrechnung zwischen den gebräuchlichen Geschwindigkeitseinheiten m/s und km/h : 1 km/h = 1000m : 3600s = (1 : 3,6) m/s = 0,277 m/s Graphische Darstellung der Bewegung im Weg – Zeit – Diagramm s [m] Fall 2: Gleichförmige Bewegung Fall 1 und 3: Ungleichförmige Bewegung 3 Mittlere Geschwindigkeit: r r ∆s BC vM = = ∆t AB 2 Wir erkennen, dass wir die Geschw. bei ungleichförmiger Bewegung um so genauer angeben können je kleiner Zeiten und Wege gewählt werden. Mit C P 1 ∆s ∆s → 0 und α Erhalten wir im Punkt P Momentangeschwindigkeit: B A ∆t → 0 ∆t t [s] r r ds v= dt Vergleich der mittleren Geschwindigkeiten (Näherung) Objekt Geschwindigkeit Schnecke 0,0008 m/s ≈ 0,003 km/h Maulwurf (Graben) 0,002 m/s ≈ 0,008 km/h Maulwurf (Laufen)1,1 m/s ≈ 4 km/h Fußgänger 1,5 m/s = 5,4 km/h Biene 6,5 m/s ≈ 23 km/h Brieftaube 20 m/s = 72 km/h Schwalben 60 m/s ≈ 220 km/h Erde (Umlaufbahn) 29.800 m/s ≈ 107.000 km/h Licht (Vakuum) 299.792.458 m/s ≈ 1.080.000.000 km/h Beschleunigung Ändert sich die Geschwindigkeit, so wirkt eine Beschleunigung (bzw. Abbremsung). Wenn z.B. ein Skispringer startet ist seine Anfangsgeschw. v1=0 m/s. Am Schanzentisch ist seine Geschwindigkeit v2=28 m/s. Wie groß war seine Beschleunigung ? r r r r v (t ) − v (t1 ) ∆v = a= 2 t2 − t2 ∆t ⎡ m ⋅ s −1 ⎤ ⎡ m ⎤ [a ] = ⎢ ⎥=⎢ 2⎥ ⎣ s ⎦ ⎣s ⎦ v Momentanbeschleunigung r r r ∆v dv = a = lim ∆t →0 dt dt Geschw.-Zeit:Diagramm a<0 a>0 t1 t2 t3 t Freier Fall Bewegung mit konstanter Beschleunigung. Hier wird ein frei fallender Körper immer schneller. Warum ? g= Experimente: Fallschnüre, div. Objekte im Vakuum r r r r v = a ⋅ t; a = g ds v= dt dv d 2 s a= = 2 dt dt t dv = adt ⇒ v = ∫ adt = at + v0 0 t t 1 s = ∫ vdt = ∫ (at + v0 )dt = at 2 + v0t + s0 2 0 0 g Fundamentalgleichungen der Kinematik Freier Fall: v = gt g 2 s= t 2 Fallschnüre zur Bestimmung des Fallgesetzes Kugeln jeweils im Abstand 12:22:32:42 Kugeln in gleichem Abstand 1:2:3:4 h3 h4 h3 Ergebnis: Die Kugeln Schlagen in gleichen Zeitintervallen auf ! ⇒ h ∝ t2 h2 h1 h2 h1 1 2 ⇒ h = gt 2 Zusammensetzung von Bewegungen Führt ein Körper mehrere Bewegungen aus, so ergibt sich die Gesamtbewegung durch die Addition der Einzelbewegungen und der Gesamtweg durch die vektorielle Addition der einzelnen Wege, die Gesamtgeschwindigkeit durch die Addition der einzelnen Geschwindigkeiten. vB Re C= B + A A B vF igkeit d n i w h sc nde Ge e r e i lt u s vF vB http://www.univie.ac.at/future.media/moe/index.html http://www.mathe-online.at/materialien/Andreas.Pester/files/Vectors/index.htm Addition und Zerlegung der Kräfte Treten mehrere Kräfte auf so muss die Summe der Kräfte durch die vektorielle Addition gebildet werden. Ist die Summe aller in einem Punkt angreifenden Kräfte gleich Null, so herrscht ein Gleichgewicht. r r r A+ B +C = ? r r r r r r A+ B = P P+C = R Beispiel: A P R B C Horizontaler Wurf horizontal: x x = v0t ⇒ t = v0 vertikal: 2 g 2 g x y= t = 2 v02 2 y=1.5m, v0=3m/s: x=1.6m g = 9.81 m m 10 ≈ s2 s2 Senkrechter Wurf s = v0t − 1 2 gt 2 maximale Höhe: ds = v0 − gt = 0 dt v0 t max = g v02 smax = 2g Schräger Wurf v x = v0 cos α v y = v0 sin α x = v0 cos α ⋅ t 1 2 y = v0 sin α ⋅ t − gt 2 g x2 y = tan α ⋅ x − 2 vo2 cos 2 α α y H = v y ⋅ t max = v 0 sin α ⋅ v02 sin 2 α Wurfhöhe: y H = 2g v02 sin 2α Wurfweite: xW = g v0 g x W = v x ⋅ 2 t max = v 0 cos α ⋅ 2 vy g = v 0 cos α ⋅ 2 v 0 sin α g KRAFT und MASSE Konzept einer Kraft: Kraft ist eine Fähigkeit, etwas zu bewirken. Als physikalischer Begriff bezeichnet Kraft die Fähigkeit die Bewegung eines Körpers zu ändern (Richtungsänderung, Beschleunigung, Abbremsung) oder auch einen Körper zu verformen. Es gibt viele Arten von Kräften z.B: elastische Kraft, Reibungskraft, Federkraft, elektrische Kraft, Schwerkraft (Gravitation), ..... Auf G. Galilei Erkenntnissen basieren formulierte I. Newton 1668 in „Principia Mathematica“ das Trägheitsprinzip (1. Axiom): Ein Körper verharrt in seinem Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen, geradlinigen Bewegung, solange die Summe aller auf ihn einwirkenden Kräfte Null ist. Eine Änderung dieses Zustandes ist nur durch eine Kraft (Reibung, Gravitation, ..) möglich. Einige Beispiele und Überlegungen: Eishockeypuck erreicht Geschwindigkeiten von über 45 m/s. Reibungsfreie Eisfläche würde eine nie endende Fortbewegung mit sich bringen. Ein Körper der keiner Wechselwirkung wie Reibung (oder Gravitation) unterliegt, ist etwa im Weltraum vorstellbar - einmal in Bewegung, setzt ein Körper diese geradlinig, mit konstanter Geschwindigkeit fort. Eine Kraft könnte in solchen Fall die Objektgeschwindigkeit beeinflussen, z.B. beschleunigen. Es zeigt sich aber, dass auch wenn externe Einflüsse (z.B. Reibung) fehlten, eine Initiierung der Bewegung eines Körpers von einer internen Eigenschaft des Körpers, von seiner Trägheit, abhängt. Bei großer Trägheit ist diese Initiierung der Bewegung schwieriger, so aber auch die Abbremsung. Sichtlich ist Trägheit eines Körpers proportional zur Masse. Kraft F Kraft ist also die Ursache einer Beschleunigung, sie ist auch proportional zu der Beschleunigung. Wieder auf G. Galilei Experimenten aufbauend formulierte I. Newton sein 2. Axiom – das Aktionsprinzip: Die Änderung der Bewegung einer Masse ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt. r r r r r r F ∝ a; F = m ⋅ a; FG = m ⋅ g r m F = 1kg ⋅ 2 = 1N ( Newton) s [] Es gibt eine große Zahl von div. Kräften, sie lassen sich aber in 2 Gruppen einteilen: Kontaktkräfte mit Reichweite von etwa 10-10m (Reibungs-, Stoßkräfte,..) und Fernwirkung (Gravitations-, elektrische und magn. Kräfte) Die Beobachtung, dass Kräfte immer bei Wechselwirkungen auftreten, bedeutet auch dass zu jeder Kraft eine Gegenkraft existieren muss. Die hat Sir Isaac Newton folgendermaßen formuliert: Das Reaktionsprinzip Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleichgroße, aber entgegengerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio). r r FA→ B = − FB → A Schwerkraft • Bekannteste Kraft auf unserem Planeten • Frei fallender Körper führt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung aus mit der konstanten Beschleunigung g=9.81 m/s2. r r • Die Beschleunigung ist durch die Schwerkraft F G = m ⋅ g hervorgerufen. • Die Schwerkraft steht normal auf die Erdoberfläche • Eine Masse von 1 kg wird von der Erde mit der Kraft von 9.81 N angezogen. Beobachtung von G. Galilei: Eisen- und Holzkugel mit dem gleichen Durchmesser geworfen von Turm in Pisa erreichen den Boden gleichzeitig. Warum ? 50 m • Diese Kraft wird auch Gewicht genannt. Newton‘sche Erklärung: Schwerere Gegenstände haben auch größere Trägheit. Die Eisenkugel wird von der Erde mit etwa 10-facher Kraft im Vergleich zu der Holzkugel angezogen, aber ihre Trägheit ist auch 10 mal so groß. Also Trägheit und Gewicht sind beide proportional zu Masse. Wodurch unterscheiden sich dann diese beiden Eigenschaften der Masse ? Die Trägheit ist eine inhärente Eigenschaft der Masse, das Gewicht ist von der Gravitationskraft (Schwerkraft) abhängig. Ein Mensch mit 100 kg (Erde) würde auf dem Mond nur etwa 17 kg wiegen. 100 kg ?? 17 kg !! GRAVITATIONSGESETZ Das newtonsche Gravitationsgesetz besagt, dass sich die Gravitationskraft F, mit der sich zwei Massen m und M anziehen, proportional zu den Massen beider Körper und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes r der Massenschwerpunkte verhält: m⋅M F =G⋅ 2 r r ↑⇒ F ↓ Die Gravitationskonstante, meist durch das Formelzeichen G dargestellt, ist eine von Isaac Newton eingeführte Universalkonstante, die bei bekanntem Abstand zweier, massiver Objekte deren gegenseitige Massenanziehungskraft bestimmt. 3 G ≈ 6.67 ⋅10 −11 m kg ⋅ s 2 Danach ist die Gravitationskraft eine Wechselwirkung - nach dem dritten newtonschen Axiom wirkt die Kraft sowohl auf die erste als auch auf die zweite Masse, aber jeweils in der entgegengesetzter Richtung. Gravitationskonstante G - Streuung der Messwerte Die Gravitationskonstante G führt über das Gravitationsgesetz zur Masse M und zur mittleren Dichte ρ des jeweiligen Körpers (z. B. der Erde), sofern der mittlere Radius und die Oberflächenbeschleunigung g bekannt sind: Mm M G 2 = mg ; ρ = V RE ρ= RE 3g 4π ⋅ G ⋅ RE kg ρ E ≈ 5.5 ⋅ 10 3 m 3 Kräftezerlegung auf der schiefen Ebene Eine schiefe Ebene ist eine ebene Fläche, die gegen die Horizontale geneigt ist. Sie wird z.B. verwendet, um den Kraftaufwand zur Höhenveränderung einer Masse zu verringern. Die Gewichtskraft FG einer Masse, die sich auf einer Schiefen Ebene befindet, wird in zwei Komponenten zerlegt, die FT parallel zur Oberfläche der schiefen Ebene und die FD normal zur Oberfläche. Da die Normalkraft bereits von der schiefen Ebene selbst getragen wird, muss, um die Masse im Gleichgewicht zu halten, lediglich die treibende Kraft FT ausgeglichen werden. FT = FG ⋅ sin α FD = FG ⋅ cos α α FT fz ff FG FD ARBEIT, ENERGIE UND LEISTUNG Begriff „Arbeit“ ist im allgemeinen für körperliche oder Geistige Aktivität benutzt. Wir sehen uns zunächst den einfachsten Fall der mechanischen Arbeit. Mechanische Arbeit W wird verrichtet wenn ein Körper entgegengesetzt zu einer wirkenden Kraft bewegt wird. m FG = m ⋅ g FG = F m FG = m ⋅ g Also in diesem Fall gilt: ARBEIT = KRAFT * WEG r r r r W = F ⋅ h = F ⋅ h ⋅ cos α r r α ...Winkel zw.( F und h ) [W ] = [kg ⋅ m ⋅ s −2 ⋅ m] = [1N ⋅ m] = [1J ] [1J ] ⇒ 1 Joule h Welche Fähigkeit hat nun ein auf die Höhe h gehobener Körper ? Der Körper hat nun das Potenzial Arbeit zu verrichten, er besitzt eine potenzielle Energie: E pot = FG ⋅ h = m ⋅ g ⋅ h Da in Ruhe keine Arbeit geleistet werden kann, kann der Körper beim Runterfallen von der Höhe h die aufgewendete Arbeit abgeben. Jetzt wird aber die potenzielle Energie in Bewegungsenergie, kinetische Energie, umgewandelt: g ⋅t2 h=s= 2 W = FG ⋅ h = m ⋅ g ⋅ h und 1 W = m ⋅ g ⋅ ( g ⋅ t )2 2 weil v = g ⋅ t Die kinetische Energie wird beim Auftreffen wieder Umgewandelt in andere Energieformen, z.B. Wärme, Deformation. Die Einheit [J] bleibt gleich. Ekin 1 = m ⋅ v2 2 Die Arbeit kann in einem Kraft – Weg Diagramm dargestellt werden. Sie ergibt die Fläche eines Rechtecks mit den Seiten: mg und h. Zur Überwindung der Höhe h kann auch eine schiefe Ebene verwendet werden. Die Hubarbeit ist nun entlang eines längeren Weges s=h / cosϕ zu leisten. FS = ϕ F •c F os ϕ h 0 0 W = ∫ F ⋅ ds = F ∫ ds = F ⋅ h F [N] W=F•h Weg [m] Beispiel: Heben einer Masse von 10 kg um 3 m erfordert eine Arbeit von 10 kg⋅10 m/s2 ⋅3 m = 300 J. s h FG h α r r W = F ⋅ cos ϕ ⋅ s = F ⋅ s Verschieben einer Masse von 10 kg um 3 m auf der schiefen Ebene mit einer Neigung von 30° erfordert eine Arbeit von mg⋅s⋅cos60° = 150 J. Höhengewinn = 3m⋅ cos60° = 1.5 m r Arbeit = Skalarprodukt des Kraftvektors r F mit dem Vektor der Verschiebung s Beispiel: Arbeit zur Beschleunigung eines Wales von 100 t von Ruhe auf 8 m / s: mv 2 100000 kg ⋅ 82 m 2 s −2 W= = = 3200000 J = 3200 kJ 2 2 Täglich vom Menschen aufgenommene Energie (Nahrung) ~ 10000 kJ. Bei einem Wirkungsgrad von 32% (d.h. 32% der Nahrungsenergie stehen für diese Arbeit zur Verfügung) könnte der Wal einmal pro Tag auf 8 m / s beschleunigt werden. Bei Körperlicher Tätigkeit merkt man, dass bei gleicher Arbeit die Ermüdung umso schneller eintritt, je kürzer die Zeit in der die Arbeit verrichtet wurde. Man hat unterschiedliche Leistungen vollbracht. Dies hilft uns die Leistung zu definieren: W ⎡ J⎤ P = ; [P ] = ⎢1 ⎥ t ⎣ s⎦ verrichtete Arbeit Leistung = Zeit Aus dieser Definition kann der bekannte Begriff der Kilowattstunde (kWh) ermittelt werden. Leistung mal Zeit = Energie. 1 kWh = 1000W ⋅ 3600 s = 3,6 ⋅106 J = 3,6 MJ ERHALTUNGSSÄTZE Unter einer Erhaltungsgröße versteht man eine Größe, die für die an einer Wechselwirkung beteiligten Teilchen vor und nach der Reaktion gleich ist (also erhalten bleibt). Eine der bekanntesten Erhaltungsgrößen der Physik ist die Energie. Zu jeder Erhaltungsgröße gehört ein Erhaltungssatz, in dem formuliert wird, welche Größe unter welchen Bedingungen erhalten bleibt. Beispiel: Fadenpendel – periodische Umwandlung von potenzieller in kinetische Energie und umgekehrt, bei gleichzeitiger Erhaltung der Gesamtenergie 1 : Wges = W pot = mgh 1 3 2 : Wges = Wkin E ges = E pot h v 2 E ges = Ekin 3 : Wges = W pot mv 2 = 2 = mgh WAnfangszust . = WEndzust . x y Für viele physikalische Größen gelten Erhaltungssätze. Ein Erhaltungssatz für eine Größe X bezieht sich stets auf ein System, welches für diese Größe nach außen abgeschlossen ist. Für eine andere Größe kann das System offen sein. IMPULS In der Umgangssprache bedeutet der Impuls einen Antrieb etwas zu tun, in Angriff zu nehmen oder zu unternehmen. IMPULS (Physik) Bewegt sich ein Körper der Masse m mit einer Geschwindigkeit v, so kann dies durch eine Größe, den Impuls, beschrieben werden. Jeder bewegte Körper trägt einen Impuls, den er bei Stößen oder durch Kraftwirkungen ganz oder teilweise auf andere Körper übertragen kann. Der Impuls ist definiert als Produkt der Masse m eines Körpers und dessen Geschwindigkeit. Impuls und Geschwindigkeit sind Vektoren: r r r ds p = m⋅v = m⋅ dt v1 = a1t = F1 t m1 r F = m⋅a v2 = a 2 t = r r v = a ⋅t F2 t m2 r r r [ p] = 1 kg ⋅ m ⋅ s −1 p = m⋅v r r m ⋅ v1 = F1 ⋅ t und m ⋅ v2 = F2 ⋅ t r r es gilt : F1 = − F2 r r r r p1 = − p2 oder p1 + p2 = 0 Impuls, Kraft und Geschwindigkeit sind Vektoren und weisen in die gleiche Richtung. Impulserhaltungssatz: Für jedes abgeschlossene System bleibt der Gesamtimpuls konstant * 1 v =? * v2 = ? Zweidimensionaler Stoß gleicher Massen Warum ist (θ +ϕ )=90° ? θ ϕ θ …Streuwinkel m1 = m2 = m 2 '2 '2 p1 p1 p2 E1 = E1 + E2 = = + 2m1 2m1 2m2 r r' r ' p1 = p1 + p2 (→ quadrieren) r ' r' 2 ' 2 ' 2 p1 = ( p1 ) + ( p 2 ) + 2 p1 ⋅ p 2 ' ' damit (a ) und (b) gelten muß : r ' r' r' r' p1 ⋅ p 2 = 0 ⇒ p1 senkrecht auf p 2 (a ) (b) Wenn sich ein Körper (Massenpunkt) mit der Masse m translatorisch mit der Geschwindigkeit v bewegt, so beschreibt man den Impuls als: r r p = m⋅ v Einheit: 1N · s oder 1kg · m · s-1 Durch eine Umformulierung des II. Newton´schen Axioms erhalten wir: r r r r r dv d (m ⋅ v ) dp F = m⋅a = m⋅ = = dt dt dt Die Kraft F, die auf die Masse m wirkt, ist gleich der Impulsänderung pro Zeiteinheit. Die Größe: r r F ⋅ dt = dp wird als Kraftstoß bezeichnet. Energieumsatz im menschlichen Körper Um den Energieumsatz für ein ganzes Lebewesen zu analysieren, also die Energie, die z. B. ein Mensch oder ein Tier benötigt, müssen einzelnen Individuen einer Population bezüglich ihres Energiebedarfs je nach Alter, Geschlecht, Gesundheitszustand, körperlicher Leistung oder umgebendem Klima bewertet werden. Biologische Organismen sind keine geschlossenen Systeme. Es findet ständiger Stoff und Energieaustausch mit der Umgebung statt. Es stellt sich dabei ein sog. Fließgleichgewicht ein. Dieses Gleichgewicht ist nur bei ausreichender Energiezufuhr von Außen, je nach abgegebener Arbeit, oder Leistung möglich. Im Mittel nimmt der Mensch 9630 kJ /Tag = 2300 kcal /Tag auf. Das entspricht einer Leistung von 110 W. Die Energie wird als potenzielle Energie auf der molekularen Ebene zur Verfügung gestellt. Bei der Umsetzung der Energie können bis etwa 30% als mechanische Arbeit freigesetzt werden. Nahrung Energie kJ / g Kohlehydrate 19 Fett 42 Alkohol 34 DREHBEWEGUNG r F r −F r −F Keine Drehung Drehung gegen Uhrzeigersinn r r Das Drehmoment r F Wir definieren: r F Drehung wird stärker mit zunehmender Kraft F. Drehung wird stärker wenn der Hebelarm r vergrößert wird. Drehmoment M = Hebelarm r • Kraft F r r r F2 α r F1 α r F Die wirkende Kraft F kann in 2 Komponenten zerlegt werden. Nur die F1 Komponente erzeugt ein Drehmoment M !! M = r ⋅ F1 = r ⋅ F ⋅ sin α Hebelarm r und Kraft F sind offenbar Vektoren. Auch das Drehmoment M ist ein Vektor. M hängt nicht nur vom Betrag , sondern auch von der Richtung der Kraft F ab. So müssen r und F als Vektorprodukt ausgedrückt werden !!! r r r M = r ×F [M ] = 1Nm (nicht Joule!) r M VEKTORPRODUKT: * Das Ergebnis ist ein Vektor, mit Richtung senkrecht zu den beiden Ausgangsvektoren * Der Betrag des Ergebnis-Vektors entspricht der von den Ausgangsvektoren aufgespannten Fläche * Betrag: „Produkt der Beträge beider Vektoren und dem Sinus des Winkels zwischen den Vektoren“ r F α r r Hebelgesetz r1 ⋅ F1 = r2 ⋅ F2 Obiges gilt nur, wenn die Kräfte im Winkel von 90° angreifen. Ist der Winkel verschieden von 90°, so müssen die Kräfte in die einzelnen Komponenten zerlegt werden, und nur die Komponente, die rechtwinklig vom jeweiligen Arm wegzeigt, geht in die Rechnung ein. Ein Hebel ist einer der wichtigsten Kraftwandler. Er dient, wie alle mechanischen Maschinen dazu, Arbeit zu erleichtern, nicht zu sparen. Denn die zu leistende Arbeit bleibt nach der Formel: Arbeit = Kraft . Weg Das heißt, eingesparte Kraft geht auf Kosten des Weges, die zu leistende Arbeit wird keineswegs weniger. r1 ⋅ F1 = r2 ⋅ F2 Beispiel: Mit welcher Kraft muss der Muskel ziehen um eine Masse von 2 kg halten zu können ? L1=3 cm und L2=30 cm. Ann.1.: Muskelkraft normal auf d. Unterarm. Ann.2.:Muskelkraft unter 60° auf d. Unterarm Die Masse m erzeugt ein Drehmoment: 2kg ⋅10ms −2 = 20 N M = 20 N ⋅ 0.3m = 6 Nm 1 6 Nm = 200 N F1 = 0.03m M = 20 N ⋅ 0.3m = 6 Nm 6 Nm = 231N F1 = 0.03m ⋅ sin 60° 2 ω Drehung um eine Achse – Winkelgeschwindigkeit Unter der Winkelgeschwindigkeit versteht man die zeitliche Änderung des Drehwinkels bei einer Rotation: ∆ϕ für ∆t → 0 ω= ∆t dϕ ω= dt Die Winkelgeschwindigkeit gibt an, wie schnell etwas rotiert. Winkelgeschwindigkeit ist unabhängig von der Entfernung von der Drehachse. r vT ϕ Die Einheit der Winkelgeschwindigkeit ist rad/s bzw. 1/s. b=∆s=r. ∆ϕ ϕ b ∆s ∆ϕ vT = = r⋅ = r ⋅ω ∆t ∆t vT Kreisbewegung Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit gilt für Zeitintervalle ∆t: ∆ϕ = ω ⋅ ∆t T sei die Zeitdauer für einen vollen Umlauf des Massenpunktes P auf einer Kreisbahn, d.h. Vektor r durchläuft einen Winkel 360o (bzw. 2π im Bogenmaß), dann gilt: Damit ergibt sich für die Winkelgeschwindigeit: Winkelgeschwindigkeit ω auch als Kreisfrequenz bezeichnet: ∆ϕ ∆t = 2π T 2π −1 ω= s T [ ] ω = 2π ⋅ν Ändert sich ω in der Zeiteinheit ∆t (ungleichförmige Rotationsbewegung)Ö Winkelbeschleunigung α = ∆ω /∆t [rad.s-2] Beispiel: Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit bei gleichförmiger Rotation von 3000 Upm ? 3000 ⋅ 2π ω= = 100π s −1 60 s Eine Schiebe mit dem Durchmesser von 23 cm rotiert mit 7000 Upm. Wie groß ist die Tangentialgeschwindigkeit am Rande ? 7000 ⋅ 2π = 733 s −1 ω= 60 s v = r ⋅ω v = 0.115 m ⋅ 733 s −1 = 84,3 ms −1 v =? Beispiel: Gleichförmige Rotationsbewegung Winkelgeschwindigkeit der Erde um ihre Achse. Periode T = 24 h Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit der Erde ? Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit am Äquator ? Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit am Nordpol ? Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit in Wien ? Beschleunigung bei Drehbewegungen Bewegung auf einer Kreisbahn, auch mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit ist eine beschleunigte Bewegung. Der Betrag der Bahngeschwindigkeit ist zwar konstant, aber ihre Richtung ändert sich. Jede Richtungsänderung des Geschwindigkeitsvektors ist mit einer Beschleunigung verbunden. P ∆ϕ Richtung der Bahngeschwindigkeit v ist in jedem Punkt P tangential zum Kreis. r ⋅ ∆ϕ ∆s ∆ϕ = lim = r ⋅ lim ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t v = lim vx v0 ⇒ v = r ⋅ω v1 v1 ∆ϕ ∆v v0 Verantwortlich für die Änderung der Geschwindigkeitsrichtung ist die Beschleunigung aZ = const. Sie wirkt senkrecht zur Bahngeschwindigkeit Ö Zentripetalbeschleunigung, deren Betrag lautet: 2 v aZ = v ⋅ ω = = r ⋅ω 2 r Beispiel: Zentrifuge Fz r FZ = m ⋅ aZ = m ⋅ r ⋅ ω 2 ω = 2πf Für die Beschreibung als Auftrieb wird Schwerkraft durch Zentrifugalkraft ersetzt. g rω 2 } Beschleunigung Beispiel: 100 Umdrehungen pro s mit 0,1 m Radius 9,81 m/s 2 (2π⋅100)2 ⋅ 0,1 m/s2 = 40.000m/s2 ρ ρ Dichteschichtung oder Sedimentation TRÄGHEITSMOMENT Zwei Zylinder haben die gleiche Masse, trotzdem beschleunigt der Hohlzylinder langsamer als der Vollzylinder. Warum ? Rotationachse d d Bei einem rotierenden Körper hat jeder Teil eine bestimmte Momentangeschwindigkeit. Jede bewegte Masse hat eine kin. Energie, daher besitzt ein rotierender Körper die Rotationsenergie. Um diese Energie bestimmen zu können, denken wir den Körper in Massenelemente dmi zerlegt. Im Abstand ri von der Rotationsachse hat jedes dmi eine Geschwindigkeit: v =r ⋅ i ω i Seine kinetische Energie beträgt: ∆mi ⋅ vi ∆mi ⋅ ri ⋅ ω 2 ∆Ek = = 2 2 2 2 Die gesamte Energie der Rotation ergibt sich durch die Summation (Integration) 2 2 2 2 ∆ m ⋅ r ⋅ ω ω ω ⋅I 2 i i aller Beiträge: E = = ⋅ m ⋅r = r ∑ i 2 2 ∑ i i i Trägheitsmoment Beispiele für div. Trägheitsmomente: I HZ = mR 2 IVZ 1 = mR 2 2 I HK 2 = mR 2 3 IVK 2 = mR 2 5 2 Drehimpuls r ω groß r ωklein Definition des Drehimpulses: r r J = I ⋅ω Der Drehimpuls ist in einem abgeschlossenem System konstant (Drehimpulserhaltung) I klein I groß Beispiel: Von der Erdoberfläche wird ein Körper 1 vertikal mit der Geschwindigkeit v0 geworfen. Simultan wird in der Höhe H ein Körper 2 mit der selben Anfangsgeschwindigkeit v0 hinunter geworfen. Höhe H=hMAX ist die maximale Wurfhöhe. In welcher Zeit und Höhe treffen sich die Körper ? Für Körper 2 gilt: Treffpunkt: s2 = v0t + t dv = adt ⇒ v = ∫ adt = at + v0 0 t t 1 s = ∫ vdt = ∫ (at + v0 )dt = at 2 + v0t + s0 2 0 0 Körper 1 (für max. Höhe gilt: v1=0) 1 2 gt und v1 = v0 − gt 2 2 v0 v0 = ⇒ hmax = H = g 2g s1 = v0t − t max 1 2 gt und v2 = v0 + gt 2 v0 1 2 1 2 s1 + s2 = H ⇒ v0t − gt + v0t + gt = 2v0t 2 2 2 v0 v0 = 2v0t ⇒ tTreff = Zugleich gilt: s1 + s2 = 2g 4g 2 h? 2 2 v0 1 ⎛ v0 ⎞ 7v0 1 2 ⎟⎟ = − g ⋅ ⎜⎜ s1 = v0t − gt = v0 ⋅ 2 4g 2 ⎝ 4g ⎠ 32 g v0 1 Gegenüberstellung zwischen Translationsbewegung und Rotation Weg s Winkel ϕ Geschwindigkeit v=ds/dt Winkelgeschw. ω=dϕ/dt Beschleunigung a=dv/dt Winkelbeschl. α=dω/dt Kinetische Energie EKIN=mv2/2 Rotationsenergie ER=Iω2/2 Masse m Trägheitsmoment I Kraft F=m.a Drehmoment M=I.α Impuls p=m.v Drehimpuls J=I.ω Reibungskräfte Bis jetzt haben wir stets Reibungskräfte vernachlässigt. Bei der Betrachtung der Kräfte spielt aber die Reibung eine wichtige Rolle. Verschiebt man Körper gegeneinander, so werden, unabhängig vom vorliegenden Aggregatzustand, Reibungskräfte wirksam. Äußere und innere Reibung äußere: Reibung zwischen den Außenflächen fester Körper innere: Fluidreibung, d.h. Reibung zwischen Fluidteilchen (Zähigkeit / Viskosität) Zwischen den Berührungsflächen zweier Körper treten Reibungskräfte auf. Sie sind der Bewegungsrichtung stets entgegengesetzt. v FR F FN -FN Mikrostruktur der Oberflächen Haftreibung r F reale, rauhe Oberfläche r r FN = FG FR = µ r ⋅ FN Experimenteller Test von FR = µR·FN F > FR r FN F > FR r FN F > 2FN r 2FN Messung von µR ααRR==Winkel Winkelbeim beim Losrutschen Losrutschen m r FR r FN αR αR Gleitreibung r FG r r FN = FG FR tan α = FN r mg r v FG = µ ⋅ FN reale, rauhe Oberfläche r r FG < FR Vergleich der Reibungskräfte Haftreibungskraft (FR) FR = µr • FN FN = FG v=0 F FR Haftreibungszahl FN = FG Gleitreibungskraft (FR) FG = µ • FN Gleitreibungszahl v FG F Reibungskoeffizienten einiger Stoffpaare Material Haftreibungszahl Gleitreibungszahl trocken geschmiert trocken geschmiert Gummi- Beton 0.65 0.3 0.25 0.1 Stahl- Stahl 0.18 0.10 0.05 0.009 Stahl- Holz 0.5 0.1 0.3 0.02 0.3 0.003* Knochen- Knochen *geschmiert durch die Synovialflüssigkeit
