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Biologische Physik 1
(Physik für Biologen)
EINFÜHRUNG – Was ist Physik, wozu Physik, Messgrößen und
Messfehler
MECHANIK – Bewegungen, Kraft, Masse, Arbeit, Energie, Impuls,
Drehbewegung, Reibungskräfte
Zwischen Belebtem und
Unbelebtem
„Immer wieder haben sich Physik und
Biologie in der Vergangenheit
getroffen, aber auch wieder
voneinander entfernt.
Gerade in den letzten Jahrzehnten sind
sie sich zunehmend näher gekommen,
so dass eine enge und fruchtbare
Zusammenarbeit entstanden ist“.
„Die Physik ist die Wissenschaft der
unbelebten Materie. Doch führen
physikalische Entdeckungen immer
wieder zu Entwicklungsschüben in der
Biologie und Medizin, den
Wissenschaften vom Leben“.
(aus „Welt der Physik“, DPG)
Lotuseffekt
Mikro- und Nanostrukturierte hydrophobe
Oberflächen sind selbstreinigend !
Die Ursache des Effekts liegt in der besonderen
Oberflächenstruktur der Pflanzen.
Durch die Oberflächenstruktur der Pflanzen
werden gegenüber Wasser riesige
Kontaktwinkel erreicht (Superhydrophobie) nur etwa 2 bis 3 % der Tropfenoberfläche haben
Kontakt mit der Oberfläche der Pflanze, so dass
das Wasser leicht abperlen kann. Aufliegende
Schmutzpartikel werden dadurch mitgerissen
und weggespült.
Wassertropfen haben wie alle Flüssigkeiten die
Tendenz zur Minimierung ihrer Oberfläche →
Oberflächenspannung.
Heute werden mittels Nanotechnologie
superhydrophobe Beschichtungen etwa für
Hochhäuser verwendet.
Aus Protein erzeugt – elastischer „Biostahl“
- Spinnennetz
Fadenstärke – ca. 1 – 3 Mikrometer
Hier
wirken
Kräfte !
Besitzen größere Festigkeit uns sind elastischer
als vergleichbare Objekte aus Edelstahl
Druckfestigkeit von Eichenholz – ca. 50N / mm2
Zugfestigkeit von Spinnenseide – ca. 150N / mm2
Horizontaler Wurf
Wurfweite (m)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0
-1
Höhe (m)
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
Als Schleuderfrüchte werden Früchte bezeichnet, die durch
Schleudereinrichtungen ihre Samen in einem weiten Umkreis um die
Mutterpflanze verbreiten. Die Samen werden von der reifen Frucht
fortgeschleudert. Der Sumpf-Storchschnabel liegt bei einer
Wurfweite von rund 2,50 m. Gegen das Ende der Messlatte liegen
Lupine (7,00 m), Stachelbärenklau (9,50 m), Zaubernuss (15,00 m).
Die ersten Mikro- und Nanomotoren wurden von der
Natur „gebaut“ - Flagellum
Rotationsgeschwindigkeiten –
einige Hundert bis Tausend
Umdrehungen / Minute
„Reise“-Geschwindigkeiten –
etwa 20 Mikrometer / Sekunde
Flagellum Rotor: Access
Research Network (Art Battson)
Weibel, D.B. et al. (2005): Microoxen: microorganisms to move microscale
loads. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 102: 11963–11967
Physik und ihre Aufgabe
Physik ist die Wissenschaft von den Naturdingen (gr. - φυσικα), also
eine Naturwissenschaft.
Physik beschäftigt sich mit der Beobachtung der unbelebten Natur,
obwohl viele Erkenntnisse und Gesetzmäßigkeiten auch in der
belebten Natur Anwendungen finden.
Physik führt Konzepte wie etwa Länge, Masse, Zeit oder Temperatur
ein und definiert diese über bestimmte Messvorschriften. Diese so
genannten Grund- oder Basisgrößen sind von unseren Erfahrungen
inspiriert.
Physik ist eine Erfahrungswissenschaft. Sie bezieht ihre
Erkenntnisse aus Beobachtungen und einer Interaktion:
Experiment – Modell – Simulation – Theorie.
Physik ist eine quantitative Wissenschaft – die Merkmale der
beobachteten Vorgänge werden Größen genannt.
Gründer der klassischen Physik
Galileo Galilei (1564- 1642)
Isaac Newton (1642-1727)
Professor für Mathematik,
Physiker
Professor für Mathematik
und Physik, Cambridge
Fall-, Wurf- und Pandelgesetze,
Zeitmessung
Mechanik (Axiome)
Astronomische Beobachtungen
Folgerung über die Bewegung der
Erde
Gravitationsgesetze
Optik
Infinitesimalrechnung
Beobachtung
Beobachtung //
Erforschung
Erforschung der
der Natur
Natur
Physik
Physik
Sprache der Physik: Mathematische Formulierungen
↔
Differential
Differential//Integralrechnung
Integralrechnung
Lineare
LineareAlgebra
Algebra
• Einsteinsche
Relativitätstheorie
↔
Differentialgeometrie
Differentialgeometrie
• Quantenmechanik
↔
Funktionalanalysis
Funktionalanalysis
• Quantenfeldtheorie
↔
• Newtonsche (klassische)
Mechanik
Gruppentheorie
Gruppentheorie
Topologie
Topologie
Täuschung-Messung ⇔ Objektive Aussage
Täuschung-Messung ⇔ Objektive Aussage
Täuschung – Messung ⇔ Objektive Aussage
Konzentriere Dich auf das Kreuz in der Mitte. Was passiert mit den
rosa Punkten ?
Täuschung - Messung ⇔ Objektive Aussage
Täuschung-Messung ⇔ Objektive Aussage
Mondgröße
Der Mond (Sonne) scheint knapp über dem
Horizont wesentlich größer zu sein als im
Zenit.
Wesentlich für die korrekte Größenwahrnehmung eines Gegenstandes ist die
ebenso korrekte Information über dessen
tatsächliche Entfernung zum Beobachter
Da zwischen Mond am Horizont und
Betrachter viel mehr Gegenstände (Bäume,
Häuser, etc.) liegen („Tiefeninformation“)
als zwischen Mond oben am Himmel und
Betrachter,
wird
die
Entfernung
fälschlicherweise als größer eingeschätzt,
bei größerer Entfernung und gleich großer
Abbildung auf der Netzhaut müsste der
Gegenstand aber größer sein, und somit
wird der Mond oder auch die Sonne am
Horizont auch größer wahrgenommen
(Größentäuschung).
Masse → 2 kg; Länge → 7 m
Messgrößen
Physikalische Größe
Einheit
→
Zahl und (Maß)-Einheit
willkürlich: Armlänge, Äquatorlänge,...
gegeben durch Normale
natürlich:
Maßsystem
→
Wellenlänge von Spektrallinien, ...
gegeben durch Naturgesetze
Menge von Grundgrößen mit Einheiten
Basisgrößen
Grundgrößen
(Definition willkürlich / natürlich)
Reduzible Größen
(Zurückführbar auf Basisgrößen)
GRUNDGRÖSSEN (7 + 2)
Radiant
Der Radiant (rad) - ebener Winkel zwischen zwei Radien eines Kreises, die
aus dem Kreisumfang einen Bogen der Länge des Radius ausschneiden.
Steradiant
Der Steradiant (sr) - räumlicher Winkel, dessen Scheitelpunkt im
Mittelpunkt einer Kugel liegt und der aus der Kugeloberfläche eine Fläche
gleich der eines Quadrats von der Seitenlänge des Kugelradius
ausschneidet.
Grundgrößen
Si-Einheit
Größe
Zeit
Länge
Masse
Zeiche
n
s
m
kg
Name
Definition
Sekunde
1 s ist die Zeit für 9192631770
Perioden einer bestimmten
Schwingung des Isotops von
Cs-133
Meter
1 m ist die Strecke, die das
Licht im Vakuum in der Zeit
von 1/299792458 s zurücklegt
Kilogramm
Ur-Kilogramm, aufbewahrt im
Bureau International des
Poids et Mesures in Paris
Sèvres
Grundgrößen
Si-Einheit
Größe
Stromstärke
Lichtstärke
Zeiche
n
A
cd
Name
Definition
Ampere
Die Stromstärke in zwei
parallelen Leitern im
Abstand von 1m beträgt 1
A, wenn die Ströme,
bezogen auf die Länge 1m,
die Kraft 2 .10-7 N
aufeinander ausüben
Candela
Lichtstärke, die monochrom. Strahlung mit der
Frequenz 540 · 1012 Hz mit
einer Leistung von 1/683
Watt pro Steradiant
aussendet.
Grundgrößen
Si-Einheit
Größe
Temperatur
Stoffmenge
Zeiche
n
K
mol
Name
Definition
Kelvin
Zwischen dem Nullpunkt der
thermodynamischen
Temperaturskala (absoluter
Nullpunkt) und dem
Tripelpunkt des Wassers
liegen 273,15 K
Mol
1 mol eines Stoffes enthält so
viele Teilchen, wie Atome in
0,012 kg des Kohlenstoff C-12
enthalten sind.
NA = 6,022x1023
Die 11. Generalkonferenz für Maß und Gewicht hat zwei
ergänzende SI-Einheiten festgelegt:
Bogenmaß: φ [ rad ]
1 rad
= s/r
= 1 Radiant
r
s∝r
φ
Gradmaß: 1 Grad
= 1° = ( 2π / 360 ) rad
1 Minute = 1' = 1° / 60
1 Sekunde = 1'' = 1' / 60
r
Kreisumfang = 2π r ⇒ Vollkreis hat 2π rad bzw. 360°
Kugelfläche
Ω
Raumwinkel: Ω [ Sterad ] = A /r2
1 sr
= 1 Steradiant
Kugelfläche = 4π r2 ⇒ Vollkugel hat 4π sr
A ∝ r2
r
Abgeleitete Größen
⇓
mathematische Kombination von Grundgrößen
Dimension: Maßeinheit der abgeleiteten Größe
Beispiel: Geschwindigkeit v = d ( Länge ) / d ( Zeit ) = dx / dt
[
Distanz] m
Dimension: [v] =
= = ms −1
[Zeit] s
⇒
⇒Konsistenztests
Konsistenztestsvon
vonGleichungen:
Gleichungen:
9
9 Haben
Habenalle
alleSummanden
Summandendie
diegleiche
gleicheDimension
Dimension??
9
9 Haben
Habenbeide
beideSeiten
Seitender
derGleichung
Gleichungdie
diegleiche
gleicheDimension
Dimension??
Weitere Beispiele:
Aus Einheiten können Vielfache der Einheiten durch
Multiplikation mit Faktoren gewonnen werden.
0.01 m = 10 cm = 10 mm = 10000 µm
0.000000001 m = 1 nm, oder
1 pm = 1.10-12m
Messgenauigkeit und Messfehler
(Genaueres wird vor dem Praktikum angeboten)
Eine Messung beruht auf einem quantitativen Vergleich der Messgröße
mit einem Standard (Normal).
Dadurch erhält man einen Informationsgewinn über den Istwert eines
Messobjekts.
Jede Messung ist mit einem Fehler behaftet.
Beispiel: In einer Flüssigkeit mit suspendierten Teilchen soll die Anzahl pro
cm3 bestimmt werden. Dies kann z.B. durch Betrachtung eines kleinen
Volumens (Mikroskop) und Auszählung bestimmt werden. Inhalt des
Volumens ist 0.0025mm3, oder 2.5 x10-6 cm-3. Die Flüssigkeit enthalte im Mittel
1000000 cm-3.
Im Messvolumen gibt es im Mittel 1000000 x 2.5 x10-6 = 2.5 Teilchen.
Messung A: 2 Teilchen, daraus folgt: 2 Teilchen / Messvolumen = 800000 cm-3
Messung B: 3 Teilchen, daraus folgt: 3 Teilchen /Messvolumen = 1200000 cm-3
Geringe Anzahl von Teilchen → große statistische Schwankung:
Ergebnis ⇒ Anzahl ± Anzahl
Messgenauigkeit und Messfehler
A: (800000 ± 560000) cm-3, oder 800000 cm-3 ± 70%
B: (1200000 ± 680000) cm-3, oder 1200000 cm-3 ± 57%
Bemerkung: 1. Schlechte Messgenauigkeit, weil zu wenige Teilchen;
2. Ergebnisse annehmbar, weil sich die Fehlerbereiche überschneiden.
Messung
Messung == Messwert
Messwert xx ±± Fehler
Fehler σσ
• Übliche Wahl: Fehler = Standardabweichung σ
•[ x −σx, x +σx ]
:
Vertrauensbereich
Beispiel:Gaußfehler: 68,3 % der Messungen innerhalb ± σ
31,7 % liegen außerhalb!!!
• Fehlertypen: statistisch / systematisch
Statistische ( bzw. zufällige ) Fehler:
→ Auflösung der Apparatur / Skala
→ Statistische Fluktuation ( z.B. Zerfallsrate )
→ Rauschen ...
Messungen: x1 , x2 , ... , xn
Mittelwert:
1 n
x = ∑ xk
n k =1
jeweils mit Fehler ± σ
⇒
σ
σx =
n
Statistische
Statistische Fehler
Fehler sind
sind durch
durch Wiederholung
Wiederholung
der
der Messung
Messung beliebig
beliebig reduzierbar
reduzierbar
Beispiele für systematische Fehler:
→ Falscher Nullpunkt der Apparatur
→ Fehlkalibration der Skala
→ Unsicherheiten in Korrektur von Störeffekten
Systematische
Systematische Fehler
Fehler sind
sind i.a.
i.a. nicht
nicht durch
durch
Wiederholung
Wiederholung der
der Messung
Messung reduzierbar
reduzierbar
Skalare Größen (Skalare)
• Sie sind durch Zahlenwert und Einheit vollständig definiert. Skalare
sind z. B. Zeit (t = 0.8 s), Masse (m = 55 kg), Temperatur (T = 303 K).
• Zahlenwerte sind reelle Zahlen, Temperaturangaben in Kelvin sind
Immer positiv
Vektorielle Größen (Vektoren – physikalische Größen mit
Richtungssinn)
• Sie sind durch Zahlenwert, Einheit und Richtung vollständig
definiert. Vektoren sind z.B. Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft
• Variablen, die für Vektoren stehen, werden häufig mit einem Pfeil
gekennzeichnet
r
r
r
r = x2 + y2 + z 2
ist der Betrag (Länge) eines Vektors
Bezugssysteme
Galilei formulierte die umstrittenen Frage, ob sich
eine Kugel an Bord eines fahrenden Schiffes in
Bewegung oder in Ruhe befinde. Seine Analyse
lautete, dass die Beantwortung der Frage von der
Position des jeweiligen Beobachters abhängt: ein
Beobachter, der sich ebenfalls an Bord des
Schiffes befindet, sieht die Kugel in Ruhe,
während ein Beobachter am Ufer die Kugel sich
zusammen mit dem Schiff bewegen sieht. Die
Eigenschaft, in Bewegung zu sein, ist demnach
keine, die der Kugel alleine zukommt, sondern
hängt von der Wahl des Bezugssystems ab.
Für die Betrachtungen im Rahmen dieser
Vorlesung werden wir meistens Erde als
Bezugsystem benutzten und annehmen, dass die
Erde ruht. Dies ist zwar nicht richtig, für die
meisten Überlegungen hier ist es jedoch eine
akzeptable Annahme.
3 D Kartesisches
Koordinatensystem
Geschwindigkeit
A.Gleichförmige geradlinige Bewegung
Diese Bewegung ist gegeben wenn in gleichen Zeiten gleiche Wege
zurückgelegt werden.
r
r
r
r r (t 2 ) − r (t1 ) ∆s
v=
=
t 2 − t1
∆t
Z
r
r (2s)
X
t=2s
r
∆s2
r
r (1s )
r
r (0 s )
r
∆s1
t=0s
t=1s
Y
[
r ⎡m⎤
[v ] = ⎢ ⎥ = m ⋅ s −1
⎣s⎦
]
Graphische Darstellung der Bewegung im Weg – Zeit – Diagramm
Weg-Zeit-Diagramm
r
r ∆s
v=
∆t
Umrechnung zwischen den gebräuchlichen Geschwindigkeitseinheiten
m/s und km/h :
1 km/h = 1000m : 3600s = (1 : 3,6) m/s = 0,277 m/s
Graphische Darstellung der Bewegung im Weg – Zeit – Diagramm
s [m]
Fall 2: Gleichförmige Bewegung
Fall 1 und 3: Ungleichförmige Bewegung
3
Mittlere Geschwindigkeit:
r
r
∆s BC
vM =
=
∆t AB
2
Wir erkennen, dass wir die Geschw.
bei ungleichförmiger Bewegung um
so genauer angeben können je
kleiner Zeiten und Wege gewählt
werden. Mit
C
P
1
∆s
∆s → 0 und
α
Erhalten wir im Punkt P
Momentangeschwindigkeit:
B
A
∆t → 0
∆t
t [s]
r
r ds
v=
dt
Vergleich der mittleren Geschwindigkeiten
(Näherung)
Objekt
Geschwindigkeit
Schnecke
0,0008 m/s ≈ 0,003 km/h
Maulwurf
(Graben) 0,002 m/s ≈ 0,008 km/h
Maulwurf
(Laufen)1,1 m/s ≈ 4 km/h
Fußgänger
1,5 m/s = 5,4 km/h
Biene
6,5 m/s ≈ 23 km/h
Brieftaube
20 m/s = 72 km/h
Schwalben
60 m/s ≈ 220 km/h
Erde (Umlaufbahn)
29.800 m/s ≈ 107.000 km/h
Licht (Vakuum)
299.792.458 m/s ≈ 1.080.000.000 km/h
Beschleunigung
Ändert sich die Geschwindigkeit, so wirkt eine Beschleunigung (bzw.
Abbremsung). Wenn z.B. ein Skispringer startet ist seine Anfangsgeschw.
v1=0 m/s. Am Schanzentisch ist seine Geschwindigkeit v2=28 m/s. Wie
groß war seine Beschleunigung ?
r
r
r
r v (t ) − v (t1 ) ∆v
=
a= 2
t2 − t2
∆t
⎡ m ⋅ s −1 ⎤ ⎡ m ⎤
[a ] = ⎢
⎥=⎢ 2⎥
⎣ s ⎦ ⎣s ⎦
v
Momentanbeschleunigung
r
r
r
∆v dv
=
a = lim ∆t →0
dt dt
Geschw.-Zeit:Diagramm
a<0
a>0
t1
t2
t3
t
Freier Fall
Bewegung mit konstanter Beschleunigung.
Hier wird ein frei fallender Körper immer
schneller. Warum ?
g=
Experimente: Fallschnüre, div. Objekte im
Vakuum
r r
r r
v = a ⋅ t; a = g
ds
v=
dt
dv d 2 s
a=
= 2
dt dt
t
dv = adt ⇒ v = ∫ adt = at + v0
0
t
t
1
s = ∫ vdt = ∫ (at + v0 )dt = at 2 + v0t + s0
2
0
0
g
Fundamentalgleichungen der Kinematik
Freier Fall:
v = gt
g 2
s= t
2
Fallschnüre zur Bestimmung des Fallgesetzes
Kugeln
jeweils
im
Abstand
12:22:32:42
Kugeln
in
gleichem
Abstand
1:2:3:4
h3
h4
h3
Ergebnis:
Die Kugeln
Schlagen in
gleichen Zeitintervallen auf !
⇒ h ∝ t2
h2
h1
h2
h1
1 2
⇒ h = gt
2
Zusammensetzung von
Bewegungen
Führt ein Körper mehrere
Bewegungen aus, so ergibt sich
die Gesamtbewegung durch die
Addition der Einzelbewegungen
und der Gesamtweg durch die
vektorielle Addition der einzelnen
Wege, die Gesamtgeschwindigkeit
durch die Addition der einzelnen
Geschwindigkeiten.
vB
Re
C=
B
+
A
A
B
vF
igkeit
d
n
i
w
h
sc
nde Ge
e
r
e
i
lt
u
s
vF
vB
http://www.univie.ac.at/future.media/moe/index.html
http://www.mathe-online.at/materialien/Andreas.Pester/files/Vectors/index.htm
Addition und Zerlegung der Kräfte
Treten mehrere Kräfte auf so muss die Summe der Kräfte durch die
vektorielle Addition gebildet werden. Ist die Summe aller in einem
Punkt angreifenden Kräfte gleich Null, so herrscht ein Gleichgewicht.
r r r
A+ B +C = ?
r r r
r r r
A+ B = P
P+C = R
Beispiel:
A
P
R
B
C
Horizontaler Wurf
horizontal:
x
x = v0t ⇒ t =
v0
vertikal:
2
g 2 g x
y= t =
2 v02
2
y=1.5m, v0=3m/s: x=1.6m
g = 9.81
m
m
10
≈
s2
s2
Senkrechter Wurf
s = v0t −
1 2
gt
2
maximale Höhe:
ds
= v0 − gt = 0
dt
v0
t max =
g
v02
smax =
2g
Schräger Wurf
v x = v0 cos α
v y = v0 sin α
x = v0 cos α ⋅ t
1 2
y = v0 sin α ⋅ t − gt
2
g
x2
y = tan α ⋅ x −
2 vo2 cos 2 α
α
y H = v y ⋅ t max = v 0 sin α ⋅
v02 sin 2 α
Wurfhöhe: y H =
2g
v02 sin 2α
Wurfweite: xW =
g
v0
g
x W = v x ⋅ 2 t max = v 0 cos α ⋅ 2
vy
g
= v 0 cos α ⋅ 2
v 0 sin α
g
KRAFT und MASSE
Konzept einer Kraft:
Kraft ist eine Fähigkeit, etwas zu bewirken.
Als physikalischer Begriff bezeichnet Kraft
die Fähigkeit die Bewegung eines Körpers zu ändern (Richtungsänderung,
Beschleunigung, Abbremsung) oder auch einen Körper zu verformen.
Es gibt viele Arten von Kräften z.B: elastische Kraft, Reibungskraft,
Federkraft, elektrische Kraft, Schwerkraft (Gravitation), .....
Auf G. Galilei Erkenntnissen basieren formulierte I. Newton 1668 in „Principia
Mathematica“ das Trägheitsprinzip (1. Axiom):
Ein Körper verharrt in seinem
Zustand der Ruhe oder der
gleichförmigen, geradlinigen
Bewegung, solange die Summe aller
auf ihn einwirkenden Kräfte Null ist.
Eine Änderung dieses Zustandes ist nur durch
eine Kraft (Reibung, Gravitation, ..) möglich.
Einige Beispiele und Überlegungen:
Eishockeypuck erreicht Geschwindigkeiten von
über 45 m/s. Reibungsfreie Eisfläche würde eine nie
endende Fortbewegung mit sich bringen.
Ein Körper der keiner Wechselwirkung wie Reibung
(oder Gravitation) unterliegt, ist etwa im Weltraum
vorstellbar - einmal in Bewegung, setzt ein Körper
diese geradlinig, mit konstanter Geschwindigkeit
fort.
Eine Kraft könnte in solchen Fall die Objektgeschwindigkeit beeinflussen, z.B. beschleunigen.
Es zeigt sich aber, dass auch wenn externe Einflüsse (z.B. Reibung) fehlten,
eine Initiierung der Bewegung eines Körpers von einer internen Eigenschaft
des Körpers, von seiner Trägheit, abhängt. Bei großer Trägheit ist diese
Initiierung der Bewegung schwieriger, so aber auch die Abbremsung.
Sichtlich ist Trägheit eines Körpers proportional zur Masse.
Kraft F
Kraft ist also die Ursache einer Beschleunigung, sie ist auch
proportional zu der Beschleunigung. Wieder auf G. Galilei Experimenten
aufbauend formulierte I. Newton sein 2. Axiom – das Aktionsprinzip:
Die Änderung der Bewegung einer Masse ist der
Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und
geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie,
nach welcher jene Kraft wirkt.
r r r
r
r
r
F ∝ a; F = m ⋅ a; FG = m ⋅ g
r
m
F = 1kg ⋅ 2 = 1N ( Newton)
s
[]
Es gibt eine große Zahl von div. Kräften, sie lassen sich aber in 2 Gruppen
einteilen: Kontaktkräfte mit Reichweite von etwa 10-10m (Reibungs-,
Stoßkräfte,..) und Fernwirkung (Gravitations-, elektrische und magn. Kräfte)
Die Beobachtung, dass Kräfte immer bei Wechselwirkungen auftreten,
bedeutet auch dass zu jeder Kraft eine Gegenkraft existieren muss. Die
hat Sir Isaac Newton folgendermaßen formuliert:
Das Reaktionsprinzip
Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf
einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt
eine gleichgroße, aber entgegengerichtete Kraft von
Körper B auf Körper A (reactio).
r
r
FA→ B = − FB → A
Schwerkraft
• Bekannteste Kraft auf unserem Planeten
• Frei fallender Körper führt eine gleichmäßig beschleunigte
Bewegung aus mit der konstanten Beschleunigung g=9.81 m/s2.
r
r
• Die Beschleunigung ist durch die Schwerkraft F G = m ⋅ g
hervorgerufen.
• Die Schwerkraft steht normal auf die Erdoberfläche
• Eine Masse von 1 kg wird von der Erde mit der Kraft
von 9.81 N angezogen.
Beobachtung von G. Galilei:
Eisen- und Holzkugel mit dem gleichen
Durchmesser geworfen von Turm in Pisa erreichen
den Boden gleichzeitig. Warum ?
50 m
• Diese Kraft wird auch Gewicht genannt.
Newton‘sche Erklärung:
Schwerere Gegenstände haben auch größere Trägheit. Die
Eisenkugel wird von der Erde mit etwa 10-facher Kraft im
Vergleich zu der Holzkugel angezogen, aber ihre Trägheit ist
auch 10 mal so groß.
Also Trägheit und Gewicht sind beide proportional zu Masse.
Wodurch unterscheiden sich dann diese beiden Eigenschaften
der Masse ?
Die Trägheit ist eine
inhärente Eigenschaft der
Masse, das Gewicht ist von
der Gravitationskraft
(Schwerkraft) abhängig. Ein
Mensch mit 100 kg (Erde)
würde auf dem Mond nur
etwa 17 kg wiegen.
100 kg ??
17 kg !!
GRAVITATIONSGESETZ
Das newtonsche Gravitationsgesetz besagt, dass sich die Gravitationskraft
F, mit der sich zwei Massen m und M anziehen, proportional zu den
Massen beider Körper und umgekehrt proportional zum Quadrat des
Abstandes r der Massenschwerpunkte verhält:
m⋅M
F =G⋅ 2
r
r ↑⇒ F ↓
Die Gravitationskonstante, meist durch das Formelzeichen G dargestellt,
ist eine von Isaac Newton eingeführte Universalkonstante, die bei
bekanntem Abstand zweier, massiver Objekte deren gegenseitige
Massenanziehungskraft bestimmt.
3
G ≈ 6.67 ⋅10
−11
m
kg ⋅ s 2
Danach ist die Gravitationskraft eine Wechselwirkung - nach dem dritten
newtonschen Axiom wirkt die Kraft sowohl auf die erste als auch auf die
zweite Masse, aber jeweils in der entgegengesetzter Richtung.
Gravitationskonstante G - Streuung der Messwerte
Die Gravitationskonstante G führt über das Gravitationsgesetz zur
Masse M und zur mittleren Dichte ρ des jeweiligen Körpers (z. B. der
Erde), sofern der mittlere Radius und die Oberflächenbeschleunigung
g bekannt sind:
Mm
M
G 2 = mg ; ρ =
V
RE
ρ=
RE
3g
4π ⋅ G ⋅ RE
kg
ρ E ≈ 5.5 ⋅ 10 3
m
3
Kräftezerlegung auf der schiefen Ebene
Eine schiefe Ebene ist eine ebene
Fläche, die gegen die Horizontale
geneigt ist. Sie wird z.B. verwendet,
um den Kraftaufwand zur
Höhenveränderung einer Masse zu
verringern.
Die Gewichtskraft FG einer Masse, die
sich auf einer Schiefen Ebene befindet,
wird in zwei Komponenten zerlegt, die FT
parallel zur Oberfläche der schiefen
Ebene und die FD normal zur Oberfläche.
Da die Normalkraft bereits von der
schiefen Ebene selbst getragen wird,
muss, um die Masse im Gleichgewicht zu
halten, lediglich die treibende Kraft FT
ausgeglichen werden.
FT = FG ⋅ sin α
FD = FG ⋅ cos α
α
FT
fz
ff
FG
FD
ARBEIT, ENERGIE UND LEISTUNG
Begriff „Arbeit“ ist im allgemeinen für
körperliche oder Geistige Aktivität benutzt. Wir
sehen uns zunächst den einfachsten Fall der
mechanischen Arbeit.
Mechanische Arbeit W wird verrichtet wenn
ein Körper entgegengesetzt zu einer
wirkenden Kraft bewegt wird.
m
FG = m ⋅ g
FG = F
m
FG = m ⋅ g
Also in diesem Fall gilt:
ARBEIT = KRAFT * WEG
r r r r
W = F ⋅ h = F ⋅ h ⋅ cos α
r
r
α ...Winkel zw.( F und h )
[W ] = [kg ⋅ m ⋅ s −2 ⋅ m] = [1N ⋅ m] = [1J ]
[1J ] ⇒ 1 Joule
h
Welche
Fähigkeit hat
nun ein auf
die Höhe h
gehobener
Körper ?
Der Körper hat nun das Potenzial Arbeit zu verrichten, er besitzt eine
potenzielle Energie:
E pot = FG ⋅ h = m ⋅ g ⋅ h
Da in Ruhe keine Arbeit geleistet werden kann, kann der
Körper beim Runterfallen von der Höhe h die aufgewendete
Arbeit abgeben. Jetzt wird aber die potenzielle Energie in
Bewegungsenergie, kinetische Energie, umgewandelt:
g ⋅t2
h=s=
2
W = FG ⋅ h = m ⋅ g ⋅ h
und
1
W = m ⋅ g ⋅ ( g ⋅ t )2
2
weil v = g ⋅ t
Die kinetische Energie wird beim
Auftreffen wieder Umgewandelt in
andere Energieformen, z.B. Wärme,
Deformation. Die Einheit [J] bleibt
gleich.
Ekin
1
= m ⋅ v2
2
Die Arbeit kann in einem Kraft – Weg Diagramm
dargestellt werden. Sie ergibt die Fläche eines
Rechtecks mit den Seiten: mg und h.
Zur Überwindung der Höhe h kann auch eine
schiefe Ebene verwendet werden. Die Hubarbeit
ist nun entlang eines längeren Weges s=h / cosϕ
zu leisten.
FS =
ϕ
F •c
F
os
ϕ
h
0
0
W = ∫ F ⋅ ds = F ∫ ds = F ⋅ h
F [N]
W=F•h
Weg [m]
Beispiel:
Heben einer Masse von 10 kg um 3 m
erfordert eine Arbeit von 10 kg⋅10 m/s2 ⋅3 m =
300 J.
s
h
FG
h
α
r r
W = F ⋅ cos ϕ ⋅ s = F ⋅ s
Verschieben einer Masse von 10 kg um 3 m
auf der schiefen Ebene mit einer Neigung
von 30° erfordert eine Arbeit von
mg⋅s⋅cos60° = 150 J.
Höhengewinn = 3m⋅ cos60° = 1.5 m
r
Arbeit = Skalarprodukt des Kraftvektors
r F
mit dem Vektor der Verschiebung s
Beispiel:
Arbeit zur Beschleunigung eines Wales von 100 t von Ruhe auf 8 m / s:
mv 2 100000 kg ⋅ 82 m 2 s −2
W=
=
= 3200000 J = 3200 kJ
2
2
Täglich vom Menschen aufgenommene Energie (Nahrung) ~ 10000 kJ. Bei
einem Wirkungsgrad von 32% (d.h. 32% der Nahrungsenergie stehen für diese
Arbeit zur Verfügung) könnte der Wal einmal pro Tag auf 8 m / s beschleunigt
werden.
Bei Körperlicher Tätigkeit merkt man, dass bei gleicher Arbeit die Ermüdung
umso schneller eintritt, je kürzer die Zeit in der die Arbeit verrichtet wurde.
Man hat unterschiedliche Leistungen vollbracht.
Dies hilft uns die Leistung zu definieren:
W
⎡ J⎤
P = ; [P ] = ⎢1 ⎥
t
⎣ s⎦
verrichtete Arbeit
Leistung =
Zeit
Aus dieser Definition kann der bekannte
Begriff der Kilowattstunde (kWh) ermittelt
werden. Leistung mal Zeit = Energie.
1 kWh = 1000W ⋅ 3600 s = 3,6 ⋅106 J = 3,6 MJ
ERHALTUNGSSÄTZE
Unter einer Erhaltungsgröße versteht man eine Größe, die für die an einer
Wechselwirkung beteiligten Teilchen vor und nach der Reaktion gleich ist
(also erhalten bleibt). Eine der bekanntesten Erhaltungsgrößen der Physik
ist die Energie. Zu jeder Erhaltungsgröße gehört ein Erhaltungssatz, in dem
formuliert wird, welche Größe unter welchen Bedingungen erhalten bleibt.
Beispiel:
Fadenpendel – periodische Umwandlung von potenzieller in kinetische
Energie und umgekehrt, bei gleichzeitiger Erhaltung der Gesamtenergie
1 : Wges = W pot = mgh
1
3
2 : Wges = Wkin
E ges = E pot
h
v
2
E ges = Ekin
3 : Wges = W pot
mv 2
=
2
= mgh
WAnfangszust . = WEndzust .
x
y
Für viele physikalische Größen gelten Erhaltungssätze.
Ein Erhaltungssatz für eine Größe X bezieht sich stets
auf ein System, welches für diese Größe nach außen
abgeschlossen ist. Für eine andere Größe kann das
System offen sein.
IMPULS
In der Umgangssprache bedeutet der Impuls einen Antrieb etwas zu tun, in
Angriff zu nehmen oder zu unternehmen.
IMPULS (Physik)
Bewegt sich ein Körper der Masse m mit einer Geschwindigkeit v, so
kann dies durch eine Größe, den Impuls, beschrieben werden. Jeder
bewegte Körper trägt einen Impuls, den er bei Stößen oder durch
Kraftwirkungen ganz oder teilweise auf andere Körper übertragen
kann.
Der Impuls ist definiert als Produkt der Masse m eines Körpers und
dessen Geschwindigkeit. Impuls und Geschwindigkeit sind Vektoren:
r
r
r
ds
p = m⋅v = m⋅
dt
v1 = a1t =
F1
t
m1
r
F = m⋅a
v2 = a 2 t =
r r
v = a ⋅t
F2
t
m2
r
r
r
[ p] = 1 kg ⋅ m ⋅ s −1
p = m⋅v
r
r
m ⋅ v1 = F1 ⋅ t und m ⋅ v2 = F2 ⋅ t
r
r
es gilt : F1 = − F2
r
r
r r
p1 = − p2 oder p1 + p2 = 0
Impuls, Kraft und Geschwindigkeit sind Vektoren und weisen in die
gleiche Richtung.
Impulserhaltungssatz:
Für jedes abgeschlossene System bleibt der Gesamtimpuls konstant
*
1
v =?
*
v2 = ?
Zweidimensionaler Stoß gleicher Massen
Warum ist (θ +ϕ )=90° ?
θ
ϕ
θ …Streuwinkel
m1 = m2 = m
2
'2
'2
p1
p1
p2
E1 = E1 + E2 =
=
+
2m1 2m1 2m2
r
r' r '
p1 = p1 + p2 (→ quadrieren)
r ' r'
2
' 2
' 2
p1 = ( p1 ) + ( p 2 ) + 2 p1 ⋅ p 2
'
'
damit (a ) und (b) gelten muß :
r ' r'
r'
r'
p1 ⋅ p 2 = 0 ⇒ p1 senkrecht auf p 2
(a )
(b)
Wenn sich ein Körper (Massenpunkt) mit der Masse m translatorisch
mit der Geschwindigkeit v bewegt, so beschreibt man den Impuls als:
r
r
p = m⋅ v
Einheit: 1N · s oder 1kg · m · s-1
Durch eine Umformulierung des II. Newton´schen Axioms erhalten
wir:
r
r
r
r
r
dv d (m ⋅ v ) dp
F = m⋅a = m⋅
=
=
dt
dt
dt
Die Kraft F, die auf die Masse m wirkt, ist gleich der Impulsänderung
pro Zeiteinheit.
Die Größe:
r
r
F ⋅ dt = dp
wird als Kraftstoß bezeichnet.
Energieumsatz im menschlichen Körper
Um den Energieumsatz für ein ganzes Lebewesen zu analysieren, also die
Energie, die z. B. ein Mensch oder ein Tier benötigt, müssen einzelnen
Individuen einer Population bezüglich ihres Energiebedarfs je nach Alter,
Geschlecht, Gesundheitszustand, körperlicher Leistung oder umgebendem
Klima bewertet werden.
Biologische Organismen sind keine geschlossenen Systeme. Es findet
ständiger Stoff und Energieaustausch mit der Umgebung statt. Es stellt sich
dabei ein sog. Fließgleichgewicht ein. Dieses Gleichgewicht ist nur bei
ausreichender Energiezufuhr von Außen, je nach abgegebener Arbeit, oder
Leistung möglich.
Im Mittel nimmt der Mensch 9630 kJ /Tag = 2300 kcal /Tag auf. Das entspricht
einer Leistung von 110 W. Die Energie wird als potenzielle Energie auf der
molekularen Ebene zur Verfügung gestellt.
Bei der Umsetzung der Energie können bis etwa 30% als mechanische Arbeit
freigesetzt werden.
Nahrung
Energie kJ / g
Kohlehydrate
19
Fett
42
Alkohol
34
DREHBEWEGUNG
r
F
r
−F
r
−F
Keine Drehung
Drehung gegen Uhrzeigersinn
r
r
Das Drehmoment
r
F
Wir definieren:
r
F
Drehung wird stärker mit zunehmender
Kraft F.
Drehung wird stärker wenn der Hebelarm r
vergrößert wird.
Drehmoment M = Hebelarm r • Kraft F
r
r
r
F2
α
r
F1
α
r
F
Die wirkende Kraft F kann in 2
Komponenten zerlegt werden.
Nur die F1 Komponente erzeugt
ein Drehmoment M !!
M = r ⋅ F1 = r ⋅ F ⋅ sin α
Hebelarm r und Kraft F sind offenbar Vektoren. Auch das Drehmoment M ist
ein Vektor. M hängt nicht nur vom Betrag , sondern auch von der Richtung
der Kraft F ab. So müssen r und F als Vektorprodukt ausgedrückt werden !!!
r r r
M = r ×F
[M ] = 1Nm
(nicht Joule!)
r
M
VEKTORPRODUKT:
* Das Ergebnis ist ein Vektor, mit Richtung
senkrecht zu den beiden Ausgangsvektoren
* Der Betrag des Ergebnis-Vektors entspricht der
von den Ausgangsvektoren aufgespannten Fläche
* Betrag: „Produkt der Beträge beider Vektoren
und dem Sinus des Winkels zwischen den
Vektoren“
r
F
α
r
r
Hebelgesetz
r1 ⋅ F1 = r2 ⋅ F2
Obiges gilt nur, wenn die Kräfte im Winkel von 90° angreifen. Ist der Winkel
verschieden von 90°, so müssen die Kräfte in die einzelnen Komponenten
zerlegt werden, und nur die Komponente, die rechtwinklig vom jeweiligen
Arm wegzeigt, geht in die Rechnung ein.
Ein Hebel ist einer der wichtigsten Kraftwandler. Er dient, wie alle
mechanischen Maschinen dazu, Arbeit zu erleichtern, nicht zu sparen.
Denn die zu leistende Arbeit bleibt nach der Formel: Arbeit = Kraft . Weg
Das heißt, eingesparte Kraft geht auf Kosten des Weges, die zu leistende
Arbeit wird keineswegs weniger.
r1 ⋅ F1
=
r2 ⋅ F2
Beispiel:
Mit welcher Kraft muss der Muskel ziehen um
eine Masse von 2 kg halten zu können ?
L1=3 cm und L2=30 cm.
Ann.1.: Muskelkraft normal auf d. Unterarm.
Ann.2.:Muskelkraft unter 60° auf d. Unterarm
Die Masse m erzeugt ein Drehmoment:
2kg ⋅10ms −2 = 20 N
M = 20 N ⋅ 0.3m = 6 Nm
1
6 Nm
= 200 N
F1 =
0.03m
M = 20 N ⋅ 0.3m = 6 Nm
6 Nm
= 231N
F1 =
0.03m ⋅ sin 60°
2
ω
Drehung um eine Achse – Winkelgeschwindigkeit
Unter der Winkelgeschwindigkeit versteht man die
zeitliche Änderung des Drehwinkels bei einer Rotation:
∆ϕ
für ∆t → 0
ω=
∆t
dϕ
ω=
dt
Die Winkelgeschwindigkeit gibt an, wie schnell etwas
rotiert. Winkelgeschwindigkeit ist unabhängig von der
Entfernung von der Drehachse.
r
vT
ϕ
Die Einheit der Winkelgeschwindigkeit ist rad/s bzw. 1/s.
b=∆s=r. ∆ϕ
ϕ
b
∆s
∆ϕ
vT =
= r⋅
= r ⋅ω
∆t
∆t
vT
Kreisbewegung
Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit gilt
für Zeitintervalle ∆t:
∆ϕ = ω ⋅ ∆t
T sei die Zeitdauer für einen vollen Umlauf des
Massenpunktes P auf einer Kreisbahn, d.h.
Vektor r durchläuft einen Winkel 360o (bzw. 2π im
Bogenmaß), dann gilt:
Damit ergibt sich für die Winkelgeschwindigeit:
Winkelgeschwindigkeit ω auch
als Kreisfrequenz bezeichnet:
∆ϕ ∆t
=
2π
T
2π −1
ω=
s
T
[ ]
ω = 2π ⋅ν
Ändert sich ω in der Zeiteinheit ∆t (ungleichförmige
Rotationsbewegung)Ö Winkelbeschleunigung α = ∆ω
/∆t [rad.s-2]
Beispiel:
Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit bei gleichförmiger
Rotation von 3000 Upm ?
3000 ⋅ 2π
ω=
= 100π s −1
60 s
Eine Schiebe mit dem Durchmesser von 23 cm rotiert
mit 7000 Upm.
Wie groß ist die Tangentialgeschwindigkeit am Rande ?
7000 ⋅ 2π
= 733 s −1
ω=
60 s
v = r ⋅ω
v = 0.115 m ⋅ 733 s −1 = 84,3 ms −1
v =?
Beispiel: Gleichförmige Rotationsbewegung
Winkelgeschwindigkeit der Erde um
ihre Achse. Periode T = 24 h
Wie groß ist die
Winkelgeschwindigkeit der Erde ?
Wie groß ist die
Bahngeschwindigkeit am Äquator ?
Wie groß ist die
Bahngeschwindigkeit am Nordpol ?
Wie groß ist die
Bahngeschwindigkeit in Wien ?
Beschleunigung bei Drehbewegungen
Bewegung auf einer Kreisbahn, auch mit einer
konstanten Winkelgeschwindigkeit ist eine
beschleunigte Bewegung. Der Betrag der
Bahngeschwindigkeit ist zwar konstant, aber ihre
Richtung ändert sich. Jede Richtungsänderung
des Geschwindigkeitsvektors ist mit einer
Beschleunigung verbunden.
P
∆ϕ
Richtung der Bahngeschwindigkeit v ist in jedem
Punkt P tangential zum Kreis.
r ⋅ ∆ϕ
∆s
∆ϕ
= lim
= r ⋅ lim
∆t →0 ∆t
∆t →0 ∆t
∆t →0 ∆t
v = lim
vx
v0
⇒ v = r ⋅ω
v1
v1
∆ϕ
∆v
v0
Verantwortlich für die Änderung der Geschwindigkeitsrichtung ist
die Beschleunigung aZ = const. Sie wirkt senkrecht zur
Bahngeschwindigkeit Ö Zentripetalbeschleunigung, deren Betrag
lautet:
2
v
aZ = v ⋅ ω =
= r ⋅ω 2
r
Beispiel:
Zentrifuge
Fz
r
FZ = m ⋅ aZ = m ⋅ r ⋅ ω 2
ω = 2πf
Für die Beschreibung als Auftrieb wird Schwerkraft durch Zentrifugalkraft ersetzt.
g
rω 2
}
Beschleunigung
Beispiel:
100 Umdrehungen pro s
mit 0,1 m Radius
9,81 m/s 2
(2π⋅100)2 ⋅ 0,1 m/s2 = 40.000m/s2
ρ
ρ
Dichteschichtung oder Sedimentation
TRÄGHEITSMOMENT
Zwei Zylinder haben die gleiche Masse,
trotzdem beschleunigt der Hohlzylinder
langsamer als der Vollzylinder. Warum ?
Rotationachse
d
d
Bei einem rotierenden Körper hat jeder
Teil eine bestimmte Momentangeschwindigkeit. Jede bewegte Masse hat
eine kin. Energie, daher besitzt ein
rotierender Körper die Rotationsenergie.
Um diese Energie bestimmen zu können,
denken wir den Körper in Massenelemente dmi zerlegt. Im Abstand ri von
der Rotationsachse hat jedes dmi eine
Geschwindigkeit:
v =r ⋅
i
ω
i
Seine kinetische Energie beträgt:
∆mi ⋅ vi
∆mi ⋅ ri ⋅ ω 2
∆Ek =
=
2
2
2
2
Die gesamte Energie der Rotation ergibt sich durch die Summation
(Integration)
2
2
2
2
∆
m
⋅
r
⋅
ω
ω
ω
⋅I
2
i
i
aller Beiträge:
E =
=
⋅ m ⋅r =
r
∑
i
2
2
∑
i
i
i
Trägheitsmoment
Beispiele für div. Trägheitsmomente:
I HZ = mR 2
IVZ
1
= mR 2
2
I HK
2
= mR 2
3
IVK
2
= mR 2
5
2
Drehimpuls
r
ω groß
r
ωklein
Definition des Drehimpulses:
r
r
J = I ⋅ω
Der Drehimpuls ist in einem
abgeschlossenem System
konstant (Drehimpulserhaltung)
I klein
I groß
Beispiel: Von der Erdoberfläche
wird ein Körper 1 vertikal mit der
Geschwindigkeit v0 geworfen.
Simultan wird in der Höhe H ein
Körper 2 mit der selben
Anfangsgeschwindigkeit v0
hinunter geworfen. Höhe H=hMAX
ist die maximale Wurfhöhe. In
welcher Zeit und Höhe treffen sich
die Körper ?
Für Körper 2 gilt:
Treffpunkt:
s2 = v0t +
t
dv = adt ⇒ v = ∫ adt = at + v0
0
t
t
1
s = ∫ vdt = ∫ (at + v0 )dt = at 2 + v0t + s0
2
0
0
Körper 1 (für max. Höhe gilt: v1=0)
1 2
gt und v1 = v0 − gt
2
2
v0
v0
= ⇒ hmax = H =
g
2g
s1 = v0t −
t max
1 2
gt und v2 = v0 + gt
2
v0
1 2
1 2
s1 + s2 = H ⇒ v0t − gt + v0t + gt = 2v0t
2
2
2
v0
v0
= 2v0t ⇒ tTreff =
Zugleich gilt: s1 + s2 =
2g
4g
2
h?
2
2
v0 1 ⎛ v0 ⎞
7v0
1 2
⎟⎟ =
− g ⋅ ⎜⎜
s1 = v0t − gt = v0 ⋅
2
4g 2 ⎝ 4g ⎠
32 g
v0
1
Gegenüberstellung zwischen
Translationsbewegung und Rotation
Weg
s
Winkel
ϕ
Geschwindigkeit
v=ds/dt
Winkelgeschw.
ω=dϕ/dt
Beschleunigung
a=dv/dt
Winkelbeschl.
α=dω/dt
Kinetische
Energie
EKIN=mv2/2
Rotationsenergie
ER=Iω2/2
Masse
m
Trägheitsmoment
I
Kraft
F=m.a
Drehmoment
M=I.α
Impuls
p=m.v
Drehimpuls
J=I.ω
Reibungskräfte
Bis jetzt haben wir stets Reibungskräfte vernachlässigt. Bei der
Betrachtung der Kräfte spielt aber die Reibung eine wichtige Rolle.
Verschiebt man Körper gegeneinander, so werden, unabhängig
vom vorliegenden Aggregatzustand, Reibungskräfte wirksam.
Äußere und innere Reibung
äußere: Reibung zwischen den Außenflächen fester Körper
innere: Fluidreibung, d.h. Reibung zwischen Fluidteilchen
(Zähigkeit / Viskosität)
Zwischen den Berührungsflächen
zweier Körper treten
Reibungskräfte auf. Sie sind der
Bewegungsrichtung stets
entgegengesetzt.
v
FR
F
FN
-FN
Mikrostruktur der Oberflächen
Haftreibung
r
F
reale, rauhe Oberfläche
r
r
FN = FG
FR = µ r ⋅ FN
Experimenteller Test von FR = µR·FN
F > FR
r
FN
F > FR
r
FN
F > 2FN
r
2FN
Messung von µR
ααRR==Winkel
Winkelbeim
beim
Losrutschen
Losrutschen
m
r
FR
r
FN
αR
αR
Gleitreibung
r
FG
r
r
FN = FG
FR
tan α =
FN
r
mg
r
v
FG = µ ⋅ FN
reale, rauhe Oberfläche
r
r
FG < FR
Vergleich der Reibungskräfte
Haftreibungskraft (FR)
FR = µr • FN
FN = FG
v=0
F
FR
Haftreibungszahl
FN = FG
Gleitreibungskraft (FR)
FG = µ • FN
Gleitreibungszahl
v
FG
F
Reibungskoeffizienten einiger Stoffpaare
Material
Haftreibungszahl
Gleitreibungszahl
trocken geschmiert
trocken geschmiert
Gummi- Beton
0.65
0.3
0.25
0.1
Stahl- Stahl
0.18
0.10
0.05
0.009
Stahl- Holz
0.5
0.1
0.3
0.02
0.3
0.003*
Knochen- Knochen
*geschmiert durch die Synovialflüssigkeit
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