Klausur Mikroökonomie 2, WS 06/07

Seminar für Wirtschaftstheorie
12.02.2007
Diplomprüfung für Volkswirte
Mikroökonomie Wintersemester 2006/07
Sie haben für diese Klausur 120 Minuten Zeit. Bitte bearbeiten Sie alle vier Aufgaben. Außer Taschenrechner und Zeichenmaterial sind keine Hilfsmittel erlaubt.
Insgesamt können 80 Punkte erreicht werden. Die maximale Punktzahl für die
Aufgaben ist jeweils angegeben.
Sie können grundsätzlich davon ausgehen, dass bei allen Maximierungsproblemen die Bedingungen zweiter Ordnung erfüllt sind!
Aufgabe 1 (20 Punkte)
In einem Bergtal lebt ein Agent (Ötzi), der eine Anfangsausstattung von einem
Hektar Forst und einer Einheit Arbeit besitzt. Es gibt eine Firma, deren Eigentümer Ötzi ist. Diese Firma stellt das einzige Konsumgut Rehrücken R her mit
Hilfe von Arbeit L und Forst F gemäß der folgenden Produktionsfunktion:
1
1
R = F 2 L2 .
Normalisieren Sie den Preis von R auf eins. Sei w der Lohnsatz und p die Pacht,
die von der Firma bezahlt wird.
Ötzi kann seinen Forst entweder an die Firma verpachten oder ihn als Jagdgebiet
Touristen zum festen Preis p̄ zur Verfügung stellen. Seine Arbeitskraft kann er nur
1
1
der Firma zur Verfügung stellen. Er erhält den Gewinn der Firma π = F 2 L 2 −
wL − pF als Dividende.
Seine Budgetbeschränkung ist daher
R = π + wL + pF + p̄(1 − F ).
Seine Nutzenfunktion sei
U (R) = R.
Beachten Sie, dass diese Nutzenfunktion impliziert, dass Ötzi kein Arbeitsleid verspürt! Die Firma und der Agent verhalten sich als Preisnehmer auf allen Märkten.
a) Bestimmen Sie die Arbeitsangebotsfunktion des Agenten. Bestimmen Sie
die Arbeitsnachfragefunktion der Firma. Wie hoch wird der Arbeitseinsatz
im Gleichgewicht sein? Bestimmen Sie den Gleichgewichtslohnsatz als Funktion des an die Firma verpachteten Forsts F .
1
b) Zeigen Sie, dass bei der Pacht p = p̄ der Markt für Forst, der der Firma
zur Verfügung gestellt wird, im Gleichgewicht ist, falls 4p̄2 ≥ 1 gilt. Wieviel Forst wird an die Firma verpachtet? Wie hoch ist der Lohnsatz im
Gleichgewicht? Wie hoch ist der Gewinn π im Gleichgewicht?
c) Nehmen Sie nun an, dass die Regierung des Landes, in dem das Tal liegt, die
Straße zum Tal ausbaut. Die Folge des Ausbaus ist, dass die Touristen bereit
sind einen höheren Preis p̄0 > p̄ zu bezahlen, weil das Jagdgebiet leichter zu
erreichen ist. Bestimmen Sie rechnerisch, wie sich der Lohn w und die Pacht
p, die die Firma bezahlt, im Gleichgewicht ändern. Berechnen Sie, wie sich
der Gewinn der Firma und die Menge des an die Firma verpachteten Forsts
im Gleichgewicht verändern. Erläutern Sie Ihre Ergebnisse kurz! Gibt es
Verlierer des Ausbaus?
Aufgabe 2 (20 Punkte)
Betrachten Sie das folgende Spiel.
Spieler 1
T
B
Spieler 2
L
R
1, 0 2, 0
2, 3 0, 4
a) Bestimmen Sie alle Nash Gleichgewichte in reinen Strategien.
b) Sei t die Wahrscheinlichkeit, mit der Spieler 1 T spielt. Sei l die Wahrscheinlichkeit, mit der Spieler 2 L spielt. Zeichnen Sie die Reaktionsfunktionen
der beiden Spieler in ein Koordinatensystem, dessen senkrechte Achse mit
t beschriftet ist und dessen waagerechte Achse mit l beschriftet ist. Kennzeichnen Sie alle Nash Gleichgewichte in der Zeichnung und schreiben Sie
die Nash Gleichgewichte auf.
c) Nun zieht zuerst Spieler 1. Spieler 2 kann diesen Zug beobachten und zieht
danach.
1b
HH
T HB
HH 2
2r
Hr
L @ R
L @ R
r
@
@r
r
@
@r
2, 3
0, 4
1, 0
2, 0
Lösen Sie das Spiel in extensiver Form durch Rückwärtsinduktion. Welche
Strategie wählt Spieler 2? Welche Strategie wählt Spieler 1? Bestimmen Sie
die Auszahlungen von Spieler 1 und Spieler 2.
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Aufgabe 3 (20 Punkte)
Die Bewohner von A-Dorf fristen ihr Dasein, indem sie sich bei einem von zwei
Gutsherren verdingen. Eine andere Einkommensquelle gibt es nicht. Mit jedem
Arbeiter, den ein Gutsherr einstellt, verdient dieser Gutsherr 120 Kreuzer. Für
einen Arbeiter wird ein Lohn von w Kreuzern gezahlt. Wenn die beiden Gutsherren insgesamt l = l1 + l2 Arbeiter nachfragen, stellt sich auf dem Markt ein Lohn
von w = l ein.
a) Beide Gutsherren wählen gleichzeitig die gewinnmaximierende Menge an
Arbeitern. Stellen Sie die Gewinnfunktionen der beiden Gustherren auf.
Welche Arbeitsmengen fragen die beiden Gutsherren im Gleichgewicht nach?
Wie hoch ist der Lohn im Gleichgewicht? Berechnen Sie!
b) Einer der beiden Gutsherren ist Frühaufsteher. Er legt jeden Morgen als erster fest, wieviele Arbeiter er nachfragt. Diese Menge beobachtet der zweite
Gutsherr wenig später und legt dann (gegeben die Menge des ersten Gutsherrn) seine optimale Menge an Arbeitern fest. Wieviele Arbeiter fragen
der Frühaufsteher und der zweite Gutsherr nach? Was ist nun der Lohn im
Gleichgewicht? Berechnen Sie!
Im benachbarten B-Dorf befinden sich zwei weitere Gutshöfe. Auch hier verdient
ein Gutsherr für jeden Arbeiter, den er einstellt, 120 Kreuzer. Im Unterschied zu
A-Dorf bieten hier 120 Arbeiter zu jedem nicht-negativen Lohn ihre Arbeitskraft
an. Wenn der Lohn negativ ist, bieten sie nichts an. Beide Gutsherren legen
gleichzeitig den Lohn fest. Den Lohn von Gustherrn 1 nennen wir w1 , den Lohn
von Gutsherrn 2 nennen wir w2 . Die Arbeiter arbeiten dort, wo sie den höchsten
Lohn erhalten. Ist der Lohn gleich, arbeitet die eine Hälfte bei dem einen, die
andere Hälfte bei dem anderen Gutsherrn. Bitte betrachten Sie nur die Situation
in B-Dorf.
c) Zeigen Sie, dass sich für einen Lohn von w1 = w2 = 120 ein Gleichgewicht
einstellt.
d) Nun treffen die beiden Gutsherren eine Vereinbarung. Jeder darf maximal
60 Arbeiter beschäftigen. Wie hoch ist jetzt der Lohn im Gleichgewicht?
Begründen Sie kurz verbal.
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Aufgabe 4 (20 Punkte)
Die risikoneutrale Bundesregierung kauft Hubschrauber für das Technische Hilfswerk von der risikoneutralen Firma Koptereuro. Die Anzahl (h) der gekauften
Hubschrauber ist variabel. Den Bewohnern Deutschlands ensteht ein Nutzen von
U (h) = h durch den Einsatz von h Hubschraubern. Der Firma Koptereuro entstehen Kosten von c(h, θ) = θh2 , wobei der Kostenparameter θ ∈ { 81 , 14 } nur der
Firma selbst bekannt ist. Die Bundesregierung kennt lediglich die Wahrscheinlichkeit p, 0 < p < 1, dass die Firma niedrige Kosten hat.
Die Bundesregierung kann sich auf ein nicht nachverhandelbares, sogenanntes
take-it-or-leave-it Angebot festlegen. Das Angebot besteht aus zwei Verträgen,
aus denen Koptereuro auswählen kann. Jeder Vertrag i enthält eine Auftragsgröße
hi und eine Zahlung ti . Nimmt die Firma keinen der Verträge an, so macht sie
einen Gewinn von Π̄ = 0.
a) Was ist die effiziente Auftragsgröße, falls Koptereuro niedrige (hohe) Kosten
hat?
b) Stellen Sie das Maximierungsproblem der Bundesregierung auf, die die Differenz aus dem Nutzen der Einwohner und der Zahlung an die Firma (h−t)
maximiert. Welche Nebenbedingungen müssen im Optimum binden, welche
können ignoriert werden? (Keine Begründung nötig!)
c) Leiten Sie das optimale Angebot der Bundesregierung her. Gehen Sie davon
aus, dass es eine innere Lösung gibt. Eine Prüfung auf Randlösungen ist
nicht nötig!
d) Nehmen Sie an, Koptereuro gehört jedem Einwohner Deutschlands zu gleichen Teilen, so dass die Bundesregierung im Interesse aller Einwohner den
Nutzen der Einwohner minus die Zahlung an die Firma (h − t) plus den
Gewinn von Koptereuro (t − θh2 ) maximiert. Zeigen Sie rechnerisch, wie
das optimale Angebot in diesem Fall aussieht.
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