TECHNISCHE UNIVERSIT ¨AT M ¨UNCHEN Lineare Algebra 1
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TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Friedrich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Lineare Algebra 1 WS 2006/07 Blatt 14 08.02.2007 FERIENBLATT zu einigen Bemerkungen aus der Vorlesung Aufgabe 1 Hier ein Ausschnitt aus der Zeitschrift Am. Math. Monthly, Vol. 97 (1990), p. 144: Analysieren Sie, was alles in diesem einen Satz behauptet wird, beweisen Sie all das und machen Sie sich danach klar, dass damit die Behauptung in der Überschrift bewiesen ist. Eine Involution auf einer Menge S ist eine Abbildung ϕ : S → S mit ϕ ◦ ϕ = idS . Aufgabe 2 S ATZ Ist p eine ungerade Primzahl, so gibt es x, y, m ∈ Z mit 1 + x2 + y 2 = mp und 0 < m < p . Anleitung zum Beweis: (1) Die ganzen Zahlen x2 für 0 ≤ x ≤ 12 (p − 1) sind paarweise inkongruent modulo p. (2) Die ganzen Zahlen −1 − y 2 für 0 ≤ y ≤ 21 (p − 1) sind paarweise inkongruent modulo p. (3) Daraus schließe man auf die Existenz eines m ∈ N mit 1 + x2 + y 2 = mp. (4) Zu zeigen bleibt noch m < p. 1 Aufgabe 3 T HEOREM (L AGRANGE , 1770) Jede natürliche Zahl ist Summe von vier Quadraten (ganzer Zahlen). Anleitung zum Beweis: (1) Zeigen Sie für y1 y2 y3 y4 x1 x2 x3 x4 z1 −x2 z2 x −x x3 1 4 z3 := −x3 x4 x1 −x2 −x4 −x3 x2 x1 z4 die Identität (x21 + x22 + x23 + x24 )(y12 + y22 + y32 + y42 ) = z12 + z22 + z32 + z42 . (2) Folgern Sie, dass zu zeigen reicht: Jede ungerade Primzahl ist Summe von vier Quadraten. Das wird nun in Angriff genommen. Dazu bezeichne p eine ungerade Primzahl. (3) Zeigen Sie: es gibt eine kleinste natürliche Zahl m0 < p, zu der ganze Zahlen xi existieren mit m0 p = x21 + x22 + x23 + x24 . Ist m0 = 1, so ist p Summe von vier Quadraten. Wir nehmen also an, es sei m0 > 1. (Das wird im Folgenden zum Widerspruch geführt, was den Beweis beendet.) (4) Zeigen Sie, dass m0 ungerade ist. [ Trick: 1 2 m0 p = 1 4 (x1 + x2 )2 + 41 (x1 − x2 )2 + 14 (x3 + x4 )2 + 41 (x3 − x4 )2 . ] (5) Zeigen Sie, dass die xi Darstellungen folgender Form besitzen: xi = bi m0 + yi mit |yi | < 12 m0 (1 ≤ i ≤ 4) . (6) Folgern Sie: 0 < y12 + y22 + y32 + y42 = m1 m0 mit 0 < m1 < m0 . Mit der Identität in (1) ergeben sich ganze Zahlen zi mit z12 + z22 + z32 + z42 = m20 m1 p . (7) Für diese zeigen Sie schließlich: m0 |zi , also zi = m0 ti (1 ≤ i ≤ 4) . (8) Nun steht der Widerspruch da: m1 p = t21 + t22 + t23 + t24 . Eine erfolgreiche und schöne vorlesungsfreie Zeit wünschen Ihnen: Raffael Boll, Sabine Eisenhofer, Ralf Franken, Elena Gornostaeva, Frank Himstedt, David Hirschhäuser, Stephan Holzer, Christian Karpfinger, Stefan König, Vanessa Krummeck, Barbara Langfeld, Max Lein, Caroline Löbhard, Arturo Mancini, Maria Meiler, Martin Meinel, Jörg Pfahler, Suyang Pu, Michael Ritter, Friedrich Roesler, Thomas Satzger, Sina Straub, Bettina Tögel und Monika Wirnshofer.
