Übungen zum Selbststudium

Übungen zum Vorkurs
WS 2016/17
Prof. Dr. Kai Köhler
Besprechung der Lösungen in den Übungsgruppen.
1 Formulieren Sie folgende Aussagen mit ∧, ), ∨, ¬, ( in möglichst kurzer Gestalt
a) Von den Aussagen A1 , A2 , A3 sind genau zwei wahr.
b) Von den Aussagen A1 , A2 , A3 ist mindestens eine wahr.
2
Überprüfen Sie mit Hilfe einer Wahrheitstabelle, dass
(A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C) ⇒ (A ⇒ C)
wahr ist.
3
Überprüfen Sie mit Hilfe einer Wahrheitstabelle, dass
A ∧ (B ⇒ C) ⇒ B
und
¬A ∨ B
äquivalente Aussagen sind.
4 Der Kreter Epimenides behauptet in einem Gedicht (7 Jhr. v. Chr.): ”Die
Kreter lügen immer.”
a) Ist das widersprüchlich (d.h. ein Paradoxon)?
b) Was können Sie logisch über Epimenides’ Aussage folgern?
c) Der Apostel Paulus schreibt im Titusbrief, Kapitel 1 dazu
12 Es hat einer von ihnen, ihr eigener Prophet, gesagt: ”Kreter sind immer Lügner, böse, wilde Tiere, faule Bäuche.”
13 Dieses Zeugnis ist wahr. Aus diesem Grund weise sie scharf zurecht,
damit sie [...]
14 nicht achten auf [...] die Gebote von Menschen, die sich von der
Wahrheit abwenden.
Wie beurteilen Sie diese Passage logisch?
(Historische Bem.: Eigentlich meinte Epimenides in seinem Gedicht den kretischen Glauben, dass Zeus sterblich wäre. Im Gedicht läßt er Minos obiges Zitat
sprechen.)
5
Formalisieren Sie folgende Aussagen mit Quantoren und Prädikaten:
Jeder Topf hat einen passenden Deckel.
Keine zwei Menschen haben dieselben Fingerabdrücke.
6
Welche der folgenden Mengen sind gleich?
A = {1, 2, 3},
B = {2, 1, 1, 3},
C = {1, 1, 2, 3},
D = {{1}, {2}, {3}} .
7 Welche der folgenden Objekte sind Elemente der Menge M = {a, b, c}?
a,
{a},
{a, b} .
8 Listen Sie alle Teilmengen der Menge M = {a, b, c} auf.
9 Sei A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {2, 4, 5, 7}. Berechnen Sie
A ∩ (B ∪ C), (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)), (A \ B) \ C, A \ (B \ C) .
10 Zeigen Sie mit den Regeln der Aussagenlogik und mit dem Aussonderungsaxiom, dass für 3 Mengen A, B, C
(A ∩ B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C),
A \ (A \ B) = A ∩ B
und zeichnen Sie zur Veranschaulichung Venn-Diagramme.
11 Überprüfen Sie, ob folgende Aussagen für alle Mengen A1 , A2 , B1 , B2 gelten:
(A1 ∩ A2 ) × (B1 ∩ B2 ) = (A1 × B1 ) ∩ (A2 × B2 ) ,
(A1 ∪ A2 ) × (B1 ∪ B2 ) = (A1 × B1 ) ∪ (A2 × B2 ) .
12 Die Fibonacci-Zahlen 1,1,2,3,5,. . . werden induktiv definiert durch a0 := 1,
a1 := 1 und an+1 := an +an−1 für n ≥ 1. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion,
dass 1 ≤ aan+1
≤ 2 für n ≥ 0.
n
13 Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass 7 die Zahl 2n+1 +32n−1 teilt
für alle n ≥ 1.
14 Wo steckt in folgendem Induktions-Beweis, dass alle Zahlen gleich sind, der
Fehler?
a) Induktionsanfang (n = 1): Eine Zahl ist sich selber gleich.
b) Induktionsschritt: Seien n Zahlen gegeben. Die ersten n − 1 davon sind
nach Induktionsvoraussetzung gleich, ebenso die letzten n − 1, also sind
alle n gleich.
15
Bestimmen Sie mit der Potenzmengenbildung P die Menge P(P(P(∅))).
16 Listen Sie alle Relationen R zwischen M = {1, 2} und N = {a, b} auf, die
mindestens 2 Elemente haben. Ordnen Sie jeder Relation ihre Umkehrrelation
zu.
17 Seien M eine Menge m ∈ N vielen Elementen. Wieviele Relationen von
M nach M gibt es? Wieviele davon enthalten die identische Relation idM ?
Homepage des Vorkurses:
http://reh.math.uni-duesseldorf.de/ koehler/Lehre/2016-17/Vorkurs.html