Einführung in die Stochastik mit dem GTR
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21.12.2010 Einführung in die Stochastik mit dem GTR Gliederung • Wichtige Definitionen: - Zufallsexperiment - Relative Häufigkeit - Absolute Häufigkeit - Simulation • Beispiel: Simulation eines Korbwurfs Referenten: Annika Lux und Tatjana Robert • • • • Aufgaben in Partnerarbeit Besprechung der Aufgaben Aufgabe in Gruppenarbeit Besprechung der Aufgabe durch Vortrag der Studenten • Zuordnung von mathematischen Kompetenzen und Lernzielen Zufallsexperiment??? Wie geht man vor??? 1 21.12.2010 Definitionen • Zufallsexperiment Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment mit folgenden Eigenschaften: - unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbar - es gibt mindestens zwei mögliche Ergebnisse - das Ergebnis ist nicht vorhersagbar • Absolute Häufigkeit Die absolute Häufigkeit ist die Anzahl der Versuche, bei denen das gewünschte Ergebnis in einem bestimmten Versuch eintrifft • Relative Häufigkeit Die relative Häufigkeit ist ein Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit, mit der das betreffende Ergebnis eintritt. Sie ist der Quotient aus absoluter Häufigkeit und der Anzahl der gesamten Versuche Beispiel • Ein Würfel wird 6mal geworfen und 2mal wird dabei die „3“ gewürfelt. Dann ist die Zahl „2“ die absolute Häufigkeit und „2/6“ also „1/3“ die relative Häufigkeit • Frage: Wahrscheinlichkeit eine „3“ zu würfeln bei 6 Versuchen ist ja eigentlich 1/6. Warum ist sie jetzt hier 1/3?? 2 21.12.2010 • Empirische Gesetz der großen Zahlen Bei einer ausreichend großen Anzahl an Wiederholungen desselben Zufallsexperimentes stabilisert sich die relative Häufigkeit eines Ergebnisses um einen festen Zahlenwert. Dieser Zahlwert ist der Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit. • Simulation Unter Simulation versteht man in der Stochastik Verfahren, mit Hilfe von geeigneten isomorphen Zufallsgeneratoren (Münze, Würfel, Urne, Glücksrad, Zufallszahlentabellen) eine Situation nachzuspielen, um so ein wirkliches Modell für die Situation zu erhalten, das zur Analyse und Prognose eingesetzt werden kann Quelle: http://mathenexus.zum.de/formelsammlung/stochastik/S22EmpirischesGesetz.htm Quelle: Vorlesung Didaktik 2- Daten und Zufall von Prof. A. Lambert Beispiel • z.B. kann man den Korbwurf eines Basketballers, der mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% trifft, durch das Werfen einer Münze simulieren Zufallsexperimente kann man vom Computer ausrechnen lassen --wie und warum macht man das??? 3 21.12.2010 • Simulation: - weil Simulationen Modellbildungsfähigkeiten fördern - weil Simulationen den Erwerb stochastischen Denkens, insb. der sekundären Intuition stützen - da sich durch Simulationen Probleme lösen lassen, für die nur unzureichende mathematische Werkzeuge vorhanden sind Trotz Möglichkeit der Simulation mit GTR sollte auf die händische Simulation nicht verzichtet werden, insbesondere beim Einstieg in die Simulation von Zufallsexperimenten Quelle: Vorlesung Didaktik 2- Daten und Zufall von Prof. A. Lambert Simulation eines Korbwurfs • Ein Baketballer trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% bei einem Freiwurf den Korb. Wir versuchen nun mit dem GTR auszurechnen, wie oft er bei 200 Würfen wohl trifft. Dabei simulieren wir die Situation durch das Werfen einer Münze . Dazu legen wir „0“ als nicht getroffen, „1“ als getroffen fest. 4 21.12.2010 Partnerarbeit Lösung Aufgabe 1 • Edit über w , u , fill über q , • Bei formula: L ., L 4gehe zu Ranint#, l , 1,6), l • Bei cellrange: A1:A200, l , l • in Spalte B: fill über q , bei formula: L ., gehe zu cellif über e , tippe ein A1=6,1,0), l , bei cellrange B1:B200, l • In Spalte C: edit über w , , fill über q , bei formula L ., drücke cell über r , sum über y , trage B1:B200, bei cellrange:C1:C1, l • Restliche Zeit: 10 15min 20min 5min min Lösung zu Aufgabe 2 Bei 200 Würfen habe ich 33 mal eine 6 geworfen • Edit über w , u , fill über q , • Bei formula: L ., L 4gehe zu Ranint#, l , 1,6), l • Bei cellrange: A1:B100, l , l • in Spalte C: fill über q , bei formula: L ., gehe zu cellif über e , tippe ein A1=B1,1,0),l , bei Cellrange: C1:C100, l l • In Spalte D: fill über q , bei formula L ., drücke cell über r , sum über y , trage C1:C100), cellrange D1:D1 l l 5 21.12.2010 Gruppenarbeit • Restliche Zeit: 10min 15min 5min Bei 100 Würfen mit 2 Würfeln erhalte ich 24 mal einen Pasch Lösung • Simulieren durch ein Glücksrad mit den Zahlen 0-9, wobei die Zahlen 0-5 für Gewinn von Hendrik und die Zahlen 6-9 für Gewinn von Daniel stehen • Edit über w , u , fill über q , • Bei formula: L ., L 4gehe zu Ranint#, l , 0,9), l • Bei cellrange: A1:B100, l , l • in Spalte C: fill über q , bei formula: L ., gehe zu cellif über e , tippe ein A1=0 oder A1=1 oder A1=2 oder A1=3 oder A1=4 oder A1=5 (oder über i u y w ) ,1,0), bei cellrange C1:C100 l • In Spalte D: fill über q , bei formula: L ., gehe zu cellif über e , tippe ein B1=0 oder B1=1 oder B1=2 oder B1=3 oder B1=4 oder B1=5 (oder über i u y w ),1,0), bei cellrange D1:D100 l • In Spalte E: fill über q , bei formula: L ., gehe zu cellif über e , tippe ein C1=1 und D1=1,1,0), bei cellrange E1:E100 6 21.12.2010 • In Spalte F: fill über q , bei formula L ., drücke cell über r , sum über y , trage E1:E100), cellrange F1:F1 l l Also gewinnt er 26 von 100 Tennisspielen direkt in 2 Sätzen Lernziele Welche Lernziele wurden hier verfolgt und welche mathematischen Kompetenzen wurden angesprochen???? Die Studenten… • können mit dem GTR umgehen • wissen, wie man Zufallsexperimente mit dem GTR simuliert • wissen, welche Befehle man zu solchen Simulationen benötigt 7 21.12.2010 • sind in der Lage, die Vorgehensweise anderen Schülern/Kommilitonen zu erläutern • können den Aufgaben mathematische Kompetenzen zuordnen • planen statistische Erhebungen • reflektieren und bewerten Argumente, die auf einer Datenanalyse basieren • beschreiben Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen • Mathematisch argumentieren, da - Lösungswege beschrieben und begründet werden • Mathematisch modellieren, da - wir die Beispielaufgaben modelliert und in die Mathematik übersetzt haben - wir an unserm konstruierten mathematischen Modell gearbeitet haben - wir die Ergenisse auch wieder interpretiert haben • Probleme mathematisch lösen, da - wir die vorgegebenen Probleme mit dem GTR bearbeitet haben - wir Strategien zum Lösen des Problems nutzten Mathematische Kompetenzen? • • • • Mathematisch argumentieren Mathematisch modellieren Probleme mathematisch lösen Mit symbolischen, formalen, technischen Elementen der Mathematik umgehen • kommunizieren • Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen, da - wir mit Tabellen arbeiteten - wir natürliche in symbolische Sprache übersetzten und umgekehrt • Kommunizieren, da - wir Lösungswege dokumentieren und präsentieren - Äußerungen von anderen verstehen und überprüfen 8 21.12.2010 Weitere Aufgabenbeispiele!!! Auf dem Jahrmarkt stehen 3 Glücksräder mit den Zahlen 0-9. Dreht man diese nach einander und erhält die Zahl 3-4-5 gewinnt man den Hauptpreis. Ermittle einen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit, dass man den Hauptpreis gewinnt? Lösung: Wir simulieren in 3 Spalten je 100 Drehungen Cellif(A1=3 und B1=4 und C1=5, 1, 0) Cellrange(D1:D100) Cellsum(D1:D100), Cellrange(E1:E1) • Wir werfen 2 Würfel. Ermittle einen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit , dass die Summe der Augenzahlen größer als 5 ist? Lösungsweg: 2 Spalten mit je 100 simulierten Würfen Cellif(A1+B1>5,1,0), Cellrange: C1:C100 Cellsum(C1:C100) , Cellrange: D1:D1 Nun das Ergebnis interpretieren • Danke für eure Aufmerksamkeit . 9
