13.¨Ubungsblatt zur ” Diskreten Mathematik“

Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. Michael Joswig
Dipl.-Math. Claudia Möller
WS 2009/10
3. Februar 2010
13. Übungsblatt zur
Diskreten Mathematik“
”
Gruppenübung
Aufgabe G1
Sei T ein binärer Baum auf n Ecken, A = {a1 , . . . an } eine Liste von paarweise verschiedenen
Zahlen und κ : V (T ) → A bijektiv. T heißt binärer Suchbaum von A, falls für v ∈ V (T ) gilt, dass
κ(x) < κ(v) für alle Knoten x im linken Unterbaum von v und κ(x) > κ(v) für alle Knoten x im
rechten Unterbaum von v.
(a) Zeichnen Sie einen binären Suchbaum mit Wurzel 12 für A = {12, 5, 2, 8, 7, 10, 13, 16, 15, 18, 20, 21}
(b) Überlegen Sie sich für beliebiges A einen Algorithmus und dessen Laufzeit
i. zur Bestimmung des Maximums von A
ii. zur Überprüfung, ob eine Zahl b in A enthalten ist
iii. zum Einfügen einer Zahl b ∈
/ A in den Suchbaum
(c) Stellen Sie den Suchbaum aus (a) als Triangulierung eines Vielecks dar.
Aufgabe G2
Die Zahlen 1 bis 100 seien in einem binären Suchbaum gespeichert. Welche der Folgen können
nicht eine Suchfolge für das Element 37 sein?
(a) 2, 7, 87, 83, 30, 31, 81, 37
(b) 10, 80, 48, 60, 22, 70, 43, 30, 37
Aufgabe G3
Sei T ein binärer Suchbaum, h(vl ) bzw. h(vr ) die Höhe des linken bzw. rechten Unterbaums eines
Knotens v. T heißt balanciert (oder AVL-Baum), falls h(vl ) − h(vr ) ∈ {−1, 0, 1} für alle v ∈ V (T ).
(a) Ist der in G1 bestimmte binäre Suchbaum balanciert? Rotieren Sie sonst die Kanten geeignet.
(b) Fügen Sie die Zahl 19 in den AVL-Baum aus (a) ein. Wie muss der Algorithmus aus G1(b)iii
angepasst werden, damit wieder ein AVL-Baum entsteht?
Aufgabe G4
Zum Knobeln: Gegeben sei ein n-Eck mit benachbarten Ecken i und j. Was ist ein kürzester Weg
von der i-ten zur j-ten Standardtriangulierung?