Experimentalphysik 2 - Physik

Merlin Mitschek, Verena Walbrecht
Ferienkurs
Experimentalphysik 2
Sommer 2014
Vorlesung 1
Thema: Elektrostatik
Technische Universität München
1
Fakultät für Physik
Merlin Mitschek, Verena Walbrecht
Inhaltsverzeichnis
1
Elektrostatik
3
1.1
Elektrische Ladungen und Coulomb-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Das elektrische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Elektrostatisches Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4
Multipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.5
Leiter im elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.6
Dielektrika im elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
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2
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1
Elektrostatik
1.1
Elektrische Ladungen und Coulomb-Gesetz
Grundlagen:
• Es gibt zwei verschiedene Arten von Ladungen: Positive und negative;
Unterschied durch . . .
. . . Krafteinwirkung aufeinander.
. . . Ablenkung in elektrischen und magnetischen Feldern.
• Ladungen mit gleichem Vorzeichen stoßen sich ab, solche mit entgegengesetzten Vorzeichen ziehen sich an.
• Ladungen sind immer an massive Teilchen gebunden.
• Alle in der Natur vorkommende Ladungen Q sind ganzzahlige Vielfache der Elektronenladung1 .
• Die Maßeinheit der Ladung: [Q] = 1Coulomb = 1C = 1A s
• In einem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtladung zeitlich konstant.
• Ein Ladungstransport stellt einen elektrischen Strom dar. Ein Ladungstransport ist immer
mit einem Massentransport verbunden.
Coulomb-Gesetz:
Die Kraft, die zwischen zwei Ladungen wirkt, wird mit dem Coulomb-Gesetz beschrieben:
F~ =
Q1 · Q2 ~r
1
·
·
4π0
|~r|
r2
(1)
Hierbei ist 0 = 8.854 · 10−12 A2 s4 kg−1 m−3 die Dielektrizitätskonstante.
1.2
Das elektrische Feld
Die Kraft, die eine Ladung Q im Nullpunkt des Koordinatensystems auf eine Punktladung q
ausübt ist:
~ r) = Q · q · ~r
F(~
(2)
4π0 r2 |~r|
Das elektrische Feld, dass von der Ladung Q erzeugt wird, ist dann wie folgt definiert:
~
~ r) = F(~r) = Q · ~r
E(~
q
4π0 r2 |~r|
1 Ausgenommen
(3)
sind die Bausteine der Hadronen, die Quarks. Diese existieren aber nicht als freie Teilchen.
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mit der Dimension [E] = 1V m−1 .
Definitionsgemäß ist dann die Kraft, die auf die Ladung q wirkt:
F~ = q · E~
(4)
Bei mehreren Ladungen Qi an den Orten ri ergibt sich das elektrische Feld durch Vektoraddition:
y
~r − ~r1
Q1
~r1
~r
q
~r − ~r2
~r − ~r3
Q2
~r2
Q3
x
~ r) =
E(~
N
X
~r − ~ri
Qi
·
4π0 |~r − ~ri |3
=
i=1
(5)
Kontinuierliche Ladungsverteilung:
Außer Punktladungen gibt es auch kontinuierliche verteilte Ladungen mit einer räumlichen Ladungsdichte %(~r). Diese ist als Ladung pro Volumeneinheit definiert.
Die Gesamtladung ist somit:
Z
Q=
%(~r) dV
(6)
V
Die Kraft zwischen der gesamten Ladung Q und q ist dann:
~ r) =
F(~
q
4π0
Z
V
~ − ~r
R
%(~r) dV
~ − ~r|3
|R
(7)
Entsprechend ergibt sich für Flächen bzw. Linien die Flachen- (σ(~r)) bzw. die Linienladungsdichte (λ(~r)):
Z
Z
Q=
σ dA bzw. Q =
λ dL
(8)
A
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L
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Feldlinien:
Das elektrische Feld kann durch Feldlinien veranschaulicht werden: Die Richtung ist durch die
Abbildung 1: Kugelförmiges Coulombfeld einer positiven und negativen Punktladung.
Kraft auf die positive Punktladung definiert.
Elektrische Feldlinien zweier gleicher Ladungen Q1 und Q2 = −Q1 (elektrischer Dipol):
Das elektrische Feld eines Dipols ist:
Abbildung 2: Elektrisches Feld eines Dipols.
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~ r) =
E(~
~r − d~ q ~r
−
·
3
4π0 |~r|
~3
|~r − d|
(9)
Elektrischer Fluss:
• Fläche, die Raum umschließt, in dem sich eine Punkt- oder Raumladung befindet.
• Elektrische Feldlinien dieser Ladung durchsetzen die Fläche A.
~ wird durch den nach außen zeigenden Flächennormalenvektor dA
~ cha• Flächenelement dA
rakterisiert.
~ ist:
Der elektrische Fluss dΦel durch dA
~
dΦel = E~ · dA
(10)
Durch Integration ergibt sich der gesamte elektrische Kraftfluss durch die Fläche A:
Z
~
Φel =
E~ · dA
(11)
A
Mathematisch kann mit Hilfe des Gaußschen Satzes zeigen, dass für jede geschlossene Oberfläche gilt:
Z
Z
~=
Φel =
E~ · dA
divE~ dV
(12)
A
V(A)
Hiermit ergibt sich für den gesamten elektrischen Fluss die Beziehung:
Z
1
Q
%
Φel =
=
% dV =
⇔ divE~ =
0
0
0
(13)
Die im Raum verteilten Ladungen werden als Quellen bezeichnet, wenn % > 0 und als Senken
wenn % < 0.
1.3
Elektrostatisches Potential
Wird eine Ladung q im elektrischen Feld von einem Punkt P1 zu einem P2 gebracht, so ist die
entsprechende Arbeit:
Z P2
Z P2
~ r) · d~r
W=
F~ · d~r = q ·
E(~
(14)
P1
P1
Das elektrische Feld ist konservativ, d.h. das Integral ist wegunabhängig. Deshalb kann man jeden Raumpunkt ~r eine eindeutig definierte Funktion zuordnen. Diese wird als elektrostatisches
Potential bezeichnet:
φ(~r) =
∞
Z
~ r) d~r
E(~
(15)
r
Die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten ~r1 und ~r2 nennt man die elektrische Spannung:
Z r2
~ r) d~r
U = φ(~r1 ) − φ(~r2 ) =
E(~
(16)
r1
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Potentialgleichung:
Ausgangspunkt ist die Definitionsgleichung für das elektrostatische Potential:
Z ∞
~ r) d~r
φ(~r) =
E(~
r
~ · φ(~r) = −E(~
~ r)
⇔∇
(17)
~ · ∇φ(~
~ r) = −∇
~ · E(~
~ r) = − %(~r)
⇔∇
0
(18)
Somit folgt die Poisson-Gleichung:
∆φ = −
%
0
(19)
Für % = 0 ergibt sich die Laplace-Gleichung:
∆φ = 0 für % = 0
(20)
Äquipotentialflächen:
Als Äquipotentialfächen werden die Flächen bezeichnet, auf denen das Potential φ(~r) konstant
ist. Die Äquipotentialflächen stehen immer senkrecht auf den Feldlinien. Daher wird keine Ar-
Abbildung 3: Elektrisches Feld einer Punktladung mit Äquipotentialflächen.
beit verrichtet, wenn Ladungen auf den Äquipotentialflächen verschoben werden.
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1.4
Multipole
Der elektrische Dipol:
z
~
~ − d/2
~r1 = R
s
+Q
P
s
E~ R
E~
~
R
d~
~
~ + d/2
~r2 = R
s
E~ ϑ
Ebene z = 0
−Q
Der elektrische Dipol wird durch das Dipolmoment charakterisiert:
~p = Q · d~
(21)
~ R)
~ und das Potential φ(R)
~ in einem beliebigen Punkt P(R)
~ erhält
Die elektrische Feldstärke E(
man durch Überlagerung der Felder:
Q
Q
~ = 1 ·
φD (R)
−
(22)
4π0 |R
~
~
~ − d/2|
~ + d/2|
|R
Für R d gilt:
1
1
1
= · q
R
~
~ ± d/2|
~ ~
|R
1 ± R·R2d +
=
d2
4R2
~ · d~
1 1R
· 1∓
+
.
.
.
R
2 R2
(23)
Somit erhält man die Näherung für das Potential des Dipols in großer Entfernung:
~ =
φD (R)
~
~
~p · R
Q d~ · R
p · cos ϑ
=
· 3 =
3
4π0 R
4π0 R
4π0 R2
(24)
Für das elektrische Feld erhält man:
~ r) =
~ R)
~ = −∇φ(~
E(
~
1 R
~
3p
·
cos
ϑ
−
p
~
4π0 R3
|R|
(25)
Dipol im homogenen Feld:
F+
−Q
s
+Q
s
F−
Liegen beide Ladungen +Q und −Q
auf einer Äquipotentialfläche so ist die
potentielle Energie eines Dipols null,
da
X
F~ = 0
Bei beliebiger Lage des Dipols in einem homogenen elektrischen Feld bewirken die Kräfte F~1
und F~2 ein Drehmoment:
~ = ~p × E~
D
(26)
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Somit ergibt sich für die potentielle Energie des Dipols im homogenen äußeren elektrischen
Feld:
Z
Z
Z
~ · sin ϑ dϑ = −|~p| · |E|
~ · cos ϑ = −~p · E~
E pot =
F~ d~s =
D dϑ =
|~p| · |E|
(27)
Das Drehmoment dreht den Dipol, bis die potentielle Energie minimiert ist. Die potentielle
Energie ist minimal, wenn ~p und E~ parallel sind. (Die potentielle Energie wird maximal, wenn
~p und E~ antiparallel sind.)
Dipol im inhomogenen elektrischen Feld:
Im inhomogenen Feld wirkt auf den Dipol die Kraft:
~
~
~ E~
~ − E(~
~ r) = Q · d~ · dE = ~p · ∇
F~ = Q · E(~
r + d)
d~r
(28)
Diese richtet ihn in Feldrichtung aus und zieht in in Richtung wachsender Feldstärke.
1.5
Leiter im elektrischen Feld
• Leiter in einem elektrischen Feld.
• Auf die frei beweglichen Ladungsträger wirkt die Kraft F = q · E.
• Die Kraft verschiebt die Ladungen bis sich aufgrund der veränderten Ladungsverteilung
ein Gegenfeld aufgebaut hat.
• Das Gegenfeld kompensiert kompensiert gerade das äußere Feld.
• Diese Ladungsverschiebung: Influenz.
• Desshalb ist das innere vom Leiter ist feldfrei.
• Die Ladungen sitzen auf der Oberfläche.
Kondensatoren:
Ein Kondensator ist eine Anordnung aus zwei entgegengesetzt geladenen Leiterflächen.
Das elektrische Feld im Raum zwischen den Leiterflächen ist . . .
• . . . ∝ zur Ladung Q
• . . . ∝ zur Spannung U =
R
~ ~s
Ed
Dehalb gilt die Beziehung:
Q=C·U
Die Proportionalitätskonstante C heißt Kapazität [C] = 1 C V−1
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(29)
= 1F .
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a) Plattenkondensator:
+ +
+ +
&
+ +
E = 2σ0
-
-
-
-
Q+
Q−
⇒
- E = − 2σ0
E=
σ
0
Für den Plattenkondensator gilt:
U = E·d =
σ
·d
0
σ=Q/A
=
Mit C = Q/U folgt dann:
C = 0
d
·Q
A0
(30)
A
d
(31)
b) Kugelkondensator:
Für einen Kugelkondensator gilt:
U = φ1 − φ2 =
Q
Q
Q
R1 R2
−
=
·
4π0 R1 4π0 R2 4π0 R2 − R1
Mit C = Q/U folgt:
C = 4π0
(32)
R1 R2
R2 − R1
(33)
c) Parallel- und Reihenschaltung von Kondensatoren:
Schaltet man mehrere Kondensatoren parallel, so herrscht an allen Kondensatoren dieselbe Spannung 2 . Die Ladungen addieren sich und da Q ∝ C gilt:
C=
X
Ci
für die Parallelschaltung
(34)
i
Bei der Reihenschaltung von Kondensatoren werden die Ladungen getrennt, sodass auf
zwei benachbarten, durch einen Leiter verbundenen Platten entgegengesetzt gleiche Ladungen sitzen. Die Spannungen verhalten sich additiv. Daher folgt für die Gesamtkapazität:
1 X 1
=
für die Reihenschaltung
(35)
C
Ci
i
Die Energie des geladenen Kondensators:
Die Arbeit, die aufgebracht werden muss, um eine Ladung dQ zu verschieben ist:
dW = U · dQ =
2 Sonst
Q
dQ
C
(36)
würde Ladung fließen, bis die Spannung ausgeglichen ist.
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Somit gilt für die Gesamtarbeit:
W=
Z
Q
0
Q
Q2
dQ =
C
2C
(37)
Mit Q = C · U ergibt sich dann die Energie des elektrostatischen Feldes:
1
Wel = C · U 2
2
(38)
Die Energiedichte des elektrischen Feldes ist wie folgt definiert:
wel =
1.6
Wel
V
(39)
Dielektrika im elektrischen Feld
Dielektrika = isolierender Stoff.
• Dielektrikum zwischen die Platten eines Kondensators:
⇒ Spannung sinkt um den Faktor • Da Q = const
⇒ C um Faktor größer
Die Kapazität des Plattenkondensators ist dann:
C Di = · CVac = 0
A
d
(40)
: Dielektrizitätszahl
Dielektrische Polarisation:
+Q
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
-Q
• Im elektrischen Feld verschieben sich die Ladungen im Dielektrikum
• Da die Ladungsträger nicht frei sind: Nur Verschiebung innerhalb des Atoms bzw. Moleküls
• Die Atome bzw. Moleküle werden zu elektrischen Dipolen (Induzierte Dipole)
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• Vorgang: Polarisierung
• Induziertes Dipolmoment jedes Atoms: ~p = q · d~
• Polarisation: Vektorsumme der Dipolmomente aller Atome pro Volumeneinheit:
X
~= 1
~pi
P
V i
(41)
Polarisationsladungen:
Ladungsverschiebung im elektrischen Feld ⇒ Ladungen Qpol an den Stirnflächen des Dielektrikums: Polarisationsladungen
Die Flächendichte ist:
N
·q·d·A N
Q pol
= V
= |~p| = P
(42)
σ pol =
A
A
V
Im Dielektrikum überlagern sich das äußere Feld E = σ f rei /0 und das durch Polarisation entstandene entgegengerichtete Feld E = σ pol /0 :
E~ Di =
~
σ f rei − σ pol
P
= E~ vak −
0
0
(43)
Außerdem gilt:
1
E~ Di = E~ vak
(44)
~ = ( − 1) 0 E~ Di
P
| {z }
(45)
Somit folgt dann mit (43) und (44):
=χ
χ wird als Suszeptibilität bezeichnet.
Weiterhin wir die Dielektrische Verschiebung definiert:
~ = 0 E~ Di = o E~ vak
D
(46)
Gespeicherte Energie und Dielektrikum:
Für die Energiedichte gilt:
welD =
WelD
C · U2
· 0 2 1
=
=
E = E·D
V
2·A·d
2
2
(47)
⇒ die Energiedichte sinkt mit Dielektrikum
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Die Gleichungen des elektrostatischen Feldes in Materie:
Ohne Dielektrikum:
~ · E~ = %
∇
0
(48)
In Materie kommen zu den freien Ladungen noch die entgegengesetzten Polarisationsladungen
% pol dazu:
~ · E~ Di = 1 (% f rei + % pol )
∇
0
~
~ · E~ vak − P = 1 (% f rei + % pol )
⇔∇
0
0
mit (48) und:
Z
Z
Z
Z
~P
~ ·P
~=
~ =
~ dV = − σ pol dV ⇒ ∇
~ = −% pol
∆Q pol =
σ pol dA
PdA
∇
A
A
V
und (46) folgt dann:
~ ·D
~ = % f rei
⇒ ∇
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