Formale Logik

Formale Logik
PD Dr. Markus Junker
Abteilung für Mathematische Logik
Universität Freiburg
Wintersemester 16/17
Sitzung vom 7. Dezember 2016
Ein klassischer Mathematikerwitz
Ein Soziologe, ein Physiker und ein Mathematiker fahren mit dem
Zug in ein fernes Land. Kurz nachdem sie die Grenze passiert
haben, sehen sie ein schwarzes Schaf.
Meint der Soziologe: Wir können jetzt annehmen, dass alle Schafe
in diesem Land schwarz sind.
Der Physiker: Nein, das ist falsch. Wir können lediglich behaupten,
dass ein Schaf in diesem Land schwarz ist.
Der Mathematiker: Auch das ist falsch. Wir können lediglich
sagen, dass es in diesem Land ein Schaf gibt, das von mindestens
einer Seite schwarz ist.
(Zitiert nach https://www.mathematik.ch/witze/)
Grenzen der Ausdrucksweise der Aussagenlogik
Sätze wie Alle Schafe in diesem Land sind schwarz und
(Mindestens) ein Schaf in diesem Land ist schwarz
können in der Aussagenlogik nur durch einzelne Aussagenvariablen
(z. B. A und B ) wiedergegeben werden.
Dabei geht der Zusammenhang verloren.
Wunsch: erweiterte Sprachmöglichkeiten, um
I die Struktur atomarer Aussagen wiedergeben zu können
I und Quantizierungen wie alle, mindestens ein ausdrücken
zu können.
eine Lösungsmöglichkeit ist die sogenannte Prädikatenlogik
genauer: Prädikate(n)logik erster Stufe
manchmal auch Quantorenlogik genannt
Prädikatenlogik: Gegenstandbereiche
Idee: Man möchte über Strukturen sprechen können.
Eine Struktur
M
besteht aus einer (nicht-leeren) Menge M von
Objekten (Individuen, Elementen), die Universum der Struktur oder
Individuenbereich oder Gegenstandsbereich heiÿt.
Die Elemente von M können konkrete oder abstrakte Objekte sein;
Lebewesen, Gegenstände, Vorstellungen, Ideen, . . .
Wichtig: Es muss klar entschieden sein, ob ein Objekt zu M gehört
und ob zwei Objekte identisch sind (genauer vielleicht: ob zwei
Bezeichnungen auf das gleiche Objekt verweisen oder nicht).
Beispielsweise muss, wenn die Objekte Farben sind, klar sein, welche
Farbschattierungen identiziert werden zu einer Farbe wie hellblau.
Prädikatenlogik: Strukturen
Für jede Struktur werden spezielle Ausdrucksmöglichkeiten in einer
prädikatenlogischen Sprache (im engeren Sinne)
L
festgelegt:
Spezielle Objekte der Struktur bekommen Namen, dafür werden
Konstanten(zeichen) benutzt (kleine lateinische Buchstaben):
c
d
e ...
c0
c1 . . .
c0 . . .
Spezielle Teilmengen der Struktur bekommen Namen, dafür werden
Prädikate
1 (auch einstellige Relationszeichen genannt) benutzt
(groÿe lateinische Buchstaben):
P
Q ...
P0
P1 . . .
P0 . . .
Spezielle Beziehungen in der Struktur bekommen Namen, dafür
werden (mehrstellige) Relationszeichen benutzt (ebenfalls groÿe
lateinische Buchstaben).
1
in der Verwendung wie
Prädikatswein, Prädikatsexamen,. . .
Prädikatenlogik: Relationen
Ein Relationszeichen steht für eine Relation, d. h. für eine
Beziehung zwischen Elementen der Struktur.
(Zum Beispiel . . . ist gröÿer als . . . . . . sitzt zwischen . . . und . . . . . . sind miteinander befreundet)
In der Prädikatenlogik werden nur Relationen mit einer festen
Stelligkeit betrachtet das ist die Anzahl der Elemente, über die
die Relation etwas aussagt. Die Zeichen für Relationen unterschiedlicher Stelligkeit unterscheiden sich nicht; die Stelligkeit muss
daher an separater Stelle festgeschrieben werden.
Prädikate kann man als einstellige Relationszeichen auffassen,
Aussagenvariablen als nullstellige Relationszeichen.
Es ist also nicht mehr so, dass A, B etc. automatisch
Aussagenvariablen sind!
Prädikatenlogik: Spezielles
Ich führe die Prädikatenlogik als Erweiterung der Aussagenlogik ein.
Die meisten Autoren lassen in der Prädikatenlogik aber keine
Aussagenvariablen mehr zu.
Im allgemeinen gibt es in der prädikatenlogische Sprache noch
sogenannte Funktionszeichen (zum Beispiel um in der Mathematik
Funktionen wie Addition oder Mutliplikation ausdrücken zu
können). Im Alltag kommen echte Funktionen aber sehr selten vor
(funktionale Ausdrücke wie Mutter von . . . , rechter Nachbar
von . . . , Vorgänger von . . . sind oft nur partiell deniert!).
Ich lasse die Funktionszeichen daher weg; die Ausdrucksstärke
verringert sich dadurch nicht.
Relationszeichen sind in Anwendungen in der Regel ein-, zwei- und
bestenfalls dreistellig.
Die formale Sprache der Prädikatenlogik: Zeichen
Benutzt werden folgende Zeichen:
fester Anteil
I die aussagenlogischen Junktoren
>
I die Quantoren: der Existenzquantor
I Individuenvariablen
I Klammern
(
)
v
w
x
∃
⊥
¬
∨
∧
→
und der Allquantor
y
und Gleichheitszeichen
z
v0
=
I die Konstanten und Relationszeichen der konkreten
L
(inklusive Aussagenvariablen und Prädikate)
Junktoren und Quantoren heiÿen manchmal logische Zeichen,
Klammern und Gleichheitszeichen nicht-logische Zeichen
∀
v1 . . .
variabler Anteil
prädikatenlogischen Sprache
↔
Die formale Sprache der Prädikatenlogik: Terme
Terme bezeichnen Elemente einer Struktur.
L-Terme
sind
I alle Individuenvariablen
I alle Konstanten in
L
(In der Prädikantenlogik mit Funktionszeichen sind Terme
komplizierter . . . )
Die formale Sprache der Prädikatenlogik: atomare Formeln
Die folgenden Zeichenketten sind prädikatenlogische
und zwar atomare prädikatenlogische
L-Formeln,
L-Formeln,
weil sie nicht aus
einfacheren Formeln aufgebaut sind.
I
>
I
τ1 = τ2 ,
und
⊥
wenn
τ1
und
τ2 L-Terme
sind
I R τ1 . . . τn , wenn R ein n-stelliges Relationszeichen in
τ1 ,
...,
τn L-Terme
sind
I (insbesondere):
P
τ,
wenn P ein Prädikat in
L
ist und
A, wenn A eine Aussagenvariable in
L
τ
ein
ist
L-Term.
L
ist und
Die formale Sprache der Prädikatenlogik
Beliebige prädikatenlogische
L-Formeln
entstehen aus den
atomaren Formeln durch folgende Zusammensetzungsregeln:
I (Junktorenregeln): Wenn F und F 0 prädikatenlogische
L-Formeln sind, dann auch
¬F
(F ∧ F 0 )
(F ∨ F 0 )
(F → F 0 )
I (Quantorenregeln): Wenn F eine prädikatenlogische
(F ↔ F 0 )
L-Formel
ist und v eine (beliebige) Individuenvariable, dann sind auch
∃v F
und
prädikatenlogische L-Formeln.
∀v F
Alternativ zu den Junktorenregeln könnte man allgemeiner fordern:
Wenn man in einer aussagenlogischen Formel die Aussagenvariablen
L-Formeln
L-Formel.
durch prädikatenlogische
prädikatenlogische
ersetzt, erhält man wieder eine