Formale Logik

Formale Logik
PD Dr. Markus Junker
Abteilung für Mathematische Logik
Universität Freiburg
Wintersemester 16/17
Sitzung vom 14. Dezember 2016
Die formale Sprache der Prädikatenlogik: Zeichen
Benutzt werden folgende Zeichen:
fester Anteil aller Sprachen
I die aussagenlogischen Junktoren
>
I die Quantoren: der Existenzquantor
I Individuenvariablen
I Klammern
(
)
v
w
L
∃
e
Q
¬
∨
∧
→
und der Allquantor
y
und Gleichheitszeichen
variabler Anteil der Sprache L
I die Konstanten
c
d
und Relationszeichen
P
in
x
⊥
...
z
=
R
...
(inklusive Aussagenvariablen und Prädikate)
v0
v1
↔
∀
...
Die formale Sprache der Prädikatenlogik: Terme
Terme bezeichnen Elemente einer Struktur.
L-Terme
sind
I alle Individuenvariablen
I alle Konstanten in
L
Die formale Sprache der Prädikatenlogik: atomare Formeln
Die folgenden Zeichenketten sind (prädikatenlogische)
und zwar atomare
L-Formeln,
L-Formeln,
weil sie nicht aus einfachereren
Formeln aufgebaut sind.
I
>
I
τ1 = τ2
I
und
⊥
, wenn
R τ1 . . . τn
und
τ1 ,
τ1
, wenn
...,
und
R
τ2 L-Terme
ein
sind
n-stelliges Relationszeichen in L ist
τn L-Terme
sind
I (insbesondere):
P τ , wenn P ein Prädikat in L ist und τ ein L-Term.
A , wenn A eine Aussagenvariable in L ist
Die formale Sprache der Prädikatenlogik
Beliebige
L-Formeln
entstehen aus den atomaren Formeln durch
folgende Zusammensetzungsregeln:
I (Junktorenregeln): Wenn
¬F
(F ∧ F 0 )
F
F 0 L-Formeln sind, dann auch
(F ∨ F 0 )
(F → F 0 )
(F ↔ F 0 )
und
L-Formeln.
I (Quantorenregeln): Wenn
F
eine
L-Formel
ist und
(beliebige) Individuenvariable, dann sind auch
∃v F
L-Formeln.
und
∀v F
v
eine
Prädikatenlogik: eindeutige Lesbarkeit/Formelbaum
Ebenso wie in der Aussagenlogik gilt für prädikatenlogische Formeln
die eindeutige Lesbarkeit, d. h. es gibt nur eine Art und Weise, wie
eine Formel nach den Regeln zusammengebaut ist.
(Quantoren
∃v
und
∀v
verhalten sich wie einstellige Junktoren.)
Die Formeln, die im Aufbauprozess vorkommen, heiÿen wieder
Teilformeln.
Den Aufbau der Formel kann man wie in der Aussagenlogik durch
einem Formelnbaum darstellen, in dem alle Teilformeln vorkommen.
Prädikatenlogik: Interpretation in Strukturen
L eine prädikatenlogische Sprache ist, dann ist eine
L-Struktur, wenn es zu jedem Zeichen in L eine
Interpretation in M gibt, d. h.
Wenn
M
Struktur
eine
I für jede Konstante
c
in
L
ein festes Element
cM
in
M
I für jedes (n-stellige) Relationszeichen
R in L eine feste
n-stellige Relation (Beziehung/Eigenschaft) R M über M
(d. h. für jede Auswahl von n Objekten aus M steht fest,
ob diese die Relation erfüllen oder nicht)
I (insbesondere):
für jedes Prädikat in
L
eine feste Teilmenge von
(alle Objekte in M, auf die das Prädikat zutrit)
für jede Aussagenvariable in
I
L
M
eine feste Aussage über
(die wahr oder falsch ist).
Erinnerung: M ist eine nicht-leere Menge
M
Prädikatenlogik: Interpretation von Termen
Sei
L
eine prädikatenlogische Sprache und
M
eine
L-Struktur.
Um Terme auswerten zu können, muss man wissen, was mit den
Individuenvariablen geschehen soll. Dazu braucht man eine
Belegung der Individuenvariablen (mit Werten in
d. h. eine Zuordnung (Funktion)
ein Objekt
β(v )
Dann wird ein
in
M
β,
M ),
die jeder Individuenvariablen
v
zuordnet.
L-Term τ unter der Belegung β τ M [β] interpretiert:
folgendermaÿen
durch ein Objekt
I
I
v M [β] = β(v ) für jede Individuenvariable v .
c M [β] = c M für jede Konstante c in L.
Dies bedeutet: Individuenvariablen bezeichnen dasjenige Objekt der
Struktur, das die Belegung auswählt; Konstanten bezeichnen
dasjenige Objekt, das in der Denition der Struktur festgelegt wird.
Prädikatenlogik: Interpretation von atomaren Formeln
Sei
L
eine prädikatenlogische Sprache und
Für jede
Struktur
>
I
τ1 = τ2
gilt stets und
⊥
gilt, wenn
R τ1 . . . τn
τ1
und
τ2
in
M
wann
F
in der
durch das gleiche Objekt in
M
τ1M [β] = τ2M [β].
gilt, wenn die Relation
τ1 ,. . . ,τn
L-Struktur.
gilt nie.
interpretiert werden, also wenn
die
eine
L-Formel F soll nun bestimmt werden,
M unter der Belegung β gilt.
I
I
M
RM
auf die Objekte zutrit,
interpretieren.
I (insbesondere):
P τ , gilt, wenn das Prädikat P M auf das Objekt τ M [β] zutrit
A, gilt wenn die Aussage AM in M gilt.
Man schreibt:
und
M |= F [β], wenn F in M
M 6|= F [β] andernfalls.
unter
β
gilt,
Prädikatenlogik: Interpretation zusammengesetzter Formeln
I Wenn eine prädikatenlogische Formel durch aussagenlogische
Junkoren zusammengesetzt wird, dann erklärt sich die
Gültigkeit in einer Struktur durch die Wahrheitswertfunktionalität des Junktors.
I Eine Formel
∀v F
gilt in
M
unter
β , wenn die Formel F in M
β entstehen, indem man
unter allen Belegungen gilt, die aus
den Wert von
v
beliebig abändert.
∃v F gilt in M unter β , wenn es eine Belegung β 0
gibt, die aus β dadurch entsteht, dass der Wert von v geeignet
0
abgeändert wird, und so, dass F in M unter β gilt.
I Eine Formel
Prädikatenlogik: Wirkungsbereiche von Quantoren
Der Wirkungsbereich eines Quantors ist diejenige Teilformel, vor
der er steht (d. h. diejenige Teilformel
regel angewandt wird, damit
Eine Individuenvariable
oder
∀v ,
v
∃v
F 0 , auf die die Quantoren∀v F 0 entsteht).
F 0 bzw.
ist gebunden durch einen Quantor
∃v
wenn sie in seinem Wirkungsbereich steht.
Individuenvariablen sind frei in einer Formel, wenn sie nicht durch
einen Quantor gebunden sind. (Das
v
bei
∃v
bzw.
∀v
zählt zum
Quantor und ist weder gebunden noch frei.)
L-Formel, die keine
L-Satz oder L-Aussage.
Eine
freien Individuenvariablen hat, heiÿt
Prädikatenlogik: Wirkungsbereiche von Quantoren
Beispiel:
P
einstellig,
R
zweistellig
(P v0 → ∃v2 ( ∀v2 ∀v1 ∃v1 (P v1 ∨ R v2 v1 ) → ¬R v1 v2 ) )
|
|
| b
|
| b
|
b
b
frei
↓
(P
v0 →
bindet
frei
↓
∃ v2
( ∀ v2
∀v1 ∃ v1
(P v1 ∨
|
R v2 v1 ) → ¬R v1 v 2 ))
↑c
c
Prädikatenlogik: Sätze
F
Beobachtung: Wenn
eine
L-Formel
dann kommt es bei der Frage, ob
F
M
ist und
M
in
gilt, nur auf die freien (Individuen-)Variablen von
Mit anderen Worten: Wenn
F
β
und
β0
F
ein
L-Satz
M |= F [β]
M
ist und
eine
man unabhängig von Belegungen sagen, ob
Man schreibt
M |= F
und sagt
M 6|= F )
an.
F
wie
L-Struktur, kann
M gilt oder nicht.
I
M
erfüllt
I
M
ist Modell von
trit in
gilt in
M |= F [β 0 ].
in
I
I
(analog
F
F
F
F
I
L-Struktur,
β
auf den freien Variablen von
übereinstimmen, gilt gleichermaÿen
Folgerung: Wenn
eine
unter einer Belegung
M
zu
M
ist wahr in
M
F
F
Prädikatenlogik: allgemeingültige Sätze
Ein
L-Satz
Eine
heiÿt allgemeingültig, wenn er in allen
L-Formel
L-Strukturen
heiÿt allgemeingültig, wenn sie in allen
gilt.
L-Strukturen
unter allen Belegungen gilt.
Man schreibt dafür:
|= F
F = F (v1 , . . . , vn ) eine L-Formel mit freien Variablen
v1 , . . . , vn ist, dann ist F genau dann allgemeingültig, wenn
∀v1 . . . ∀vn F allgemeingültig ist.
Wenn
Ein
L-Satz
heiÿt erfüllbar, wenn es eine
L-Struktur
gibt, in der er
gilt.
Eine
L-Formel
heiÿt erfüllbar, wenn es eine
Belegung gibt, unter der sie gilt.
L-Struktur
und eine
Prädikatenlogik: logische Äquivalenz
Zwei
allen
Zwei
allen
L-Sätze heiÿen (logisch) äquivalent zueinander, wenn
L-Strukturen gleichermaÿen gelten bzw. nicht gelten.
sie in
L-Formeln heiÿen (logisch) äquivalent zueinander, wenn
L-Strukturen und unter allen Belegungen gleichermaÿen
sie in
gelten bzw. nicht gelten.
L-Sätze F
sind, wenn
und
G
sind genau dann logisch äquivalent zueinander
(F ↔ G )
allgemeingültig ist.
v1 , . . . , vn ) sind
genau dann äquivalent zueinander, wenn ∀v1 . . . ∀vn (F ↔ G )
Vorsicht:
L-Formeln F
und
G
(mit freien Variablen
allgemeingültig ist. Dies ist nicht gleichbedeutend damit, dass
(∀v1 . . . ∀vn F ↔ ∀v1 . . . ∀vn G )
allgemeingültig ist!
x = a 6∼ y = a, aber ∀x x = a ∼ ∀y y = a
bzw.
∀x ∀y x = a ∼ ∀x ∀y y = a
Prädikatenlogik: Äquivalenz und logische Folgerung
Beobachtung: Unnötige Quantizierungen stören nicht,
d. h. wenn
v keine freie Variable von F
ist, dann ist
F ∼ ∃v F ∼ ∀v F
Ein
L-Satz F
wenn
Eine
wenn
F
folgt aus einer Menge von
in allen
L-Strukturen
L-Sätzen P1 , P2 ,
gilt, in denen alle
...,
P1 , P2 , . . . gelten.
L-Formel F folgt aus einer Menge von L-Formeln P1 , P2 ,
F in allen L-Strukturen und unter allen Belegungen gilt,
unter denen alle
...,
P1 , P2 , . . . gelten.
Ein L-Satz F folgt genau dann aus L-Sätzen P1 ,
((P1 ∧ · · · ∧ Pn ) → F ) allgemeingültig ist.
...,
Für Formeln gilt das zur Äquivalenz Gesagte analog!
Pn , wenn