L g * 2 1 f π = mk * 2 1 f π

Aufgabe 1 (16 Punkte)
Gegeben sind zwei schwingungsfähige Systeme: Ein Feder-Masse-System sowie ein mathematisches
Pendel. Beide Systeme sind ungedämpft und schwingen mit der gleichen Frequenz f.
Bild A1.1: Schwingungsfähige Systeme
Bekannt sind folgende Größen:
Federkonstante k
Fadenlänge L
Erdbeschleunigung g
1.1
Bestimmen Sie aus diesen Angaben allgemein die Masse m des Feder-Masse-Systems.
1.2
Berechnen Sie diese Masse für k = 25 N/m, eine Fadenlänge von 0.6 Metern und eine
2
Erdbeschleunigung von 9.81 m/sec . Wie groß ist die Schwingfrequenz f des Pendels und wie
groß die Periodendauer T?
1.3
Diese Versuchsanordnung werde nun auf einen anderen Himmelskörper mit einer
„Erdbeschleunigung“, die einen anderen Zahlenwert hat, verbracht. Schwingen die beiden
Systeme immer noch beide mit der gleichen Frequenz, auch wenn diese einen anderen
Zahlenwert haben mag, als auf der Erde?
Lösung:
1.1
Beim mathematischen Pendel findet man für die Schwingfrequenz folgenden Ausdruck:
f=
1
g
*
2π
L
f=
1
k
*
2π
m
und für das Feder-Masse-System gilt
1
Gleichsetzen und Elimination des Bruches mit 2π ergibt
g
k
=
L
m
Beide Seiten quadrieren:
g k
=
L m
und nach m auflösen:
k *L
g
m=
Nach der Korrektur geschrieben: L ist die Fadenlänge des Pendels und hat überhaupt nichts mit der
Amplitude der Schwingung des Feder-Masse-Systems zu tun.
1.2
Zahlenwerte einsetzen:
m=
k * L 25 N * 0.6m * sec 2
N * sec 2
=
= 1.529
g
m * 9.81m
m
Mit
1N = 1
kg * m
sec 2
folgt
m = 1.529 kg
Für die Pendelfrequenz gilt
f=
1
g
1
9.81m
*
=
*
2π
L 2π
sec 2 * 0.6 m
f=
1
1
* 16.35
= 0.6436 Hz
2π
sec
Die Periodendauer ist der Kehrwert der Frequenz:
T=
1.3
1
= 1.554 sec
f
Die Frequenzen unterscheiden sich nun:
In dem Ausdruck für die Frequenz des Feder-Masse-Systems erscheint die Erdbeschleunigung nicht,
dieses System wird überall mit der gleichen Frequenz schwingen.
Im der Formel für die Schwingfrequenz des Pendels findet man die „Erdbeschleunigung“, das Pendel
wird auf jedem Himmelskörper mit einer anderen Frequenz schwingen.
Nach der Korrektur geschrieben:
Die Masse ist überall gleich, die Gewichtskraft hingegen nicht. Wenn man auf einem anderen
Himmelskörper mit anderer „Erdbeschleunigung“ eine Masse hochhebt, so muss man eine andere
Kraft aufwenden. Will man hingegen parallel zur Oberfläche des Himmelskörpers eine Masse auf eine
2
bestimmten Geschwindigkeit beschleunigen, so muss man die gleiche Kraft aufbringen wie auf der
Erde.
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