Blatt02 - staff.uni

Prof. Dr. Duco van Straten
M. Pauly
2. Übung zur Vorlesung
„Diskrete Mathematik“
im Wintersemester 16/17
Aufgabe 1: (1+1+1+1+1+1 Punkte)
Wandeln Sie folgende Zahlen in die jeweils 2 anderen Zahlensysteme um (2er-/ 10er-/ 16erSystem): (1101110)2 , (AE7)16 und (1500)10 .
Aufgabe 2: (3 Punkte)
Es gilt 12 − 1 = 0 = 0 · 8, 32 − 1 = 8 = 1 · 8, 52 − 1 = 24 = 3 · 8. Zeigen Sie, dass man dieses
fortsetzen kann, d.h. für jede ungerade Zahl n teilt 8 die Zahl n2 − 1.
Aufgabe 3: (4 Punkte)
Zeigen Sie (z.B. durch vollständige Induktion nach n):
n
P
k=1
1
k(k+1)
=
n
n+1 .
Aufgabe 4: (2+4 Punkte)
. Wir möchten eine ähnliche
In der Vorlesung wurde gezeigt Dn := 1 + 2 + . . . + n = n(n+1)
2
geschlossene Formel für Kn := 13 + 23 + . . . n3 finden. Dabei könnne Sie wie folgt vorgehen:
• Berechnen Sie K1 = 13 , K2 = 13 + 23 und K3 = 13 + 23 + 33 .
• In welcher Beziehung stehen diese zu D1 , D2 und D3 ?
• Leiten Sie daraus eine Vermutung für eine geschlossene Formel für Kn ab.
• Beweisen Sie ihre Vermutung (z.B. durch vollständige Induktion nach n).
Aufgabe 5: (5 Punkte)
Sie haben 12 Dominosteine, diese sind rechteckig mit Kantenlängen 1 und 2. Wie viele verschieden Möglichkeiten gibt es mit diesen ein Rechteck mit Kantenlängen 2 und 12 auszulegen?
Aufgabe 6: (8 Punkte)
Sie wollen den Boden Ihres neuen Badezimmers mit Fliesen auslegen. Im Baumarkt gibt es
zwei verschiedene Sorten von Fliesen. Es sind Rechtecke mit den Kantenlängen 2 und 2 bzw.
1 und 4. Sie kaufen einige von jeder Sorte, insgesamt genau genug um die Fläche des Bodens
Ihres Badezimmer auszulegen. Wieder zu Hause angekommen fangen Sie an den Boden auszulegen. Alles klappt wunderbar, bis Sie nur noch eine Fliese übrig haben. Ihre übrige Fliese hat
Kantenlängen 1 und 4, während das noch nicht ausgelegte Rechteck im Boden Kantenlängen
2 und 2 hat. Können Sie es schaffen, durch umsortieren der Fliesen den gesamten Boden mit
Ihren gekauften Fliesen auszulegen (ohne diese zu zerschneiden oder Ähnliches)?
Die Lösungen der ersten 6 Aufgaben sind bis Montag den 7.11 12:15 Uhr in den beschrifteten
Kästen vor der Fachschaft abzugeben.
Die nachfolgenden Aufgaben sind nicht abzugeben, sondern werden in den Übungen (3./4./7.11.)
besprochen.
Aufgabe 7:
Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke mit Summenzeichen.
(a) 3 + 6 + 9 + 12 + . . . + 66.
(b) 1 − 2 + 4 − 8 + . . . + 4096.
(c) 1 + 8 + 27 + . . . + 216.
(d) 5 + 13 + 25 + 41 + . . . + 221.
Aufgabe 8:
Schreiben Sie die folgenden Summen aus und berechnen Sie diese.
(a)
4
P
l
22
l=1
(b)
7
P
l!
l=1
(c)
15
P
(−1)l l
l=1
Aufgabe 9:
Sie haben ein Schachbrett und rechteckige Dominosteine, die genau 2 Felder des Schachbrettes
groß sind. Können Sie genau das gesamte Schachbrett ohne die beiden gegenüberliegenden
Ecken a1 und h8 mit Dominosteinen auslegen?
Aufgabe 10:
10 Piraten haben einen Schatz erbeutet, der aus 100 identischen Goldstücken besteht. Nach
alter Piratentradition wird er wie folgt aufgeteilt:
Der Jüngste schlägt eine Verteilung vor, wer wie viele Goldstücke erhalten soll. Dann stimmen sie darüber ab. Wenn eine echte Mehrheit zustimmt, wird es so gemacht. Ansonsten
wird er über Bord geworfen. Dann macht der nächstjüngste einen Vorschlag usw. bis einer
angenommen wird.
Was sollte der jüngste vorschlagen? Wird er über Bord geworfen?
Aufgabe 11:
Zeigen Sie:
(a) Für alle natürlichen Zahlen gilt (2n)! ≥ (n!)2 2n .
Hinweis: Es gilt 2i ≤ (n + i) für 1 ≤ i ≤ n. Wieso hilft dies?
(b) Zeigen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen n gilt 2n−1 < n!, 3n−2 < n!, 4n−3 < n!, . . .
(c) Es gilt sogar eine stärkere Aussage als b):
n! wächst schneller als jede Potenz, d.h. es gibt keine Zahlen C, k mit n! ≤ C · k n für
alle natürlichen Zahlen n.